A plazma-β

A plazma-β defin´ıci´oja: β = ^2µ_B⁰2^p0

0 . V´egezz¨unk el egy transzform´aci´ot csak a nyom´asra:

β = ^2µ_B⁰2^p0

A plazma-β fontos szerepet t¨olt be, t¨obbek k¨ot¨oz¨ott fontos stabilit´asi param´eter, ld.

2.1 ´abra.

2.6. M´ agneses fluxus

Ebben a fejezetben a k¨ovetkez˝o t´emak¨or¨oket fogjuk ´attekinteni:

1. A fluxuscs˝o koncepci´oja

2. A fluxus glob´alis megmarad´asa

2.1. ´abra. A β-stabilit´asi hat´ar.

2.6.1. A fluxuscs˝ o koncepci´ oja

• Mi az oka annak, hogy a plazm´at ¨osszetart´o m´agneses strukt´ur´ak cs˝oszer˝uek?

A ∇ ·B = 0 egyenletnek nincsen szf´eriukus (g¨ombszimmetrikus) megold´asa, hiszen ez azt jelenten´e, hogy egy g¨ombfel¨uleten minden ponton kifel´e mutat´o B vektorok lenn´ e-nek jelen, ami csak akkor lehets´eges, ha a m´agneses t´ernek van forr´asa, ami ellenkezik a Maxwell-egyenletekkel. Viszont a fenti egyenletnek l´etezik hengerszimmetrikus meg-old´asa. A k¨ovetkez˝o integr´aln´al a t´erfogati integr´alr´ol ´att´er¨unk a fel¨uleti integr´alra a Gauss-t´etel felhaszn´al´as´aval, majd mivel a fel¨uleti integr´al a pal´aston defin´ıci´o szerint 0, ez´ert csak a fluxuscs˝o k´et v´eg´en´el l´ev˝o keresztmetszeten integr´alunk.

∫

V

∇ ·BdV = I

S

B·nds=

∫

S1

B₁·n₁ds₁+

∫

S2

B₂·n₂ds₂ (2.43) .

A m´agneses fluxus defin´ıci´oja: ψ =∫

SB·nds.

• Hogyan mozog egy fluxuscs˝o a plazma mozg´asa sor´an?

∂B

∂t = ∇ ×(u×B), ahol u a plazma ´araml´asi sebess´ege. A fenti egyenlet a k¨ovetkez˝o k´et egyenletet tartalmazza, ¨osszes˝ur´ıtve:

∇ ×E = −∂_tB (2.44)

E = −u×B (2.45) Hat´arfelt´etelek:

1. n_wall·u= 0 (a fal nem ereszti ´at a plazm´at).

2. E_t = 0 (E-nek nincs ´erint˝o ir´any´u komponense, mert a fal t¨ok´eletes vezet˝o).

Az Ohm-t¨orv´eny alakja ebben az esetben: E+u×B= 0→nw×(E+u×B) = 0, ´es miveln_w mindenhol mer˝oleges a falra ´es defin´ıci´o szerint E_t = 0, ez´ert n_w×E = 0, ´ıgy a m´asodik tagnak is null´anak kell lennie:

n_w×(u×B) = 0 (2.46) Az al´abbi ¨osszef¨ugg´es felhaszn´al´asvalA×(B×C) = (A·C)·B−(A·B)·Ca fenti, 2.46. egyenlet a k¨ovetkez˝ok´eppen m´odosul.

(n_w·B)·u−(n_w·u)·B = 0 (2.47) Es mivel´ nw·u= 0 (defin´ıci´o szerint), ez´ert az egyenlet v´egs˝o alakja a k¨ovetkez˝ok´ ep-pen n´ez ki.

nw·B = 0 (2.48)

Teh´at a m´agneses t´er ´ert´eke a falon mindenhol z´erus.

2.6.2. A toroid´ alis ´ es poloid´ alis fluxus defin´ıci´ oja

Az al´abbi ´abr´an a poloid´alis ´es a toroid´alis m´agneses t´er szeml´eletes ´abr´azol´as´at l´ athat-juk:

Amit a toroid´alis t´er d¨of kereszt¨ul, toroid´alis fluxusnak nevezz¨uk, amit pedig a poloid´alis t´er d¨of kereszt¨ul,poloid´alis fluxusnakh´ıvjuk. Egyenletekkel megfogalmazva:

• Toroid´alis fluxus:ψ_t =∫

StB_t·n_tds.

• Poloid´alis fluxus: ψp =∫

SpBp·npds.

Vizsg´aljuk meg a fluxus id˝obeli v´altoz´as´at fix m´agneses tengely eset´en (hiszen csak ekkor vihet˝o be az id˝obeli deriv´al´as az integr´al al´a).

poloidális metszet (S )_t

toroidális metszet (S )_p χ

ψ

2.2. ´abra. A poloid´alis ´es a toroid´alis fluxus koncepci´oja.

ψ˙t =

∫

Sp

∂B_t

∂t ·ntds= I

u(Bt·dlp) = 0 (2.49) ahol lp a poloid´alis ´ıvelem ´es felhaszn´altuk a Stokes-t´etelt a fel¨uletir˝ol k¨orintegr´alra val´o ´att´er´esben, valamint azt is, hogy: ^∂B_∂t^t = ∇ ×(u×B_t). A peremfelt´etelek pedig:

n_w·u = 0, ´esn_w·B = 0. A fenti eredm´enyek viszont - ahogy azt kor´abban eml´ıtett¨uk -, csak akkor igazak, ha fix a m´agneses tengely.

2.7. Az MHD-egyenletek konzervat´ıv alakja

Az al´abbiakban bevezetj¨uk az MHD-egyenletek konzervat´ıv (vagy m´as sz´oval megmara-d´o, kontinuit´asi egyenlethez hasonl´o) alakj´at. A konzervat´ıv alak alatt azt ´ertj¨uk, hogy egyenleteinknek a k¨ovetkez˝o s´em´at kell k¨ovetni¨uk:

∂

∂t(...) +∇ ·(...) = 0 (2.50)

El˝osz¨or is ´ırjuk fel a kontinuit´asi egyenletet, amely defin´ıci´o szerint m´ar konzer-vat´ıv alakban van:

∂ρ

∂t +∇ ·(ρu) = 0 (2.51)

Majd ´ırjuk fel az MHD tov´abbi egyenleteit:

• Mozg´asegyenlet (momentum egyenlet): ,ρ(_∂u

∂t +u· ∇u)

+∇p−j×B = 0.

• Az ´aramra vonatkoz´o egyenletet: j=∇ ×B.

• Az energias˝ur˝us´egre vonatkoz´o egyenlet: _Dt^D ( p

ρ^γ

)

= 0; p= (γ −1)·ρ· Eb, ahol Eb

a bels˝o energia s˝ur˝us´eg, _Dt^D = _∂t^∂ +u· ∇ az ´un. konvekt´ıv deriv´alt.

• A fentiek alapj´an az energiaegyenlet: ^∂_∂t^Eb +u· ∇Eb+ (γ−1)· Eb∇ ·u = 0.

• Az elektromos ´es m´agneses terekre vonatkoz´o egyenletek: ^∂B_∂t +∇ ×E = 0; E =

−u×B; ∇ ·B = 0.

V´eg¨ul pedig fel´ırunk n´eh´any vektoranalitikai ¨osszef¨ugg´est, amelyek fontosak lesznek az egyenletek levezet´ese sor´an.

∇(a◦b) = a· ∇b+b∇ ·a (2.52)

a×(∇ ×b) = (∇b)a− ∇ ·(a◦b)−b∇ ·a (2.53)

∇ ×(a×b) = ∇(b◦a−a◦b) (2.54)

∇(a·b) = (∇a)·b+ (∇b)·a (2.55)

2.7.1. A momentum egyenlet konzervat´ıv alakja

Az al´abbiakban a momentum egyenletet tagonk´ent ´atalak´ıtva jutunk el a momentum egyenlet konzervat´ıv alakj´aig.

A momentum egyenlet els˝o tagja ρ∂u

|{z}∂t

=^∂(ρu)_∂t −u^∂ρ_∂t

+ρu· ∇u= _∂t^∂(ρu) +u ∂ρ

|{z}∂t

=−∇(ρu)

+ρu· ∇u=...,

ahol felhaszn´altuk, hogy _∂t^∂(ρu) =ρ^∂u_∂t +u^∂ρ_∂t =ρ^∂u_∂t +u^∂ρ_∂t =ρ^∂u_∂t −u∇(ρu)→ρ^∂u_∂t =

∂

∂t(ρu) +u∇(ρu). Az utols´o tag a kontinuit´asi egyenlet (2.51.) alapj´an ^∂ρ_∂t =−∇ ·(ρu) hozhat´o be.

Teh´at egyenlet¨unk els˝o tagja jelenleg a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:

...=ρ^∂u_∂t +u∇ ·(ρu) + (ρu· ∇)u

| {z }

∇(ρu◦u)

=...

A 2.52-es ¨osszef¨ugg´es felhaszn´al´as´aval pedig a k¨ovetkez˝o alakra hozhatjuk:

...= _∂t^∂(ρu) +∇(ρu◦u).

A momentum egyenlet m´asodik tagja

−j×B=B×j=B×(∇×B) |{z}=

a×(∇×B)=(∇◦b)·a−∇(a◦b)−b(∇·a)

(∇◦B)·B−∇(B◦B)−B(∇·B)

|{z}=

∇(a·b)=(∇◦a)·b+(∇◦b)·a,ahol a=b=B

∇ (1

2B² )

− ∇ ·(B◦B), (2.56)

ahol felhaszn´altuk, hogy j = ∇ ×B, valamint a 2.53-as ´es 2.55-es vektoranalitikai

¨osszef¨ugg´eseket.

A momentum egyenlet harmadik tagja

∇ ×E = −∇ ×(u×B) =∇ ·(u◦B−B◦u) (2.57) Ahol felhaszn´altuk, hogy E = −u× B (ide´alis Ohm-t¨orv´eny), valamint a 2.54-es vektoranalitikai ¨osszef¨ugg´est.

2.7.2. A momentumegyenlet sebess´ eggel vett szorzata

Szorozzuk meg balr´ol u-val a momentum egyenletet:

ρu (∂u

∂t +u∇u )

+u∇p−u·j×B = 0 (2.58)

∂

∂t (1

2ρu² )

+∇ · (1

2ρu²·u )

+u∇p−u·j×B = 0 (2.59) A fenti egyenlet a kinetikus energi´at ´ırja le.

2.7.3. Az energia-egyenlet s˝ ur˝ us´ eggel vett szorzata

Szorozzuk meg balr´ol ρ-val az energia egyenletet:

ρ∂Eb

∂t +ρu∇Eb+ (γ−1)ρEb∇u = 0 (2.60) Felhaszn´aljuk, hogy (γ−1)ρEb =p.

∂ Ahol a m´asodik tag a bels˝oenergia-´aram s˝ur˝us´eg´et adja meg.

2.7.4. A m´ agneses t´ erre vonatkoz´ o egyenlet

B (∂

∂tB− ∇ ×(u×B) )

= 0 (2.63)

Kis ´atalak´ıt´assal a fenti egyenletb˝ol a k¨ovetkez˝ot kapjuk:

∂

Az egyenlet - tov´abbi egyszer˝us´ıt´esek ut´an - a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o:

∂

2.7.5. Az konzervat´ıv alakja, utols´ o sim´ıt´ asok

Adjuk ¨ossze a2.59, 2.62 ´es 2.65. egyenletet:

∂ Ahol az els˝o tag altagjai rendre a kinetikus-, a bels˝o-, valamint a m´agneses ener-gi´at adj´ak meg, a m´asodik tag utols´o altagja (u·B◦B) pedig a Reynolds fesz¨ults´eg

´

arams´ar´as´eg´et adja meg (amely a m´agneses t´er torz´ıt´asa miatt fell´ep˝o fesz¨ults´egek ener-gias˝ur˝us´eg´et jelenti).

Defin´ıci´ok:

• Impulzus s˝ur˝us´eg: Π=ρ·u

• Fesz¨ults´eg tenzor: T

= =ρu◦u+(

p+ ¹₂B²)

1, ahol az els˝o tag (ρu◦u) a Reynolds fesz¨ults´eget, a k¨ovetkez˝o kifejez´es (₁

2B²−B◦B)

1 pedig a Maxwell-f´ele fesz¨ ult-s´eget adja meg, p az izotr´op nyom´as. A m´agneses tengellyel p´arhuzamos ´es arra mer˝oleges felbont´as eset´en ez ut´obbi m´atrix a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki:



 p+¹₂B² 0 0 0 p+¹₂B² 0 0 0 p− ¹₂B²



, (2.67)

ahonnan l´athatjuk, hogy x ´es y (mer˝oleges) ir´anyban pozit´ıv, a m´agneses tengellyel p´arhuzamos ir´anyban pedig negat´ıv m´agneses nyom´ast kapunk.

• Teljes energias˝ur˝us´eg: H= ¹₂ρu²+ _γ−^p₁ +¹₂B²

• Energia´aram-s˝ur˝us´eg: UH = (1

2ρu²+ _γ^γp₋₁ )

u+B²u−u·B◦B

• N´evtelen: Y

= =u◦B−B◦u

2.7.6. Az MHD egyenletek v´ egs˝ o, konzervat´ıv alakja

∂ρ

∂t +∇Π = 0 (2.68)

∂Π

∂t +∇T

= = 0 (2.69)

∂H

∂t +∇U_H = 0 (2.70)

∂B

∂t +∇ ·Y

= = 0 (2.71)

2.8. A helicit´ as defin´ıci´ oja

Vezess¨unk be alapv´altoz´okat, amelyeket adottnak vesz¨unk: ρ,u, p,B (t¨omegs˝ur˝us´eg, se-bess´eg, nyom´as, m´agneses t´er). A m´agneses t´er mellett haszn´alhatjuk a vektorpotenci´alt is: B =∇ ×A. A m´ert´ekinvarianci´ab´ol k¨ovetkez˝oen: A → A+∇χ, ahol a jobb oldal

m´asodik tagja egy skal´arf¨uggv´eny gradiense. ´Igy teh´at v´egtelen sok A

vektorpotenci-´

alt konstru´alhatunk, melyek ugyanazt a m´agneses teret ´ırj´ak le. (A skal´arpotenci´alra hasonl´oan l´etezik m´ert´ekinvariancia: ϕ→ϕ−^∂χ_∂t).

Az Ohm-t¨orv´eny vektorpotenci´allal fel´ırt alakja: E = −u ×(∇ ×A). Ezt az E-t helyettes´ıthetj¨uk be a Maxwell-egyenletekb˝ol ismert: ^∂B_∂t =−∇×Eegyenletbe, valamint felhaszn´aljuk m´eg a k´es˝obbiekben a∇ ·B = 0 Maxwell-egyenletet is.

A k¨ovetkez˝okben defini´aljuk a helicit´ast: K(V) ≡ ∫

V B·AdV. A helicit´ast teh´at adott t´erfogatra ´ertelmezz¨uk. Tudjuk, hogy A ¨onmag´aban nem m´ert´ekinvari´ans, de a teljesB·Aszorzatnak annak kell lennie, hogy ´ertelmes mennyis´eget kapjunk. V´egezz¨uk el teh´at a m´ert´ektranszform´aci´ot:

K(V) →

A jobb oldal utols´o tagj´anak ´at´ırt v´altozata akkor egyenl˝o 0-val, ha aB mer˝oleges a fel¨ulet norm´alvektor´ara a teljes fel¨uleten, mivelds=n·ds. Viszont ez ´eppen a fluxuscs˝o defin´ıci´oj´aval egyezik meg.

2.9. A helicit´ as megmarad´ asa

−∂ Az E·B kifejez´es az ide´alis Ohm-t¨orv´eny miatt lesz z´erus, valamint felhaszn´altuk a klasszikus elektrodinamik´ab´ol ismert E = −^∂A_∂t − ∇ϕ → ^∂A_∂t = −(E +∇ϕ). Ez az egyenlet azonban m´eg csak a helicit´as s˝ur˝us´eg´enek megmarad´as´at ´ırja le. A helicit´as ennek t´erfogati integr´alja:

Az egyenlet els˝o tagja maga a helicit´as, teh´at a helicit´as megmarad´as´anak bel´at´as´ahoz be kell l´atnunk, hogy a m´asodik tag minden esetben nulla. Ehhez l´assuk be, hogy az integr´aljel alatt l´ev˝o ¨osszeg mindk´et tagja nulla:

• n·ϕB= 0, hiszen n·B defin´ıci´o szerint nulla a teljes fel¨uleten (a fluxuscs˝o l´etez´ese miatt)

• n·(E×A) =n·((E_t+E_n)×A). Az elektromos teret felbontottuk norm´alis (fel¨uletre mer˝oleges) ´es tangenci´alis (fel¨ulettel p´arhuzamos) komponensekre. Kihaszn´aljuk, hogy a plazm´at vezet˝o fal´u ed´eny veszi k¨or¨ul, hiszen ekkor E_t = 0, azaz m´ar csak azn·(E_n×A) = 0 ¨osszef¨ugg´est kell bel´atnunk, ami az´ert lesz igaz, mert azE_n×A vektorszorzat mer˝oleges lesz n-re, hiszenE_n p´arhuzamos n-nel.

Teh´at a fentiek alapj´an a helicit´as megmarad, azaz ^∂K_∂t = 0.

2.10. Mire j´ o a helicit´ as koncepci´ oja?

Sz´am´ıtsuk ki a helicit´ast egy v´egtelen¨ul hossz´u, hengerszimmetrikus plazm´aban.

A m´agneses teret bontsuk fel a hengerszimmetri´ahoz alkalmazkod´o komponensekre:

B = B_θ(r)e_θ+B_z(r)e_r (2.76)

A·B ≡ A_θB_θ+A_zB_z (2.77)

µ(r) ≡ B_θ(r)

rB_z(r) (2.78)

Aholµ(r) az inverz d˝ol´essz¨og (inverse magnetic pitch), amely azt mutatja meg, hogy mennyire tekerednek az er˝ovonalak.

• Ha B_θ(r) = 0→ µ= 0, azaz a m´agneses t´er f¨ugg˝olegesen lefel´e mutat (z ir´any´u).

Ezt a koncepci´ot θ-pinchnek nevezz¨uk.

• Ha B_z(r) = 0→µ→ ∞, azaz nincs igaz´an d˝ol´essz¨oge a m´agneses er˝ovonalaknak.

Ezt a koncepci´ot z-pinchnek nevezz¨uk.

Mikor lesz a helicit´as z´erus?

Az a k´epzet¨unk t´amadhat, hogy K ̸= 0-hoz elegend˝o a d˝ol´essz¨og (µ) v´egess´ege. Ez nincs

´ıgy, µ=konstans eset´en is lehet K = 0.

Altal´´ anos helik´alis geometri´aban fel´ırva:

I(r) = B_θ1 r

∫ r 0

rB_zdr

| {z }

Aθ

−B_z

∫ r 0

B_θdr

| {z }

Az

(2.79)

Majd felhaszn´alva, hogyµ= _rB^Bθ

z →Bθ =µrBz. I(r) = µBz

∫ r 0

B_θ

µ dr−Bz

∫ r 0

Bθdr (2.80)

Azaz ha µ r-t˝ol f¨uggetlen, akkor I(r) = 0, mert kiejti az integr´al alatti az integr´al el˝ottit. Teh´atI(r) akkor nem 0, ha µ(r)̸=konst. (azaz van m´agneses ny´ır´as).

Fluxushurkok eset´en a helicit´as viszonylag egyszer˝uen kisz´amolhat´o. P´eld´aul k´et egym´ast keresztez˝o fluxushurok eset´en: K = 2·ψ1·ψ2, ahol a sz´am mindig a keresztez´esek sz´am´aval egyezik meg (teh´at ha egy hurok ¨onmag´at keresztezi, akkor is n¨ovekedik). A K teh´at a glob´alis topol´ogi´at is jellemzi.

3. fejezet

MHD hull´ amok

Altal´´ anoss´agban elmondhat´o, hogy a fizikai rendszerek, k¨ozegek vizsg´alatakor a rendszer-ben terjed˝o kis amplit´ut´oj´u line´aris hull´amok tulajdons´agai fontos inform´aci´okkal szol-g´alnak a sz´obanforg´o modell dinamik´aj´ar´ol. A m´agnesezett plazm´akban fell´ep˝o line´aris hull´ammozg´asok sokkal v´altozatosabb k´epet mutatnak mint amit a h´etk¨oznapi folyad´ e-kok eset´eben megszokahattunk. Ennek oka term´eszetesen a t¨olt¨ott r´eszecsk´ek jelenl´ete a k¨ozegben. Ebben a fejezetben t´argyaljuk az ide´alis magnetohidrodinamikai modellben fell´ep˝o legelemibb line´aris hull´amokat: (1) Alfv´en-hull´amok, (2) gyors magnetoszonikus hull´amok, (3) lass´u magnetoszonikus hull´amok. Megjegyezz¨uk, hogy a fenti h´arom hul-l´amt´ıpus elnevez´ese a szakirodalomban nem egys´eges, ez´ert is fontos a fizikai l´enyeg¨uket pontosan meg´erteni. Az Alfv´en-hull´amban az els˝odleges hull´amz´o mennyis´eg a m´agneses mez˝o ´es ehhez NEM t´arsul s˝ur˝us´egperturb´aci´o, m´ıg a magnetoszonikus hull´amok eset´ e-ben - ahogy elnevez´es¨uk is sz´epen jelzi - a m´agneses perturb´aci´o ´es a nyom´asperturb´aci´o egyszerre l´ep fel.

Miel˝ott az MHD hull´amok h´arom, fentebb eml´ıtett ´ag´at r´eszletesen t´argyaln´ank, el˝ o-k´esz´ıt´esk´eppen t´argyaljuk az egyszer˝u hanghull´amokat. ´Am mindenekel˝ott ism´etelj¨uk ´at r¨oviden a hull´amok t´argyal´as´an´al mindig k¨ovetett matematikai l´ep´eseket:

1. Fel´ırjuk a fizikai rendszer¨unket jellemz˝o modell-egyenleteket, jelen esetben az ide´alis MHD egyenleteket.

2. Meghat´arozzuk a modell egyens´ulyi megold´asait. Ez az egyens´uly lehet trivi´alis, az-az a plaz-azm´aban nincsenek gradiensek ´es az ´araml´asi sebess´egeket null´anak vessz¨uk, vagy ak´ar bonyolultabb, ´araml´asokat ´es ´es v´eges gradienseket is tartalmaz´o.

3. Ezek ut´an tegy¨uk fel, hogy a fizikai rendszer¨unket azf(x, t),g(x, t),h(x, t), . . . me-z˝okkel jellemezz¨uk. Mivel ezeket a mez˝oket a dinamikai egyenletek ¨osszekapcsolj´ak, ez´ert amennyiben el˝o´ırjuk valamely mez˝o egyens´ulyi ´ert´eke k¨or¨uli kis perturb´aci´ o-j´at, a t¨obbi mez˝o is ’v´alaszolni’ fog erre a perturb´aci´ora. P´eld´aul, perturb´aljuk az

f(x, t) mez˝ot az egyens´uly k¨or¨ul:

f(x, t) =f₀+ϵf₁,

aholϵ≪1, ´es∀x, teset´enϵ|f₁| ≪ |f₀|. Ezek ut´an a dinamikai egyenletek megadj´ak a g = g(f) = g(f₀ +ϵf₁) t´ıpus´u nemline´aris ¨osszef¨ugg´eseket. Term´eszetesen az im´enti fel´ır´as egy´ertelm˝uen sugalmazza a g-mez˝o Taylor-sor szerintig =g₀+ϵg₁+ ϵ²g₂ +· · · kifejt´es´et. Line´aris plazmahull´amok vizsg´alata eset´en el´egs´eges az els˝o rendig val´o kifejt´es.

4. A dinamikai egyenletek lineariz´al´asa. ez azt jelenti, hogy az egyenletkb˝ol elhagyjuk az f1 ·f1, f1·g1, f1∇f1 ´es f1∇g1 jelleg˝u tagokat.

5. Felt´etelezz¨uk, hogy a perturb´aci´o t´erben ´es id˝oben harmonikus, csatolatlan m´ odus-ok ¨osszege. Egy ilyen m´odus matematikai alakja: f₁ = f₁(k, ω)e^{−i(ωt−k·x)}. Ezzel a fel´ır´assal, homog´en egyens´ulyt felt´etelezve, ´alland´o egy¨utthat´os algebrai egyen-letrendszert kapunk, amely meghat´arozza a saj´at´ert´ekprobl´ema ω(k) = 0 karak-terisztikus egyenlet´et, vagy m´as n´even a diszperzi´os rel´aci´ot. Megjegyezz¨uk m´eg, hogy abb´ol ad´od´oan, hogy a hull´amegyenlet id˝oben m´asodrend˝u, a karakterisztikus egyenlet ω megold´asai lehetnek komplex sz´amok, ami lehet˝ov´e teszi a harmonikus megold´asok mellett, exponenci´alisan lecseng˝o, vagy exponenci´alisan n¨ovekv˝o (in-stabil) megold´asok megjelen´es´et is.

3.1. G´ azdinamikai hanghull´ amok

Els˝o p´eldak´ent tekints¨unk most egy nem m´agnesezett kontinuumot (pl. klasszikus g´az), melyet a k¨ovetkez˝o egyenletrendszer ´ır le:

∂ρ

∂t +∇(ρU) = 0, kontinuit´asi egyenlet (3.1) ρ

(∂U

∂t +U· ∇U )

+∇P = 0, mozg´asegyenlet (3.2)

∂P

∂t +U· ∇P +γP∇ ·U = 0, adiabatikus ´allapotegyenlet. (3.3) A rendszert le´ır´o mez˝ok: a ρ(x, t) s˝ur˝us´eg, az U(x, t) ´araml´asi sebess´eg ´es a P(x, t) nyom´as. Ez ¨osszesen 5 v´altoz´o. A γ az el˝oz˝oekb˝ol ismert fajh˝oar´any.

A k¨ovetkez˝o l´ep´esben megadjuk az egyens´uly jelleg´et: tegy¨uk fel, hogy az egyens´ulyi k¨ozeg homog´en (∇. . .= 0) ´es id˝of¨uggetlen (∂/∂t= 0), tov´abb´aU₀ = 0.

Ezek ut´an tekints¨unk kis perturb´aci´okat az egyens´uly k¨or¨ul:

ertelmezhet˝o, hiszen az egyens´uly ´araml´asmentes. Ekkor viszony´ıt´asi sebess´egnek nem az egyens´ulyi sebess´eget v´alasztjuk, hanem azt mondhatjuk, hogy a sebess´eg-perturb´aci´o legyen kicsi a k¨ozegre jellemz˝o c_s hangsebess´eghez viszony´ıtva.

A dinamikai egyenletekbe behelyettes´ıtve a 3.4 kifejez´eseket kapjuk a lineariz´alt egyenletrendszert:

1. Lineariz´alt kontinuit´asi egyenlet:

∂

3. Lineariz´alt ´allapotegyenlet:

Gy˝ujts¨uk ¨ossze egy helyre a kapott egyenleteket!

∂ρ₁

Erdemes megfigyelni, hogy a´ ρ₁ csak a 3.8 egyenletben jelenik meg ´es l´enyeg´eben t´erben ´es id˝oben, egy sk´alafaktort´ol eltekintve, megegyezik a P₁-gyel. Ezen a ponton, k´et lehet˝os´eg¨unk van a tov´abbl´ep´esre: (1) a 3.9 ´es a 3.10 egyenleteket felhaszn´alva le-vezet¨unk egy egyenletet az U₁ sebess´egperturb´aci´okra, (2) az eredeti, teljes rendszert

´

attranszform´aljuk Fourier-t´erbe, majd az algebrai egyenletrendszert megoldjuk, megha-t´arozva a saj´at´ert´ekeket ´es saj´atm´odusokat. Kezdj¨uk az els˝o m´odszerrel! K´epezz¨uk az 3.10 ´allapotegyenlet gradiens´et!

Felhaszn´alva, hogy a t´erbeli ´es az id˝obeli deriv´al´as sorrendje fel´ecser´elhet˝o, kapjuk:

∂

∂t∇P₁+γP₀∇²·U₁ = 0.

Az 3.9 mozg´asegyenletb˝ol kifejezve a ∇P1-et, be´ırjuk a fenti egyenletbe:

−∂

Ez az egyenlet egy hull´amegyenlet a sebess´eg-perturb´aci´ora - a szakirodalomban ezt szok-t´ak sebess´eg-reprezent´aci´onak nevezni. A Laplace-oper´ator el˝ott ´all´o egy¨utthat´o dimen-z´oj´at megvizsg´alva: [P₀]/[ρ₀] ∼ N·m/kg = m²/s², teh´at sebess´eg-n´egyzet dimenzi´oj´u, mint ahogyan egy hull´amegyenlet eset´eben lennie kell. Ez a sebess´eg az egyens´ulyi k¨ozeg param´etereivel sz´am´ıtott hangsebess´eg:

c_s =

√ γP₀

ρ₀ . (3.12)

A 3.11 hull´amegyenlet egy ´alland´o egy¨utthat´os (cs) hiperbolikus line´aris parci´alis diffe-renci´alegyenlet. Ennek leg´altal´anosabb megold´asa fel´ırhat´o elemi s´ıkhull´amok szuperpo-z´ıci´ojak´ent:

U₁(x, t) =∑

k,ω

U₁(k, ω)e^{i(k·x−ωt)} (3.13) Val´oj´aban itt a (k, ω) v´aloz´ok nem f¨uggetlenek, hiszen ¨osszekapcsolja ˝oket az ω(k) = 0 diszperzi´os rel´aci´o, ez´ert a tov´abbiakban az explicit ω f¨ugg´est nem jel¨olj¨uk. Tov´abb´a az egyszer˝us´eg kedv´e´ert feltessz¨uk, hogy a spektrum tiszt´an diszkr´et jelleg˝u, ez´ert a m´ odus-ok egyszer˝u szumm´aj´at tekintj¨uk (olyan mintha dobozba z´art hull´amokat vizsg´aln´ank).

Mivel a hull´amegyenlet line´aris, el´eg egyetlen m´odusra megoldani. Az id˝obeli m´asodik deriv´alt, szok´as szerint csak egy (iω)² szorz´ot´enyez˝ot jelent. Mivel ez egy vektoregyenlet a t´erbeli r´esz deriv´altja nem trivi´alis:

∇²U₁ ≡grad(divU₁) ⇒ ∂_i∂_jU_1j

A fenti tramszform´aci´o seg´ıts´eg´evel az al´abbi egyszer˝u saj´at´ert´ek-egyenletrendszert

kap-juk: [

A fenti saj´at´ert´ekegyenlet karakterisztikus egyenlet´et megkapjuk amennyiben az egyenlet m´atrix´anak determin´ans´at z´eruss´a tessz¨uk.

ω²(ω²(ω²−c²_sk²)) = 0. (3.17) Ezen egyenlet megold´asai az ω= 0 ´es azω=±c_s·k. Az els˝o megold´ashoz tartoz´o saj´ at-vektor az (U_1x, U_1y,0), ahol az els˝o k´et komponens tetsz˝oleges. A m´asodik megold´ashoz a (0,0, U_1z) saj´atvektor tartozik, ahol U_1z tetsz˝oleges. Az ω = 0 saj´at´ert´ek egy x−y s´ıkban megval´osul´o merev transzl´aci´onak felel meg ´es fizikailag ´erdektelen. Azω =±c_s·k diszperzi´os rel´aci´o egy ω/k = c_s f´azissebess´eggel, azaz hangsebess´eggel a k ir´any´aba (+

el˝ojel), illetve azzal ellent´etesen (− el˝ojel) terjed˝o longitudin´alis hull´amot ´ır le.

A m´asik lehet˝os´eg¨unk, hogy az eredeti3.8-3.10line´aris egyenletrendszerbe k¨ozvetlen¨ul helyettes´ıtj¨uk be a 3.13 alak´u f¨uggv´enyeket a ρ₁,U₁, P₁ v´altoz´okra.

−iωρ₁(k) +ρ₀ik·U₁(k) = 0, (3.18)

−iωρ₀U₁(k) +ikP₁(k) = 0, (3.19)

−iωP₁(k) +γP₀ik·U₁(k) = 0. (3.20) Most vizsg´aljuk meg az el˝obbiekben megtal´alt ω = 0, (U_1x, U_1y,0) megold´ast, azaz he-lyettes´ıts¨uk be a fenti egyenletrendszerbe az U1 ⊥kfelt´etelt!

−iωρ₁(k) = 0, (3.21)

−iωρ₀U₁(k) +ikP₁(k) = 0, (3.22)

−iωP1(k) = 0. (3.23)

Ha most kihaszn´aljuk, hogyω = 0, akkor a k¨oz´eps˝o egyenletb˝ol azonnal k¨ovetkezik, hogy P₁ = 0, azaz nincs nyom´asperturb´aci´o, DE az els˝o egyenletb˝ol (amit a sebess´ egreprezen-t´aci´on´al nem haszn´altunk fel!) ω= 0 mellett az k¨ovetkezik, hogy aρ1s˝ur˝us´egperturb´aci´o tetsz˝oleges null´at´ol k¨ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel! Mit is jelenthet ez a furcsa megold´as?

Mivel a nyom´as nem perturb´alt csak a s˝ur˝us´eg, azS =P ρ^−γ entr´opia is egy¨utt v´altozik a s˝ur˝us´eggel. Ezt a ’m´odust’ szokt´akentr´opia-hull´amnak nevezni. Ez azonban nem azonos a tiszta transzl´aci´os ’m´odussal’, ugyanakkor err˝ol is elmondhat´o, hogy nem hordoz sem-mi fontos fizikai inform´aci´ot a rendszerr˝ol. Numerikus szempotb´ol fontos lehet, amikor a differenci´alegyenlet-rendszer megold´asait oszt´alyozzuk.

3.2. Plazmahull´ amok homog´ en k¨ ozegben

TODO: ide m´eg kell ´ırni valami bevezet˝ot?!

Az el˝oz˝o fejezetben tett el˝ok´esz¨uleteink elegend˝oek ahhoz, hogy most m´ar az ide´alis MHD-modell keretei k¨oz¨ott fell´ep˝o f˝obb hull´amokat tanulm´anyozzuk. Mindenekel˝ott

´ırjuk fel egy v´egtelen kiterjed´es˝u ´es homog´en ide´alis plazma MHD egyenleteit:

∂ρ

∂t +∇ ·(ρU) = 0, (3.24)

ρ∂U

∂t + (U· ∇)U+∇P −J×B= 0, (3.25)

∂P

∂t + (U· ∇)P +γP∇ ·U= 0, (3.26)

E+U×B= 0, (3.27)

∇ ×B=µ₀J, (3.28)

∇ ×E=−∂B

∂t , (3.29)

∇ ·B= 0. (3.30)

Ezen nemline´aris parci´alis differenci´alegyenlet rendszer v´altoz´oi aρ(x, t),U(x, t),P(x, t)

´

es a B(x, t) f¨uggv´enyek - ¨osszesen 8 skal´armez˝o. Szimmetrikusabb egyenleteket kapunk amennyiben a P nyom´as helyett, az Eb egys´egnyi t¨omegre jut´o bels˝o energi´at tekintj¨uk v´altoz´onak. Ide´alis g´azokra ennek defin´ıci´oja:

Eb ≡ 1 γ−1

P

ρ. (3.31)

Ennek a defin´ıci´onak a seg´ıts´eg´evel az energiaegyenlet a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti:

∂Eb

∂t + (U· ∇)Eb+ (γ−1)Eb∇ ·U= 0 (3.32) A tov´abbiakban transzform´aljuk ki a J-t ´es az E-t az MHD egyenletekb˝ol:

−J×B = −(∇ ×B)×B

∇ ×E = −∇ ×(U×B). (3.33)

A fenti kifejez´eseket kifejthetj¨uk amennyiben alkalmazzuk a j´ol bev´alt indexes sz´amol´ as-m´odot:

−[J×B]_i = −[(∇ ×B)×B]_i =−ε_ijkε_jlm(∂_lB_m)B_k =ε_ikjε_jlm(∂_lB_m)B_k

= (δ_ilδ_km−δ_imδ_kl) (∂_lB_m)B_k = (∂_iB_k)−B_k(∂_kB_i)

=⇒ (∇ ◦B)B−(B· ∇)B,

[∇ ×E]_i = −[∇ ×(U×B)]_i =−εijk∂jεklm(UlBm) =−εijkεklm∂j(UlBm)

= −(δ_ilδ_jm−δ_imδ_jl)∂_j(U_lB_m) = −(δ_ilδ_jm−δ_imδ_jl) (U_l∂_jB_m+B_m∂_jU_l)

= −U_i∂| {z }_mB_m

divB=0

−(B_j∂_j)U_i+ (U_j∂_j)B_i+B_i∂_lU_l

=⇒ −(B· ∇)U+ (U· ∇)B+B(∇ ·U). (3.34)

Ezen eredm´enyeket felhaszn´alva fel´ırhatjuk az MHD egyenleteket egy m´asik form´ A k¨ovetkez˝o l´ep´es, a list´ank szerint, az egyens´ulyi ´allapot meghat´aroz´asa. Tegy¨uk fel, mint eddig is, hogy egy v´egtelen kiterjed´es˝u, nyugalomban l´ev˝o (U0 = 0) ´es homog´en plazm´aval ´allunk szemben, melyet a t´erben ´es id˝oben ´alland´oρ₀, Eb0,B₀ param´eterekkel

´ırunk le.

A lineariz´al´as k¨ovetkez˝o szakasz´aban a(z) 3.35 - 3.38 MHD egyenletekbe behelyette-s´ıtj¨uk azf(x, t) =f₀+f₁(x, t) alak´u kifejez´eseket, majd azokat a tagokat elhanyagoljuk, amelyekben az egyens´ulyi mez˝ok t´er- ´es id˝oderiv´altjai szerepelnek, illetve a perturb´aci´ o-ban magasabb rend˝u (f1·f1-jelleg˝u) tagokat is elhanyagoljuk.

∂ρ₁ Tudjuk, hogy az MHD egyenletek magukban foglalj´ak a g´azdinamikai egyenleteket is, ez´ert v´arhat´oan a c_s =√

γP/ρ₀ hangsebess´eg fontos param´eter lesz itt is. Ezen t´ul k´ er-d´es, hogy vajon a m´agneses t´errel ¨osszef¨ugg´esben is fell´ep-e valamilyen jellemz˝o sebess´eg?

Gondoljunk most dimenzi´oanal´ızis szempontj´ab´ol arra, hogy a sebess´eg nem m´as, mint

√Energia ∼ √

energias˝ur˝us´eg t¨omegs˝ur˝us´eg ∼ √

B²₀

ρ0 = √^Bρ⁰0. Ez val´oban az egyens´ulyi MHD ´allapotot jellemz˝oAlfv´en-sebess´eg. Teh´at az egyens´ulyban k´et jellemz˝o sebess´eg defini´alhat´o:

cs =

Azt l´athattuk a 2.4 fejezetben hogy, az MHD egyenletek sk´alaf¨uggetlenek, ami azt is jelenti, hogy a modell fizikai mondanival´oja nem f¨ugg a m´ert´ekrendszer megv´alaszt´as´at´ol.

Ha ez ´ıgy van akkor c´elszer˝unek t˝unik olyan alakban f¨ol´ırni ezeket az egyenleteket, hogy azok dimenzi´o-n´elk¨uliek legyenek. Ehhez els˝o l´ep´esk´ent norm´alni kell a v´altoz´okat:

˜

Ezen transzform´aci´okat alkalmazva az MHD egyenletekre, kapjuk a dimenzi´otlan MHD modellt, melynek egy¨utthat´oi a cs, a cA ´es a γ: Amennyiben felt´etelezz¨uk, hogy a megold´asok k hull´amsz´am´u, ω k¨orfrekvenci´aj´u f¨ ug-getlen, line´aris m´odusok (hull´amok) ¨osszegek´ent ´allnak el˝o, a fenti egyenletek Fourier-transzform´altjai minden egyes m´odusra ugyanolyan alak´u algebrai egyenletek:

Ezen transzform´aci´okat alkalmazva az MHD egyenletekre, kapjuk a dimenzi´otlan MHD modellt, melynek egy¨utthat´oi a cs, a cA ´es a γ: Amennyiben felt´etelezz¨uk, hogy a megold´asok k hull´amsz´am´u, ω k¨orfrekvenci´aj´u f¨ ug-getlen, line´aris m´odusok (hull´amok) ¨osszegek´ent ´allnak el˝o, a fenti egyenletek Fourier-transzform´altjai minden egyes m´odusra ugyanolyan alak´u algebrai egyenletek:

In document 2012.10.30. (Pldal 17-0)