2. Metrológia, méréselmélet
2.3. Az időben változó mennyiségek értékelése
2.3.1. A determinisztikus/sztochasztikus jelleg számszerű mértéke
Általános esetben egy mérési jelről nem mindig lehet egyszerűen megállapítani, hogy de-terminisztikus-e, vagy sztochasztikus. A tipikus gyakorlati esetekben a mérési jel átmenetet képez a tisztán determinisztikus és a tisztán sztochasztikus között (2.19. ábra):
U (t)
t
2.19. ábra. Mérési jel.
U (t)
2
t1 t2
U (t )1 U (t )
U (t )
t
2.20. ábra. A mérési jel eltolt értékei.
A sztochaszticitás mértékének (illetve a determinisztikus jelleg fokának) eldöntésére a va-lószínűség-elméletből azt a gondolatmenetet használhatjuk fel a [4]-4-11. fejezetében leírtak nyomán, hogy ha van egy a és egy b esemény (ai, i=1,...,N és bi, i=1,...,N), akkor a és b akkor függetlenek egymástól, ha
N i
i
i a b b
a N b a
1
0 .
1 .
. ,
tehát ha az egyes ai és bi eseményeknek és az a, valamint b várható értékük különbsége szor-zatának várható értéke zérus, a két esemény egymástól ideálisan független. Itt a és b az a és b események várható értéke:
Ezt a gondolatmenetet a következőképpen használhatjuk fel a sztochaszticitás fokának megítélésére. Ha a mérési jelünk Tjel időtartamú folytonos U(t) függvény, akkor az egyik ese-mény a jel bármelyik U(t1) értéke lesz, ahol 0 t1 Tjel, a másik esemény pedig a jel érté-két kell meghatározni, és ez dönti majd el a sztochaszticitás mértéérté-két, másszóval, hogy milyen mértékben következik U(t2) értéke U(t1)-ből: Ha ez zérus, akkor az U(t) jel ideálisan sztochasztikus.
A gyakorlatban azt az egyszerűsítést vezették be, hogy az U(t) jelet nullközepűvé alakítják át, tehát olyanná, amelynek a számtani középértéke (várható értéke) zérus: U(t) 0, tehát most csak az U(t1).U(t2) szorzat várható értékét kell meghatározni:
autokorre-latogrammjának nevezik, ezt általában ΦUU(η)-val jelölik, ahol a kettős UU index arra utal, hogy az U(t) jelnek sajátmagától való függését vizsgáljuk, továbbá a η argumentum (a követ-kezőkben részletezett módon) t1-nek és t2-nek a különbsége:Itt meg kell jegyezni, hogy a matematikai levezetésekben az autokorreláció-függvényt -∞
és +∞ között integrálják, így a függvény alakja az alábbi lenne:
Viszont a gyakorlatban elvégzett mérések során a felvett jelek egytől-egyig véges, Tjel hosz-szúságú jelek, amelyeknek a megelőző időszakaszuk (a negatív t-tartománybeli U(t) értékek) nem ismertek. Ezért a továbbiakban elhagyjuk a limT→∞ határátmenetet, és csak a 0 és Tjel kö-zött integrálunk. Amint már említettük, a t1 és t2 változók helyett egy általános t-t és a kettő
közötti különbséget alkalmazzák független változónak: t1 = t és t2 = t1 + . Így az autokorrelációs függvény a következő lett:
ahol a UU() autokorrelatogram független változója, az U index pedig az U(t) függvényre utal, a kettőzés pedig az autokorrelációt jelenti.
Az elmondottak alapján az autokorrelációs függvény alakjára, menetére a következő meg-állapításokat tehetjük:
a) az autokorrelációs függvény páros függvény :
)
ez pedig ugyanolyan szerkezetű képlet, mint amilyen a vesszőtlen t-hez tartozott, tehát a –τ – hoz és a +τ -hoz tartozó autokorrelációs függvény ugyanaz.
b) az autokorrelációs függvény értéke τ = 0 –nál:
tehát η = 0 –nál az autokorrelációs függvény értéke mindig a négyzetes középérték.
A következőkben hasonlítsuk össze az ideálisan sztochasztikus és az ideálisan determinisz-tikus függvények autokorrelatogramját. Az ideálisan sztochaszdeterminisz-tikus jel autokorrelatogramjá-nak - a bevezetőben ismertetett valószínűségelméleti tétel alapján - végig zérusautokorrelatogramjá-nak kell len-nie, kivéve a η = 0 helyet:
Az ideálisan sztochasztikus jel autokorrelációs függvénye a 2.21. ábrán látható.
U U( )
0
U (t)2
2.21. ábra. Ideálisan sztochasztikus jel autokorrelációs függvénye.
Ilyen lehetne az ún. ideális fehér zaj autokorrelatogramja, ha ilyen függvényt (mérési jelet) elő lehetne állítani. Az ilyen jel – elvileg – végtelen sok, különböző körfrekvenciájú összete-vőből áll, az összetevők körfrekvenciáinak egyenletesen kell eloszolnia 0 és ∞ között. Ha ilyen jelet nem is, de véges körfrekvencia-intervallumú, ún. sávkorlátozott fehér zajt már elő lehet (villamos mennyiségekkel) állítani, ezeknek a közelítő autokorrelatogramját a 2.22. ábra mutatja be, együtt az ideális fehér zaj autokorrelatogramjával. Az ábrán az a/ görbe az ideális fehér zajhoz, a b/ görbe a nagyobb körfrekvencia-intervallumú sávkorlátozott fehérzajhoz, a c/
görbe pedig a kisebb körfrekvencia-tartományú fehér zajhoz tartozik ([4].-70.o.)
( ) a/
U U
b / c/
0
U (t)2
2.22. ábra. Sávkorlátozott fehér zajt közelítő autokorrelációs függvénye.
Tehát a sztochasztikus mérési jel autokorrelatogramjának értékei között a η = 0 helyhez tar-tozó ΦUU(0) érték a legnagyobb, és a növekvő │η│értékekhez monoton csökkenő ordináták tartoznak.
Az ideálisan determinisztikus mérési jelek között a vasúti járműmérési gyakorlatban a leg-gyakrabban a periodikus és a tranziens jelek fordulnak elő, általában több harmónikus össze-tevővel. Mivel a periodikus jelek közül az egyszerű harmonikus jelek (szinusz, vagy koszi-nusz függvény), továbbá a tranziens jelek közül a súlyfüggvény (igen nagy értékű, igen rövid ideig tartó erőhatásra adott mozgásválasz) autokorrelatogramja analítikusan is meghatározha-tó, célszerű a determinisztikus jelek autokorrelációs függvényének tulajdonságait ezeken vizs-gálni. A következő számpéldában határozzuk meg egy szinusz függvény autokorrelatogramját.
2.3. számpélda. Határozzuk meg az U(t) = U0.sinω.t függvény autokorrelatogramját.
Legyen a kiindulási függvény számértékei a következők: U0 = 5 V, ω = 10 r/s ; ezekkel:
t t
U( )5.sin 10.
A kiindulási U(t) függvényt a 2.30 ábrán láthatjuk: P l[sin ] = 2 5 x sin + 5 5
P l[t] = 8 0 x t + 3 0 P l[sin ] = 2 5 x sin + 5 5 U (t) = 5 ,0 * sin (1 0 * t)
0 0 ,5 0
0 ,2 5
- 5 ,0 + 5 ,0
1 ,2 5
0 ,7 5 s
ttttt
1 ,0 0 t
2.23. ábra. Szinuszos jel.
Mivel a szinusz függvény -∞ és +∞ között értelmezve van, ezért az autokorreláció-függvény meghatározásánál alkalmazni kell a –T és +T határokat, valamint a limT→∞ határát-menetet. Így az U(t) függvény autokorrelatogramja:
Az eredményül kapott autokorrelatogram (2.24. ábra): .cos10. 2
2.24. ábra. A szinusz függvény autokorrelatogramja.
Látható, hogy a szinusz függvény autokorrelációs függvénye olyan koszinusz függvény, amelynek az amplitúdója állandó, és a szögsebessége (és így a frekvenciája is) megegyezik a kiindulási szinusz függvény szögsebességével. A η = 0 helyen a függvényérték (a koszinusz
függvény amplitúdója) megegyezik a szinusz függvény négyzetes középértékével. Ha a
Levezethető, hogy a koszinusz függvény autokorrelatogramja is olyan koszinusz függvény, amelynek az amplitudója kiindulási függvény négyzetes közepe (ami megegyezik a szinusz függvény négyzetes közepével), frekvenciája pedig megegyezik a kiindulási koszinusz függ-vényével. Ezért általánosságban is igaz, hogy a determinisztikus-periodikus jel autokorrelatogramja is állandó amplitúdójú periodikus függvény.
A determinisztikus jelek második csoportjába tartozó tranziens jelek autokorreláció-függ-vényét a következő számpéldában mutatjuk be, amelyben egy egyszabadságfokú dinamikai modell súlyfüggvényét vizsgáljuk.
2.4 számpélda. Determinisztikus-tranziens függvény autokorrelatogramját.
A lehetséges determinisztikus-tranziens függvények közül a leggyakrabban a viszonylag rövid ideig ható erőhatások válaszfüggvényei fordulnak elő, ezek hasonló lefutásúak, mint az egy-szabadságfokú dinamikai modelleknek a Dirac-delta erőhatásra (vagyis a végtelen rövid idő alatt ható, végtelen nagy erőre) adott válasz-függvényéhez, vagyis a súlyfüggvényhez.
Ebben a számpéldában egy súlyfüggvény autokorreláció-függvényét határozzuk meg.
Mivel ennek a számpéldának a kidolgozása sokkal terjedelmesebb, mint a szinusz-függvény autokorreláció-szinusz-függvényének kidolgozása, ezért itt is a számításnak csak a leglénye-gesebb pontjait ismételjük meg. A Melléklet 9.2.1. alfejezetében a példa kidolgozásának rész-letei megtalálhatók.
A súlyfüggvény autokorreláció-függvénye általános alakban:
-3,0
2.25. ábra. Súlyfüggvény.
4 ,0 s
2.26. ábra. A súlyfüggvény autokorrelatogramja.
Az autokorreláció-függvény meghatározásakor nem szabad figyelmen kívül hagyni, hogy a súlyfüggvény értelmezési tartománya – szigorúan véve – három szakaszból áll:
1.: ∞ < t < 0 : a negatív időtartomány (a zérust kivéve); itt a függvény zérus: h(t) ≡ 0 ; 2.: t = 0 : itt a gyorsulásfüggvény végtelen rövid ideig végtelen nagy ;
3.: 0 < t < ∞: a súlyfüggvény képlete ebben a tartományban van értelmezve.
Ennek megfelelően az autokorreláció-függvény meghatározását is három részben kell elvégezni (I1(t), I2(t) és I3(t)): Mellékletben (9.2.1. fejezet) találhatjuk meg. Ezeknek a képletei és az autokorrelációs függ-vény Tjel = 4 s hosszúságú tranziens jel esetére (9.7):
Az így kapott autokorrelatogramot a 2.26. ábrán láthatjuk:
A Φhh(η) autokorreláció-függvény képletéből látható, hogy az autokorrelatogram megőrzi az eredeti h(t) súlyfüggvény exponenciálisan csökkenő jellegét és annak –β kitevőjét, továbbá a súlyfüggvény szinusz-összetevőjének γ körfrekvenciáját a koszinusz-függvényösszetevőben.
Az ábrán csak a pozitív η tartományhoz tartozó autokorrelatogramot tüntettük fel, mivel az in-tegrálást is csak a 0 4 s tartományban végeztük el, így a kapott függvény is csak ehhez a tartományhoz tartozik (9.6):
Végeredményben megállapítható, hogy a determinisztikus-tranziens jelek autokorreláció-függvénye megőrzi az eredeti jelnek a periodikusan csökkenő jellegét, beleértve a jel csökke-nésének exponenciális kitevőjét, valamint a jel periodikus összetevőjének körfrekvenciáját is.
(2.1)
Összefoglalva a determinisztikus mérési jelek autokorreláció-függvényeinek tulajdonsága-it, megállapítható, hogy ha a mérési jelnek periodikus összetevői vannak, az autokorrelatogramban is megjelenik a periodikus jelleg, amelynek körfrekvenciája megegye-zik a mérési jel körfrekvenciájával. Ha állandó amplitúdójú ez a periodikus összetevő, a korrelatogram is állandó amplitúdójú; ha a mérési jel tranziens jellegű, az autokorrelatogram is csökkenő amplitúdójú.
2.3.1.1. A gyakorlatban előforduló mérési jelek autokorrelációs függvényei
A vasúti jármű-méréstechnikai gyakorlat tapasztalata szerint a regisztrált mérési jelek a legtöbb esetben tartalmaznak sztochasztikus és periodikus összetevőket is, ezért az ilyen jelek autokorrelációs függvénye – a publikált kutatási jelentések szerint – a 2.27. ábrán látható autokorrelatogramhoz hasonló.
Az ábrán látható, hogy hogy a η = 0 környezetében az autokorrelatogramnak helyi maxi-muma van:UU (0)U(t)2 , ami a mérési jel négyzetes középértéke, majd az autokorrelatogram az 0 tartományban rohamosan csökkenve átmegy egy többé-kevésbé csökkenő amplitúdójú periodikus görbébe. Ha ezek az amplitúdók állandósulnak, akkor a jel periodikus, ha csökkennek, akkor a jel periodikus-tranziens jellegű.
( )
U U
s ( )
U U
2.27. ábra. Mért jel autokorrelatogramja.
Visszatérve a determinisztikus/sztochasztikus jelleg számszerű mértékének meghatározásá-hoz, csak annyit állapíthatunk meg, hogy a vasúti járművek valóságos U(t) mérési jelének autokorrelációs függvénye a η = 0 helyen a mérési jel U(t)2 négyzetes középértékét adja meg, és a 0 tartományban valamilyen periodikus függvény, amelynek a szögsebessége megegyezik a mérési jel periodikus összetevőjének szögsebességével (legalább is az alaphar-monikus összetevő szögsebességével). Ezek az adatok a determinisztikus/sztochasztikus jelleg számszerű mértékéről semmi további részletet nem adnak meg, mindössze az autokorrelatogramnak a négyzetes középértékről a periodikus szakaszra való lecsökkenés me-redekségét tudjuk szubjektíve összehasonlítani, ha két, vagy több autokorrelatogramot össze-hasonlítunk.
2.3.1.2. Az autokorreláció-függvény gyakorlati meghatározása
Egy mérési jel autokorrelációs függvénye elvileg analóg módon is meghatározható, ha a folytonos jelet analóg áramkörökkel integráljuk. Az integrálást viszonylag egyszerűen lehet analóg áramkörökkel végrehajtani, de az U(t+η) késleltetett jelet már nehéz előállítani, mivel analóg áramkörökkel csak csekély mértékű késleltetés hajható végre. Emiatt a gyakorlatban
csak azóta lehetett végrehajtani az autokorreláció műveletét, amióta a jelet digitális számérté-kek halmazává lehetett átalakítani.
Ha a Tjel hosszúságú folytonos analóg U(t) jelet analóg-digitál konverzió útján Nk db Ui diszkrét érték halmazává alakítjuk át (2.28. ábra), a jel diszkrét értékeinek darabszáma:
k jel
k t
T
N , ahol a Δtk konverziós időközt a konverzió során megőrzendő legmagasabb fmax összetevő-frekvencia Tmin rezgésidejének legalább a tizedrészére kell megválasztani:
2.28. ábra. Analóg jel diszkretizálása.
Emellett nemcsak az Ui jelekhez tartozó ti időpillanatok lesznek meghatározott diszkrét számértékek, hanem a η időkésleltetést is diszkrét értékek sorával kell előállítani. Meg kell ha-tározni (többnyire becslés útján) a legnagyobb ηmax időkésleltetést (a Tjel 10 ~ 20 %-ra javasol-ják felvenni), valamint az egyes ηi diszkrét késleltetési időpontok közötti Δη lépésközt, amit célszerű a konverzió lépésközével egyenlőnek felvenni:
tk , emellett max N . , így j j. , j = 1,....,Nτ és 0 0 . A ηmax , Nτ és Δη felvételekor meg kell fontolni, hogy a rendelkezésre álló Tjel jelhossz vé-ges, és az egyes ηj késleltetési értékekhez tartozó összegzést (integrálást) csak akkora jelhosz-szon lehet végrehajtani, amely a legnagyobb eltolás (késleltetés) mellett is a két jelben közös rész maradt (2.29. ábra). A használható jelhossz:
max
jel hasz T
T és a használható jelek darabszáma: Nhaszn Nk N
Ekkor a j-ik eltoláshoz (ηj-hez) tartozó korrelatogram-függvényérték:
Benedek, Szabó, Iványi, BME www.tankonyvtar.hu
A korreláció-függvény numerikus meghatározásának algoritmusát így viszonylag könnyen össze lehet állítani. Az algoritmus legfontosabb részét a 2.30. ábrán láthatjuk.
= N
2.29. ábra. Időeltolás diszkrét sorozaton.
A j-ik eltolás: k ezd eti feltételek, stb.
V É G E
2.30. ábra. Autókorrelatogramm meghatá-rozásának algoritmusa.