Kalman-féle szűrőeljárás input-output korszerűsítésére

KALMAN-FÉLE SZÚRÓELJÁRÁS lNPUT-OUTPUT EGYUTTHATÓK KORSZERUSlTÉSÉRÉ

G. V. L. NARASlMHAM

A Kalman—féle szűrőeljárást ebben a dolgozatban arra használjuk fel, hogy naprakésszé tegyük az input—output együttható matrixot a végső felhasználásra és az ágazati bruttó termelésre vonatkozó legfrissebb információknak megfelelően.

Pontosabban a matrix szorzót tesszük naprakésszé. Mivel a matrix szorzó és az in—

put—output együtthatók közötti kapcsolat megfordítható. a matrix szorzó naprakész- szé tétele egyben az input—output együtthatók korszerűsítését is jelenti. A Wharton Econometric Forecasting Associates lnc. (WEFA) az Egyesült Államok gazdaságára

vonatkozó Éves lpari Előrejelzési Modelljében szerepel egy rugalmas (56X56) —-

makromodellbe ágyazott -— input—output tábla. Input—output elemzésük egyik fon- tos vonatkozása olyan modellezési eljárás kifejlesztése, amellyel a ráfordítási együtt- hatók -— az ár— és a technológiai változásoknak megfelelően — korszerűsíthetők. A

WEFA-nak az Egyesült Államok gazdaságára vonatkozó input—output adatait hasz—

náltuk fel ebben a dolgozatban. hogy bemutassuk a szűrőeljárás alkalmazását az Egyesült Államok optimális folyó termelő felhasználásának előrejelzésére.

A matrix szorzó korszerűsítése a Kalman-féle szűrőeliórással

Legyen x: az ágazati termelések n elemű vektora. zt a folyó termelő felhasz- nálás n elemű vektora, ft a végső felhasználs n elemű vektora. A, az input—output (l/O) együttható matrix és Bt a matrix szorzó. E jelölésekben a t az évet jelöli.

A klasszikus input—output kapcsolat:

xt : At—xt—l—ft /1/

ahol:

z xA—x [2/

t t !

jelenti a folyó termelő felhasználást. Nyilvánvaló, hogy

zt : xt———ft /3/

és megfelelő At matrixokkal (! a megfelelő rendű egységmatrix)

X, : (FAJ—LC /4/

* Az 1981. november 3. és 5. között Hévízen tartott lll. Magyar Ágazati Kapcsolatok Mérlege Konferen- cián megtartott előadás. (Az előadás eredeti címe: Kalman filtering methods of updating input—output co- efficients.)

NARASIMHAM: KALMAN—FÉLE SZÚRÖELJARAS 1249

A /4/ egyenlet a következő — egyenértékű — formában is írható:

x: : Bt'ft

/5/

ahol a matrix szorzó

3: : (l—llJ—1 /6/

Tegyük fel. hogy a matrix szorzó legfrissebb (bizonyos értelemben legjobb) becs-

lése B: a t-edik évre rendelkezésre áll. A kibocsátás (ík) és a folyó termelő felhasz-

nálás (ik) előrejelzése a k ) t-edik évre ado—tt végső felhasználás mellett:

xk : B: -fk

/7/

és

zk : xk—fk /8/

Ismert, hogy ezek az előrejelzések a gyakorlatban úgy válnak egyre pontat- lanabbá. ahogy az előrejelzett k—adik év távolodik attól a bázisul választott t-eclík évtől, amelynek matrix szorzója rendelkezésre áll. Az előrejelzések pontossága azon—

ban javítható, ha a matrix szorzót a t utáni években megfigyelt összevont kibocsá- tási és végső felhasználási értékek alapján korszerűsítjük. A Kalman—féle szűrőeljá- rás felhasználható a B: becslésének korszerűsítésére az évenként megfigyelt xt és ft értékekre vonatkozó friss információk alapján. Feltételezzük továbbá, hogy xt és Bt normál sztochasztikus változók, amelyek között az alábbi összefüggések állnak

fenn:

Btw : B: /9/

x: : Bt-ft—j—nt /10/

A véletlen zavaró tényezőről (n,) feltételezzük, hogy normál sűrűségi függvénye van, és

E(nt) : o /11/

E(nt "D : Rt'ötk [12/

Jelölje b,, 1, bem . . ., bt," a B; sorait. tehát

,bt, 1

bt. 2

llB: /13/

%' _b: nv

A /9/ és [10/ egyenletek az alábbi formában írhatók fel:

btr-j-l,1. bll

bluz bíz

' -— ' /14/

bg;— 1, n [17sz

6 Statisztikai Szemle

1250 6. v. L. NARASlMHAM

vagy

le : :;t [15]

és

fg o o ... o bg,

0 f! o . 0 bb

o 0 f! . . . .. o

xt : . . -i—nt (15;

o o o ff bt"

A matrix szorzó optimális Bayes-féle becslését megkaphatjuk a Kalman—féle

szűrőeljárás segítségével minden megfigyelt xt—re és ft-re. Ez a becslés azután fel- használható a folyó termelő felhasználás (ik) előrejelzésére a /7/ és /8/ egyenlete—

ken keresztül. Ez a megközelítés alkalmazható a matrix szorzó évenkénti ex post kor—

rekciójára és a folyó termelő felhasználás előrejelzésére.

A becslési szűrőeljáráshoz szükség van bt-nek egy kiinduló bö, valamint az 50 : cov (bo) becslésére. A Bt mátrixok egy idősort alkotnak. amelyet a cov (bo) kö—

zelítő értékének megállapítására használtunk fel. A kezdő év matrix szorzóját soron-

ként a kiinduló b; vektorban írtuk fel. A ?Hl folyó termelő felhasználást minden egyes évre a legutolsó korszerűsített b,: felhasználásával jeleztük előre. Minden

esetben számítottuk az előrejelzés négyzetes hibáját:

(z tényleges — z előrejelzett) T-(z tényleges —- z előrejelzett)

Az előrejelzések négyzetes hibáinak összeadásával pedig megkaptuk a halmozott hiba mutatóját.

A számítások során az S, : cov (b,) egyenletet a kiinduló So : cov (bo) érté-—

ken változatlanul tartottuk, és az R, mátrixot úgy választottuk meg. hogy minden t-re

R: : az: /17/

ahol a a véletlen zavarások (n) standard eltérése.

Egy alternatív Kalman-féle szűrőeliárás a folyó termelő felhasználás optimális előrejelzésére

A folyó termelő felhasználás kétféleképpen jelezhető előre. Az egyik út a matrix szorzó vagy az input—output együttható matrix korszerűsítése a legfrissebb adatok (megfigyelések) tükrében. A másik eljárás, amely a Kalman-féle szűrőeljáráson ala- pul, s amelynek leírása az alábbiakban következik. egyszerűbb az előzőnél, mivel

elkerüli a mátrixok korszerűsítését.

Az eljárás alapja az, hogy az input—output együtthatók nem változnak egyik

évről a másikra. és hogy a végső felhasználási vektor időbeli fejlődése hozzávető- leg arányosnak mondható. A k-adik évre szóló előrejelzés egy régi input—output együttható matrix. A, és a folyó termelő felhasználásra vonatkozó legutolsó -— j-edik

évi — megfigyelés felhasználásával készült, t ( j ( k.

Erre a célra a következőkben megadott sztochasztikus modellt alkalmaztuk.

KALMAN—FÉLE SZÚRÖELJÁRAS 1251

Tegyük fel, hogy egy normál (termelési) folyamat. ak így alakul:

aka—1 :: ak'l"((l—Af)—1*I) ' (fkm—ka—Dk §): [18/

ahol:

ak — a folyó termelő felhasználás n elemű vektora, fla — a végső felhasználás vektora a k-adik évben.

Ek —- a véletlen zavaró tényező vektora.

Dk -— egy adott matrix.

A folyó termelő felhasználás zk megfigyeléseit a

zh: ak'l'nlc /19/

egyenlet állítja elő. ahol n,c a véletlen zavaró tényező vektora. A 43 és az nk vek- torokat független, normális eloszlású ,,tiszta" zajoknak tételezzük fel, zéró átlag—

vektorokkal és ismert kovariancia matrixokkal.

Látható, hogy a /18/ és [19/ egyenletek a véges programozási probléma korlá-

tainak speciális esetét képezik. Következésképpen a programozási probléma sajá- tosságai ebben az esetben is igazak. Ez a sajátos modell egyszerű előrejelzési el—

járáshoz vezet. A /19/ egyenletből az ak vektor optimális becslése. miután zk-t meg—

figyeltük:

ak :: Zlc [20/

A Bayes-féle optimális becslési eljárás nyomán az egyenértékű szűrőegyenlet—

forma így írható fel:

?m :: zmu— É)—1—I)-(fk-x—1—fk) /21/

vagy követve a jelölési rendszert

Évi—1 : Ifj—(27544 —25) /22/

vagy

ZH : !sz 4215 —Zk) /23/

A [23/ egyenlet szerint az optimális előrejelzés a (k—l—1 — t) évre vonatkozó kor-

rigálatlan előrejelzés és a (k — t) évre vonatkozó korrigálatlan előrejelzésből adódó hiba különbsége.

A következő sémát alkalmaztuk a folyó termelő felhasználás előrejelzésére a

WEFA adatainak felhasználásával:

1. az induló, a O—adik évre vonatkozó input—output együttható matrixot választjuk az A6 kiinduló becslésnek;

2. a következő, az első évre vonatkozó előrejelzést az alábbi egyenletből nyerjük:

11 : ((l—AB)"1—')'f1

.. P , P

3. a ket vektort, Zk-t es Zk—1-t a

P . _

Z: : ((l—An) 1—')'fz

egyenletből számítjuk, k :2-ről indítva:

6.

1252 G. v. L. NARASIMHAM

4. 22 legjobb előrejelzését a

A P

zk : Zk—1'l"(zk —25—1)

egyenletből nyerjük, ahol lla—1 jelenti a megfigyelt folyó termelő felhasználást a (k—1)-edik évben; a k induló értéke : 2;

5. a 3. és 4. lépések ismétlődnek, k :3', 4, ..., n; A A

6. minden évre kiszámítjuk az előrejelzés négyzetes hibáját. (Zk — Zk)T'(Zk — za) -t. a halmozott négyzetes előrejelzési hibát az évenkénti négyzetes előrejelzési hibák összeadásá- val kapjuk meg.

A modell értékelése

A WEFA említett 1967-re vonatkozó 56X56-os technológiai matrixát mint az A matrix kiinduló becslését használva, a hozzá tartozó folyó termelő kibocsátás és vég—

ső telhasználás 1968 és 1978 közötti időszakra vonatkozó adataival együtt. elvégez—

tük a folyó termelő kibocsátások szimulációs előrejelzését az 1969—1978-as időszak-

ra vonatkozóan. Az előrejelzési adatokat 9 fő ágazatba vontuk össze, ez egyben

témánk tárgyalásának aggregációs szintjét is jelenti.

Az alább bemutatott 1. és 2. ábra mutatja a tényleges és az előrejelzett folyó termelő kibocsátásokat a feldolgozó ipari ágazatok egészére és együtt az összes

ágazatra.

Kevés kivétellel az ágazatok előrejelzése pontosan követi a tényleges kibocsá- tásokat, csak igen kis irányeltérések adódnak. Mivel ebben az időszakban az olaj—

válság és más külső események révén jó néhány megrázkódtatás érte az ágazati szerkezetet. ez meggyőző érvet szolgáltat az eljárás azon képességéről, hogy a kül- ső zavaró hatások érvényesülését arra az évre korlátozza, amelyikben azok tényle—

gesen bekövetkeztek. .

Különösen fontosnak tartjuk itt kiemelni, hogy egy adott év előrejelzési hibája nem befolyásolja a következő év előrejelzésének pontosságát.

1. ábra. A feldolgozó ipar tényleges és Kalman-féle szűrőeliárással előrejelzett folyó termelő kibocsátása

B/Y/lő dal/ár aaa

Tény/eges érték "

a. u 01 ...i....

ggg ; —————— E/ó'nejp/zeff LiP/ik II

xxon01 *:§m o.§a.

x! N 0,§ § llilxlrnilrliilxiiililitliinil.Hill...

fo/yo'ferne/iAwami/ás *! § §

0. *: vo.: §

!..nnvvi'lrnrrnvpvurulrplrrvlillliHil.iriii1...rrnrrvviinuplniu!!!HIHHH

7.969 7.970 7.977 _ 7972 7.973 79744 7.975 7.976 7.977 7978

KALMAN—FÉLE SZÚRÖELJARÁS

1253

2. ábra. Az összes ágazat tényleges és Kalman—féle szűrőeliárással előrejelzett folyó termelő kibocsátása

B/Y/I'a' da/Aír'

430

. Hum-ges érték

—————— f/őfeje/zg/f irl/e'!

'

Fog/a'Mme/íhwa-537519

* w :: z: % a :;

%"§aea:;§ lu.J.u.h.u

u, N §.

(u xx § lnnlnnlnnlln.lnnlnnlnulnu

u; § §

Ilsnnll;Illun!ll'vulInn;línvluxxm;!vHun!!!lurnrrlgul!!!!u'nvvvlvvu'ynnnu

7.969 7970 7.971 79 72 7973 7974 7975 7975 7977 7.978

Az 1. tábla ágazatonként mutatja oz előrejelzések hibáit évenként és az egész időszakra valamint az összes ágazat együttes előrejelzési hibáit évenként.

1.tóbh

A Kalman-féle szűrőeljárás felhasználásával készített előrejelzés hibája ágazatonként 1969. [ 1970. ! 1971. [ 1972. ' a1973. ] 1974. I 1975. I 1976. ' 1977. ] 1978. 1546;

*Ágozot

, 19787

evben években

Mező—. erdő- l

és hol-

gozdoság —8,4 —2.8 4.6 —5,6 1,0 0.2 —1.5 —1,5 —4,6 -—2,4 —2,1 Bányászat . 0.9 2,2 -—3,8 -—2,4 0.2 2.7 ——2,6 -—1,4 —-2,8 —1,8 —O.9

Építőipor . 6.8 -—O,9 -—5,8 —1,1 2.0 5,7 2,9 1,7 5.9 03 on Feldolgozó

ipar . . -1,7 —0.3 —-2.6 2.4 —1,4 --1,1 0,5 2,5 2.1 ' 053 (),1 Szállítás.

hírközlés. 2,7 0.5 0.7 3,0 2,1 0,1 -0,1 2,3 1.8 3.5 1,7

Pénzügyi, biztosítási és ingot—

lanszolgól- .

tatás . . —10,3 —O'.9 7.6 —3,4 —0,2 2,5 1,2 1,5 _1,4 _4,7 —O.8 Kls- és nagy

kereske—

delem. . 8.5 2.7 2,5 —-O.9 0.4 0.6 2,5 —5,9 ._1,3 1_4 09

Szolgáltatá—

sok- - - 6.7 0.9 2.6 —1.5 0.7 —o.3 —o.5 _2,7 —1,1 —o.2 0.3

Szövetségi, állami és helyi kor-

mányzat. —3,3 —-0,5 —4.0 —2.4 1,8 —2,1 ——2,5 1.8 ..3,7 4.1 _1,4

Összesen ——0.5 —0.0 —0.1 02 -—0,2 —0,4 0,1 o,5 0.3 o,o o,o

1254

6. v. L. NARASlM—HAM

Látható. hogy a hibák egymást kiegyenlítő tendenciákat mutatnak, mivel az ősz- szes ágazatra vonatkozó maximális éves hiba 0.5 százalék. Ugyanakkor ez a kiegyen—

súlyozódás nem vonatkozik az egyes ágazatokra az időben. mivel az egyes ágazatok összes hibája igen széles határok — a mező-, erdő- és halgazdálkodás magas. 2.1 százalékos hibájától az építőipar és a feldolgozó ipar egyaránt O,1 százalékos hi-

bájáig — között alakult.

Az előrejelzési hibák bizonyos fokú ingadozása egy ágazaton belül is mutatko—

zik, igy a pénzügyi. biztosítási és ingatlanszolga'ltatás ágazat 1969—ben -—10. 3 száza—

lékos előrejelzési hibát mutat. amit 1970—ben és 1971-ben ——0,9 százalékos és —l—7,ó százalékos hiba követ. Ez az instabilitás megmutatkozik az építőiparban és a mező-,

erdő- és halgazdálkodásban is.

A 2. és 3. tábla négyzetes előrejelzési hibákat (SPE) és azok négyzetgyökeit

(SRSPE) mutatja évenként, illetve ágazatonként.

2. tábla

Az 1969—1978—05 időszakra vonatkozó négyzetes előrejelzési hiba évenként

Négyzetes A hiba

Év előrejelzési négyzet-

hiba gyöke

1969 . . . . . 1313 115

1970 . . . . . 8.6 2.9

1971 . . . . . 1002 10.0

1972 . . . . . 95,7 9.8

1973 . . . . . 32.53 5,7

1974 . . . . . 17.8 11.2

1975 . . . . . 9.1 3.0

1976 . . . . . 114,2 10.7

1977 . . . . . %.2 9,6

1978 . . . . . 22,1 4,7

Összesen 624,2 25,0

A 2. tábla adatai — az évenkénti négyzetes előrejelzési hibák — újólag megerő—

sítik az adott év előrejelzési hibájának a megelőző év hibájá'tól való függetl enségét.

mivel az egymást követő évek hibáinak mértéke között nem látszik korrelációs kap- csolat.

Némiképpen meglepő, hogy a maximális előrejelzési hibát 1969-ben észlel- tük, nem pedig 1975—ben vagy 1976—ban, az olajválság nyomán. Ez feltehetően a Nixon által 1969-ben bevezetett költségvetési és pénzügyi politika eredménye,

amelynek célja az infláció és az 1968. évi adóemelések hatásainak leküzdése volt.

Ez a politika a kibocsátások iránti kereslet növekedésének az előző 4 évhez képest számottevő lassulását eredményezte. Az 1971. és 1976. évek nagy előrejelzési hibái

valószínűleg az 1970—es és 1975-ös recesszió tükröződései. Az azonnal látható, hogy

az előrejelzési hiba nem nő az idővel együtt.

A 3. tábla adatai jóval könnyebben magyarázhatók, mint a 2. tábláéi. Mivel a

legtöbb külső megrázkódtatás a feldolgozó ipart érte, nem meglepő. hogy a négy- zetes előrejelzési hiba itt a legnagyobb. A mező—. erdő- és halgazdálkodás ágazat magas előrejelzési hibája valószinűleg a természeti (időjárási) jelenségek ered—

ménye.

Érdemes megjegyezni. hogy a jellegüknél fogva erőteljesen ciklikus ágazatok mint a Kis- és Nagykereskedelem, Építőipar, Pénzügyi, biztosítási és ingatlanszol—

.

KALMAN—FÉLE SZORÖELJARÁS 1255

gáltatás hibája viszonylag alacsony. Ez a látszólagos rendellenesség azzal a tény- nyel magyarázható, hogy ezen ágazatok kibocsátása elsősorban végső felhasználás-

ra jut, s ez — a többi ágazathoz képest — kedvezőbb alapot biztosít a folyó termelő

kibocsátás előrejelzésére.

3. tábla

Az 1969—1978-as időszakra vonatkozó négyzetes előrejelzési hiba ágazatonként

Négyzetes A hiba

Ágazat előrejelzési négyzet-

hiba gyöke

Mező-, erdő- és halgazdaság . 81,ó 9.0

Bányászat . . . 6.3 2.5

Építőipar . . . 4.6 2.1

Feldolgozó ipar . . . u376.4 19.11 Szállítás, hírközlés . . . 24.4 4.9 Pénzügyi. biztosítási és ingat-

lanszolgáltatás . . . 38.7 6.2 Kis— és nagykereskedelem . . 56.41 7.5 Szolgáltatások . . . 33.ő 5.8 Szövetségi, állami és helyi kor—

mányzat . . . [2.2 7.5

Összesen 624,2 25,0

Összefoglalva: bár az elemzett időszakban az Egyesült Államok gazdaságában jelentős szerkezeti változások mentek végbe, úgy tűnik a Kalman-féle szűrőeljárás—

nak a folyó termelő kibocsátások előrejelzésé'ben lényeges előnyei vannak. Elsődle- ges előnye más technikákkal szemben egyszerű lineáris természete és az egymást követő évekre vonatkozó előrejelzések függetlensége. Mivel az üzleti ciklusok lát- hatóan befolyásolják az előrejelzések pontosságát, az eljárás a ciklikus hatásokra vonatkozó adatok beillesztésével továbbfejleszthető. További tanulmányok vizsgál- hatnák az eljárás használhatóságát. érvényességét mélyebb ágazati részletezett—

ség esetén. esetleg 85 ágazatos bontásban.

lRODALOM

(1) Kalman, R. E.: A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal ol Basic Engi- neering. 1960. 82. sz. 35—15. old.

(2) Kalman, R. E, -— Bucy. R. S.: New results ln linear filtering and predictlon theory. Journal of Ba- sic Engineering. 1961. 83. sz. 95—108. old.

(3) Vishwakerma Kashev, F. — de Baer, Paul M. C. -— Palm, F. A.: Optimal prediction af inter-industry demand (memeographed). Report No. 702. Econometric Institute. Netherlands School of Economics. 1970.

PE3lOME

Hacronumü ouepk conepmur Mürepuan Romana, npouuranuoro aeropom Ha cocrona—

meücn c 3 no 5 HORőpSl 1981 roga B Xeause : opranusauuu LleH'rpamsHoro cramcmuecnoro ynpaanemm H CrarucmueCKoro omenem—m BeHrepCKaro BkonoMnuecnoro Oőuecraa lll.

aeHrepcxoí—í Koumepenunu no memorpacneablM őanancaM.

Aa'rop paccmarpusaer aoamomnocm npornosnpoaanun aaauMHoro cnpoca orpacneü.

B u.ennx MerpHuaaul—m Mütpuubi Memorpacneaoro óancha OH -— npuHHMaa ao BHHMBHHe namopMaunu, npoucrekaioume ua HOBbiX BpemeHHux pnnoa KoneuHoro norpeőnennn Ba—

noaoi'i npaAyxumi orpacneü — npumenne'r cpnnbrp KöhbMBHa. l'lpaumuecxoe I'IpHMeHeHHe MeTaAa AeMOHCTppreT Ha Taőnuue Memorpacnesoro óanauca, cocronmeü ne 9 cela-apon.

1256 NARASlMHAM: lKALMAN-FÉLE SZÚRÓEUÁRÁS

SUMMARY

The study was given as a lecture at the Third Hungarian Conference on input-output, , techniaues organized jointly by the Central Statistical Office and the Statisticol Section of the Hungarian Economic Society held at Hévíz from 3 to 5 November. 1981. The study , was published in the volume Proceedings of the Third Hungarian Conference on input-

Output Techniaues (Statisticol Publishing House. Budapest. 1982. pp. 299—307.) entitled ..Kalman Filtering Methods of Updating lnput-Output Coeflicients".