Alfv´ en-hull´ amok

Ezen transzform´aci´okat alkalmazva az MHD egyenletekre, kapjuk a dimenzi´otlan MHD modellt, melynek egy¨utthat´oi a cs, a cA ´es a γ: Amennyiben felt´etelezz¨uk, hogy a megold´asok k hull´amsz´am´u, ω k¨orfrekvenci´aj´u f¨ ug-getlen, line´aris m´odusok (hull´amok) ¨osszegek´ent ´allnak el˝o, a fenti egyenletek Fourier-transzform´altjai minden egyes m´odusra ugyanolyan alak´u algebrai egyenletek:

0 +csk·U˜ + 0 + 0 = γωρ,˜ (3.50)

Gy˝ujts¨uk ¨ossze, hogyan n´eznek ki a fenti k¨ozel´ıt´esek ut´an az MHD-egyenleteink.

∂ρ

∂p

∂t +u· ∇p+pγ∇u = 0 (3.56)

∂B

∂t − ∇ ×(u×B) = 0 (3.57)

∇ ·B = 0 (3.58)

Legyen a m´agneses ter¨unkz ir´any´u (B₀ = (0,0, B_z)), ´es a s˝ur˝us´egben, a nyom´asban, a sebess´egben ´es a m´agneses t´erben csak kis fluktu´aci´okat engedj¨unk meg ρ₀ = konst., p₀ = konst., u₀ = 0¹, ´es B₀ = (0,0, B_z) k¨or¨ul. Ezeket a kicsiny fluktu´aci´okat 1-es indexszel jel¨olj¨uk, teh´at a s˝ur˝us´eg, nyom´as, sebess´eg ´es a m´agneses t´er ´ert´eke a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel, sorrendben: ρ = ρ₀ + ρ₁, p = p₀ +p₁, u = u₀ + u₁, B = B₀ + B₁. Ezut´an helyettes´ıts¨uk be az ´ıgy fel´ırt ´ert´ekeket az egyenleteinkbe ´es hagyjuk el a m´asodrend˝uen kicsiny tagokat (ezt a m´odszert lineariz´al´asnak nevezz¨uk). Ezt el˝osz¨or r´eszletesen megmutatjuk a kontinuit´asi egyenleten, ut´ana m´ar csak az eredm´enyeket k¨oz¨olj¨uk, de term´eszetesen a t¨obbi egyenlet is hasonl´o m´odon levezethet˝o.

∂

∂t(ρ₀+ρ₁) +∇ ·((ρ₀+ρ₁)(u₀+u₁)) = 0 (3.59) A fentiekb˝ol kiesik a ^∂ρ_∂t⁰ = 0, hiszen a ρ₀ =konst., az u₀ = 0 tag, valamint aρ₁·u₁, hiszen lineariz´aljuk egyenleteinket, teh´at a m´asodrendben kicsiny tagokat elhanyagoljuk.

A fentiek ut´an a lineariz´alt kontinuit´asi egyenlet a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel.

∂ρ1

∂t +∇ ·(ρ₀·u₁) = 0 (3.60)

A lineariz´alt mozg´asegyenlet teh´at hasonl´o megfontol´asok ut´an a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki.

ρ₀∂u1

∂t +∇p₁− 1

µ₀(∇ ×B₁)×B₀ = 0 (3.61) A∇ ×B1 tagb´ol l´athatjuk, hogy a rendszer¨unkben perturb´alt ´arams˝ur˝us´eg fog indu-k´al´odni. A g´azdinamikai egyenlet lineariz´alt alakja a k¨ovetkez˝o.

1Emiatt az ´arams˝ur˝us´eg is ´atlag´ert´eke is z´erus lesz: j₀= 0.

∂p₁

∂t +γp₀∇u₁ = 0 (3.62)

A marad´ek k´et egyenlet¨unk (a 3.57. ´es a 3.58.) pedig a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o a lineariz´al´as ut´an.

∂B₁

∂t − ∇ ×(u₁×B₀) = 0 (3.63)

∇ ·B₁ = 0 (3.64)

Ne feledj¨uk, hogy a fenti egyenletekben a ρ1, u1, B1, p1 perturb´alt mennyis´egek,

´es vegy¨uk ´eszre azt is, hogy a perturb´alt s˝ur˝us´eg, ρ₁ csak a 3.60. egyenletben szere-pel. Koncentr´aljuk a m´agneses t´er hull´amz´as´ara, az akusztikus ´es a magneto-akusztikus hull´amokat most nem vizsg´aljuk. Ez az egyenleteinkben ´ugy mutatkozik meg, hogy p₀ =p₁ = 0. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a kinetikus nyom´as j´oval kisebb, mint a _2µ^B2

0-lal jel¨olt m´agneses nyom´as. Kett˝oj¨uk h´anyadosa egy´ebk´ent a plazma β, melynek

´

ert´eke: β = _B^p2 2µ0

.

Vegy¨uk a lineariz´alt mozg´asegyenlet id˝o szerinti deriv´altj´at:

ρ₀∂²u1

∂t² = 1 µ₀

(

∇ × ∂B1

∂t )

×B₀. (3.65)

Tekintve, hogy B₀ nem id˝of¨ugg˝o ´es az Amp`ere-t¨orv´eny alapj´an tudjuk, hogy ^∂B_∂t¹ =

∇ ×(u₁×B₀), az egyenlet¨unk a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o:

ρ₀∂²u₁

∂t² = 1

µ₀ [∇ ×(∇ ×(u₁ ×B₀))]×B₀. (3.66) A fenti egyenlet egy hull´amegyenlet, keress¨uk ennek a s´ıkhull´am megold´as´at a Fourier-t´erben. A hull´ammegold´as azt jelenti, hogy u-t u₁ = ˆu·e^i(kr−ωt) alakban keress¨uk, a Fourier-t´erben pedig a t´erbeli ´es id˝obeli deriv´al´asok a k¨ovetkez˝ok´eppen egyszer˝us¨odnek:

∇ → ik ´es _∂t^∂ → −iω. A fentieket helyettes´ıts¨uk be az 3.66. egyenletbe, ekkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk.

−ω²ρ₀uˆ = 1

µ₀ [k×(k×(ˆu×B₀e_z))]×B₀e_z (3.67)

A fenti 3.67. egyenletet ´atrendezve a k¨ovetkez˝o eredm´enyt kapjuk.

−ω²uˆ = B₀²

ρ₀µ₀ [k×(k×(ˆu×e_z)]×e_z (3.68) A fenti egyenletb˝ol azonnal l´atszik, hogy ˆu·e_z = 0, azaz a sebess´egperturb´aci´onak nincs a m´agneses t´errel p´arhuzamos komponense. Az3.68. egyenletb˝ol a hull´am terjed´esi sebess´ege a m´agneses nyom´assal (a m´agneses t´er energias˝ur˝us´eg´evel) kifejezve:

v_A =

√ 2 ρ₀

B²₀ 2µ₀ =

√ 2

ρ₀W_B. (3.69)

4. fejezet

Az MHD egyens´ uly ´ es stabilit´ asa

Az eddigiek sor´an is m´ar ny´ılv´anval´ov´a v´alt, hogy az MHD elm´elet a legt¨obb k¨ ozel´ı-t´est tartalmaz´o elm´elet a h´aromszint˝u (egyr´eszecske k´ep - kinetikus elm´elet - folyad´ek elm´eletek) le´ır´asi s´em´ankban. Ennek ellen´ere mag´anak az MHD-nak sokr´et˝u a gyakor-lati alkalmaz´asi k¨ore: tokamakok egyens´ulyi konfigur´aci´oj´anak sz´am´ıt´asa, asztrofizikai plazm´ak tanulm´anyoz´asa, plazmahajt´om˝uvek stb. A f´uzi´os plazmafizika ter¨ulet´en az MHD-elm´elet f˝o jelent˝os´ege abban ´all, hogy olyan m´agneses t´erszerkezetek felder´ıt´es´ e-re alkalmas melyek lehet˝ov´e teszik a forr´o plazma stabil ¨osszetart´as´at lehet˝oleg magas plazma-β ´ert´ekek mellett.

Azzal kezdj¨uk, hogy megvizsg´aljuk az elm´elet bel¨ul fell´ep˝o k¨ul¨onb¨oz˝o er˝oket, fesz¨ ult-s´egeket amelyek az egyens´ulyi ´allapotot ´es annak stabilit´as´at meghat´arozz´ak. Az MHD mozg´asegyenlet:

ρ [∂U

∂t +U· ∇U ]

=J×B− ∇P. (4.1)

Ez az egyenlet l´enyeg´eben a semleges folyad´ekokra ´erv´enyes mozg´asegyenlet (Navier-Stokes egyenlet) ´altal´anos´ıt´asa elektromos ´aram vezet´es´ere alkalmas kont´ınuumokra - erre a t´enyre utal aJ×B tag. A legt¨obb f´uzi´os alkalmaz´asban a viszkozit´as elhanyagolhat´o ez´ert nem tal´alunk a (4.1) egyenletben ilyen tagot. Meg kell azonban jegyezn¨unk, hogy amennyiben valamilyen k¨uls˝o forgat´onyomat´ek fell´ep (pl. tokamakba nem radi´alisan bel˝ott semleges f˝ut˝onyal´abok tudnak ilyen forgat´onyomat´ekot l´etrehozni) az egyens´ulyi konfigur´aci´oban viszkozit´asnak kell fell´epnie, hogy kikompenz´alja ezt a forgat´onyomat´ e-kot. Ilyenkor viszk´ozus tagot is meg kell jelen´ıteni a mozg´asegyenletben.

Az elgondolhat´o m´agneses konfigur´aci´ok k¨oz¨ul, tal´an a legegyszer˝ubb nemtrivi´alis eset av´akuum m´agneses mez˝o. Ez az az eset, amikor a teljes m´agneses mez˝ot a plazm´ankat mag´aban foglal´o t´erfogaton k´ıv¨ul es˝o ´aramok gener´alj´ak, azaz a plazm´aban mag´aban nem folyik ´aram. Mivel nincsenek lok´alis ´aramok, a v´akuum m´agneses mez˝ore ´erv´enyes:

∇ ×B_v= 0, (4.2)

azaz a v´akuum mez˝o rot´aci´omentes, ami ekvivalens azzal, hogy maga a vektormez˝o

fel-´ırhat´o egy skal´armez˝o (m´agneses potenci´al) gradiensek´ent: B_v = ∇χ. Mivel minden m´agneses t´er divergenci´aja elt˝unik, azonnal k¨ovetkezik, hogy a v´akuum m´agneses poten-ci´al egy Laplace egyenletnek tesz eleget:

∇²χ= 0. (4.3)

Az ilyen t´ıpus´u fizikai probl´em´akb´ol (ld. elektrosztatika Laplace egyenlete) j´ol ismert t´eny, hogy amennyiben maga aχ mez˝ot vagy annak norm´alis ir´any´u deriv´altj´at aV t´ er-fogatot k¨or¨ulvev˝o S fel¨uleten megadjuk, ez egy´ertelm˝uen meghat´arozza χ-t a V-ben. A fenti Laplace egyenlet line´aris, amennyiben az egyens´ulyi konfigur´aci´o valamilyen szim-metri´aval b´ır, a szimmetria-v´altoz´o szerint Fourier-transzform´alni lehet az egyenletet.

L´assunk egy konkr´etabb p´eld´at. Tegy¨uk fel, hogy az egyens´ulyunk hengerszimmetri-kus, azaz szok´asos {r, θ, z}koordin´at´ak k¨oz¨ul a θ´es a z szimmetriakoordin´ata. Ebben az esetben a m´agneses potenci´alχ(r)·exp (imθ+ikz) alak´u tagok szuperpoz´ıci´oja. Minden egyesm-re ´es k-ra a Laplace egyenlet:

∂²χ

amely egyenlet megold´asai az I_m(kr) ´es K_m(kr) m´odos´ıtott Bessel-f¨uggv´enyek. A Laplace egyenlet ´altal´anos megold´asa hengerszimmetrikus esetben:

χ(r, θ, z) = megol-d´asok adhat´ok m´as szimmetri´aj´u v´akuum m´agneses terekre is.

Term´eszetesen a nem-v´akuum terek sokkal bonyolultabbak lehetnek, hiszen ezeket nem csup´an a hat´arfelt´etelek, hanem a t´erfogaton bel¨ul foly´o ´aramok (plazma ´aram) is meghat´arozz´ak. Fontos ´all´ıt´as, amit itt nem bizony´ıtunk az, hogy adott hat´arfelt´ e-telek mellett a v´akuum m´agneses t´er a legalacsonyabb energi´aj´u megold´as. Ezt ´ugy is mondhatjuk, hogy Laplace egyenlet minden realiz´al´od´o megold´as´anak ki kell el´eg´ıtenie a hat´arfelt´eteleket, tov´abb´a amennyiben ´aramok folynak a vizsg´alt t´erfogaton bel¨ul a kialakul´o m´agneses mez˝o nem lehet a legalacsonyabb energi´aj´u ´allapotban. Ha ez ´ıgy van, akkor a nem-v´akuum m´agneses mez˝o instabilit´asok szabadenergia-forr´asak´ent is fel-foghat´o. Itt meg kell m´eg eml´ıten¨unk egy ´erdekes esetet. El˝ofordulhat ugyanis, hogy mik¨ozben a m´agneses konfigur´aci´o id˝ofejl˝od´ese a legalacsonyabb v´akuum m´agneses mez˝o ir´any´aba tart, olyan ´allapot ´all el˝o melyben a plazma´aram ´es a m´agneses mez˝o a t´erfogat minden pontj´aban azonos ir´any´u. Ekkor a J×B m´agneses er˝o z´eruss´a v´alik. Ezt az

´

allapotot h´ıvj´ak er˝omentes egyens´ulynak. A lehets´eges m´agneses konfigur´aci´ok ter´eben ez egy lok´alis minimum ´es mivel nem l´ep fel olyan er˝ohat´as ami ebb˝ol kimozd´ıtan´a a rendszert, ez az ´allapot tart´osan is fennmaradhat.

Miel˝ott tov´abb menn´enk a konkr´et m´agneses geometri´ak ir´any´aba, ´erdemes id˝ot szen-teln¨unk a J×B MHD-er˝o kvalitat´ıv ´es kvantitat´ıv vizsg´alat´ara. Tekints¨unk el˝osz¨or k´et fontos fogalmat: apinch-er˝o´es ahoop-er˝o fogalm´at. Induljunk ki abb´ol a k¨oz´episkol´ab´ol is ismert t´etelb˝ol, hogy v´egtelen egyenes p´arhuzamos vezet˝ok k¨olcs¨onhatnak egym´assal amennyiben ´aram halad kereszt¨ul rajtuk. A k¨olcs¨onhat´as vonz´o amennyiben az ´aramok azonos ir´any´uak. Most k´epzelj¨unk el egy k¨oteg vezet˝ot ´es minden vezet´ekben azonos ir´ a-ny´u ´aram folly´ek, mivel minden vezet´ekre a szomsz´edai vonz´o hat´ast gyakorolnak, a k¨oteg

¨ossze fog h´uz´odni ez´altal lecs¨okken a keresztmetszete. Amennyiben most azt k´epzelj¨uk el, hogy a vezet´ek k¨oteg¨unket helyettes´ıtj¨uk egy hengeres plazmaoszloppal, melyben adott

´

arams˝ur˝us´eg˝u ´aram folyik a z-tengellyel p´arhuzamosan, az el˝obbivel anal´og folyamatot fogunk tapasztalni: a plazmaoszlop ¨osszeh´uz´odik. Ez a pinch-hat´as. Gondoljuk most v´egig ugyanezt a dolgot egy k¨oralak´u (nem hossz´u egyenes) ´aramj´arta vezet˝ore. Szem-lej¨unk ki a k¨or ker¨ulete ment´en egy infinitezim´alis ´ıvelemet. Ezen az ´ıvelemen kereszt¨ul foly´o ´aram ´eppen ellent´etes ir´any´u lesz az ´ıvelemmel szemk¨ozti (t˝ole rπ t´avols´agra el-helyezked˝o) ´ıvelemen ´at foly´o ´arrammal, teh´at a szemk¨ozti ´ıvelemek tasz´ıtj´ak egym´ast.

Ez elmondhat´o a k¨oralak´u vezet˝o minden pontj´ara. Ennek k¨ovetkezt´eben olyan er˝ok l´epnek fel melyek t´ag´ıtani igyekeznek a k¨orgy˝ur˝ut. Ez a hoop-hat´as. Ezek ut´an k¨onny˝u elgondolnunk, hogy egy toroid´alis alak´u ´aramj´arta plazmagy˝ur˝ure ez a k´et er˝o milyen hat´ast gyakorol. A pinch-hat´as igyekszik ¨osszeh´uzni a t´orusz kissugar´at, m´ıg a hoop-er˝o a nagysugarat n¨oveli, teh´at v´egeredm´enyben egy t´agabb de v´ekonyabb t´oruszt kapunk.

Ezt ´ugy is ki tudjuk fejezni, hogy bevezetj¨uk a tokamakok elm´elet´eben fontos szerepet j´atsz´oinverz ar´anysz´amot, azazϵ=a/R, aholaa tokamak kissugara, m´ıgRa nagysug´ar.

A pinch-er˝o ´es a hoop-er˝o egyar´ant cs¨okkenti az inverz ar´anysz´amot.

Most n´ezz¨uk meg azt, hogy az MHD-elm´elet keret´en bel¨ul milyen felt´etelei vannak annak, hogy a plazma egyens´ulyban legyen. Nyilv´anval´oan a plazmaparam´eterek csak valamif´ele speci´alis kombin´aci´oja eset´en lesz egyens´uly, ´es nem is felt´etlen¨ul stabil. Az egyens´ulyi ´allapot stabilit´as´anak k´erd´es´et a r´ak¨ovetkez˝o fejezetben t´argyaljuk majd.

Tekints¨uk ism´et az MHD-mozg´asegyenletet!

ρ (∂U

∂t +U· ∇U )

=J×B− ∇P (4.6)

Egyens´ulyban az id˝oderiv´alt elt˝unik, azaz az al´abbi egyszer˝ubb egyenletre jutunk:

ρU· ∇U=J×B− ∇P. (4.7)

Ha az egyens´uly olyan, hogy a plazm´aban nincsenek makroszk´opikus (MHD) ´ aram-l´asok, azaz U = 0, statikus egyens´ulyr´ol besz´el¨unk, egy´eb esetekben az egyens´uly di-namikus. Ebben a bevezet˝o jegyzetben csak a statikus egyens´ulyt vizsg´aljuk, mivel az l´enyegesen egyszer˝ubben t´argyalhat´o a dinamikusn´al.

Adott teh´at a

J×B=∇P (4.8) egyenlet, amelynek keress¨uk a megold´asait.

Az egyenletre pillantva r¨ogt¨on l´atszik, hogy a jobb oldal rot´aci´oja nulla (gradiens rot´aci´oja mindig az), de a bal oldal´e nem felt´etlen¨ul. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen nem l´etezik minden tetsz˝oleges P(x)-hez olyan ´arameloszl´as J(x) (´es ennek megfelel˝oen B(x) m´ ag-neses t´er) ´ugy, hogy a 4.8 egyenlet igaz legyen. Ennek ford´ıtottja is igaz, azaz nem minden tetsz˝oleges J(x) ´arameloszl´ashoz l´etezik egyens´ulyi P(x) nyom´as.

Felhaszn´alva a∇B²/2 = B·∇B+B×∇×Bvektorazonoss´agot ´es Amp`ere t¨orv´eny´et, 4.8 bal oldala ´ıgy ´ırhat´o:

J×B = 1

ahol Iaz egys´egtenzor ´es felhaszn´altuk a

∇ ·(BB) = (∇ ·B)B+B· ∇B =B· ∇B

¨osszef¨ugg´est. Defini´aljunk minden t´erbelixpontban egy lok´alis Descartes-koordin´atarendszert

´

ugy, hogy az tengely a m´agneses t´er ir´any´aba mutasson! Ekkor a4.8 egyenlet az al´abbi alakot ¨olti:

Ez a meg´allap´ıt´as – b´ar igaz – kiss´e f´elrevezet˝o, mivel azt sugallja, hogy l´etezik egy, a m´agneses t´errel p´arhuzamos er˝o, holott az val´oj´aban nem l´etezik, mert a J×B-nek nincs B ir´any´aba es˝o komponense. Hogy ezt az

”ellentmond´ast” feloldjuk, rendezz¨uk ´at a4.9 egyenlet m´asodik sor´at!

J×B = 1

R pedig a m´agneses t´er er˝ovonalainak lok´alis g¨orb¨uleti sugara.

A J×B er˝onek ebb˝ol az alakj´ab´ol m´ar j´ol l´atszik, hogy a m´agneses t´errel p´ arhuza-mosan val´oj´aban az er˝ovonalak g¨orb¨ulet´eb˝ol ad´od´oan l´ep fel h´uz´oer˝o (ugyan´ugy, mint ahogy egy megfesz´ıtett h´ur is szeretne kiegyenesedni, ha deform´alj´ak).

4.1. θ-pinch ´ es Z -pinch

Miel˝ott a bonyolultabb, f´uzi´os plazmafizikai szempontb´ol relev´ansabb toroid´alis rendsze-rekr˝ol besz´eln´enk, tekints¨uk el˝osz¨or ezeknek 1-dimenzi´os anal´og konfigur´aci´oit aθ-pinchet

´

es a Z-pinchet. Ez a sz´etv´alaszt´as az´ert is indokolt didaktikailag, hogy sz´et lehessen v´ a-lasztani az MHD egyens´uly k´et l´enyeges aspektus´at: a radi´alis nyom´as egyens´ulyt a toroid´alis er˝oegyens´ulyt´ol.

A most t´argyaland´o 1-dimenzi´os modellek teljes eg´esz´eben a radi´alis nyom´asegyens´uly mibenl´et´ere f´okusz´alnak. A toroid´alis er˝oegyens´uly k´erd´ese itt fel sem vet˝odik, hiszen defin´ıci´o szerint a pinchek line´arisak. A toroid´alis effektusokat ´ugy lehet matematikailag legterm´eszetesebben bevezetni, hogy sorfejt´est v´egz¨unkϵ=a/R-ben (azϵ→0 hat´areset felel meg a line´aris geometri´anak).

θ-pinch

Kezdj¨uk t´argyal´asunkat a θ-pinch le´ır´as´aval. A θ-pinch a toroid´alis konfigur´aci´o olyan 1-dimenzi´os modellje, melyben a m´agneses t´er tiszt´an toroid´alis, azaz a B-nek egyetlen nemz´erus komponense van, ez a z-komponens. Ezt a teret k¨uls˝o tekercsekben foly´o

´aramok gerjesztik, ennek hat´as´ara a plazm´aban er˝os diam´agneses J_θ ´aramkomponens keletkezik, ami a B_z-vel k¨olcs¨onhatva okozza a plazm´at ¨osszetart´o pinch-hat´ast. Az egyens´uly meghat´aroz´as´ahoz h´arom egyenletet haszn´alunk:

1. ∇ ·B = 0 =⇒ ^∂B_∂z^z = 0,

2. ∇ ×B =µ₀J=⇒J_θ =−_µ¹₀^∂B_∂r^z, 3. J×B=∇p=⇒J_θB_z = ^∂p_∂r.

Az utols´o k´et ¨osszef¨ugg´esb˝ol ad´odik a radi´alis nyom´asegyens´uly:

Amennyiben ezt az egyenletet integr´aljuk azr-koordin´ata szerint, kapunk egy integr´aci´os

´

alland´ot, ami nem m´as, mint a k¨uls˝o tekercsek ´altal, a plazm´an k´ıv¨uli v´akuumban keltett B₀²/2µ₀ m´agneses nyom´as. Azt mondhatjuk teh´at, hogy aθ-pinch egyens´ulyi ´allapot´aban a plazm´aban l´ev˝o m´agneses nyom´as ´es a kinetikus nyom´as ¨osszege egyens´ulyt tart a k¨uls˝o tekercsek ´altal gerjesztett m´agneses nyom´assal. Csak a p´elda kedv´e´ert l´assunk, hogyan is n´ezhet ki egy ilyen egyens´ulyi nyom´as ´es m´agneses t´er profil:

p(r) = p0exp (−r²/a²), (4.14) B_z(r) = B₀(1−β₀exp (−r²/a²))^1/2, (4.15) ahol β₀ = 2µ₀p₀/B²₀, a plazma-β ´ert´eke a m´agneses tengelyen, B₀ a v´akuum m´agneses t´er, p₀ a nyom´as a m´agneses tengelyen. A nyom´as profil egy gyorsan cs¨okken˝o f¨uggv´eny, ami azt jelzi, hogy az ¨osszetart´asunk elvben k´ıv´al´o lehet, z´art izob´ar fel¨uletek alakulnak ki. Jegyezz¨uk azt is meg, hogy mivel nincsen z-ir´any´u ´aram β_pol → ∞, tov´abb´a q→ ∞, ami el˝onyos a kink-instabilit´asok szempontj´ab´ol. Mivel minden egyes m´agneses fel¨ ule-ten az er˝ovonalak egyir´anyba mutatnak, nem v´arhat´o, hogy m´agneses ny´ır´as l´epjen fel, ami azt is jelenti, hogy amennyiben MHD instabilit´asok esetlegesen fell´epnek, nem ´all rendelkez´es¨unkre a m´agneses ny´ır´as stabiliz´al´o hat´asa.

A θ-pinch nem maradt csup´an egy elm´eleti konstrukci´o, a f´uzi´os kutat´asok kezdet´en sz´amos ilyen berendez´es ´ep¨ult szerte a vil´agban. A θ-pinch berendez´esek jelen´ıtett´ek meg a f´uzi´os kutat´asok kezdeti sikeres l´ep´eseit. Rutinszer˝uen lehetett 1-4 keV h˝om´ers´ ek-leteket ´es 1−2×10²²m⁻³ s˝ur˝us´egeket el´erni, m´ıg a m´agneses tegelyen m´ert plazma-β 0.7−0.9 k¨oz¨otti ´ert´eknek ad´odott. Ezen berendez´esek voltak, melyek el˝osz¨or termeltek jelent˝osebb mennyis´eg˝u termonukle´aris eredet˝u neutront, a magas h˝om´ers´eklet˝u, termi-kus k¨ozegben. A θ-pinch legnagyobb probl´em´aja term´eszetesen a berendez´es v´egein´el fell´ep˝o vesztes´egek. R´eszletes egyens´ulyi sz´am´ıt´asok mutatj´ak, hogy ezen vesztes´egeket nem lehet azzal megsz¨untetni, hogy a konfigur´aci´ot csak egyszer˝uen toroid´aliss´a g¨orb´ıtj¨uk - m´as terek hozz´aad´as´ara is sz¨uks´eg van a stabilit´as el´er´es´ehez.

Z-pinch

A legegyszer˝ubb statikus egyens´ulyi elrendez´est Bennett tanulm´anyozta 1934-ben, ´es Bennett- vagy Z-pinchnek h´ıvjuk. (Z az ´aram ir´any´at jel¨oli.) Ez az elrendez´es tulajdon-k´eppen egy v´egtelen hossz´u, tengelyszimmetrikus henger alak´u plazm´ab´ol ´all, melyben a szimmetriatengely (a z tengely) ment´en J ´arams˝ur˝us´eg folyik. A plazm´at v´akuum veszi k¨or¨ul ´es hengerkoordin´ata-rendszert haszn´alunk.

Az r sugar´u k¨or¨on bel¨ul foly´o ´aram ´es az ´arams˝ur˝us´eg az al´abbi kapcsolatban van:

4.1. ´abra. A Z-pich konfigur´aci´o

I(r) =

∫ _r

0

2πr^′J_z(r^′)dr^′. (4.16) Ezzel a kifejez´essel egyen´ert´ek˝u m´odon az axi´alis ´arams˝ur˝us´eg ´ıgy sz´am´ıthat´o a teljes

´

aramb´ol:

J_z(r) = 1 2πr

∂I

∂r. (4.17)

Az axi´alis ´aram keltette azimut´alis m´agneses teret az Amp`ere-t¨orv´eny szolg´altatja:

B_θ(r) = µ₀I(r)

2πr . (4.18)

Ezek ut´an a 4.8 egyenlet a Bennett-pinch eset´ere az al´abbi egyszer˝u alakot ¨olti:

r²∂P

∂r =− µ₀ 8π²

∂I²

∂r . (4.19)

Integr´aljuk az egyenletet r = 0-t´olr =a-ig (a a plazmahenger sugara)!

∫ _a

0

r²∂P

∂rdr= [r²P(r)]^a₀ −2

∫ _a

0

rP(r)dr=− µ₀

8π²I²(a) (4.20)

4.2. ´abra. Az azimut´alis m´agneses t´er radi´alis v´altoz´asa.

4.3. ´abra. Az nyom´as radi´alis v´altoz´asa.

A kiintegr´alt mennyis´eg elt˝unik mind r= 0, mind r=a esetben, mivelP(a) = 0 – A nyom´as a plazma-v´akuum hat´arfel¨uleten elt˝unik. Ha a h˝om´ers´eklet homog´en, a nyom´ast

´ıgy fejezhetj¨uk ki: P =N κT , azaz a 4.20 egyenlet ´ıgy ´ırhat´o:

4.4. ´abra. Az ´arams˝ur˝us´eg z-komponens´enek radi´alis v´altoz´asa.

I² = 8πN κT

µ₀ , (4.21)

ahol N az egys´egnyi tengelyhosszra jut´o r´eszecskesz´am. A Bennett ¨osszef¨ugg´esnek h´ıvott4.21 egyenlet legfontosabb ´all´ıt´asa az, hogy adott N´es T¨osszetart´as´ahoz (egyen-s´ulyban tart´as´ahoz) sz¨uks´eges ´aram f¨uggetlen a s˝ur˝us´eg radi´alis eloszl´as´at´ol. A

Bennett-¨osszef¨ugg´esb˝ol az is l´athat´o, hogy viszonylag gyenge ´aramokkal is jelent˝os plazmanyom´ast lehet ellens´ulyozni. Ez a k´et t´eny motiv´alta a berendez´esek tervez´es´et a szab´alyozott f´ u-zi´os kutat´asok hajnal´an, az 1950-es, 60-as ´evekben. Azonban – mint k´es˝obb l´atni fogjuk – a fent v´azolt le´ır´as t´ulzottan optimista, mert aZ-pinchelrendez´es nagyon er˝osen instabil.

4.2. Toroid´ alis rendszerek, Grad-Shafranov egyenlet

4.2.1. Fluxus fel¨ uletek ´ es koordin´ at´ ak

Tegy¨uk fel, hogy adva van egy S z´ar fel¨ulet ´es ezen egy j´ol viselked˝o (folytonos, deriv´ al-hat´o stb.) C(x) vektormez˝o, melynek a fel¨ulettel p´arhuzamos (tangenci´alis) komponense a fel¨uleten mindenhol v´eges (sehol nem z´erus). Akkor a Poincar´e h´ıres t´etele szerint, S topol´ogiailag t´orusz.

A C(x)-b˝ol kiind´ulva konstru´alhatunk egy m´asik sima vektormez˝ot D(x) =C(x)− n(x)[n(x)·C(x)], ahol n(x) jel¨oli az xpontban a fel¨ulet norm´alis egys´egvektor´at. Az ´uj

vektormez˝o konstrukci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy nincs a fel¨uletre norm´alis komponense, azt is lehetne mondani, hogy teljes eg´esz´eben a fel¨uletben fekszk ´es sehol sem z´erus. Ekkor azt mondjuk, hogy a D(x) lefedi S-t. A D(x) ´eppen azokkal a tulajdons´agokkal b´ır amelyek fenn´all´asa eset´en alkalmazhat´o a Poincar´e-t´etel, teh´at az olyan fel¨ulet, amelyet lefed egy nemz´erus vektormez˝o sz¨uks´egk´eppen toroid´alis.

Ezen eredm´eny folyom´anyai a plazma¨osszetart´asra n´ezve eg´eszen ny´ılv´anval´oak. Te-kints¨uk egy m´agnesesen ¨osszetartott plazma hat´arol´o fel¨ulet´et. Ha a plazma m´agnesezett, akkor a m´agneses mez˝o nem t¨unket el sehol ezen a fel¨uleten. Tov´abb´a, mivel a plazma r´eszecsk´ei szabadon mozoghatnak a B-vonalak ment´en, a m´agneses mez˝onek nem lehet a fel¨uletre mer˝oleges komponense. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy B(x) lefedi a fel¨ulet, ami toroid´alis topol´ogi´aj´u kell legyen.

Az olyan toroid´alis fel¨uletet, melyet s˝ur˝un (a fel¨ulet tetsz˝olegesen kiv´alasztott pont-j´anak tetsz˝oleges k¨ornyezet´eben tal´alunk ott halad´o er˝ovonalat) lefed egy m´agneses me-z˝o fluxusfel¨uletnek nevezz¨uk. Az el˝oz˝oekben l´attuk, hogy egy m´agnesesen ¨osszetartott plazma legk¨uls˝o fel¨ulete fluxusfel¨ulet. Ezek ut´an plauzibilis felt´etelezni, hogy a teljes

Az olyan toroid´alis fel¨uletet, melyet s˝ur˝un (a fel¨ulet tetsz˝olegesen kiv´alasztott pont-j´anak tetsz˝oleges k¨ornyezet´eben tal´alunk ott halad´o er˝ovonalat) lefed egy m´agneses me-z˝o fluxusfel¨uletnek nevezz¨uk. Az el˝oz˝oekben l´attuk, hogy egy m´agnesesen ¨osszetartott plazma legk¨uls˝o fel¨ulete fluxusfel¨ulet. Ezek ut´an plauzibilis felt´etelezni, hogy a teljes

In document 2012.10.30. (Pldal 36-0)