2012.10.30.

Magnetohidrodinamika alacsony dimenzi´ os rendszerekben

Bencze Attila,

Cseh G´ abor & Veres G´ abor

2012.10.30.

Tartalomjegyz´ ek

1. Bevezet˝o 3

1.1. A kinetikus ´es a k´etfolyad´ek k¨ozel´ıt´esr˝ol r¨oviden . . . 4

2. Az MHD-k¨ozel´ıt´es 8 2.1. Az MHD-ban haszn´alt f˝obb k¨ozel´ıt´esek . . . 10

2.2. Statikus egyens´uly . . . 13

2.3. Adiabatikus folyamatok . . . 13

2.4. Az MHD egyenletek sk´alaf¨uggetlens´ege . . . 14

2.5. A plazma-β . . . 16

2.6. M´agneses fluxus . . . 16

2.6.1. A fluxuscs˝o koncepci´oja . . . 17

2.6.2. A toroid´alis ´es poloid´alis fluxus defin´ıci´oja . . . 18

2.7. Az MHD-egyenletek konzervat´ıv alakja . . . 19

2.7.1. A momentum egyenlet konzervat´ıv alakja. . . 20

2.7.2. A momentumegyenlet sebess´eggel vett szorzata . . . 21

2.7.3. Az energia-egyenlet s˝ur˝us´eggel vett szorzata . . . 21

2.7.4. A m´agneses t´erre vonatkoz´o egyenlet . . . 22

2.7.5. Az konzervat´ıv alakja, utols´o sim´ıt´asok . . . 22

2.7.6. Az MHD egyenletek v´egs˝o, konzervat´ıv alakja . . . 23

2.8. A helicit´as defin´ıci´oja . . . 23

2.9. A helicit´as megmarad´asa . . . 24

2.10. Mire j´o a helicit´as koncepci´oja? . . . 25

3. MHD hull´amok 27 3.1. G´azdinamikai hanghull´amok . . . 28

3.2. Plazmahull´amok homog´en k¨ozegben . . . 32

3.2.1. Alfv´en-hull´amok . . . 35

4. Az MHD egyens´uly ´es stabilit´asa 39 4.1. θ-pinch ´es Z-pinch . . . 43

4.2. Toroid´alis rendszerek, Grad-Shafranov egyenlet . . . 47

4.2.1. Fluxus fel¨uletek ´es koordin´at´ak . . . 47

4.2.2. Grad-Schafranov egyenlet . . . 51

4.3. Stabilit´as, MHD-er˝ooper´ator formalizmus . . . 55

4.3.1. Altal´´ anos stabilit´asvizsg´alat . . . 58

4.3.2. A kicser´el˝od´esi instabilit´as . . . 61

4.3.3. A hurokinstabilit´as . . . 67

Irodalomjegyz´ek 70

1. fejezet Bevezet˝ o

Az al´abbiakban a magnetohidrodinamika (MHD) mint elm´elet alkalmazhat´os´ag´at, illetve alkalmaz´as´at ismerhetj¨uk meg alacsony dimenzi´os rendszerekben. A tananyag fel´ep´ıt´ese a k¨ovetkez˝o. El˝osz¨or is az egyenleteket posztul´aljuk. Ehhez el˝osz¨or r¨oviden bevezetj¨uk a kinetikus-, illetve a k´etfolyad´ek elm´eletet, majd ezekb˝ol vezetj¨uk le a magnetohidrodina- mika alapegyenleteit. Az elm´eleti le´ır´asok hierarchi´aja ´ugy alakul, hogy a leg´altal´anosabb a kinetikus elm´elet, majd ennek momentumaib´ol k´epezt¨uk a k´etfolyad´ek elm´eletet ´es a k´etfolyad´ek modellt tov´abb egyszer˝us´ıtve kaphatjuk meg az MHD egyenleteit, melyek a plazma makroszkopikus le´ır´as´at adj´ak. A kinetikus elm´elet az eloszl´asf¨uggv´eny id˝ofej- l˝od´es´et ´ırja le. Jellemz˝oen a plazmafrekvencia inverz´enek megfelel˝o id˝osk´al´akon alkal- mazhat´o, a t´ersk´al´aja pedig a Debye-hossz. Ezzel szemben az MHD – mint azt fentebb eml´ıtett¨uk – egy makroszkopikus le´ır´as: nagy t´ersk´al´aj´u, lass´u folyamatokat ´ır le. A k¨ul¨onb¨oz˝o plazm´ak tipikus ´ert´ekeir˝ol t¨obbet megtudhatunk az al´abbi, 1.1. t´abl´azatb´ol.

A kinetikus, ´es az MHD elm´eletek jellemz˝o m´eret- ´es id˝osk´al´ait a k¨ovetkez˝o, 1.2.

t´abl´azat szeml´elteti.

A fenti t´abl´azatb´ol sz´amszer˝uen is l´athatjuk teh´at, hogy az MHD elm´elet j´oval na- gyobb t´er- ´es id˝osk´al´akon lezajl´o folyamatok le´ır´as´ara alkalmas. A plazmafrekvencia ´er- t´eke a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´amolhat´o ki: ω_p =

√

n·e2 ϵ0·me

2π , ahol n az elektronok r´eszecskesz´am- s˝ur˝us´ege, e az elektron t¨olt´ese,m_eaz elektron t¨omege,ϵ₀ pedig a v´akuum permittivit´asa.

A plazmafrekvencia szeml´eletesen azt mondja meg, hogy egy ion- ´es egy hozz´a k´epest kicsit elmozd´ıtott elektronoszlop hogyan oszcill´al egym´as k¨or¨ul. A t´abl´azatban az elekt- ronok plazmafrekvenci´aj´at t¨untett¨uk fel. L´athatjuk, hogy ez egy gyors id˝osk´al´at ad meg, a kinetikus elm´elet ezen a tartom´anyon vizsg´al´odik. A Debye-hossz az a m´eretsk´ala, amin egy t¨olt´es tere le´arny´ekol´odik a plazm´an bel¨ul, azaz ahol az exponenci´alisan es˝o poten- ci´al az ¹_e-ad r´esz´ere cs¨okken, ez egy tokamak plazma eset´en kb. 100.000 atomnyi hossz.

Sz´amszer˝uen ¨osszehasonl´ıtva kinetikus elm´elet id˝o- ´es t´ersk´al´ait az MHD megfelel˝o sk´a- l´aival a k¨ul¨onb¨oz˝o plazm´ak eset´en, mind az id˝o-, mind a m´eretsk´ala t¨obb nagys´agrenddel kisebb a k¨ul¨onb¨oz˝o plazm´akn´al a kinetikus elm´eletn´el, mint az MHD eset´eben.

1.1. A kinetikus ´ es a k´ etfolyad´ ek k¨ ozel´ıt´ esr˝ ol r¨ oviden

Ism´etl´esk´ent tekints¨uk ´at r¨oviden a kinetikus-, illetve a k´etfolyad´ek elm´elet f˝obb egyenle- teit. A kinetikus elm´elet az eloszl´asf¨uggv´eny id˝ofejl˝od´es´et ´ırja le. Az eloszl´asf¨uggv´eny¨unk tartalmazza a rendszerben l´ev˝o ¨osszes r´eszecske hely´enek ´es sebess´eg´enek eloszl´as´at adott t id˝opillanatban. Azaz ha egy adott id˝opillanatban egy adott t´erfogatelemet tekint¨unk a f´azist´erben (ez h´arom dimenzi´o eset´en hat dimenzi´os f´azisteret jelent – 3 helykoordin´ata

´

es 3 sebess´egkoordin´ata), akkor erre a t´erfogatelemre felintegr´alva az eloszl´asf¨uggv´enyt, megtudjuk, hogy h´any olyan r´eszecsk´ek van az adott id˝opillanatban, melyek az [x, x+dx]

t´erfogatban vannak ´es [v, v+dv] sebess´eggel mozognak. Az eloszl´asf¨uggv´eny id˝ofejl˝od´es´et a k¨ovetkez˝o, ´ugynevezett kinetikus egyenlet adja meg.

∂tfσ+ (v∇)·fσ+ q_σ

m_σ(E+v×B)·∂vfσ = Cσ(fσ) (1.1) Ahol fσ, σϵ[e, i] az elektronok- ´es ionok eloszl´asf¨uggv´enye, qσ ´es mσ az elektronok

´es ionok t¨olt´ese ´es t¨omege, E ´es B az elektromos- ´es m´agneses t´er¹, v pedig a r´eszecs- kesebess´eg´e. ∂_t-vel az id˝o szerinti deriv´al´ast, ∂_v-vel pedig a sebess´eg szerinti deriv´al´ast jel¨olj¨uk. Az1.1. egyenlet jobb oldal´an ´all´o tag az ´ugynevezett ¨utk¨oz´esi oper´ator, amely a sz´or´asi folyamatokat ´ırja le, p´eld´aul a relax´aci´oban van jelent˝os szerepe.

• Vizsg´alat: az egyens´ulyi eloszl´ast´ol val´o elt´er´es id˝ofejl˝od´ese/dinamik´aja. P´eld´aul:

relax´aci´osid˝o k¨ozel´ıt´essel.

• K´etfolyad´ek egyenletek - a kinetikus egyenlet sebess´eg szerinti momentumai. A k´etfolyad´ek egyenletekben szerepl˝o u m´ar ´atlagolt sebess´eget jelent szemben a ki- netikus elm´eletben szerepl˝o v-vel, erre hamarosan visszat´er¨unk.

– 0. Kontinuit´as: ∂_tn_σ+∇(n_σu_σ) = 0

– 1. Mozg´asegyenlet: ∂_t(m_σn_σu_σ)+∇Π^σ =n_σq_σ(E+v×B)+∫

m_σv_σC_σ(f_σ)d³v

• Π^σa fesz¨ults´egtenzor (ez tartalmazza a nyom´ast is), tov´abb´aR =∫

m_σv_σC_σ(f_σ)d³v er˝os˝ur˝us´egnek felel meg, a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´asb´ol sz´armazik.

– 2. Energia: _∂t^∂(^3nσ₂^τσ + ^mσn₂^σu2σ) +∇Q_σ =q_σn_σE·u_σ +∫ ₁

2m_σv²_σC_σ(f_σ)d³v

• A tagok jelent´ese: bal oldal: (1) a bels˝o energia id˝oderiv´altja, (2) a kin energia id˝oderiv´altja, jobb oldal: (1) az elektromos t´er munk´aja, (2) W -???.

• Az itt szerepl˝ou_σ a sebess´eg els˝o momentuma, azazu_σ =∫

v_σ d³v, a sebess´egt´erre vett ´atlag - !!! m´ert´ekegys´egre nem j¨on ki, kell valami norm´al´as. Teh´at v_σ a r´eszecsk´ek sebess´ege, u_σ pedig m´ar egy ´atlagolt sebess´eget jelent.

1Jelen esetben csak a Debye-hosszn´al nagyobb t´ersk´al´akon sz´am´ıt a jelenl´et¨uk.

• A fesz¨ults´egtenzor: (∇Π)_j =∂_kΠ_jk; Π^σ_jk =⟨m_σn_σv_σjv_σk⟩_v - itt a r´eszecskes˝ur˝us´eg nem emelhet˝o ki az integr´alb´ol, de l´enyeg´eben ez az azonos fajt´aj´u r´eszecsk´ek se- bess´egkomponenseinek kereszt-korrel´aci´os egy¨utthat´oja. Teh´at a fesz¨ults´egtenzor hat´asa a k´etfolyad´ek mozg´asegyenletben a sebess´egkomponensek korrel´alts´ag´at´ol f¨ugg.

• A tov´abbiakban a σ indexel´est elhagyjuk az egyszer˝ubb jel¨ol´es kedv´e´ert.

• Figyelem: a 0. momentum egyenletben a sebess´eg 1. momentuma szerepel, az 1. mo- mentum egyenletben pedig a sebess´eg 2. momentuma ´es ´ıgy tov´abb. Ezt a kinetikus egyenletben szerepl˝o nemlinearit´as - (v· ∇) - okozza.

• A kinetikus elm´elet ´es a k´etfolyad´ek elm´eletben szerepl˝o sebess´egek k¨oz¨otti kap- csolat: v=u+ev. Itt va makroszkopikus h´att´er´araml´as ´eseva termikus sebess´eg- fluktu´aci´o.

• T´erj¨unk most vissza a fesz¨ults´egtenzorra. ´Irjuk fel a defin´ıci´oj´at ´es helyettes´ıts¨uk be a sebess´eg fenti kifejez´es´et (- itt mi´ert lehet kiemelni a sebbess´eg szerinti integr´al al´ol a s˝ur˝us´eget?? -)

Π_jk =⟨mnv_jv_k⟩=mn⟨(u_j+ev_j)(u_k+ev_k)⟩= (1.2)

=mn(⟨u_ju_k⟩+⟨u_jve_k⟩+⟨u_kev_j⟩) +⟨ev_kev_j⟩) (1.3) Az els˝o tagban az ´atlagol´as elhagyhat´o, mivel m´ar eleve ´atlagok. A m´asodik kett˝o- b˝ol kiemelhet˝ok az ´atlagok ´ıgy csak a fluktu´aci´ok ´atlagai maradnak, amik defin´ıci´o szerint null´ak, ezek a tagok teh´at kiesnek. Marad mn(ujuk +⟨evkevj⟩ azaz a se- bess´egkomponensek ´atlagainak szorzata ´es a sebess´egkomponensek fluktu´aci´oinak kereszt-korrel´aci´os egy¨utthat´oja. Ez ut´obbit sz´etv´alaszthatjuk egy diagon´alis ´es egy offdiagon´alis r´eszre. A fesz¨ults´egtenzor ezzel a fel´ır´assal:

Πjk =mnujuk+δjk·p+ (1−δjk)·Πjk (1.4) Itt p a nyom´ast jelenti. Ez nem m´as, mint mnδjk · ⟨evjevk⟩, azaz p=mn⟨ev²⟩, teh´at a nyom´as a sebess´eg sz´or´as´aval/fluktu´aci´os amplit´ud´oj´aval/RMS ´ert´ek´evel ar´anyos - ezt j´ol ´ertem? Itt a sebess´egt´erre megy az ´atlagol´as, nem id˝ore...

• A konduktv h˝ofluxus q = n⟨₁

2mev²ev⟩

, ezzel az energia egyenletben szerepl˝o Q_j a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o:

Q_j =q_j+ 5

2pu_j + Π_jk ·u_k+ (1

2mnu²)u_j (1.5)

A k´etszer el˝ofordul´o inexekre automatikusan ¨osszegz¨unk. A tagok jelent´ese: (1) kon- dukt´ıv h˝ofluxus, (2) konvekt´ıv h˝ofluxus, (3) kinetikus energia ´aram.

• A momentum egyenletek lez´ar´asa konstrukt´ıv egyenleteket kell fel´ırni, melyek a Π, q, W,R v´altoz´okat ¨osszekapcsolj´ak az n, T,u alapv´altoz´okkal.

• Az eddigiekben a g´azokt´ol az ide´alis g´az ´allapotegyenlet´et vett¨uk - nem a val´odi g´azok´et -, amit megtehett¨unk, ugyanis a plazma magas h˝om´ers´eklet˝u ´es ritka, ´eppen ekkor m˝uk¨odik j´ol ez a k¨ozel´ıt´es g´azok eset´en.

Fizikai mennyis´eg Jele Tokamak Napkorona Magnetoszf´era r´eszecskesz´am-s˝ur˝us´eg n 10²⁰m⁻³ 10¹⁶m⁻³ 10¹⁰m⁻³

m´agneses t´er B 3T 0,03T 3·10⁻⁵T h˝om´ers´eklet T 10⁸K 10⁶K 10⁴ K

1.1. t´abl´azat. A k¨ul¨onb¨oz˝o plazm´ak f˝obb jellemz˝oi.

Fizikai mennyis´eg Jele Tokamak Napkorona Magnetoszf´era sz´eless´eg a 1m 10⁷m 6·10⁶m

hossz L 20m 10⁸m 4·10⁷m

id˝osk´ala τ n´eh´any s n´eh´any nap n´eh´any ´ora Fizikai mennyis´eg Jele Tokamak Napkorona Magnetoszf´era inverz plazmafrekvencia _ω¹

p 10⁻¹¹s 10⁻⁹s 10⁻⁶s

Debye-hossz λ_D 0,07mm 0,7mm 7cm

1.2. t´abl´azat. A kinetikus ´es az MHD elm´elet jellemz˝o m´eret- ´es id˝osk´al´aja. Fel¨ul az MHD, alul a kinetikus elm´eletre vonatkoz´o t´abl´azat l´athat´o.

2. fejezet

Az MHD-k¨ ozel´ıt´ es

Most pedig t´erj¨unk ´at az MHD-elm´elet ismertet´es´ere. Az MHD – mint azt kor´abban megjegyezt¨uk– a m´agneses t´errel k¨olcs¨onhat´o t¨ok´eletes elektromos vezet˝o folyad´ek moz- g´as´at le´ır´o modell(/elm´elet). Ezen elm´elet ¨osszetev˝oi, vagy m´as n´even alapegyenletei a Maxwell-egyenletek, a g´azdinamikai egyenletek, valamint az ezek k¨oz¨ott l´ev˝o csatol´as.

Teh´at mag´at az MHD elm´eletet a fentebb eml´ıtett komponensek hat´arozz´ak meg. Ezek az egyenletek az al´abbiakban ker¨ulnek felsorol´asra. El˝osz¨or is ´ırjuk fel az elektrodinami- k´ab´ol ismert Maxwell-egyenleteket, differenci´alis alakban.

∇ ×E = −∂B

∂t (2.1)

∇ ×B = µ₀·j+ 1 c²

∂E

∂t (2.2)

∇ ·E = 1 ϵ₀

∑

σ

q_σn_σ (2.3)

∇ ·B = 0 (2.4)

A fenti egyenletek szeml´eletes jelent´es´et ism´etl´esk´eppen felsoroljuk. A 2.1. egyenlet jelent´ese, hogy a m´agneses indukci´o v´altoz´asa elektromos teret kelt. A 2.2. egyenlet jelent´ese, hogy a m´agneses indukci´ot az elektromos mez˝o v´altoz´asa ´es az ´aramok kel- tik. A2.3. egyenlet azt mondja meg, hogy az elektromos mez˝o forr´asa (divergenci´aja) a t¨olt´ess˝ur˝us´eg, m´ıg a2.4. egyenlet azt mondja ki, hogy a m´agneses t´er forr´asmentes (diver- genciamentes – nincsenek m´agneses monop´olusok). Miel˝ott a g´azdinamikai egyenletekre t´ern´enk ´at, vezess¨unk be n´eh´any ´uj v´altoz´ot, mellyel az MHD-elm´eletben alkalmazott vezet˝o folyad´ekot le´ırhatjuk. Az MHD-v´altoz´oink a k¨ovetkez˝ok.

• T¨omegs˝ur˝us´eg, melyet ρ-val jel¨ol¨unk ´es fel´ırhatjuk az elektronsz´am-s˝ur˝us´eg ´es az elektront¨omeg, valamint az ionsz´am-s˝ur˝us´eg ´es az iont¨omegek szorzat´anak ¨ossze- gek´ent, azaz ρ=n_em_e+n_im_i.

• T¨olt´ess˝ur˝us´eg, melyet a t¨omegs˝ur˝us´eghez hasonl´oan ρ_c-vel jel¨ol¨unk ´es amit az elektronsz´am-s˝ur˝us´eg ´es az elektron t¨olt´ese, valamint az ionsz´am-s˝ur˝us´eg ´es az io- nok t¨olt´es´enek szorzat´anak ¨osszegek´ent ´ırhatunk fel, azaz ρ_c=n_eq_e+n_iq_i.

• Bevezetj¨uk tov´abb´a a sebess´eg fogalm´at, melyet a k´etfolyad´ek elm´elet alapj´an, az elektron- ´es ionfolyad´ekok ¨osszegek´ent ´ırunk fel, azaz: u= ¹_ρ(n_em_eu_e+n_im_iu_i).

• Elm´elet¨unk v´altoz´oja m´eg az ´arams˝ur˝us´eg, melyet szint´en a k´etfolyad´ek elm´elet alapj´an defini´alunk, a k¨ovetkez˝ok´eppen: J=−e(n_eu_e−Zn_iu_i).

• Ezen k´ıv¨ul sz¨uks´eg¨unk van m´eg a nyom´asra, melyet az elektronok ´es ionok nyom´a- sainak ¨osszegek´ent defini´alunk. p=pi+pe.

A fentiek ismeret´eben most m´ar fel´ırhatjuk az ´ujonnan bevezetett MHD-v´altoz´okkal a g´azdinamikai egyenleteket, melyeket az al´abb l´athat´o k´et (a 2.5. ´es a 2.6.) egyenlet defini´al. A 2.5. egyenlet a j´ol ismert kontinuit´asi egyenlet.

∂ρ

∂t +∇(ρ·u) = 0 (2.5)

∂p

∂t +u∇p+γp∇ ·u = 0 (2.6)

A 2.1., 2.2., 2.3., 2.4., 2.5. ´es 2.6. egyenletek felhaszn´al´as´aval ´ırjuk fel az MHD mozg´asegyenletet.

ρ(∂

∂t+u∇)u = −∇p+ρ·g+j×B+ρ_cE (2.7) Ezen k´ıv¨ul fel´ırjuk m´eg az Ohm-t¨orv´eny k´et alakj´at az al´abbiakban, az ide´alis MHD- ban¹ ´erv´enyes Ohm-t¨orv´enyt (2.8. egyenlet), valamint a reziszt´ıv MHD-ben² ´erv´enyes Ohm-t¨orv´enyt (2.9. egyenlet).

E+u×B = 0 (2.8)

1Ilyenkor feltessz¨uk, hogy a plazma t¨ok´eletes vezet˝o, azaz nincs ellen´all´asa.

2Ebben az esetben a plazm´anak v´eges ellen´all´asa van.

E+u×B = η·j (2.9) A2.9. egyenletben azηa vezet˝ok´epess´eget jel¨oli. Itt szeretn´enk megjegyezni, hogy az MHD-ban a plazm´aban ¨utk¨oz´esess´eget kell felt´etelezn¨unk ahhoz, hogy relax´aci´o, egyen- s´uly alakulhasson ki. Tov´abb´a megjegyezz¨uk azt is, hogy az MHD felfoghat´o egy egyes´ı- tett t´erelm´eletk´ent is, hiszen vektor- ´es skal´armez˝ok kapcsolat´at ´ırja le, ahol a vektorme- z˝oink az elektromos t´er, a m´agneses indukci´ovektor, a sebess´eg ´es az ´arams˝ur˝us´eg (E,B, u,j), a skal´armez˝oink pedig a r´eszecskesz´am-s˝ur˝us´eg, a t¨omegs˝ur˝us´eg, a t¨olt´ess˝ur˝us´eg, a nyom´as ´es a h˝om´ers´eklet (n,ρ,ρ_c, p, T). Az MHD elm´elet t´argyal´asa sor´an sz¨uks´eg¨unk lesz a mechanika, elektrodinamika, hidrodinamika ´es statisztikus fizika tanul´asa sor´an megszerzett ismereteinkre a plazma komplex viselked´es´enek le´ır´as´ahoz.

2.1. Az MHD-ban haszn´ alt f˝ obb k¨ ozel´ıt´ esek

Term´eszetesen amikor az MHD-ban haszn´alt k¨ozel´ıt´esekr˝ol besz´el¨unk, fontos szem el˝ott tartani, hogy ezek tov´abbi k¨ozel´ıt´esek az MHD t´argyal´as´an bel¨ul, hiszen maga a magneto- hidrodinamika is egy bonyolultabb jelens´eg k¨ozel´ıt´esek´ent j¨ott l´etre. El˝osz¨or is vezess¨unk be egy jel¨ol´esm´odot, amivel az elm´elet tipikus sk´al´ait vagyunk k´epesek le´ırni, egyel˝ore azok pontos, sz´amszer˝u ismerete n´elk¨ul. Jel¨olj¨uk a tipikus m´eretsk´al´atL-lel, a m´agneses t´er nagys´ag´at B-vel, az elektromos t´er nagys´ag´at E-vel, azt a tipikus id˝ot pedig t-vel.

Az al´abbiakban k¨ovetkezzenek teh´at k¨ozel´ıt´eseink az MHD-ban:

• Nemrelativisztikuss´ag. Feltessz¨uk, hogy a folyad´ekunk sebess´ege j´oval kisebb a f´enysebess´egn´el, azaz|u| ≪c.

V´egezz¨uk el a dimenzi´oanal´ızist³ a 2.1. egyenlettel jel¨olt Maxwell-egyenleten:

∇ ×E = −∂B

∂t → E L ∼ B

t (2.10)

A 2.10. egyenletet ´atrendezve a k¨ovetkez˝o eredm´enyt kapjuk.

L

t = E

B (2.11)

Mivel az ^L_t =v sebess´eg dimenzi´oj´u mennyis´eg, ez´ert dimenzi´ora igaz az, hogy ^E_B =v.

Ezt az eredm´enyt az al´abbiakban r¨ogt¨on fel is haszn´aljuk.

3A dimenzi´oanal´ızis sor´an a∇ tag _L¹ dimenzi´ot fog behozni az egyenleteinkbe.

Most vizsg´aljuk meg a 2.2. egyenlettel jel¨olt Maxwell-egyenletet is. Az egyenlet jobb oldal´an tal´alhat´o _c¹2

∂E

∂t tag az eltol´asi ´aramot jelenti. Mivel felt´etelezz¨uk, hogy a plazm´ank nemrelativisztikus, ez a tag elhanyagolhat´o lesz. N´ezz¨uk meg, hogy hogyan.

V´egezz¨uk el a dimenzi´oanal´ızist.

∇ ×B = µ₀·j+ 1 c2

∂E

∂t → B

L ∼µ₀·j+ 1 c²

E

t (2.12)

Hasonl´ıtsuk ¨ossze a bal oldalon ´all´o ^B_L tag ´es a jobb oldali _c¹2

E

t tag nagys´ag´at.

1 c² · ^E_t

B L

= 1

c² E B

L t = v²

c² ≪1 (2.13)

A 2.13. egyenletben felhaszn´altuk, hogy az _B^E = v, ´es az ^L_t = v tag is sebess´eg dimenzi´oj´u mennyis´eget ad, ´ıgy kaptuk a v²-et, ahol pedig az´ert tudjuk, hogy ^v_c²2 ≪ 1, mivel feltett¨uk, hogy plazm´ank nemrelativisztikus, azaz v ≪c.

Az u≪c k¨ozel´ıt´es hat´assal van a kezdeti, 2.7. mozg´asegyenletre is. A 2.7. egyenlet jobb oldal´anak utols´o k´et tagja a j×B Lorentz-er˝o ´es a ρ_cE Coulomb-er˝o. Vizsg´aljuk meg, hogy ezek k¨oz¨ul melyik a tag ad jelent˝os j´arul´ekot a mozg´asegyenletben a fenti k¨ozel´ıt´esek bevezet´ese ut´an. Ehhez el˝osz¨or is fejezz¨uk ki a t¨olt´ess˝ur˝us´eget a 2.3. jel˝u Maxwell-egyenletb˝ol:

∇ ·E = ρ_c

ϵ₀ →ρ_c∼ Eϵ₀

L (2.14)

Illetve a Maxwell-elm´eletb˝ol tudjuk, hogy c² = _ϵ¹

0µ0, ´ıgy ezt a kifejez´est ´at´ırhatjuk

´

ugy, hogy:

ρ_c ∼ 1 µ₀c²

E

L. (2.15)

A kapott egyenlet mindk´et oldal´at szorozzuk meg E-vel, ekkor visszakapjuk a moz- g´asegyenletben (2.7. egyenlet) l´atott tagot.

ρ_cE ∼ 1 µ₀c²

E²

L (2.16)

Most fejezz¨uk ki az ´arams˝ur˝us´eget a2.1. jel˝u Maxwell-egyenletb˝ol.

∇ ×E = −∂B

∂t → E L ∼ B

t →E ∼Bv (2.17)

Ezt helyettes´ıts¨uk vissza a 2.18. egyenletbe, ekkor az a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o.

ρ_cE ∼ 1 µ0c²

E

LE = v² c²

B²

µ0L (2.18)

Aj×Btagot pedig a2.13. egyenletb˝ol k¨onnyed´en megkaphatjuk, hiszen innen tudjuk, hogyµ₀j∼ ^B_L, ´ıgy:

j×B ∼ B²

µ₀L (2.19)

A 2.18. ´es a 2.19. egyenletek h´anyados´at k´epezve a k¨ovetkez˝ot kapjuk.

v² c² · _µ^B₀²_L

B² µ0L

= v²

c² ≪1 (2.20)

Teh´at a fenti egyenlettel megmutattuk, hogy aρ_cE tag elhanyagolhat´o aj×B mel- lett. A mozg´asegyenlet teh´at nem tartalmazza az elektromos teret, azaz az elektromos t´er nem sz´ol bele a plazma mozg´as´aba. Ezzel elhanyagoltuk a t´ert¨olt´esek hat´as´at. Te- h´at a ∇ ·E = _ϵ¹

0ρ_c Maxwell-egyenletet az MHD t´argyal´as´an´al kihagyjuk a t´argyal´asb´ol, hiszen nem hordoz inform´aci´ot sz´amunkra. Ezek ut´an tekints¨uk ´at, hogy milyen egyen- leteink maradtak az egyszer˝us´ıt´esek megt´etele ut´an, teh´at k¨ovetkezzenek a k¨ozel´ıt´esek ut´an fel´ırhat´o MHD-modell alapegyenletei⁴.

∂ρ

∂t +∇(ρu) = 0 (2.21)

(∂

∂t +u∇ )

p+γp∇u = 0 (2.22)

ρ (∂

∂t+u∇ )

u = −∇p+ρ·g+ 1

µ₀(∇ ×B)×B (2.23)

∂B

∂t = ∇ ×(u×B) (2.24)

4Megjegyz´es: az egyenletekben szerepl˝o mez˝oknek csak a k = 2π/λ_D kisebb hull´amsz´am´u kompo- nenseit tekintj¨uk -λ_D-n´el, azaz a Debye-hosszn´al nagyobb t´ersk´al´an vizsg´al´odunk.

Mivel ∇ ×E=−^∂B_∂t ´esE=−u×B.

∇B = 0 (2.25)

A 2.25. egyenlet biztosan igaz lesz, ha kezd˝ofelt´etelnek tekintj¨uk, hiszen ha kezdet- ben biztos´ıtani tudjuk, hogy az egyenl˝os´eg fenn´alljon, akkor a rendszer teljes ´elettartama sor´an igaz lesz. A 2.24. egyenlet azt jelenti, hogy a plazma csatolt a m´agneses t´er id˝o- beli v´altoz´as´aval, ez okozza a fluxusbefagy´ast, mint azt k´es˝obb l´atni is fogjuk. A fenti egyenletekb˝ol az ismeretlen f¨uggv´enyeink a s˝ur˝us´eg, a sebess´eg, a nyom´as ´es a m´agne- ses t´er (ρ(r, t),u(r, t), p(r, t),B(r, t)). Ez ¨osszesen nyolc ismeretlen f¨uggv´eny (hiszen a vektormennyis´egek minden esetben h´arom-h´arom koordin´at´aval rendelkeznek).

2.2. Statikus egyens´ uly

Statikus egyens´ulyban, azaz amikor minden id˝oderiv´alt z´erus, ´es a sebess´eg is nulla (_∂t^∂ = 0 ´esu = 0), a fenti 2.21-2.25. egyenletek tov´abb egyszer˝us¨odnek a mozg´asegyenletre ´es a2.4-vel jel¨olt Maxwell-egyenletre, azaz:

∇p = 1

µ₀(∇ ×B)×B (2.26)

∇ ·B = 0 (2.27)

A mozg´asegyenletnek statikus egyens´ulyban sok lehets´eges megold´asa van. Ezek k¨o- z¨ul csak azok a megold´asok val´osulnak meg, amikre igaz az, hogy ∇ ·B= 0. A statikus egyens´uly k´es˝obb r´eszletesebben is el˝o fog ker¨ulni a Grad-Shafranov egyenlet t´argyal´as´a- n´al.

2.3. Adiabatikus folyamatok

Adiabatikus folyamatok eset´en _ρ^pγ = ´all.Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen _Dt^D _ρ^pγ = _∂t^∂ _ργ^p + (u·∇)_ρ^pγ = 0, aholγ = ^c_c^V

p, azaz az ´alland´o t´erfogaton ´es az ´alland´o nyom´ason vett fajh˝o h´anyadosa.

Teh´at egyenlet¨unket (a nyom´as dinamikai egyenlet´et) a k¨ovetkez˝o alakra hoztuk.

∂

∂t p

ρ^γ + (u· ∇) p

ρ^γ = 0 (2.28)

V´egezz¨uk el a szorz´asokat:

p∂(ρ^−γ)

∂t +ρ^−γ∂p

∂t +p(u· ∇)ρ^−γ+ρ^−γ(u· ∇)p = 0 (2.29) V´egezz¨uk el a deriv´al´asokat, ahol lehet.

−pγρ^−γ−1∂ρ

∂t +ρ^−γ∂p

∂t −pγρ^−γ−1(u· ∇)ρ+ρ^−γ(u· ∇)p = 0 (2.30) Most szorozzuk be mindk´et oldalt ρ^γ-val.

−pγρ⁻¹∂ρ

∂t + ∂p

∂t −pγρ⁻¹(u· ∇)ρ+ (u· ∇)p = 0 (2.31) Csoportos´ıtsuk a tagokatp ´es ρ deriv´altjai szerint.

(∂p

∂t + (u· ∇)p )

−pγρ⁻¹ (∂ρ

∂t(u· ∇)ρ )

= 0 (2.32)

A bal oldal m´asodik tagj´aban a z´ar´ojelben l´ev˝o tag ^∂ρ_∂t(u·∇)ρ=−ρ∇u, a2.5. sz´am´u, kontinuit´asi egyenlet miatt. ´Igy teh´at a nyom´as dinamikai egyenlet´enek v´egs˝o alakja a k¨ovetkez˝o.

∂p

∂t + (u· ∇)p+pγ∇u = 0 (2.33)

2.4. Az MHD egyenletek sk´ alaf¨ uggetlens´ ege

Az MHD egyenletek sk´alaf¨uggetlenn´e tehet˝ok a hossz, a t¨omeg ´es az id˝o egys´egeinek megfelel˝o megv´alaszt´as´aval.

• l₀ karakterisztikus hossz (pl. a tokamak ker¨ulete: l₀ = 2πR)

• B₀ m´agneses tengelyen m´ert m´agneses t´er (pl. tokamakn´al a

”k¨oz´epen” m´ert m´ag- neses t´er)

• ρ0 a m´agneses tengelyen m´ert s˝ur˝us´eg (pl. tokamakn´al a

”k¨oz´epen” m´ert s˝ur˝us´eg) Ezekb˝ol az alapmennyis´egekb˝ol sebess´eg jelleg˝u mennyis´eget alkothatunk, ez az Alfv´en- sebess´eg:

v_A = B₀

√µ0ρ0

(2.34)

t₀ = l₀

v_A0 = l₀√ µ₀ρ₀

B₀ (2.35)

Alapmennyis´egek: l₀, t₀,B₀. Ezekb˝ol sz´armaztatjuk az Alfv´en-sebess´eget ´es a s˝ur˝u- s´eget: v_A0, ρ₀.

Az al´abbiakban bevezetj¨uk az alap- ´es sz´armaztatott mennyis´egek ´atsk´al´azott v´alto- zatait, melyeket defin´ıci´o szerint az al´abbi ´uj v´altoz´ok adj´ak:

l = l l0

, t= t t0

,B = B B0

, ρ= ρ ρ0

, u= u vA0

, p= p

(ρ0v²_A0) (2.36) A sk´alatranszform´aci´os egyenletek (defin´ıci´o szerint): ∇=l₀· ∇,_∂t^∂ =t_0∂t^∂.

Kontinuit´asi egyenlet:

∂ρ

∂t +∇(ρu) = 0 (2.37)

Elv´egezz¨uk a transzform´aci´ot:

1 t₀

∂

∂t(ρρ₀) + 1

l₀∇(ρρ₀v_A0u) = 0/·t₀ (2.38) mivel ρ₀ id˝of¨uggetlen, ez´ert kivihetj¨uk a deriv´al´asok el´e, leoszthatunk vele, ezut´an mindk´et oldalt szorozzukt₀-lal:

∂

∂tρ+ t₀

l₀∇(ρv_A0u) = 0 (2.39)

´es mivel ^t_l⁰

0 = _v¹

A0 ´esv_A0szint´en kivihet˝o a deriv´al´as el´e, ez´ert az egyenlet v´egs˝o alakja:

∂

∂tρ+∇(ρu) = 0 (2.40)

.

L´athatjuk, hogy a transzform´alt egyenlet alakja megegyezik az eredeti alakkal, teh´at az egyenlet invari´ans a sk´al´ara. Ez megfelel v´arakoz´asainknak a kontinuit´asi egyenlettel kapcsolatban.

Mozg´asegyenlet

ρ (∂u

∂t +u· ∇u )

+∇p− 1

µ₀(∇ ×B)×B = 0 (2.41) ahol a kor´abban m´ar megismert (_∂u

∂t +u· ∇u)

tagot u konvekt´ıv deriv´altj´anak ne- vezz¨uk ´es a k¨ovetkez˝ok´eppen jel¨olj¨uk: _Dt^D = _∂t^∂ +u∇. V´egezz¨uk el a sk´alatranszform´aci´ot:

(ρ₀ρ) (1

t₀

∂

∂t (l₀

t₀u )

+ (l₀

t₀u· 1 l₀

)

∇ · (l₀

t₀u ))

+ 1

l₀∇ρ₀v²_A0p− 1 µ₀

B₀² l₀

(∇ ×B)

×B = 0/·ρ₀l₀ t²₀ (2.42) Az egyszer˝us´ıt´esek ut´an (felhaszn´alva, hogy v²_A0 = _t^l202

0 = _µ^B20

0ρ0) a k¨ovetkez˝o k´epletet kapjuk:

ρ (∂u

∂t +u∇u )

+∇p−(∇ ×B)×B = 0 L´athatjuk, hogy ez az egyenlet is invari´ans a sk´al´ara.

2.5. A plazma-β

A plazma-β defin´ıci´oja: β = ^2µ_B⁰2^p0

0 . V´egezz¨unk el egy transzform´aci´ot csak a nyom´asra:

β = ^2µ_B⁰2^p0

0 → ^2µ0ρ_B^0v22A0p0

0

= 2p₀, mivel ^µ_B^0ρ2⁰ 0

= _v2¹ A0

. Ezzel a v´alaszt´assal a β dimenzi´o n´elk¨uli nyom´ast ´ır le. A COMPASS eset´en: β = ^2µ_B⁰2^p0

0

= ^{2·µ0·4π·10−7·10}_1.2¹⁹2^{1.38·10−23·107} ∼ 10⁻³ ≪1. Ez ´altal´aban a tokamak plazm´akra jellemz˝o ´ert´ek.

A plazma-β fontos szerepet t¨olt be, t¨obbek k¨ot¨oz¨ott fontos stabilit´asi param´eter, ld.

2.1 ´abra.

2.6. M´ agneses fluxus

Ebben a fejezetben a k¨ovetkez˝o t´emak¨or¨oket fogjuk ´attekinteni:

1. A fluxuscs˝o koncepci´oja

2. A fluxus glob´alis megmarad´asa

2.1. ´abra. A β-stabilit´asi hat´ar.

2.6.1. A fluxuscs˝ o koncepci´ oja

• Mi az oka annak, hogy a plazm´at ¨osszetart´o m´agneses strukt´ur´ak cs˝oszer˝uek?

A ∇ ·B = 0 egyenletnek nincsen szf´eriukus (g¨ombszimmetrikus) megold´asa, hiszen ez azt jelenten´e, hogy egy g¨ombfel¨uleten minden ponton kifel´e mutat´o B vektorok lenn´e- nek jelen, ami csak akkor lehets´eges, ha a m´agneses t´ernek van forr´asa, ami ellenkezik a Maxwell-egyenletekkel. Viszont a fenti egyenletnek l´etezik hengerszimmetrikus meg- old´asa. A k¨ovetkez˝o integr´aln´al a t´erfogati integr´alr´ol ´att´er¨unk a fel¨uleti integr´alra a Gauss-t´etel felhaszn´al´as´aval, majd mivel a fel¨uleti integr´al a pal´aston defin´ıci´o szerint 0, ez´ert csak a fluxuscs˝o k´et v´eg´en´el l´ev˝o keresztmetszeten integr´alunk.

∫

V

∇ ·BdV = I

S

B·nds=

∫

S1

B₁·n₁ds₁+

∫

S2

B₂·n₂ds₂ (2.43) .

A m´agneses fluxus defin´ıci´oja: ψ =∫

SB·nds.

• Hogyan mozog egy fluxuscs˝o a plazma mozg´asa sor´an?

∂B

∂t = ∇ ×(u×B), ahol u a plazma ´araml´asi sebess´ege. A fenti egyenlet a k¨ovetkez˝o k´et egyenletet tartalmazza, ¨osszes˝ur´ıtve:

∇ ×E = −∂_tB (2.44)

E = −u×B (2.45) Hat´arfelt´etelek:

1. n_wall·u= 0 (a fal nem ereszti ´at a plazm´at).

2. E_t = 0 (E-nek nincs ´erint˝o ir´any´u komponense, mert a fal t¨ok´eletes vezet˝o).

Az Ohm-t¨orv´eny alakja ebben az esetben: E+u×B= 0→nw×(E+u×B) = 0, ´es miveln_w mindenhol mer˝oleges a falra ´es defin´ıci´o szerint E_t = 0, ez´ert n_w×E = 0, ´ıgy a m´asodik tagnak is null´anak kell lennie:

n_w×(u×B) = 0 (2.46) Az al´abbi ¨osszef¨ugg´es felhaszn´al´asvalA×(B×C) = (A·C)·B−(A·B)·Ca fenti, 2.46. egyenlet a k¨ovetkez˝ok´eppen m´odosul.

(n_w·B)·u−(n_w·u)·B = 0 (2.47) Es mivel´ nw·u= 0 (defin´ıci´o szerint), ez´ert az egyenlet v´egs˝o alakja a k¨ovetkez˝ok´ep- pen n´ez ki.

nw·B = 0 (2.48)

Teh´at a m´agneses t´er ´ert´eke a falon mindenhol z´erus.

2.6.2. A toroid´ alis ´ es poloid´ alis fluxus defin´ıci´ oja

Az al´abbi ´abr´an a poloid´alis ´es a toroid´alis m´agneses t´er szeml´eletes ´abr´azol´as´at l´athat- juk:

Amit a toroid´alis t´er d¨of kereszt¨ul, toroid´alis fluxusnak nevezz¨uk, amit pedig a poloid´alis t´er d¨of kereszt¨ul,poloid´alis fluxusnakh´ıvjuk. Egyenletekkel megfogalmazva:

• Toroid´alis fluxus:ψ_t =∫

StB_t·n_tds.

• Poloid´alis fluxus: ψp =∫

SpBp·npds.

Vizsg´aljuk meg a fluxus id˝obeli v´altoz´as´at fix m´agneses tengely eset´en (hiszen csak ekkor vihet˝o be az id˝obeli deriv´al´as az integr´al al´a).

poloidális metszet (S )_t

toroidális metszet (S )_p χ

ψ

2.2. ´abra. A poloid´alis ´es a toroid´alis fluxus koncepci´oja.

ψ˙t =

∫

Sp

∂B_t

∂t ·ntds= I

u(Bt·dlp) = 0 (2.49) ahol lp a poloid´alis ´ıvelem ´es felhaszn´altuk a Stokes-t´etelt a fel¨uletir˝ol k¨orintegr´alra val´o ´att´er´esben, valamint azt is, hogy: ^∂B_∂t^t = ∇ ×(u×B_t). A peremfelt´etelek pedig:

n_w·u = 0, ´esn_w·B = 0. A fenti eredm´enyek viszont - ahogy azt kor´abban eml´ıtett¨uk -, csak akkor igazak, ha fix a m´agneses tengely.

2.7. Az MHD-egyenletek konzervat´ıv alakja

Az al´abbiakban bevezetj¨uk az MHD-egyenletek konzervat´ıv (vagy m´as sz´oval megmara- d´o, kontinuit´asi egyenlethez hasonl´o) alakj´at. A konzervat´ıv alak alatt azt ´ertj¨uk, hogy egyenleteinknek a k¨ovetkez˝o s´em´at kell k¨ovetni¨uk:

∂

∂t(...) +∇ ·(...) = 0 (2.50)

El˝osz¨or is ´ırjuk fel a kontinuit´asi egyenletet, amely defin´ıci´o szerint m´ar konzer- vat´ıv alakban van:

∂ρ

∂t +∇ ·(ρu) = 0 (2.51)

Majd ´ırjuk fel az MHD tov´abbi egyenleteit:

• Mozg´asegyenlet (momentum egyenlet): ,ρ(_∂u

∂t +u· ∇u)

+∇p−j×B = 0.

• Az ´aramra vonatkoz´o egyenletet: j=∇ ×B.

• Az energias˝ur˝us´egre vonatkoz´o egyenlet: _Dt^D ( p

ρ^γ

)

= 0; p= (γ −1)·ρ· Eb, ahol Eb

a bels˝o energia s˝ur˝us´eg, _Dt^D = _∂t^∂ +u· ∇ az ´un. konvekt´ıv deriv´alt.

• A fentiek alapj´an az energiaegyenlet: ^∂_∂t^Eb +u· ∇Eb+ (γ−1)· Eb∇ ·u = 0.

• Az elektromos ´es m´agneses terekre vonatkoz´o egyenletek: ^∂B_∂t +∇ ×E = 0; E =

−u×B; ∇ ·B = 0.

V´eg¨ul pedig fel´ırunk n´eh´any vektoranalitikai ¨osszef¨ugg´est, amelyek fontosak lesznek az egyenletek levezet´ese sor´an.

∇(a◦b) = a· ∇b+b∇ ·a (2.52)

a×(∇ ×b) = (∇b)a− ∇ ·(a◦b)−b∇ ·a (2.53)

∇ ×(a×b) = ∇(b◦a−a◦b) (2.54)

∇(a·b) = (∇a)·b+ (∇b)·a (2.55)

2.7.1. A momentum egyenlet konzervat´ıv alakja

Az al´abbiakban a momentum egyenletet tagonk´ent ´atalak´ıtva jutunk el a momentum egyenlet konzervat´ıv alakj´aig.

A momentum egyenlet els˝o tagja ρ∂u

|{z}∂t

=^∂(ρu)_∂t −u^∂ρ_∂t

+ρu· ∇u= _∂t^∂(ρu) +u ∂ρ

|{z}∂t

=−∇(ρu)

+ρu· ∇u=...,

ahol felhaszn´altuk, hogy _∂t^∂(ρu) =ρ^∂u_∂t +u^∂ρ_∂t =ρ^∂u_∂t +u^∂ρ_∂t =ρ^∂u_∂t −u∇(ρu)→ρ^∂u_∂t =

∂

∂t(ρu) +u∇(ρu). Az utols´o tag a kontinuit´asi egyenlet (2.51.) alapj´an ^∂ρ_∂t =−∇ ·(ρu) hozhat´o be.

Teh´at egyenlet¨unk els˝o tagja jelenleg a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:

...=ρ^∂u_∂t +u∇ ·(ρu) + (ρu· ∇)u

| {z }

∇(ρu◦u)

=...

A 2.52-es ¨osszef¨ugg´es felhaszn´al´as´aval pedig a k¨ovetkez˝o alakra hozhatjuk:

...= _∂t^∂(ρu) +∇(ρu◦u).

A momentum egyenlet m´asodik tagja

−j×B=B×j=B×(∇×B) |{z}=

a×(∇×B)=(∇◦b)·a−∇(a◦b)−b(∇·a)

(∇◦B)·B−∇(B◦B)−B(∇·B)

|{z}=

∇(a·b)=(∇◦a)·b+(∇◦b)·a,ahol a=b=B

∇ (1

2B² )

− ∇ ·(B◦B), (2.56)

ahol felhaszn´altuk, hogy j = ∇ ×B, valamint a 2.53-as ´es 2.55-es vektoranalitikai

¨osszef¨ugg´eseket.

A momentum egyenlet harmadik tagja

∇ ×E = −∇ ×(u×B) =∇ ·(u◦B−B◦u) (2.57) Ahol felhaszn´altuk, hogy E = −u× B (ide´alis Ohm-t¨orv´eny), valamint a 2.54-es vektoranalitikai ¨osszef¨ugg´est.

2.7.2. A momentumegyenlet sebess´ eggel vett szorzata

Szorozzuk meg balr´ol u-val a momentum egyenletet:

ρu (∂u

∂t +u∇u )

+u∇p−u·j×B = 0 (2.58)

∂

∂t (1

2ρu² )

+∇ · (1

2ρu²·u )

+u∇p−u·j×B = 0 (2.59) A fenti egyenlet a kinetikus energi´at ´ırja le.

2.7.3. Az energia-egyenlet s˝ ur˝ us´ eggel vett szorzata

Szorozzuk meg balr´ol ρ-val az energia egyenletet:

ρ∂Eb

∂t +ρu∇Eb+ (γ−1)ρEb∇u = 0 (2.60) Felhaszn´aljuk, hogy (γ−1)ρEb =p.

∂

∂t(ρEb) +−Eb

∂ρ

∂t +ρu· ∇Eb+p∇ ·u = 0 (2.61)

∂

∂t(ρEb) +∇(ρ· Eb·u) +p∇ ·u = 0 (2.62) Ahol a m´asodik tag a bels˝oenergia-´aram s˝ur˝us´eg´et adja meg.

2.7.4. A m´ agneses t´ erre vonatkoz´ o egyenlet

B (∂

∂tB− ∇ ×(u×B) )

= 0 (2.63)

Kis ´atalak´ıt´assal a fenti egyenletb˝ol a k¨ovetkez˝ot kapjuk:

∂

∂t (1

2B² )

+∇(B×(u×B))−(u×B)· ∇ ×B = 0 (2.64) Ahol felhaszn´altuk a∇ ·(a×b) = b· ∇ ×a−a· ∇ ×b vektoranalitikai ¨osszef¨ugg´est.

Az egyenlet - tov´abbi egyszer˝us´ıt´esek ut´an - a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o:

∂

∂t (1

2B² )

+∇ ·[B(B◦u)−u·B◦B] +u·j×B = 0 (2.65)

2.7.5. Az konzervat´ıv alakja, utols´ o sim´ıt´ asok

Adjuk ¨ossze a2.59, 2.62 ´es 2.65. egyenletet:

∂

∂t (1

2ρu² +ρe+ 1 2B²

) +∇

[(1

2ρu²+ρe+p+B² )

u−u·B◦B ]

= 0(2.66) Ahol az els˝o tag altagjai rendre a kinetikus-, a bels˝o-, valamint a m´agneses ener- gi´at adj´ak meg, a m´asodik tag utols´o altagja (u·B◦B) pedig a Reynolds fesz¨ults´eg

´

arams´ar´as´eg´et adja meg (amely a m´agneses t´er torz´ıt´asa miatt fell´ep˝o fesz¨ults´egek ener- gias˝ur˝us´eg´et jelenti).

Defin´ıci´ok:

• Impulzus s˝ur˝us´eg: Π=ρ·u

• Fesz¨ults´eg tenzor: T

= =ρu◦u+(

p+ ¹₂B²)

1, ahol az els˝o tag (ρu◦u) a Reynolds fesz¨ults´eget, a k¨ovetkez˝o kifejez´es (₁

2B²−B◦B)

1 pedig a Maxwell-f´ele fesz¨ult- s´eget adja meg, p az izotr´op nyom´as. A m´agneses tengellyel p´arhuzamos ´es arra mer˝oleges felbont´as eset´en ez ut´obbi m´atrix a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:



 p+¹₂B² 0 0 0 p+¹₂B² 0 0 0 p− ¹₂B²



, (2.67)

ahonnan l´athatjuk, hogy x ´es y (mer˝oleges) ir´anyban pozit´ıv, a m´agneses tengellyel p´arhuzamos ir´anyban pedig negat´ıv m´agneses nyom´ast kapunk.

• Teljes energias˝ur˝us´eg: H= ¹₂ρu²+ _γ−^p₁ +¹₂B²

• Energia´aram-s˝ur˝us´eg: UH = (1

2ρu²+ _γ^γp₋₁ )

u+B²u−u·B◦B

• N´evtelen: Y

= =u◦B−B◦u

2.7.6. Az MHD egyenletek v´ egs˝ o, konzervat´ıv alakja

∂ρ

∂t +∇Π = 0 (2.68)

∂Π

∂t +∇T

= = 0 (2.69)

∂H

∂t +∇U_H = 0 (2.70)

∂B

∂t +∇ ·Y

= = 0 (2.71)

2.8. A helicit´ as defin´ıci´ oja

Vezess¨unk be alapv´altoz´okat, amelyeket adottnak vesz¨unk: ρ,u, p,B (t¨omegs˝ur˝us´eg, se- bess´eg, nyom´as, m´agneses t´er). A m´agneses t´er mellett haszn´alhatjuk a vektorpotenci´alt is: B =∇ ×A. A m´ert´ekinvarianci´ab´ol k¨ovetkez˝oen: A → A+∇χ, ahol a jobb oldal

m´asodik tagja egy skal´arf¨uggv´eny gradiense. ´Igy teh´at v´egtelen sok A vektorpotenci-

´

alt konstru´alhatunk, melyek ugyanazt a m´agneses teret ´ırj´ak le. (A skal´arpotenci´alra hasonl´oan l´etezik m´ert´ekinvariancia: ϕ→ϕ−^∂χ_∂t).

Az Ohm-t¨orv´eny vektorpotenci´allal fel´ırt alakja: E = −u ×(∇ ×A). Ezt az E-t helyettes´ıthetj¨uk be a Maxwell-egyenletekb˝ol ismert: ^∂B_∂t =−∇×Eegyenletbe, valamint felhaszn´aljuk m´eg a k´es˝obbiekben a∇ ·B = 0 Maxwell-egyenletet is.

A k¨ovetkez˝okben defini´aljuk a helicit´ast: K(V) ≡ ∫

V B·AdV. A helicit´ast teh´at adott t´erfogatra ´ertelmezz¨uk. Tudjuk, hogy A ¨onmag´aban nem m´ert´ekinvari´ans, de a teljesB·Aszorzatnak annak kell lennie, hogy ´ertelmes mennyis´eget kapjunk. V´egezz¨uk el teh´at a m´ert´ektranszform´aci´ot:

K(V) →

∫

V

d³r(A+∇χ)·B =

∫

V

d³rA·B+

∫

V

d³r(∇χ)·B ^∇·B=0=

∫

V

d³rA·B+

∫

V

d³r∇(χB)

| {z }

=H

Sχ·B·ds=0

(2.72)

A jobb oldal utols´o tagj´anak ´at´ırt v´altozata akkor egyenl˝o 0-val, ha aB mer˝oleges a fel¨ulet norm´alvektor´ara a teljes fel¨uleten, mivelds=n·ds. Viszont ez ´eppen a fluxuscs˝o defin´ıci´oj´aval egyezik meg.

2.9. A helicit´ as megmarad´ asa

−∂

∂t(A·B) = −∂A

∂t ·B−A· ∂B

|{z}∂t

−∇×E

= (E+∇ϕ)·B+A·(∇ ×E) (2.73)

= E·B+ (∇ϕ)·B+ A·(∇ ×E)

| {z }

∇(a×b)=b·(∇×a)−a·(∇×b)

=E| {z }·B

=0

+ (∇ϕ)·B+E| {z }·B

=0

− ∇(A×E) =∇(ϕB+E×A)

∂

∂t(A·B) +∇(ϕB+E×A) = 0 (2.74) Az E·B kifejez´es az ide´alis Ohm-t¨orv´eny miatt lesz z´erus, valamint felhaszn´altuk a klasszikus elektrodinamik´ab´ol ismert E = −^∂A_∂t − ∇ϕ → ^∂A_∂t = −(E +∇ϕ). Ez az egyenlet azonban m´eg csak a helicit´as s˝ur˝us´eg´enek megmarad´as´at ´ırja le. A helicit´as ennek t´erfogati integr´alja:

∂

∂t

∫

V

d³rA·B+ I

S

ds·n(ϕB+E×A) = 0 (2.75)

Az egyenlet els˝o tagja maga a helicit´as, teh´at a helicit´as megmarad´as´anak bel´at´as´ahoz be kell l´atnunk, hogy a m´asodik tag minden esetben nulla. Ehhez l´assuk be, hogy az integr´aljel alatt l´ev˝o ¨osszeg mindk´et tagja nulla:

• n·ϕB= 0, hiszen n·B defin´ıci´o szerint nulla a teljes fel¨uleten (a fluxuscs˝o l´etez´ese miatt)

• n·(E×A) =n·((E_t+E_n)×A). Az elektromos teret felbontottuk norm´alis (fel¨uletre mer˝oleges) ´es tangenci´alis (fel¨ulettel p´arhuzamos) komponensekre. Kihaszn´aljuk, hogy a plazm´at vezet˝o fal´u ed´eny veszi k¨or¨ul, hiszen ekkor E_t = 0, azaz m´ar csak azn·(E_n×A) = 0 ¨osszef¨ugg´est kell bel´atnunk, ami az´ert lesz igaz, mert azE_n×A vektorszorzat mer˝oleges lesz n-re, hiszenE_n p´arhuzamos n-nel.

Teh´at a fentiek alapj´an a helicit´as megmarad, azaz ^∂K_∂t = 0.

2.10. Mire j´ o a helicit´ as koncepci´ oja?

Sz´am´ıtsuk ki a helicit´ast egy v´egtelen¨ul hossz´u, hengerszimmetrikus plazm´aban.

A m´agneses teret bontsuk fel a hengerszimmetri´ahoz alkalmazkod´o komponensekre:

B = B_θ(r)e_θ+B_z(r)e_r (2.76)

A·B ≡ A_θB_θ+A_zB_z (2.77)

µ(r) ≡ B_θ(r)

rB_z(r) (2.78)

Aholµ(r) az inverz d˝ol´essz¨og (inverse magnetic pitch), amely azt mutatja meg, hogy mennyire tekerednek az er˝ovonalak.

• Ha B_θ(r) = 0→ µ= 0, azaz a m´agneses t´er f¨ugg˝olegesen lefel´e mutat (z ir´any´u).

Ezt a koncepci´ot θ-pinchnek nevezz¨uk.

• Ha B_z(r) = 0→µ→ ∞, azaz nincs igaz´an d˝ol´essz¨oge a m´agneses er˝ovonalaknak.

Ezt a koncepci´ot z-pinchnek nevezz¨uk.

Mikor lesz a helicit´as z´erus?

Az a k´epzet¨unk t´amadhat, hogy K ̸= 0-hoz elegend˝o a d˝ol´essz¨og (µ) v´egess´ege. Ez nincs

´ıgy, µ=konstans eset´en is lehet K = 0.

Altal´´ anos helik´alis geometri´aban fel´ırva:

I(r) = B_θ1 r

∫ r 0

rB_zdr

| {z }

Aθ

−B_z

∫ r 0

B_θdr

| {z }

Az

(2.79)

Majd felhaszn´alva, hogyµ= _rB^Bθ

z →Bθ =µrBz. I(r) = µBz

∫ r 0

B_θ

µ dr−Bz

∫ r 0

Bθdr (2.80)

Azaz ha µ r-t˝ol f¨uggetlen, akkor I(r) = 0, mert kiejti az integr´al alatti az integr´al el˝ottit. Teh´atI(r) akkor nem 0, ha µ(r)̸=konst. (azaz van m´agneses ny´ır´as).

Fluxushurkok eset´en a helicit´as viszonylag egyszer˝uen kisz´amolhat´o. P´eld´aul k´et egym´ast keresztez˝o fluxushurok eset´en: K = 2·ψ1·ψ2, ahol a sz´am mindig a keresztez´esek sz´am´aval egyezik meg (teh´at ha egy hurok ¨onmag´at keresztezi, akkor is n¨ovekedik). A K teh´at a glob´alis topol´ogi´at is jellemzi.