A Compton-jelenség

Compton 1922-ben vizsgálta meg röntgensugarak szóródását paraffinon. Azt látta, hogy a szórt sugárzásban nagyobb hullámhosszú komponensek jelennek meg, és a szögeloszlás is eltér a várakozástól. A klasszikus elektrodinamika szerint a hullám hatására az atom (elektron)dipólsugárzástbocsát ki, melynek intenzitása sin²φszerint változik, aholφ a gyorsulás és a sugárzás vizsgált iránya által bezárt szög. A szórás hatáskeresztmetszete a (2.34) egyenletből¹²

dσ

dΩ =r²_esin²φ, aholre= e²

4π0mec² = ke²

mec² = α~c mec² = α~

mec, (4.15) továbbá a térszögre integrálva

σ= 8π

3 r²_e. (4.16)

12A (2.34) egyenletnélθjelent meg, amely ott a gyorsulás irányával bezárt szöget jelentette – éppen ezt jelöljük ebben a szakaszbanφ-vel, erre fontos figyelnünk.

Vizsgáljuk meg, mi adódik ebből akkor, ha a bejövő és a továbbhaladó hullám iránya közöttiθ szögének függvényében vizsgáljuk meg a szórást. Ehhez ki kell fejeznünk aθ szögetφsegítségével.

4.4.1. Elektromágneses hullámok klasszikus szórása

Legyen a bejövő hullám irányak, az elektromos tér (azaz a polarizáció) erre merőleges iránya e (lásd a 17. ábrát). Az ezek és k×e által kifeszített koordináta-rendszerben kifejezve a kimenő sugárzás iránya

n=kcosθ+esinθcosψ+e×ksinθsinψ, (4.17) ahol θa bejövő (k) és a kimenő (n) sugárzás közötti szög, ψ pedig a kimenő sugárzás bejövő sugárzásra merőleges síkban vett vetületének szöge a polarizációs vektorhoz ké-pest (azaznszöge azeése×kvektorok által kifeszített síkban). A hatáskeresztmetszet (4.15) kifejezésébenφ az elektromos tér (e) és a kimenő sugárzás (n) közötti szög: ez aze·nskalárszorzatából kapható meg, azaz

cosφ= cosψsinθ, és így sin²φ= 1−cos²ψsin²θ. (4.18) Mivel számunkra aψpolarizációs szög indifferens, ezért az összesψszögre átlagolnunk kell (azaz tetszőlegesen polarizált elektromágneses hullám átlagos szórására vagyunk kíváncsiak). Így a végeredményben

sin²φ

=

1−cos²ψsin²θ

= 1− cos²ψ

sin²θ

= 1−1

2sin²θ=1

2(1 + cos²θ) (4.19)

jelenik majd meg, mivel értelemszerűen cos²ψ

= 1/2. Végül a Thomson-szórás pola-rizációkra átlagolt differenciális hatáskeresztmetszete (az eltérülés szöge szerint):

dσ dΩ = r_e²

2(1 + cos²θ). (4.20)

Az eredmény tehát 90 fokraszimmetrikus, de a kísérletekben azonban nem ezt a elosz-lást mérték (lásd a 18. ábrát és az eredeti Physical Review21[1923] 483 publikációt).

Ԧ 𝑒 𝑘 Ԧ

𝑒 × 𝑘

𝑛 = 𝑘 cos 𝜃 + 𝑒 sin 𝜃 cos 𝜓 Ԧ + 𝑒 × 𝑘 sin 𝜃 sin 𝜓 Ԧ Ԧ

𝑒𝑛 = cos 𝜙 = sin 𝜃 cos 𝜓

𝜓 𝜙𝜃

𝑛

17. ábra.A Compton-szórás irányviszonyai, a polarizációt és a kimenő irányt összekötőφszög és a kimenő és bejövő irányt összekötőθszög kapcsolatát bemutatandó

Nagyfrekvenciás sugárzás esetén a nagyszögű visszaszórás jelentősen elnyomott, míg kis frekvencia esetén a Thomson-formulát megközelítő eredményt kapunk. Mindez önma-gában erős utalás arra, hogy a Compton-szórásban (azaz nagyfrekvenciás fény szabad elektronokkal való kölcsönhatásában) nem működik a klasszikus kép.

4.4.2. Compton-szórás a részecskeképben

Mi történik azonban a szórt fény frekvenciájával? Klasszikusan a bejövő és a kimenő hul-lámfrekvenciája azonos. Ha elég nagy az intenzitás, a töltés visszalökődhet; ekkor a Doppler-effektus módosítja a frekvenciát, de elég kis intenzitásnál ez a hatás minimális.

A megfigyelés szerint azonban alacsony intenzitásnál is megjelenik egyfajta frekvencia-vagy hullámhossz-módosulás, amit a klasszikus kép (a hatáskeresztmetszethez ha-sonlóan) nem tud megmagyarázni. A hullámhossz-módosulás magyarázata a 19. ábrán látható módon elképzelhető részecskeképben egyszerűen adódik.

A részecskeképben a Compton-szórást úgy értelmezhetjük, hogy beérkezik egy p=h

λ = hf

c (4.21)

impulzusú foton, és kimegy

p⁰ = h λ⁰ = hf⁰

c (4.22)

impulzussal, miközben átadott a kettő különbségének megfelelő impulzust az elekt-ronnak, és az energiájával is ugyanez történt. Az elektron teljes energiája az ütközés előtt a relativitáselmélet értelmébenmec², míg utána az általános E² =m²c⁴+p²c² formulának megfelelően

Ee=p

m²_ec⁴+p²_ec², (4.23) a fotonra pedig aE=hf ésE⁰=hf⁰ feltételt alkalmazzuk. Innen az energiamegmara-dás a következőképpen írható fel:

E−E⁰=E_e²−mec², azaz (4.24) hf−hf⁰=p

p²_ec²+m²_ec⁴−mec², (4.25) innen pedig kifejezhető az elektron ütközés utáni impulzusa:

p²_ec²= (hf+m_ec²−hf⁰)²−m²_ec⁴. (4.26) Ezek után írjuk fel impulzusmegmaradást vektoros formában. Eszerint

pe=p−p⁰, tehát (4.27)

p²_e=p²+p⁰²−2pp⁰cosθ. (4.28) Ezt visszahelyettesíthetjük az előző egyenletbe,p=hf /césp⁰=hf⁰/ckihasználásával:

h²f²+h²f⁰²−2h²f f⁰cosθ= (hf+mec²−hf⁰)²−m²_ec⁴. (4.29)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 π/4 π/2 3π/4 π

r0-2dσ/dΩ

θ [rad]

ξ=0.0 ξ=0.2 ξ=1.0 ξ=1.3 ξ=5.0

18. ábra.A Compton-szórás differenciális hatáskeresztmetszete (1/r²₀faktorral normálva, ittr0

a klasszikus elektronsugár) a bejövő foton energiájának függvényében. Az energia az elektron nyugalmi energiájával normálva szerepel itt, különféleξ=hf /mec² értékek esetére, aholf a bejövő hullám frekvenciája. Haξ→0, visszakapjuk a Thomson-szórás formulájának megfelelő alakot (ezt mutatja a piros, folytonos görbe).

𝑝 = ℎ



𝑝 = ℎ

 ′

𝑝

_𝑒

= 𝑝 − 𝑝′

e^– e^–

19. ábra.A Compton-szórás kinematikája

Innen pedig már megadható a módosult frekvencia, hullámhossz vagy energia:

hf⁰= hf

1 +_m^hf

ec²(1−cosθ)= hf

1 +ξ(1−cosθ), (4.30) E⁰

E = f⁰

f = 1

1 +ξ(1−cosθ), (4.31)

λ⁰=λ+λ·(1−cosθ), (4.32)

ahol bevezettük aξ=hf /m_ec² hányadost. Ezt a szögfüggést mutatja a 20. ábra is. A fentieket másképp is kifejezhetjük:

∆λ=λ⁰−λ= h

m_ec(1−cosθ) = 2λCsin²θ

2, (4.33)

ahol bevezettük a λ_C = _m^h

ec = 2,4 pm a Compton-hullámhosszat, amellyel r_e = αλC/2πa klasszikus elektronsugár.

Vegyük észre, hogy a levezetés során kihasználtuk, hogy a foton energiája és impul-zusa E = pc módon függ össze, amely nulla tömegű, fénysebességű részecskét jelent.

Említsük még meg, hogy az elektron pontrészecske abban az értelemben, hogy nagy-energiás szóráskísérletekben nulla méretűnek tekinthető. Ennek ellenére a Compton-hullámhossz az elektron egyfajta méretskálája: ha ennél kisebb tartományra próbálunk egy elektront kényszeríteni, akkor ez (a későbbi fejezetekben tárgyalt okokból) olyan nagy energiát igényel, hogy elektron-pozitron párok jelennek meg – ezért sem gondol-hatunk az elektronra fekete lyukként.¹³

Érdemes észrevenni, hogyθ= 0 esetén a hullámhossz és a frekvencia is változatlan, az így továbbhaladó foton nem adott át energiát vagy impulzust az elektronnak. Ha hf m_ec² akkor λ⁰ ≈λ, tehát alacsony energiájú fotonok esetén nincs hullámhossz-változás (persze az egész gondolat csak szabad elektronokra érvényes, tehát olyan ener-giákra, ahol az elektron már szabadnak tekinthető). Nagy energiás fotonra (azaz a hfm_ec²feltétel mellett)hf⁰ ≈m_ec²/(1−cosθ) adódik, azaz 90 fokos szórás esetén kb. 511 keV, míg visszaszórás (180 fok) esetén 255,5 keV a szórt energia.

Kis kiegészítésként érdemes megjegyezni, hogy numerikusan milyen kapcsolatban áll egymással a fotonok energiája és hullámhossza. Mivel E =hf = ~ω és λ= 2πc/ω = 2π~c/E, így 1 eV energia az ~c = 197 MeV·fm= 197 eV·nm, illetve hc= 1240 eV·nm összefüggés miattλ= 1240 nm hullámhosszat jelent.

4.4.3. A Klein–Nishina-formula

Vizsgáljuk meg ezután a hatáskeresztmetszetet! A bejövő fénythf energiájú fotonokra bontva a szórt részecskék száma arányos a fotonszámmal, azaz a Compton-szórás elemi folyamat: ez szintén a részecskeképet támasztja alá. A mért hatáskeresztmetszet, ahogy fent említettük, jelentősen különbözik a Thomson-formulától, ezt a

Klein–Nishina-13Az elektron Schwarzschild-sugara 10⁻⁵⁷m nagyságrendű, ennél még a Planck-skála is 20 nagyság-renddel nagyobb; de érdekes kiszámítani a forgó és/vagy töltött fekete lyukakra vonatkozó Reissner–

Nordström-, illetve Kerr–Newman-metrikákban is ugyanezt, az itt adódó sugarak lényegesen nagyob-bak, de még mindig kisebbek a Compton-hullámhossznál, bár utóbbi már csak egy nagyságrenddel. A részletek tekintetében lásd az Grav. Cosmol. 14 (2008) 109 [arXiv:hep-th/0507109] publikációt.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 π/4 π/2 3π/4 π

E/E0

θ [rad]

ξ=0.0 ξ=0.2 ξ=1.0 ξ=1.3 ξ=5.0

20. ábra.A Compton-szórt foton energiamódosulása (E/E0) a szórási szög (θ) függvényében, különféleξ=E/mec² energiahányadosok esetére

formulaadja meg. Ez így írható fel:

dσ dΩ =r²_e

2 (P+P³−P²sin²θ), aholP = hf⁰

hf = 1

1 +ξ(1−cosθ), (4.34) ahol továbbra isξ=hf /m_ec². Látható, hogyθ = 0 esetén (mivel ekkor P = 1) a ha-táskeresztmetszetr²_e értéket vesz fel, mígθ=πesetén ennél kisebbet, ami aπ/2 körül aszimmetriát mutatja. Egyedül ξ = 0 esetén kapunk szimmetriát, ekkor a Thomson-alakot kapjuk vissza. Ezen formula szögfüggését illusztrálja a 18. ábra. A teljes ha-táskeresztmetszetre igen bonyolult kifejezés adódik, amelynek két határesetét tudjuk egyszerűen megadni:

σ_Compton=

(σThomson 1−2ξ+²⁶₅ξ²

, haξ1,

3

8σ_Thomson¹_ξ ln 2x+¹₂

, haξ1, (4.35)

aholσThomson = 8πr²_e/3, ahogy fentebb részleteztük. Ezt a hatáskeresztmetszetet majd a kvantum-elektrodinamikai Feynman-gráfok módszerének segítségével lehet egyszerűen kiszámítani. A 21. ábrán a kvantumtérelméleti számolásokban használatos úgynevezett Feynman-diagramokat is megadjuk illusztrációként. A 21. ábrán nem szerepel, de sokkal bonyolultabb folyamatok is vezethetnek Compton-szóráshoz: az elektron például kibo-csáthat egy fotont, amely párkeltéssel elektron-pozitron-párt hozhat létre, és így tovább – minden ilyen folyamat járulékát össze kell adni a hatáskeresztmetszet kiszámolásához.

Gyakorlófeladat

Adott egy 1 mm-es céltárgyunk, melyben az elektronok számsűrűsége 10²⁸db/m³. Ezen 1 keV-es fotonok szóródnak Compton-effektussal (többek között). Mekkora a 90 fokban szórt fotonok hullámhossza? És az eredeti nyaláb hányadrésze megy 90 fok körül egy 0,1 sr térszögű detektorba?

𝛾 𝛾

𝑒⁻ 𝑒⁻

𝛾 𝛾

𝑒⁻ 𝑒⁻

21. ábra.A Compton-hatáskeresztmetszetre vonatkozó kvantumtérelméleti számoláshoz szük-séges Feynman-diagramok közül kettő. Az ábrákon balról jobbra az idő előrehaladása szerepel, így tehát azt adják meg, hogy melyik részecske mivel került kölcsönhatásba, és milyen sorrend-ben, azaz mi a kölcsönhatások „topológiája”.

In document Atomok, atommagok és (Pldal 68-74)