A Schrödinger-egyenlet alkalmazásai

A valószínűségi áramot, illetve a hullámfüggvény alakulását érdemes megvizsgálnunk különféle, szakadással rendelkező potenciálok esetén (illusztrációnak lásd a 33. ábrát).

Ilyenkor noha ∆Ψ-nek szakadása van (ez a potenciál ugrása miatt elkerülhetetlen), Ψ és∇Ψ is folytonos a határon. Ennek belátásához legyen olyan potenciálunk, amelyV_I értéket vesz felx < x₀ esetén, mígV_II értéketx≥x₀esetén. Integráljuk a Schrödinger-egyenlet két oldalát a „határt” tartalmazó [x₀−, x₀+] intervallumra:

i~ Vegyük észre, hogy ha Ψ korlátos függvény, akkor az→0 határesetben az így adódó infinitezimális intervallumra vett integrálja nulla, amiből ez adódik:

→0lim

azaz Ψ deriváltja folytonos a határon. Egyúttal itt említjük meg azt is, hogy ez a leve-zetés megmutatja, hogy valóban jogos a helyzeti energia operátoraként a Schrödinger-egyenletben egy V(x) potenciállal való szorzást szerepeltetnünk – ha V(x)-et lépcsős függvényként képzeljük el, akkor minden lépcsőnél a Ψ második deriváltjának lesz sza-kadása, Ψ és az első deriváltja folytonos marad.

Legyen most tehát egyV0 potenciállépcső a 33. ábra bal oldalának megfelelően, és egy E energiájú részecske. A teljes energia, illetve a hozzá kapcsolódó ω körfrekven-cia nem változik meg, viszont k igen. Így tehát a lépcső bal és jobb oldalán ezek az összefüggések lesznek érvényesek ak, illetvek⁰ hullámszámokra:

E=~²k²

ha a részecske energiájára igaz az E > V0 feltétel. Ekkor a 33. ábra bal oldalának I.

régiójában az alap, Ae^ikx−iωt bejövő hullámon kívül lesz egy visszaverődő, Be^ikx−iωt

hullám is, a II. régióban pedig egy Ce^ik0x−iωt hullám (mivel ebben a régióban a balra haladó a végtelenből jönne, ami nem fizikai):

ΨI ∝Ae^ikx+Be^−ikx, (6.71)

ΨII∝Ce^−ik0x. (6.72)

Az x = 0 pontban vett folytonosság megköveteli, hogy A+B = C legyen. A deri-vált folytonossága ezenkívül azt is megköveteli, hogy ikA−ikB = ik⁰C legyen. Így összességében

C=A 2k

k+k⁰, B=Ak−k⁰

k+k⁰ (6.73)

adódik. Az áthaladás valószínűségi árama (6.65) miatt j_át = |C|²~k⁰/m lesz, míg a visszaverődéséj_vissza=−|B|²~k/m. Ezekben aB ésC amplitúdókra vonatkozó iménti kifejezéseket behelyettesítve ezt kapjuk:

ját=~k⁰

m |C|²=~k⁰ m

4k²

(k+k⁰)²|A|², (6.74) j_vissza =−~k

m|B|²=−~k m

(k−k⁰)²

(k+k⁰)²|A|². (6.75) Innen a reflexióra és a transzmissziór és t valószínűségére a jbe =|A|²~k/mbemenő árammal összevetve

r= |j_vissza| jbe

= (k−k⁰)²

(k+k⁰)², (6.76)

t= ját

jbe

= 4kk⁰

(k+k⁰)², (6.77)

adódik, és természetesen r+t = 1. A klasszikus képben pedig r = 0 és t = 1, az ettől való eltérés, azaz a nem nulla valószínűségű visszaverődés a kvantummechanika következménye.

Legyen most E < V₀. Ekkor a II. régióbank⁰=iκbevezetésével κ=

p2m(V₀−E)

~

, (6.78)

és ekkor expκx és exp−κx megoldások lehetségesek. Ezek közül az első „nem fizikai”, hiszen ez korlát nélkül erősödő amplitúdót adna. Így végül a két régióban ezek a hul-lámfüggvények alakulnak ki:

ΨI ∝Ae^ikx+Be^−ikx, (6.79)

ΨII∝Ce^−κx. (6.80)

Mivel az átjutó (II.) hullám tisztán valós, így j_át = 0 és t = 0, és hasonlóan r = 1.

Ugyanakkor a részecske nem nulla valószínűséggel megtalálható a klasszikusan tiltott régióban is (tehát a hullámfüggvény abszolút értékének négyzete nem nulla). Konkrétan

xmélységben exp(−2κx) valószínűséggel tartózkodik a részecske (ahol a kettes a való-színűség kiszámításakor vett négyzetből származik). A behatolás ∆x mélysége legyen úgy definiálva, hogy itt 1/ea megtalálási valószínűségsűrűség, ezzel:

∆x= 1

2κ= ~

p8m(V₀−E). (6.81)

Ez tulajdonképpen a határozatlansági relációnak felel meg, ugyanis a részecske „köl-csönvesz”~κimpulzust, amelyet viszont csak 1/2κtávolságon tud megtartani, a kettő szorzata a Heisenberg-féle relációnak megfelelően~/2.

Nézzük meg, mi történik egy szinténV₀magasságú, de ezúttal csak ∆xszéles poten-ciálgáton való áthaladáskor, ahogy az a 33. ábra jobb oldalán látható. LegyenE < V₀. Ekkor három hullámfüggvényünk lesz a három régióban:

ΨI∝Ae^ikx+Be^−ikx, (6.82)

ΨII∝Ce^−κx+De^κx, (6.83)

ΨIII∝Ee^ikx+F e^−ikx, (6.84)

ahol az energiamegmaradás miatt két „szabad régióban” (aholV = 0) azonos a hullám-szám, és

k=

√

2mE/~és (6.85)

κ=p

2m(V0−E)/~ (6.86)

ismét. Mivel jobbról, a végtelenből nem jön részecske, ezértF = 0, a többi együtthatót a két határon adódó két-két határfeltételből kaphatjuk meg (ami négy egyenlet, tehát minden együtthatót meg tudunk határozni). A számolás részleteitől eltekintve csak az áthaladás (transzmisszió) valószínűségét adjuk meg aκ∆x1 határesetben:

t= 16k²κ²

(k²+κ²)²e^−2κ∆x. (6.87) Ez azt jelenti, hogy véges valószínűséggel a potenciálgáton is áthalad a részecske, és az áthaladás a potenciálgát ∆x szélességével exponenciálisan csökken. Vegyük észre itt is a határozatlansági reláció megjelenését: a részecske egy kis időre „kölcsönvesz”

valamennyi energiát, és az idő és az energia szorzata itt is~nagyságrendű.

A pásztázó alagútmikroszkóp (STM, Binning és Rohrer, Nobel-díj 1986) elvét is megérthetjük ezen keresztül. Fémekben ugyanis egy potenciálgödörben vannak az elekt-ronok, vagyis az egyik oldalon egy potenciállépcsővel néznek szembe, és csak az ennek megfelelő kilépési munka befektetése árán léptethetjük ki őket onnan. Ha azonban a fém egyik oldalán egy V ∝x potenciált építünk ki (azaz konstans elektromos teret), akkor az tulajdonképpen egy „fűrészfog” alakú potenciálgátat hoz létre (potenciállépcső helyett), és emiatt az elektronok mégis nem nulla valószínűséggel ki fognak lépni a fém-ből (ezt nevezzük téremissziónak). Mivel azonban a kilépő elektronok áramát e^−2κ∆x határozza meg, így ez a rögzített síkban mozgó tű alatti anyag szerkezetét árulja el nekünk.

Legyen most egy ∆xszélességű, V0mélységű potenciálgödör, amelyben egy−V0<

E <0 kötött részecske van jelen. Mivel negatív az energiája, így a gödrön kívül min-denhol tisztán valós, exp−κx jellegű amplitúdóval rendelkezik, és ennek árama nulla

– azaz mindkét falon teljes visszaverődés alakul ki. Emiatt bent a gödörben időben állandó valószínűséggel van a részecske. A gödör két szélén vett határfeltételek megad-ják a hullámfüggvények relatív erősségét, ugyanakkor itt azt kell megkövetelnünk, hogy a falakról visszaverődő hullámok konstruktív interferenciát alakítsanak ki. Ebből vég-eredményben kvantált energiájú, diszkrét spektrum alakul ki. Ha végtelen magas falú potenciálgödör van, és benne egy E energiájú részecske, akkor is hasonló eredményre jutunk.

Gyakorlófeladat

Legyen egym= 500 keV/c²tömegű részecskénk, amelynek energiája 400 eV. Érkezzen ez egy 800 eV nagyságú, 10 pm széles potenciálgáthoz. Mekkora a részecske átjutásának (az alagúteffektus megvalósulásának) valószínűsége?