A mérési eredmények szóródásának valószínűsége, a sűrűség-függvény

A számított η hatásfok várható értéke, relatív hibái, korrigált empirikus szórása:

9723

2.2.5. A mérési eredmények szóródásának valószínűsége, a sűrűség-függvény

Az előző fejezetben megismert d terjedelem, a ^~_N abszolút közepes eltérés, a ζN empirikus szórás és az SN*

korrigált empirikus szórás, valamint az rN relatív szórás mind egy-egy jellem-ző adatot adott meg a mérési eredmények szóródásáról, de ezek mind egy-egy átlagos értéket jelentettek.

Ha az x_i, i = 1, ... , N mérési adathalmaz minden elemére érvényes szóródási összefüggést akarunk felállítani, akkor ezt az x_i, i = 1, ... , N mérési eredmények valószínűségének számí-tásba vételével tehetjük meg. Az összefüggéseket [12] forrásmű 2.5.5 fejezete nyomán

vezet-jük le. Az összefüggések könnyebb megértése és az eredmények jobb áttekinthetősége érdeké-ben az alábbi számpélda adatait dolgozzuk fel, amelyérdeké-ben az alábbi N = 20 darab mérési ered-mény található :

Ábrázoljuk a számegyenesen az x_N várható (közép) értéket és a d terjedelmet (2.6. ábra).

2 0 ,0

2.6. ábra. Mérési eredmények terjedelme és középértéke.

Vegyünk fel alkalmasan megválasztott számú és méretű résztartományt és gyűjtsük össze az egyes résztartományokba eső mérési eredményeket. A résztartományok Nt számát célszerű viszonylag kicsinek és páratlan számúnak választani, legyen Nt = 5. (Később kitérünk arra, hogy nagyobb, vagy kisebb N_t szám felvételének mi lehet a következménye). Ekkor a résztar-tományok hossza (célszerű egyenlőnek választani) :

260

Továbbá ugyancsak az ábrázolás jobb áttekinthetősége érdekében csatoljunk még egy-egy résztartományt a terjedelem elé és mögé, amelyekbe mérési eredmény nem fog beleesni, így Nt = 7 lesz. Ábrázoljuk most a kibővített számú és hosszúságú intervallumokat a számegyene-sen úgy, hogy xmin és xmax az eredeti öt résztartományba essék (2.7. ábra)

2.7. ábra. Kibővített intervallumok.

Most gyűjtsük össze az egyes részintervallumokba eső mérési adatokat. Minden részinter-vallumot tekintsünk balról zárt és jobbról nyitott tartománynak. Így pl. az x8 = 19,6 a 19,3–

19,6 tartományba esik (2.8. ábra), mert megegyezik a felső határral (19,6), és a tartomány jobbról nyitott (lásd a résztartomány határainak jelképét a 2. résztartomány alatt.).

1 9 ,9

2.8. ábra. Az intervallumokba eső mérési adatok.

Látjuk, hogy a 7 egymást követő résztartományba eső mérési eredmények darabszámai rendre: 0, 3, 4, 10, 2, 1, 0, ezek összege N = 20. A 2.9. ábrán lépcsős diagram alakjában ábrá-zoltuk ezeket a darabszámokat, ezt a diagramot gyakorisági görbének nevezik. Más szokásos elnevezése még : gyakoriság hisztogram.

1 9 ,9

2.9. ábra. Gyakoriság hisztogram.

Ez a diagram az egyes nj darabszámokat ábrázolja, amelyekre írható:

 

Ez a diagram már jóval többet árul el az egyes mérési eredmények szóródásának mértéké-ről, mint a várható érték, a különféle szórások, stb. Itt vissza kell térnünk a résztartományok számának és hosszának felvételére. Általában célszerű ezeket úgy felvenni, hogy a d ter-jedelmen belül ne legyen olyan résztartomány, amelybe nem esett mérési eredmény, vagyis nj

= 0 lenne, továbbá az nj rész-darabszámok egy irányban haladva először monoton emelkedje-nek, majd csökkenjenek. Ezt sokszor csak próbálgatással lehet elérni, célszerű ilyen esetben a lehető legnagyobb Nt számú (és páratlan számú) részintervallumot alkalmazni.

A 2.9. ábrán látható hisztogram tovább is fejleszthető azáltal, hogy az egyes részintervallu-mokhoz tartozó nj darabszámok helyett relatív darabszámot (relatív gyakoriságot) tüntetünk fel:

20

Vegyük észre, hogy egy részintervallum szempontjából nj a kedvező esetek számát jelenti, míg az N teljes darabszám az összes esetet, tehát a tört pj valószínűséget jelent (természete-sen csak a részintervallumon belüli átlagos valószínűséget):

r_j  pj , j = 1, …, N_t .

Az rj(x) relatív gyakorisági görbét a 2.10. ábrán láthatjuk. Látható, hogy a relatív gyakori-sági görbe és a gyakorigyakori-sági görbe ugyanaz a lépcsős diagram, csak az ordináta-tengely léptéke más.

2.10. ábra. Relatív gyakoriság diagram.

Ennek a diagramnak csak az a hátránya, hogy az ordinátái a részintervallumok hosszától függenek (szűkebb résztartományokba kevesebb mérési eredmény fog kerülni). Ezen úgy lehet segíteni, hogy a diagram függvényértékeit a résztartományok Δx hosszától függetlenné tesz-szük, elosztva az rj relatív gyakoriságot Δx –szel, így az új ordináták a következők lesznek:

x Ezt az új függvényt empirikus sűrűség-függvénynek nevezzük, általánosítva:

x

Ezt a lépcsős diagramot a 2.11. ábrán láthatjuk.

1 9 ,9

2.11. ábra. Empirikus sűrűség-függvény

Az rj(x) relatív gyakoriság-függvény (2.10. ábra) és az ~ ( ) x

f _j empirikus sűrűségfüggvény (2.11. ábra) között tehát az a fontos különbség van, hogy amíg a relatív gyakoriságfüggvény ordinátája egy közelítő (átlagos) valószínűséget ad meg a mérési eredmények egy csoportjára, addig az empirikus sűrűségfüggvény alatti terület adja meg a valószínűséget, pl. a 19,6 és 19,9 közötti résztartományban p3 ≈ r3 = 0,20 = 20 % a közelítő valószínűség arra, hogy a mé-rési eredmények beleesnek ebbe a résztartományba. Az empirikus sűrűségfüggvény értéke eb-ben a résztartományban ^~f₃ ^{ 0,66} , ~ . 0,66.0,3 0,20 20%

3

3 x p    

f pedig a görbe alatti

terület, de az empirikus sűrűségfüggvény ezt úgy adja meg, hogy a [19,6; 19,9] tartományra p₃

= 0,20 = 20 %. Általánosabban fogalmazva: ^p3



₁₉¹⁹_,^,₆^{9~f3(x).dx  0,66.0,30  0,20  20% .}

Ha a görbe alatti terület alsó és felső határát (az integrálás alsó és felső határát) kiterjeszt-jük a teljes ábrázolt [19,0; 21,1] tartományra akkor a görbe alatti terület (a valószínűség) :

 

tarto-mányba való beleesésének valószínűsége p = 1,0 = 100 %.

Ha most a mérési eredmények N számát és a résztartományok Nt számát minden határon túl növeljük, emellett a résztartományok Δx hosszát minden határon túl csökkentjük (N → ∞, N_t → ∞, ∆x → 0) , akkor a lépcsős ~( )

x

f függvény a folytonos f(x) függvényhez tart, amelyet a folytonos sűrűségfüggvénynek nevezünk. A folytonos sűrűségfüggvény képletét abból a feltételezésből kaphatjuk meg, hogy a műszaki gyakorlatban a mérési eredmények eloszlása általában megfelel az ún. normális, vagy Gauss-eloszlás feltételeinek, ekkor a sűrűségfügg-vény képlete ([13].-18.8.3 fejezet) :

2

folytonos sűrűségfüggvény

2.12. ábra. A mérési eredményekre illeszkedő Gauss-eloszlás.

A korrigált empirikus szórás értéke pedig:



és a szórás teljesen meghatározza, egy konkrét, N darabszámú mérési eredmény x_N várható értékével és a ζN empirikus, vagy az S^*_N korrigált empirikus szórás értékével meghatározható a folytonos sűrűség-függvény minden adata.

Egy mérési adathalmazhoz tartozó sűrűségfüggvény birtokában tetszésszerinti [xa, xf] inter-vallumra meghatározható annak a valószínűsége, amellyel a mérési eredmények beleesnek az [x_a, x_f] tartományba:

továbbá nyilvánvaló, hogy a [-∞, +∞] tartományba való beleesés valószínűsége :



_^_^{ }

mivel ebbe a tartományba minden mérési eredmény biztosan beleesik.

Itt meg kell jegyezni, hogy a Gauss-eloszlás sűrűségfüggvénye zárt alakban nem integrálha-tó, mert az e^x2szerkezetű függvényeknek nincs primitív függvénye. Az ilyen függvényt csak numerikusan lehet integrálni, a kézikönyvek – pl. [13] – táblázatosan közlik ennek az in-tegrálnak az eredményét, az ún. hibafüggvényt ([13].-18.8.3 fejezet). Mivel a legtöbb gyakor-lati esetben a mérési eredmények többé-kevésbé szimmetrikusan helyezkednek el a várható ér-ték körül, a valószínűséget is a várható érér-tékre szimmetrikusan elhelyezkedő tartományra ad-hatjuk meg. Tájékoztatásul meg lehet jegyezni, hogy ha a valószínűség p = 0,95 = 95 %, a hozzá tartozó tartományra az alsó és felső határok jó közelítéssel rendre xalsó ≈ x_N - 2. S^*N ,

valamint xfelső ≈ x_N + 2. S^*_N lesznek; továbbá ha a valószínűség p = 0,997 = 997 %, akkor a tartományhatárok xalsó ≈ x_N - 3. S^*_N , és xfelső ≈ x_N + 3. S^*_N lesznek (2.13. ábra):

6 . 4 .

f(x )

(9 7 % ) (9 5 % )

x

2.13. ábra. Adott valószínűségű tartományok Gauss-eloszlás esetén.

A mérési eredményekből meghatározható valószínűségi jellemzők jól felhasználhatók a korszerű műszaki méretezésben és bizonyos méretezési problémák rugalmasan oldhatók meg.

Az alábbiakban vázlatosan bemutatunk egy egyszerű méretezési példát.

2.2. Számpélda. Méretezés a mérési eredmények valószínűségének felhasználásával Egy közúti motoros jármű súrlódó tengelykapcsolójának főméreteit kell meghatározni. A jármű hajtásának vázlatát a 2.14. ábrán láthatjuk. A hajtás főadatai: kerék átmérője Dkerék = 500 mm, a jármű tömege m = 850 kg (a forgó tömegek redukciójával együtt), a jármű előírt minimális gyorsulása a_min = 0.3 m/s². A hajtómű módosítása i_hajt = 19 17/2725 = 0,47852, a differenciálmű kúpkerékpárjának módosítása idiff = 17/47 = 0,3617. A súrlódó tengelykapcso-lóban a súrlódó betéteket összeszorító erő Fkap = 450 N. Meg kell határozni a súrlódó betétek közepes Dkap átmérőjét. A súrlódó tengelykapcsolóban a betétek között ébredő μ súrlódási együttható értékét méréssel határozták meg, mely szerint a mért súrlódási együttható középér-téke _k = 0,35, a mérési sorozat korrigált empirikus szórása pedig s^_ = 0.030435.

= H ajtóm ű : i_{h ajt} M o to r

D

1 9 .1 7 2 7 .2 5

2 7 1 7

d iff

i = 1 7 4 7

1 7 4 7

S urlódó kapcsoló :

1 9 2 5

Dkap

Fk ap

kerék

2.14. ábra. Motoros jármű hajtásrendszerének vázlata.

és a sűrűség-függvény (2.15. ábra): ²

2.15. ábra. A súrlódási tényező mérés Gauss-görbéje.

A súrlódó kapcsoló közepes D_kap átmérőjének meghatározásához mindenekelőtt tisztáz-nunk kell, hogy mekkora μ súrlódási tényezővel kell számoltisztáz-nunk. Az előző fejezetben elő-adottak szerint a mérési eredményeket, illetve a x_N várható értéket, az S^*N korrigált empiri-kus szórást és az f(μ) sűrűségfüggvényt úgy használhatjuk fel, hogy akár felveszünk egy pμ va-lószínűségi értéket és meghatározzuk ehhez azt a [μ_min, μ_max] súrlódási együttható-tartományt, amelybe bármelyik μi érték pμ%

valószínűséggel fog beleesni, vagy fordítva, a felvett [μ_min, μmax] intervallumhoz megkaphatjuk a hozzátartozó pμ%

valószínűségi értéket.

A méretezési feladat végrehajtásában ez azt jelenti, hogy egyrészt a méretezés eredménye alapján gyártott berendezések (pl. a szóban forgó közúti járművek) közül az össz-darabszámnak csak a vállalt pμ valószínűségnek megfelelő része teljesíti az előírt feltételeket, pl. jelen esetben az előírt amin minimális gyorsulást, az (1- pμ) része nem; másrészt ezt a pμ va-lószínűséget szabadon választhatjuk meg (természetesen bizonyos ésszerű korlátok között), pl. a megrendelő és a gyártó közötti megegyezés alapján. Ebből az következik, hogy ha kisebb pμ valószínűséget választunk meg, akkor a beleesés alsó és felső határa (pl. itt μ_min és μ_max) vi-szonylag közelebb lesznek egymáshoz, de az összes darabszámból vivi-szonylag kevesebb fog beleesni ebbe a valószínűségi intervallumba. Fordítva, ha tágítjuk a valószínűségi intervallu-mot (jelen esetben a μmin - μmax tartományt), akkor nagyobb mértékben fognak ugyan szóródni az elkészített berendezések jellemző adatai, viszont a pμ valószínűség közelebb lesz a 100 %-hoz és több érték fog beleesni a valószínűségi intervallumba. Ez tehát egyfajta rugalmasságot nyújt a megrendelőnek és a gyártónak egyaránt, hogy ugyanannak a szóródó értékcsoport-nak felhasználásában milyen valószínűségi és érték-szóródási kompromisszumot határoznak meg.

Tegyük fel, hogy esetünkben p = 95 %-ban állapodott meg a gyártó és a megrendelő. Ez azt jelenti, hogy a súrlódó betétek súrlódási együtthatói a következő tartományba esnek bele 95 %-os valószínűséggel:

28913

A surlódó kapcsoló által leadott minimális és maximális nyomatéka a μ_min és μ_max határérté-kekkel :

In document Vasúti jármű méréstechnika (Pldal 57-65)