A kvantummechanika matematikai képe

A kvantummechanika matematikai képe az, hogy egy részecske állapota egy Ψ(x) ál-lapotfüggvény. Ezen állapotfüggvények aMtéren a Lebesgue-mérték szerint négyze-tesen integrálható függvények Hilbert-teréből¹⁵ kerülnek ki, azaz

Ψ∈ H=L²(M→C). (6.1)

Ezen aHHilbert-téren a függvények pontonkénti szorzatának integrálja adja a skalár-szorzatot:

hΨ₁,Ψ₂i= Z

M

Ψ^∗₁Ψ₂. (6.2)

Vegyük észre, hogy ez a skalárszorzat az első (egyes konvenciók szerint a második) változójában konjugált lineáris, illetve a fordított szorzat is az eredetinek a komplex konjugáltja: ez tehát egy „hermitikus forma”. Erre a tulajdonságra azért van szükség, hogy a szorzat normát definiáljon:

|Ψ|²=hΨ,Ψi= Z

M

Ψ², (6.3)

mert ez a komplex konjugálás nélkül nem lenne pozitív definit. Innen továbbá az is látható, hogy miért kell az egyéb jó tulajdonságokkal is bíró függvényeken belül kizárólag a négyzetesen integrálható függvényekre szorítkoznunk. Megemlítendő, hogy valójában ha két állapot egymás számszorosa, azt fizikailag azonosnak tekintendő. Sőt, igazából ha ragaszkodunk aP(x) =|Ψ(x)|² mennyiség valószínűségsűrűségi értelmezéséhez, akkor kizárólag a|Ψ|²= 1 normájú állapotokat fogadhatjuk el – két állapot összegére viszont ez már nem teljesülne. Ezért igazából az egymás számszorosaiként felírható állapotok ekvivalenciaosztályait kell vennünk, amelyet az az állapot reprezentál, amelyre közülük teljesül a|Ψ|²= 1 normálás.

Fontos továbbá, hogy valójában ezt a teret a disztribúciókkal is ki kell egészítenünk:

ezek legyenek itt a H → C folytonos lineáris formák¹⁶, amelyek tehát függvényekhez számokat rendelnek. Ilyen disztribúcióra példa a tetszőleges Φ ∈ H függvény esetén használt

hΦ|:H →C, Ψ→ hΦ,Ψi (6.4) jelölés, amelynek segítségével a Φ állapothoz ahΦ|disztribúciót rendeltük. Ha Ψ is függ-vény, akkor valójában a fent említett integrált kapjuk vissza. Ez a Φ→ hΦ| hozzárende-lés tulajdonképpen „beágyazza” a négyzetesen integrálható függvényeket a disztribúciók közé. Jelölje mostantólHezen disztribúciók terét; de többnyire olyan disztribúciókkal

15 A Hilbert-tér olyan vektortér, amelyben van belső szorzás (kb. skalárszorzás), metrika, és még teljes is, azaz a Cauchy-sorozatoknak van határértéke a térben. Például a racionális számok tere nem teljes, mert egyes konvergens sorozatok irracionális számokhoz tartanak – és vice versa.

16A disztribúciók bizonyos speciális tulajdonságokkal is kell hogy bírjanak még, ezeket itt azonban nem részletezzük.

fogunk foglalkozni, amelyek egyúttal „függvények is”, azaz a fent definiálthΦ| módon írhatóak fel.

Természetesen olyan disztribúciók is léteznek, amelyekhez nem tartozik a fenti érte-lemben függvény. Erre fontos példa a Dirac-delta, amelyet (kellően sima függvényeken) így definiálhatunk:

δ:H →C, Ψ→δ(Ψ) = Ψ(0). (6.5) Ez tehát minden függvényhez hozzárendeli a nullában felvett értékét. Elvileg ezt is el-képzelhetnénk egyhδ,Ψiskalárszorzatként, és akkorδegy olyan függvény lenne, amely mindenhol nulla, kivéve egyetlen pontban, ahol viszont végtelen, és az integrálja nem nulla – csakhogy ilyen függvény nem létezik, úgyhogy ez nem megfelelő definíció, he-lyette a fenti disztribúciót kell használnunk. Ennek ellenére gyakran használjuk aδ(x) függvényjelölést, elsősorban integrálokban, ilyenkor mindig azt értjük alatta, hogy a többi,x-et tartalmazó függvényekbenx= 0 helyettesítéssel kapjuk az integrál eredmé-nyét. Továbbá még aδ_x0 jelölést is használjuk, amelyx₀-ra centrált Dirac-deltát jelöl, ennek hatása így írható leδ_x0(Ψ) = Ψ(x₀).

Adottak tehát az állapotok és ezek Hilbert-tere. A fizikai mennyiségek legyenek az ezen a téren hatólineáris operátorok, azaz

Aˆ∈Lin(H). (6.6)

A lineáris operátoroknak vannaksajátállapotaik, amelyekre

AΨˆ A=AΨA, (6.7)

ahol ΨA az operátorsajátállapota, míg azAszám (vegyük észre itt a hiányzó „kala-pot”) az operátor ezen sajátállapotához tartozósajátérték. Egy fizikai mennyiségnek az értéke egy adott részecskére (az energiája, impulzusa, helye stb.) akkor ad előre tudható választ, ha a részecske a megfelelő operátor sajátállapotában van, és ekkor a mérés eredménye az ennek a mennyiségnek megfelelő operátor sajátértéke az állapo-ton. Egyéb esetben a mérés után a kvantummechanika egyes interpretációi szerint a megfigyelt rendszer hullámfüggvénye „összeomlik”, és egy adott sajátállapotba kerül.

Ez annyiban igazolt tény, hogy másodszor ugyanazt a fizikai mennyiséget mérve nem fogunk mást kapni – hacsak közben egy másik fizikai mennyiségre vonatkozó mérést el nem végeztünk, mert az „elronthatja” az előző mérés eredményeként létrejött tiszta állapotot. (Erről bővebben a 7.1. szakaszban, a perdület operátorának tárgyalásánál olvashatunk.) Adott fizikai mennyiség mérésének várható eredménye, azaz a mennyiség (az adott állapotban vett) várható értéke az operátor várható értékével egyezik meg:

hAiˆ Ψ:=hΨ,AΨiˆ = Z

Ψ^∗AΨ.ˆ (6.8)

Hozzáfűzzük mindehhez, hogy nem minden operátornak vannak sajátértékei – ilyenkor is értelmezzük azonban az operátor spektrumát. Ez azon λ számok halmaza, amely esetében a ˆA−λ·id_H operátornak nincs (korlátos, ami itt a folytonossal egyenértékű) inverze; itt id_H az állapottéren vett identitásoperátor. Értelemszerűen a sajátértékek a spektrum elemei, de ez utóbbi elemei nem feltétlenül mindannyian sajátértékek.

Fontos megemlíteni az operátorok adjungáltját is. Az A folytonos operátor adjun-gáltja azA^† operátor, amely esetében tetszőleges Ψ1,2állapotokra teljesül a

hAΨˆ ₁,Ψ₂i=hΨ₁,Aˆ^†Ψ₂i (6.9)

összefüggés. Valójában az adjungált definíciója ennél összetettebb, de itt megelégszünk a fenti tulajdonság megadásával. Annyit hozzáteszünk azonban, hogy az adjungált lé-tezését és egyediségét a Riesz–Fréchet-tétel bizonyítja, illetve megemlítjük, hogy véges dimenziós mátrixok (azaz Rⁿ terek) esetén az adjungált megegyezik a transzponált mátrix komplex konjugáltjával.

Mivel valós fizikai mennyiségek valós várható értékkel kell hogy rendelkezzenek, ezért hΨ,AΨiˆ =hΨ,AΨiˆ ^∗=hAΨ,ˆ Ψi=hΨ,Aˆ^†Ψi, (6.10) ahol az első egyenlőség a várható érték valós voltából származik, a második a skalár-szorzat definíciójából, a harmadik pedig az ˆAoperátor ˆA^†adjungáltjának definíciójából.

Az egyenlet bal oldalával ezt összehasonlítva azt kapjuk, hogy az operátor önadjungált, azaz

Aˆ^† = ˆA. (6.11)

Mindezt úgy összegezhetjük, hogy valós fizikai mennyiségek operátorai önadjungáltak.

Az önadjungált operátorok sok hasznos tulajdonsággal rendelkeznek (főleg persze véges dimenziós Hilbert-terekben), különös tekintettel arra, hogy a Φisajátállapotaik ortogo-nális (megfelelő választás esetén ortonormált) rendszert alkotnak. Így az operátor ebben a bázisban aλi sajátértékeiből alkotott diagonális mátrixként írható fel:

Aˆ=X

i

λiΦihΦi|. (6.12)

Végtelen dimenziós terekben léteznek „folytonos spektrumú” operátorok is, amelyek ese-tében a fent említett spektrum folytonosan végtelen sok elemből áll. Ilyenkor a spektrum elemeihez nem tartoznak sajátállapotok, de egyes esetekben mégis felírhatunk egy, a fen-tihez hasonló összefüggést, amelyben összegzés helyett integrálás szerepel. A legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sajátértékkel rendelkező („diszkrét spektrumú”) operáto-roknál maradva az is igaz, hogy minden állapot kifejezhető tetszőleges fizikai mennyiség sajátállapotai szerinti felbontásban:

Ψ =X

i

aiΦi aholai=hΨ,Φii. (6.13) Ilyen értelemben azt mondjuk, hogy ha egy állapot nem sajátállapot, akkor „szuperpo-zíció”, azaz több (akár végtelen sok) sajátállapot összegeként írható fel.

Gyakorlófeladat

Tulajdonképpen a deriválás és az integrálás is operátorok, noha nem a teljes H = L²(M→C) téren értelmezettek, ugyanis egyes függvények deriváltja vagy integráltja lehet, hogy nem négyzetesen integrálható. Adjunk meg olyan négyzetesen integrál-ható függvényt, amelynek integráltja vagy deriváltja nem négyzetesen integrálintegrál-ható!

Határozzuk meg azt is, hogy mely függvények a deriválás- és az integrálásoperátorok sajátfüggvényei! Vegyük észre továbbá, hogy az ezekkel való „felbontás” a Fourier-transzformációnak felel meg.