A hatáskeresztmetszet fogalma

Az atomi és még kisebb léptékű jelenségek megértéséhez alapvető fontosságú a szó-rási folyamatok vizsgálata, ez pedig a hatáskeresztmetszet fogalmát igényli. Hatás-keresztmetszetnek egy adott szórási vagy elnyelési folyamat valószínűségét meghatározó

„effektív felületet” nevezzük, ahogy ezt az alábbiakban körüljárjuk.

A tipikus kísérlettípusban van egy „szórócentrum”, ami egy egyelőre a térben rög-zített, jól meghatározott típusú mikroszkopikus objektum: egy elektron vagy egy atom, molekula (vagy pl. valamilyen másfajta részecske vagy esetleg egyatommag; mint nem-sokára látjuk, az atommag felfedezése éppen egy szóráskísérlet nyomán történt). Van továbbá egy beeső nyaláb, amelyben valamilyen meghatározott fajta részecskék érkez-nek a szórócentrumra. Legyen adott ezek j_be^N bejövő áramsűrűsége (időegységre és fe-lületegységre vetített áthaladó részecskeszáma). Ha elegendő ideig várunk, bizonyos gyakorisággal minden lehetséges folyamat végbemegy a beeső részecskék és a céltárgy-részecskék (szórócentrumok) között. Ki kell jelölni azt is, hogy milyen fajta eseményre

„vadászunk”, azaz mit tekintünk a kísérletünk/megfigyelésünk szempontjából „érde-kes” eseménytípusnak. Minden eseménytípushoz tartozik egy megfelelő módon elneve-zett hatáskeresztmetszet. Néhány konkrét lehetőség (a jegyzetben később bevezetendő részecskékre és eseményfajtákra is gondolva):

• A későbbiekben fontos példa lesz α-részecskék aranyatommagokon való szóródá-sa. Ebben az esetben tetszőleges olyan folyamat „érdekes”, amely megváltoztatja az α-részecske impulzusát (azaz energiáját, haladási irányát). Az erre vonatkozó hatáskeresztmetszetet nevezzükteljes szórási hatáskeresztmetszetnek.

• Uránatommag szórócentrum, neutronokból álló nyaláb. A neutronok elhasíthat-ják az uránmagot: lehet az „érdekes esemény” a neutronindukált maghasadás;

beszélhetünk az uránmagnak a neutronokra vonatkozó hasadási hatáskeresztmet-szetéről.

• Ugyanígy: uránmag szórócentrum, neutronnyaláb. Gondoljunk arra, hogy a neut-ronok (hasítás nélkül) el is nyelődhetnek az uránmagban: beszélhetünk az urán-magnak a neutronokra vonatkozó elnyelési (abszorpciós) hatáskeresztmetszetéről.

• További lehetőség uránmag szórócentrum, neutronnyaláb esetén: a neutronok szó-ródhatnak az uránmagon (a kölcsönhatás után megváltozott impulzussal tovább-repülhetnek). Ha egy kiterjedt detektor egy adott térszögbe kirepülő neutronokat érzékeli, akkor vehetjük „érdekes eseménynek” azt, ha a szórt neutron eltalálja

a detektort: ehhez az eseménytípushoz is tartozik az uránmagnak egy megfelelő hatáskeresztmetszete.

• Tekinthetjük „érdekes eseménynek” azt is, hogy az uránmaggal találkozván egyál-talán bármi történik a bejövő neutronnal (azaz nem halad tovább zavartalanul):

az ehhez az eseményfajtához tartozó hatáskeresztmetszet neve az uránatommag neutronokra vonatkozó teljes hatáskeresztmetszete.

• Szórási folyamat sokféle más részecske, illetve céltárgy között is lejátszódhat: lehet szó pl. elektronok szórásáról atomon (tehát egy atom a céltárgy, a nyaláb pedig elektronokból áll), de a későbbi fejezetben szó lesz pl.fotonok(mint a nyalábban belépő részecskék) elektronokon való szórásáról, illetve ennek hatáskeresztmetsze-téről is (ilyenkor tehát egy darab elektront tekintünk céltárgynak).

Ha adott egy nyaláb, egy céltárgy és egy érdekes eseményfajta, akkor jelölje utóbbiak időegységenkénti bekövetkezési számát ˙Nki (mint „kijövő” részecskeszám; de, mint a példákban láttuk, nemcsak a kijövő részecskék számáról, hanem valamilyen indukált folyamatról, pl. a maghasadások számáról is lehet szó). Természetesnek hat, és igaz is, hogy ez arányos a nyaláb intenzitásával: kétszer annyi beeső részecske egységnyi idő alatt kétszer annyi eseményt hoz létre. Az is természetesnek tűnik, hogy minél sűrűbb a nyaláb (azaz minél kisebb területre, minél inkább a céltárgyra „fókuszáljuk” a beeső részecskéket), annál (arányosan) több eseményt látunk: azt kapjuk így, hogy ˙N_kiarányos a bejövő nyalábj_be^N áramsűrűségével. Az arányossági tényezőtσ-val jelöljük:

N˙_ki=j_be^Nσ, ahol [ ˙N_ki] = db

s , [j_be^N] = db

m²s. (1.10) Kiírtuk a szereplő mennyiségek mértékegységeit is: a bevezetettσ-nak valóban terület (m²) dimenziójúnak kell lennie. Ezt aσ mennyiséget hívjuk tehát a vizsgált folyamat hatáskeresztmetszetének. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az időegységenkénti bekö-vetkezések ˙Nki száma megadható mint az időegységenként bejövő részecskék száma, N˙be, megszorozva a bekövetkezés („ütközés”) valószínűségével. Ha A a beeső nyaláb keresztmetszete, akkor a fluxus nyilvánj_be^N =_A¹N˙be, így a mondott valószínűség:

hütk. val.i= σ

A, hiszen így valóban N˙ki= ˙Nbe· hütk. val.i=

= ˙Nbe· σ A =

N˙be

A σ=j_be^Nσ. (1.11) Aσ mennyiség tehát tényleg azt jelenti, hogy a vizsgált folyamat szempontjából mek-korának látszik a szórócentrum (céltárgyrészecske): úgy képzelhetjük, hogy a nyalábban bejövő részecskék közül azokkal történik meg a vizsgált folyamat, amelyek eltalálják ezt aσnagyságú képzeletbeli céltáblát. Ha (mint általában) nem egy, hanem több (Ncéltárgy

módon jelölt darabszámú) céltárgyrészecske szerepel a kísérletben (mint pl. egy kiter-jedt anyagdarab minden atomja), akkor amennyiben az egyes céltárgyak által nyújtott valószínűségek összeadódnak, azt írhatjuk, hogy

N˙ki= ˙Nbe· hütk. val.i= ˙Nbe

Ncéltárgyσ

A =jbeNcéltárgyσ. (1.12) Bizonyos (rögtön tisztázandó) értelemben „vékony” anyagdarab („minta”; amiben a szórócentrumok vannak) esetén mondhatjuk, hogy semelyik kisσ területűnek képzelt

céltárgyrészecske sem „takarja ki” a másikat: ekkor igaz, hogy az egyes szórócentrumo-kon történő események egymástól független események, ezért a valószínűségek a felírt értelemben tényleg összeadódnak. Vizsgáljuk meg viszont, hogy hogyan csökken egy (azonos szórócentrumokból álló) „vastag” mintába belépő nyaláb intenzitása a megtett xtávolság függvényében! Legyen az eredeti intenzitás azx= 0 helyen I(x= 0)≡I0; az I(x) függést keressük tehát. Legyen σt a szórócentrumoknak a nyalábrészecskék-re vonatkoztatott teljes hatáskenyalábrészecskék-resztmetszete – úgy képzeljük, hogy azok a részecskék, amelyek bármilyen kölcsönhatásba is léptek egy szórócentrummal, a nyaláb szempont-jából elvesztek, „kiszóródtak”. Adottxhelyen egy vékonydx vékony rétegre beeső ˙N_be részecskeszám éppen az ottaniI(x) nyalábintenzitás; ennek megváltozása tehát

I(x+dx) =I(x)− hütk. val.i ·N˙be·Ncéltárgy=−σt

AI(x)Ncéltárgy ⇒

⇒ I(x+dx)−I(x)

dx =−I(x)σt· N_céltárgy

A dx =−nσtI(x). (1.13) ahol a mínuszjel azt fejezi ki, hogy a nyalábból a részecskék elvesznek, és bevezettük a mintára jellemző n= N_céltárgy/(Adx) mennyiséget, mely a szórócentrumok anyagbeli sűrűsége (hiszen most A dxéppen a mintánk azon térfogata, ahol a mondott N_céltárgy darab szórócentrum található). Innen tehát (adx→0 esetből) arra jutunk, hogy

dI

dx =−nσtI(x) ⇒ I(x) =I0e^−x/λ, ahol tehát λ≡ 1

nσ_t. (1.14) Az itt bevezetett (hosszúság dimenziójú) λ mennyiség neve szabad úthossz: a be-eső nyaláb intenzitása ennyi úthossz bejárása után csökkene-edrészére az anyagban. A fentebb mondottak úgy pontosíthatók, hogy a minta „vékonynak” tekinthető, haλ-hoz képest vékony: ekkor xλ mindenhol a mintánkban, így a „kiszóródott” intenzitás, I0−I(x) = I0 1−e^−x/λ

közelítőleg (mivel e^−x ≈ 1−x, ha x1) úgy írható, mint I0−I(x)≈I0x/λ=nσtx=nxA· ^I_A⁰σt =Ncéltárgyσtj^N_be, vagyis arányos a céltárgyré-szecskék számával (és ez az arányosság nemcsak a teljes hatáskeresztmetszethez tartozó

„valamilyen folyamat”-eseményt, hanem valamilyen specifikusabb eseményt, illetve ha-táskeresztmetszetet tekintve is igaz lesz). Vastagabb minta esetén már észrevehetően csökken a nyaláb intenzitása a mintába befelé haladva – már nem közelíthetjük az ex-ponenciálist lineárissal; mondhatjuk, hogy az elöl lévő szórócentrumok jelenléte már befolyásolja azt, hogy a hátrébb lévők mennyit „kapnak” a nyalábból.

Amikor a vizsgált esemény valamilyen térszögbe való szóródás, akkor minden adott detektorelrendezéshez tartozik egy (az adott detektorba való szóródáshoz tartozó) ha-táskeresztmetszet. Ez nyilván függ a detektor által lefedett térszögtől: kisebb detektor esetén kisebb az abba való szóródás valószínűsége. Igen kicsi ∆Ω térszöget lefedő detek-tor esetén ez arányos ∆Ω-val: az arányossági tényező egy, a ∆Ω térszögelem irányától függő függvény, melynek neve:differenciális hatáskeresztmetszet, jelölése: _dΩ^dσ(θ, φ), ahol aθésφváltozók a vizsgált kicsi térszögtartomány irányát (θa beeső nyaláb irányá-hoz képesti szórási (polár-)szöget,φpedig a beeső irány tengelye körüli azimutszöget) jelölik ki. Egy adott (θ, φ) irányban elhelyezkedő ∆Ω tartományba érkező (szóródó) részecskék száma tehát

N˙ki,∆Ω =j^N_beNcéltárgy

dσ

dΩ(θ, φ)·∆Ω. (1.15)

Gömbi koordinátákban aθ ésθ+dθ, illetve φésφ+dφ értékek közötti infinitezimá-lis térszögtartomány kifejezése dΩ = dφsinθdθ, illetve φ-ben vett forgási szimmetria esetén (amely, mivel a szórócentrumok sokszor véletlenszerűen orientáltak és ráadá-sul gömbszimmetrikusak, sok esetben fennáll) integrálhatunk erre a változóra, és így

∆Ω = 2πsinθdθ adódik. Ekkordσ/dΩ csak aθpolárszögtől függ.¹

Az eddigiekben olyan nyalábot tekintettünk, mely jól megfogható különálló berepülő részecskékből áll. A hatáskeresztmetszet fogalma akkor is használható, ha pl. valami-lyen beeső sugárzásról van szó, melynek intenzitása a szállított energiával kapcsolatos:

ilyen esettel találkozunk a következő fejezetben a fényszórás tárgyalásakor. Ilyenkor a bejövő fluxus,j_be^E a felület- és időegységenként beeső energiát jelenti, a vizsgált folyama-tot pedig pl. valamilyen irányba (térszögtartományba) szóródó energiamennyiség, ˙E_ki jellemzi; ezek kapcsolatát is hatáskeresztmetszettel adhatjuk meg:

E˙ki=j_be^Eσ, [ ˙Eki] = J

s, [j_be^E] = J m²s.

Amikor pedig majd a mikrorészecskék mozgását a kvantummechanika segítségével ír-juk le, akkor nem az egyes konkrét belépő részecskék számát fogír-juk tekinteni, hanem csakis a nyalábrészecskék adott felületen (egységnyi idő alatt való) áthaladási valószí-nűségét, azaz aj_be^P valószínűségfluxust. A kijövő részecskék száma helyett is valamilyen folyamatnak megfelelő (időegységre eső) valószínűség, ˙Pki lesz érdekes, mely szintén a hatáskeresztmetszettel kapható meg:

P˙_ki=j_be^Pσ, [ ˙P_ki] = vsz.

s , [j_be^E] = vsz.

m²s.

A folytonos mezők szórásának elméleteiben (például a kvantummechanikában) a bejövő nyaláb egyk hullámszámvektorral rendelkező síkhullámmal írható le, és kiderül majd, hogy ennek szórása esetén az eredményül adódó hullámot az eredeti síkhullám és a hozzá képestf(θ)szórási amplitúdójú kifutó gömbhullám összegeként írhatjuk fel:

e^ikr+f(θ)e^ikr

r . (1.16)

(Itt forgási szimmetriát tettünk fel a φazimutszög szerint, ezért írtunk csakf(θ) po-lárszögfüggést.) A differenciális hatáskeresztmetszet pedig így adódik majd:

dσ

dΩ(θ) =|f(θ)|². (1.17)

(Szokásos helyzet, hogy a fizikailag mérhető releváns mennyiség az amplitúdó négyze-te: ez a kvantummechanikában és a fényszórást leíró elektromosságtanban is így van.) A szórási amplitúdó viszont, mint kiderül, az úgynevezett Born-közelítésben (ahol a szórt hullám amplitúdója lényegesen kisebb a bejövő hulláménál) a szóró potenciál r ↔ K = k_be−k_ki változókkal elvégzett Fourier-transzformálásával kapható majd

1 Megemlítjük, hogy a differenciális hatáskeresztmetszetnek még általánosabb fogalma is bevezet-hető. Pl. ha a szórásban változhat a szóródó részecskeEenergiája is, akkor a kirepülési irányt megadó θ ésφmellett a kijövő részecskeE energiája is egy folytonos változó, melynek adottE és E+dE értékek közé való esésének megfelelő (infinitezimális) hatáskeresztmetszet (a térszögfüggést is belevéve)

dσ

dΩdE ·dΩdE módon írható le. Ezen _dΩdE^dσ függvény (amiE,θésφfüggvénye) ebben az esetben az energia és irány szerinti differenciális hatáskeresztmetszet.

meg – szórási kísérletekben tehát tulajdonképpen a potenciál alakját mérhetjük meg (annak Fourier-transzformáltján keresztül). A teljes hatáskeresztmetszet pedig a szórá-si amplitúdó nullában vett értékéből (illetve ennek imaginárius részéből) adódik, ahogy ezzel későbbi tanulmányokban „optikai tétel” címszó alatt találkozhatunk:

σ= 4π

k Imf(0). (1.18)

Gyakorlófeladat

Egy részecskenyaláb szórását figyeljük meg. A részecskék 1%-a szóródik az 5 cm vas-tag, 10²³db/cm³ számsűrűségű céltárgyon. Mekkora volt a hatáskeresztmetszet? Hogy viszonyul ez egy tipikus atommag méretéhez (lásd alább)?