Egy nemdifferenciálható nemlineáris input-output modell

EGY NEMDlFFERENClÁLHATÓ NEMLlNEÁRlS lNPUT—OUTPUT MODELL

DR. MOLNÁR SÁNDOR — DR. SZIDAROVSZKY FERENC

A nemzetgazdaságok struktúrájának elemzésében gyakran alkalmazzák a L'eontief—típusú statikus input—output modelleket. Ebben a dolgozatunkban egy nemlineáris input—output modellt vizsgálunk.

Tegyük fel. hogy a gazdaság szektorainak kölcsönhatását az

n

x,-— [Z1aü(xj) :: c,- (ízz1, 2. . . ., n) [11]

típusú egyenletek írják le, ahol x; jelöli az í-edik szektor termelési mennyiségét. és c : (ch. . . ., cn) § 0 jelenti a végső kibocsátást. Az en,—(.) függvények azt jelen—

tik, hogy a j-edik szektor xj' termelési mennyiség előállításához mennyit használ

fel az i-edik szektor termékeiből.

lnput—output modellek alkalmazásakor igen fontos kérdést jelent olyan fel- tételek meghatározása. amelyek adott c vektor melletti nemnegatív x megoldás- vektor létezését és egyértelműségét biztosítják. Ezenkívül hasznosak olyan ered—

mények is. amelyek a megoldásvektor c-től való függésének jellemzőire (monoto- nitás. folytonosság stb.) vonatkoznak. A megoldás létezésére többek között I. W.

Sandberg (3). valamint M. ]. Chíen és L. Chan (2) adott elégséges feltételeket.

Eredményeiket általánosította P. Chander (1). Dolgozatunkban tovább általáno-

sítjuk Chander feltételeit, amikor az Clij(.) komponensek differenciálhatóságától

is eltekintünk.

Chander a következőket tette fel:

(A) tetszőleges i,)" esetén az a.,—( .) függvény folytonosan differenciálható a [O.w] inter- vallumon, a;,—(0) : 0. valamint a'ij(a)§0 tetszőleges a E 0 esetén:

(B) létezik olyan pozitív v :: (v;) és p : (D,) E R" vektor, hogy tetszőleges i és ago esetén

Pig;1 Pi a'ülal 'l Vj- /2/

Az (A) és (B) feltételek mellett kimutatta. hogy az /1/ egyenletrendszer tet-

szőleges c § O vektor mellett pontosan egy nemnegatív megoldással rendelkezik.

valamint tetszőleges nemnegatív vektorből kiindulva az egyenletrendszer a foko—

zatos közelítés módszerével megoldható. (A módszer leírását adja meg például

Szidarovszky Ferenc és S. Yakowitz (5).)

A következőkben az a;,-( .) függvények differenciálhatósógí feltételét elenged—

ve, még általánosabb feltételrendszert vezetünk be a nemnegatív megoldásléte—_ , zésére'és egyértelműségére. Kimutatjuk azt ís, hogy a fokozatos közelítések mód; " ' '

szere ebben az általános esetben is alkalmazható.

A NEMDlFFERENCIÁLHATÓ lNPUT—OUTPUT MODELL

Tekintsük ismét az [1/ modellt. és vezessük be a következő kétváltozós függ—

vényeket:

N 017011) — dülazl aülahaz *L*—— (11 a—

— 2

(Vmi Mííazlv [3/

és tegyük fel. hogy fennállnak a következő feltételek:

(C) az ai,- (.) függvények értelmezettek :: [O. oo] intervallumon, valamint aÉO esetén ni,-(a)%0:

(D) létezik olyan pozitív v :: (v,-) és p :"— (Pi) ÉR" vektor, hogy tetszőlegesiés nemne—

gatív al 76 az esetén

" N

P," 3231 Pi laij(u1v azll tVi- l4/

,;

Dolgozatunk fő eredménye a következő.

1. tétel. A (C) és (D) feltételek teljesülése esetén az Ill egyenlet tetszőleges

c § 0 mellett pontosan egy nemnegatív x' megoldással rendelkezik, amelyet tet- szőleges nemnegatív kezdeti közelítésből kiindulva meghatórozhatunk a fokoza- tos közelítés módszerével.

Bizonyítás. Definiáljuk az x : (x.-) és y : (yi) n-elemű vektorok távolságát a súlyozott l1—tóvolsóggal, azaz vezessük be a

"

900 7) ai; p,- ln—yil f5l

metrikót. Vezessük be ugyancsak a

T(x) : (T1lx). . . ., Tn(x)]

operátort. ahol

TÁX) 21.31 a;,(x,-) -l* C;- [6]

Vegyük észre, hogy az /1/ egyenlet az x : T(x) fixpontproblémót jelenti.

Ahhoz. hogy a Banach—féle fixponttételt (lásd (4)) alkalmazhassuk, ki kell mutat—

nunk. hogy a T(.) operátor a a(...) metrikóval kontrakcló. Egyszerű számítás mutatja, hogy x. y § 0 esetén

" n

9(T(X)- TM) :: §1p; ir.—(x) — mm § ; PiZ

,: lm

_S'LiinlzfilLi).

"M'—il:

X; —n

/7/

mi íplej—Yil ' § "Ei- l'zíjkxj'lelE'

1 P;

EGY lNPUT—OUTPUT MODELL

1089

Ha bevezetjük a

n p. N

Brlahaz): max 2 M'— laülüwzll

; izl P,-

jelölést, akkor

1 !; N

BT(a1.02) :: max — 2 p,— ] oil-(11142)! § max —-— — (pi—vi) :: 1—6, [8/

i P; i:1 í P;

ahol

v.

e. :: min—J— . J' P)

Tehát a /7/ és a /8/ egyenlőtlenség alapján

a(TM, T(yll § (1—6) - a(X-y), /9/

vagyis a T( .) operátor kontrakció. Jegyezzük meg. hogy ha x 230, akkor T(x) ; 0,

valamint az

R'f.r :(xlxéR'k XEO)

halmaz zórt. Igy a tétel állítása a Banach-féle fixponttételből közvetlenül leolvas—

ható.

Következmény. A fokozatos közelítés módszerének alakja:

1 n

xl'tl ):; 2 ai) (x]!tl) %— c,- (í : 1, Z,. . .. n; tEO),

131

ahol az x(o) : (xlm. ....xg0)) kezdeti közelítés tetszőleges nemnegatív vektor- ként választható.

A módszer konvergenciójónak sebességét illusztrálja a

1—8

9 (xm, x') § - e (xm. xm") /10/

9 (xm, x') § (1 —6)t ' 9 (xm)! X,)

""

egyenlőtlenség, amelyekből az is leolvasható, hogy kisebb 8 érték mellett a kon- vergencia lassabba' válik, nagyobb e mellett pedig felgyorsul. (A /10/ és /11/

relációk is megtalálhatók (4)-ben.)

Megjegyzés. Tegyük fel, hogy az a;,-(.) függvény monoton növekedő. Ekkor

tetszőleges nemnegatív a1 § az mellett 5;;(a1, az _a_ 0. Igy a /4/ relációban az

abszolút értékek alhagyhatók. így az ótírható a

" m,

Pi 32116 aü (OH—az) * VI (Vi)

"2!

,:

alakba is.

3 Statisztikai Szemle

Tegyük fel továbbá, hogy a fentieken kívül az en,—( .) függvények folytonosan differenciálhatók. Kimutotjuk. hogy ekkor a [2/ egyenlőtlenségből következik a [121 feltétel, ozoz tételünk valóban általánosítása Chander- eredményének. Tegyük fel"

tehát. hogy [2/ fennáll. Ekkor tekintsük az

"

Sjlle :ígl1piaíjkxj) * Vi függvényt. A Lagrange-féle középértéktétel alapján

N s ((11) "_ s'kaZ) [ " !

Pi ai] (01! az) : ""I—"m __ all—"" a Silal 22195 aula) Jr" viv

J:d.

,:

ahol a az (11 és az között van. igy [12] is nyilvánvalóan fennáll. Ha 0.7(0) a 0 és a;,—(.) monoton növekedő. akkor tetszőleges a § 0 mellett o,;(a) % O.

A MEGOLDÁS MONOTONlTÁSA ÉS FOLYTONOSSÁGA

Jelölje rögzített c mellett az [1/ egyenletrendszer megoldását x*(c). A meg—

oldás monotonitósót mondja ki a következő.

2. tétel. Ha o (C), (D) feltételek fennállnak. valamint ez a;,-(.) függvények monoton növekedők, akkor tetszőleges 0 § c § d esetén

x*(c) § x*(d). /13/

Bizonyítás. Teljes indukcióval bizonyítjuk az állítást. Jelölje xí*)(c) és xm (cl) az

iterációkat. amikor a kezdeti közelitéseket az xí0)(c) : c és az x(0)(d) : d sza- bállyal választjuk. Kimutatjuk, hogy tetszőleges t ; 0 esetén xít) (c) § xít)(d).

Az állítás t : 0 esetén a kezdeti közelítések választása következtében igaz. Te-

gyük fel, hogy t—re az állítás teljesül. Ekkor

" "

Xltwmlcl :ZfüOÉokii * Ci É .Z1aii(xlt)(d)) * C'i : xiii'kd).

): !:

amelyből t —* oo hatórótmenettel adódik az állítás.

Következmény. A 2. tétel feltételei mellett x(t*1)(c) 2; xii) (c) ; : (t ; 0),

azaz az xíO) : c-ből kiinduló fokozatos közelítés módszere monoton növekedően konvergál.

Bizonyítás. Minthogy (ni,-(x,) ; 0 tetszőleges x,- % 0 esetén.

_,4:

x%) : _

!

7 Oü(C)il[ %— Ci § Ci-

Válasszuk ezután a d : x(0(c) vektort. Ekkor nyilvánvalóan d ;; c, valamint

xi!) (d) ; x(**1)(c). Ekkor pedig a tétel bizonyítása alapján

le'Wc) : xm(d) ; x(*)(c) .

Megjegyzés. A fokozatos közelítés módszerének gyakorlati alkalmazásakor

minden iterációs lépésben kerekítési hibát vétünk. Ez azt jelenti, hogy az

xu") a T(xlÚ) . xm) : c [14/

EGY lNPUT—OUTPUT MODELL 1091

sorozat helyett az

Yom ___ mm) ,,A öm, yw) ; c 4. aa)) /15/

sorozatot számítjuk a gyakorlatban, ahol (: Ö") vektorba tömöríttettük az egyes ' lépések kerekítési hibáit. Ismeretes (lásd (4)). hogy amennyiben az 1. tétel fel—

tételei fennállnak, és G(Öl'), 0) § Ö (t 2 0) (ahol Ö ) 0 rögzített). akkor tet- szőleges t _: 0 esetén

6

9 (x"), M) § ? . /16/

A továbbiakban az x*(c) megoldósvektor c-től való folytonos függését lát—

juk be.

3. tétel. Tegyük fel. hogy az 1. tétel feltételei fennállnak, valamint g(c, d) § Ö Ekkor

Ö

g(x*(c). x(d)) ———-—8—. /l7/

Bizonyítás. Legyen ölt) : cl—c, ekkor ()(Ö(t),0) : g(d,c) § Ö. lgy az állítás a [16] egyenlőtlenségből a t eco hatórótmenettel adódik.

TOVÁBBI ÁLTALÁNOSlTÁSl LEHETÖSÉGEK

Megjegyezzük, hogy az előző tételek akkor is igazak maradnak. ha az input- output modell a még általánosabb

x; —— a,—(x1....,x,,) : c,- (im1,2,...,n)

alakban írható fel. Ebben az esetben azt kell feltennünk. hogy tetszőleges nem—

negatív x, y vektorok esetén

laf(x)—a.mlé álá-wmi- lxj—yi,

ahol az (;ij( . . .) függvények kielégítik a (C) feltételt. Azt is fel kell tennünk, hogy

x ?; 0 esetén a;(x) %: 0. Az Gij( .) függvények monotonitósa helyett most azt kell

feltennünk. hogy x ; y esetén a; (x)2 -— a;(y) (Vi)-

Az 1. tétel állítása és bizonyítása a súlyozott ll távolságra alapszik. Hasonló.

analóg tételeket nyerhetünk más távolsógfüggvények bevezetésével.

Ha a súlyozott l.,g távolságot, azaz a

a(x.y) :mexpi XF*Yil /18/

l

metrikót vezetjük be, akkor a /4/ feltételt a következővel kell helyettesítenünk:

43

P; E, Pilgíj (011, azjll * Vi /19/

I ll _.

tetszőleges an, az,- 2 O mellett, ahol p : (p;) és v : (v,-) 6 R" rögzített pozitív

vektorok.

33:

Ha a súlyozott Minkowski-távolságot, azaz a

n , a 1/0:

a(m') z Látom—yi] ) (a; 1) few

metrikát vezetjük be. akkor a [4/ feltételt a következővel kell helyettesítenünk:

" " 1 N 5 alla , '

_Z Pi ( Z —6iu laiilaijoazm ) (1 , l21/

l—"—'-1 ;:1 Pi

ahol 6 : a/(a—1). _ _

A fenti analóg állítások az 1. tételhez hasonlóan láthatók be. Hasonló állí—

tások igazak az iteráció és a megoldás monotonitásóval. illetve folytonosságával'k kapcsolatban is.

A részletek végiggondolását az Olvasóra bízzuk, az előző tételek bizonyítá—

sának minimális változtatását igénylik csak.

*

A dolgozat elméleti eredményeinek illusztrációjaként tekintsünk egy egyszerű számpéldát.

Legyen n : 2, azaz két szektort vizsgálunk csak. Legyen továbbá

a 1

'; . ha O § a § ?

anla) : aula) :

a 3 h 1

5 *íí' (* "(***

a 1

? , ha 0 § a § —2—

mia) : mia) :

(a 1 h 1

——— "— -—-- a .

e * 12 ' a 2 (

Ekkor mindenképpen fennáll a /4/ összefüggés. hiszen tetszőleges a,,az ; 0 esetén

?

;: A

E

É HA l

1

l021(f11az)l§ ";

N

lanlaidzll §"

_A

A s

így pl : pa : 1 és ví : vz :: 5/12 megfelel a feltételeknek. Tehát a 1. tétel

alapján tetszőleges :; %. 0 mellett pontosan egy megoldása van az /1/ egyen—

letnek.

EGY lNPUT—OUTPUT MODELL

1093

Legyen példaként cl :: 0.125 és ez : 0.483. Ekkor az 1. tétel következmé- nyében leírt iterációs módszer alakja:

XlH—n : 0110 30); 012 ( xgl) —;— c1

Xltm : 021 (XP) 4. an ( xgo) —z— cz,

a megoldás ped ig:

X1 : o,s és X231'0

a konkrét számítások alapján.

TARGYSZÓ: Numerikus analízis. Input—output modell.

IRODALOM

(1) C'Éávander, P.: The nonlinear input-output model. Journal of Economic Theory. 1983. évi 30. sz.

219—229. .

(2) Chien. M. J. — Chan, L.: Nonllnear input-output model with piecewise affine coefficients. Journal of Economic Theory. 1979. évi 21. sz. 389—410 old.

(3) Sandberg, I. W.: A nonlinear input-output model of a multisectoral economy. Econometrica. 1973.

évi 41. sz. 1167—1182. old.

(4) Szídarovszky Ferenc: Bevezetés a numerikus mődszerekbe. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó. Bu—

dapest. 1974. 389 old.

(5) Szidarovszky Ferenc — Yakowítz, S.: Principles and Procedures of Numerical Analysis. Plenum Press. New York. 1978. 331 old.

PESlOME

B ceoeü paöote GBTOpbl npercraanmor .nocrarotmoe ycnoaue nna peLuem—m cpop—

Mynu.na a x—A(x): c cramcruuecxoro Memorpacneaoro őancha neommescnoro Tuna, Kor—

KOMHOHEHTBX A(x) He npennonaraercn AMCPCPepeHuHpOBaHHOCTb. 31-14 nonomenun aa—

TOPOBHblx peaynbraroa l'l. LlaHAepa. Mx reopmi nocrpoeHa Hassnmorca HenocpeAcraeHHmM oőoőmenneM onyőnunoaaHHuxHecnanbkux mannaropax npoőneMs 1983 roAy usaecr- KOHTpöKuHOHHHX Hel'IOABHmeIX Touex.

SUMMARY The authors provide the

satisfactory conditions for solving the Leontief-type statistical input—output model in the x—A(x) :c form. when dífferentiability is not postulated for the components of A(x). This thesisresult (published in 1983). The authors'is the directtheorygeneralization of P. Chander'sis based on some characteristicswell—knownof con—

traction fix-point problems.