A hurokinstabilit´ as

es ny´ır´asa egy¨uttesen stabiliz´alj´ak.

A k·B₀ tag stabiliz´al´o hat´as´anak fizikai ok´at a 4.80 egyenlet mutatja meg, ahonnan l´atszik, hogy av_1y perturb´aci´ohoz tartoz´o perturb´alt B_1y m´agneses t´erk·B₀-lal ar´anyos.

Kezdetben a m´agneses t´ernek nem volt yir´any´u komponense, ´ıgy a megjelen˝oy kompo-nens a m´agneses t´er er˝ovonalainak megg¨orb¨ul´es´et jelenti. Ha a megg¨orb´ıt´eshez sz¨uks´eges energia kisebb a folyad´ekelemek kicser´el˝od´ese sor´an felszabadul´o energi´an´al, a rendszer instabil lesz.

Ha visszagondolunk arra, hogy plazm´ak eset´eben a gravit´aci´os er˝o pl. a m´agneses t´er g¨orb¨ulet´eb˝ol ered˝o er˝ovel helyettes´ıthet˝o, akkor a4.83 egyenlet azt ´all´ıtja, hogy l´eteznek kedvez˝o´eskedvez˝otlenm´agneses t´erg¨orb¨ulettel rendelkez˝o tartom´anyok. Kedvez˝o g¨orb¨ u-let˝u a tartom´any, ha a g¨orb¨uletb˝ol ered˝o er˝o p´arhuzamos a nyom´asgradienssel, ´es ´ıgy a plazmaegyens´uly stabil. ´Ertelemszer˝uen kedvez˝otlen a g¨orb¨ulet a ford´ıtott esetben, azaz ha a g¨orb¨uletb˝ol ered˝o er˝o ellent´etes a nyom´asgradienssel, amikor is az egyens´uly insta-bil. Mivel a plazma nyom´asa a hat´arfel¨ulete fel´e haladva ´altal´aban cs¨okken, a kedvez˝o t´erg¨orb¨ulet egyben azt is jelenti, hogy a plazma fel˝ol n´ezve a hat´arfel¨ulet konk´av, m´ıg kedvez˝otlen t´erg¨orb¨ulet eset´enkonvex.

A4.61egyenletre visszatekintve m´ar ´erthet˝o, hogy a (ξ_⊥·∇P₀)(ξ_⊥·κ) kifejez´es felel˝os ez´ert az instabilit´as´ert, mivel pont a g¨orb¨uleti vektor ´es a nyom´asgradiens relat´ıv ir´any´at kapcsolja ¨ossze.

4.3.3. A hurokinstabilit´ as

Ezt az instabilit´asfajt´at az´ert h´ıvj´ak hurokinstabilit´asnak, mert az instabilit´as sor´an egy kezdetben g¨orb¨uletlen plazmacs˝o helik´alis deform´aci´ot szenved, azaz ´athurkolja a plazmacs˝o eredeti, nemperturb´alt tengely´et.

Szeml´eletes k´epet legk¨onnyebbenk¨uls˝ohurokinstabilit´asokhoz adhatunk, azok k¨oz¨ott is az ´ugynevezett kihajl´o instabilit´ashoz. K´epzelj¨unk el egy hossz´u, ´aramj´arta plazmafo-nalat (pl. a Bennett-pinchet)! Ha valamilyen perturb´aci´o k¨ovetkezt´eben a plazmafonal egy kicsit meghajlik, a hajlat bels˝o oldal´an az azimut´alis m´agneses t´er megn˝o. Ez ah-hoz vezet, hogy ugyanazon a bels˝o oldalon a megn¨ovekedett J×B er˝o k¨ovetkezt´eben a kihajl´as tov´abb n˝o, ´es ez az ´allapot instabil.

A hurokinstabilit´asok k¨oz´e tartozik m´eg – sok m´as k¨oz¨ott – az ´ugynevezettbef˝uz˝od´esi instabilit´as is. Ekkor a plazmafonal nem kihajlik, hanem bef˝uz˝odik az instabilit´as k¨ ovet-kezt´eben. Az instabilit´ast itt is a megn¨ovekedett J×B er˝o hajtja, ami a perturb´aci´ot tov´abb n¨oveli.

Ha az instabilit´ast okoz´o perturb´aci´ot az azimut´alis sz¨og szerint kifejtj¨uk (∼sinmϕ), akkor a bef˝uz˝od´esi instabilit´ashoz az m = 0 m´odussz´am, a kihajl´o instabilit´ashoz az m= 1 m´odussz´am tartozik (??. ´abra). Az ´abr´an l´athat´o m´eg az m= 2 m´odussz´amhoz tartoz´o filament´aci´os instabilit´as.

A kvalitat´ıv bemutat´as ut´an vizsg´aljuk meg r´eszletesebben a bels˝o hurokinstabilit´ast, azaz tekints¨uk a 4.61 egyenletben szerepl˝o utols´o tagot!

J_0∥(ξ_⊥×z)ˆ ·B_1⊥ (4.84)

Meg fogjuk mutatni, hogy ez a tag olyan, helik´alis strukt´ur´aj´u instabilit´ast ´ır le, amit az ´aram m´agneses t´errel p´arhuzamos komponens´enek gradiense hajt. Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert legyenP →0, azaz ez´uttal hanyagoljuk el a nyom´as ´altal hajtott instabilit´ aso-kat.⁶

Vegy¨uk ´eszre, hogy a perturb´alt m´agneses t´erhez tartoz´o vektorpotenci´al perturb´

aci-´

oja (A₁) kifejezhet˝o a perturb´alatlan m´agneses t´errel ´es a ξ elmozdul´asvektorral.

A₁ =ξ×B₀ Ezt felhaszn´alva a 4.84 kifejez´es ´ıgy ´ırhat´o ´at:

A₁·B₁J_0∥

B₀. (4.85)

Megmutatjuk, hogy v´eges A1·B1 helik´alis perturb´aci´onak felel meg. Vegy¨unk fel lo-k´alis Descartes-koordin´atarendszert ´ugy, hogy a z tengely mutasson B₀ ir´any´aba. Ekkor A₁ =A_1xxˆ+A_1yy, mivel a vektorpotenci´ˆ alnak nem lehet z ir´any´u komponense.

A₁·B₁ =−A_1x∂A1y

∂z +A_1y∂A1x

∂z (4.86)

Tegy¨uk fel, hogy A1 mindk´et komponense nemtrivi´alis f¨uggv´enye z-nek, azaz legyen pl. A_1x = Re A_1xexp ikz ´es A_1y = Re A_1yexp ikz. Ebben az esetben

A₁·B₁ = 1 2

[

−A^∗_1x∂A_1y

∂z +A^∗_1y∂A_1x

∂z ]

=−k

2Re [i(A^∗_1xA_1y−A^∗_1yA_1x)], (4.87) ami csak akkor lehet v´eges, ha A^∗_1xA_1y nem tiszt´an val´os. Legegyszer˝ubb esetben teh´atA_1y = iA_1x, vagyis

A₁·B₁ =k|A_1x|²

´es

A1 = Re [A1x(ˆx+ iˆy) exp ikz],

6Ha figyelembe venn´enk a plazma nyom´as´at, akkor egy kicser´el˝od´esi m´odus is mindenk´eppen kifej-l˝odne, ami csatol´odna a viszg´alni k´ıv´ant hurokm´odushoz, alapvet˝oen megv´altoztatva annak f˝obb tulaj-dons´agait.

ami egy helik´alis t´er, mert A_1x ∼coskz ´esA_1y ∼sinkz.

Mivel v´egesA₁·B₁ helik´alis perturb´aci´ot jelent, k´ezenfekv˝o a m´agneses t´er helicit´ as-s˝ur˝us´eg´et A·B alakban defini´alni, amivel a plazma teljes m´agneses helicit´as´ara a

K =

∫

V

A·B d³r (4.88)

kifejez´es ad´odik.

Megmutathat´o, hogy ide´alis plazm´aban a teljes helicit´as megmarad´o mennyis´eg (nem csak line´aris rendben), azaz minden perturb´aci´ora K = ´alland´o. Ebb˝ol az k¨ovetkezik, hogy ha a m´agneses teret B=B₀+B₁ alakban, a vektorpotenci´alt pedig A =A₀+A₁ A helicit´as megmarad´asa miatt a 4.89 egyenletnek a perturb´aci´o minden rendj´eben k¨ul¨on-k¨ul¨on is teljes¨ulnie kell, azaz els˝o rendben

∫

Ezt az eredm´enyt kell ¨osszevetn¨unk a 4.61 egyenletben szerepl˝o utols´o taggal, azaz A1 · B1J_0∥/B0-al, pontosabban annak a plazmat´erfogatra vett integr´alj´aval. L´atszik, hogy mivelJ_0∥/B₀ ´altal´aban valamilyen bonyolult f¨uggv´enye a t´erkoordin´at´anak, a 4.61 egyenletben akkor lesz nulla az utols´o tag (azaz nem destabiliz´al´o), ha J_0∥/B₀ ´alland´o,

´

es ´ıgy az integr´al el´e kiemelhet˝o (A1·B1 integr´alja pedig mindig automatikusan nulla).

Osszefoglalva: azok a perturb´¨ aci´ok stabilak a kihajl´o instabilit´assal szemben, ame-lyekre J_0∥/B₀ =λ= ´alland´o.⁷ Ezt az ´all´ıt´ast m´ask´eppen fel´ırva (λ-r´olµ₀-t lev´alasztva)

µ0J0 =λB0,

7Ez egy el´egs´eges, de nem sz¨uks´eges felt´etel, hiszen az energiaintegr´al nemnegat´ıv tagjai stabiliz´ al-hatj´ak ezt a m´odusJ_0∥/B0̸= ´alland´o eset´en is.

azaz

∇ ×B₀ =λB₀. (4.90)

Ezt az egyenletet er˝omentes egyens´ulynak h´ıvjuk, ´es a megold´asai olyan helik´alis m´ ag-neses terek, melyek rot´aci´oja p´arhuzamos mag´aval a t´errel. Ha a m´agneses t´er olyan, hogy er˝ovonalai s´ıkban fekszenek (azaz a t´er k´etdimenzi´os), akkor a rot´aci´o minden-k´eppen ki fog mutatni a fel¨uletb˝ol, ´es a 4.90 egyenlet sosem teljes¨ulhet. Az er˝omentes egyens´uly teljes¨ul´es´ehez teh´at h´aromdimenzi´os m´agneses t´erre van sz¨uks´eg.

Irodalomjegyz´ ek

[BELLAN] Stangeby P.C.: The Plasma Boundary of Magnetic Fusion Devices, IOP Publishing Ltd., 2000,

[GOEDBLOED] G. Federici et al.:Plasma-material interactions in current tokamaks and their implications for next step fusion reactors, Nuclear Fusion, Vol. 41, No. 12, 2001, IAEA, Vienna

[FREIDBERG] http://www.efda.org/fusion/