Fluxus fel¨ uletek ´ es koordin´ at´ ak

Tegy¨uk fel, hogy adva van egy S z´ar fel¨ulet ´es ezen egy j´ol viselked˝o (folytonos, deriv´ al-hat´o stb.) C(x) vektormez˝o, melynek a fel¨ulettel p´arhuzamos (tangenci´alis) komponense a fel¨uleten mindenhol v´eges (sehol nem z´erus). Akkor a Poincar´e h´ıres t´etele szerint, S topol´ogiailag t´orusz.

A C(x)-b˝ol kiind´ulva konstru´alhatunk egy m´asik sima vektormez˝ot D(x) =C(x)− n(x)[n(x)·C(x)], ahol n(x) jel¨oli az xpontban a fel¨ulet norm´alis egys´egvektor´at. Az ´uj

vektormez˝o konstrukci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy nincs a fel¨uletre norm´alis komponense, azt is lehetne mondani, hogy teljes eg´esz´eben a fel¨uletben fekszk ´es sehol sem z´erus. Ekkor azt mondjuk, hogy a D(x) lefedi S-t. A D(x) ´eppen azokkal a tulajdons´agokkal b´ır amelyek fenn´all´asa eset´en alkalmazhat´o a Poincar´e-t´etel, teh´at az olyan fel¨ulet, amelyet lefed egy nemz´erus vektormez˝o sz¨uks´egk´eppen toroid´alis.

Ezen eredm´eny folyom´anyai a plazma¨osszetart´asra n´ezve eg´eszen ny´ılv´anval´oak. Te-kints¨uk egy m´agnesesen ¨osszetartott plazma hat´arol´o fel¨ulet´et. Ha a plazma m´agnesezett, akkor a m´agneses mez˝o nem t¨unket el sehol ezen a fel¨uleten. Tov´abb´a, mivel a plazma r´eszecsk´ei szabadon mozoghatnak a B-vonalak ment´en, a m´agneses mez˝onek nem lehet a fel¨uletre mer˝oleges komponense. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy B(x) lefedi a fel¨ulet, ami toroid´alis topol´ogi´aj´u kell legyen.

Az olyan toroid´alis fel¨uletet, melyet s˝ur˝un (a fel¨ulet tetsz˝olegesen kiv´alasztott pont-j´anak tetsz˝oleges k¨ornyezet´eben tal´alunk ott halad´o er˝ovonalat) lefed egy m´agneses me-z˝o fluxusfel¨uletnek nevezz¨uk. Az el˝oz˝oekben l´attuk, hogy egy m´agnesesen ¨osszetartott plazma legk¨uls˝o fel¨ulete fluxusfel¨ulet. Ezek ut´an plauzibilis felt´etelezni, hogy a teljes

¨

osszetartott tartom´any felfoghat´o ´ugy, mint egym´asba ´agyazott toroid´alis fluxusfel¨uletek sorozata. Ez az idealiz´alt strukt´ura j´o k¨ozel´ıt´ese a val´os´agos toroid´alis berendez´esekben el´erhet˝o kv´azi-stacion´arius m´agneses strukt´ur´aknak.

Megjegyezz¨uk, hogy bizonyos fluxusfel¨uleteken a m´agneses er˝ovonalak ¨onmagukba z´ar´odhatnak v´eges poloid´alis vagy toroid´alis k¨or¨ulfut´as ut´an. Ny´ılv´anval´oan, ebben az esetben v´egtelen ilyen z´art er˝ovonalra van sz¨uks´eg a fel¨ulet s˝ur˝u lefed´es´ere. Sokkal gya-koribb az a helyzet, amikor egyetlen er˝ovonal v´egtelenszer k¨orbej´ar ´es s˝ur˝un lefedi a fel¨uletet, ekkor azt mondjuk, hogy az er˝ovonal ergodikusan lefedi a fel¨uletet ´es az ilyen fel¨uletet szok´as ergodikus fel¨uletnek is nevezni. A k¨ul¨onbs´eg a z´art-er˝ovonal´u ´es az er-godikus fel¨uletek k¨oz¨ott adott esetben fontos lehet, p´eld´aul azon r´eszecsk´ek, amelyek z´art-er˝ovonalakat k¨ovetnek a fluxusfel¨ulet csak egy korl´atozott r´esz´et j´arj´ak be m´ıg az ergodikus fel¨uleteken a r´eszecsk´ek el˝obb-ut´obb a fel¨ulet minden pontj´at bej´arj´ak.

Koordin´ata rendszerek

A fizikai konfigur´aci´os teret tetsz˝oleges sz´am´u, ekvivalens koordin´at´az´assal lehet repre-zent´alni. A mindenki ´altal j´ol ismertx= (x, y, z) Descartes-f´ele koordin´at´akb´ol indulunk ki ´es ezen kereszt¨ul defini´aljuk aξⁱ(x) = ξⁱ(x, y, z) ´altal´anos koordin´at´akat. Az ´altal´anos koordin´at´ak nem degener´altak (j = det(∂ξⁱ/∂x^j)>0) ´es jobsodrat´u rendszert alkotnak.

L´assunk n´eh´any fontos p´eld´at.

A legegyszer˝ubb koordin´ata rendszer, amit toroid´alis rendszerek le´ır´as´ara alkalmaz-nak ahengerkoordin´ata rendszerek: (ξ¹, ξ², ξ³) = (r, ϕ, z). A koordin´at´akat a Descartes-rendszer seg´ıts´eg´evel defini´aljuk:

r = √

x²+y², (4.22)

ϕ = tan⁻¹(y/x), (4.23)

z = z. (4.24)

A Jacobi determin´ans j = 1/r.

A hengerkoordin´at´ak seg´ıts´eg´evel defini´alhatjuk az ´ugynevezett primit´ıv toroid´alis koordin´ata rendszert, (r0, θ0, ζ0):

r₀ = √

(r−R₀)²+z², (4.25)

θ₀ = tan⁻¹ ( z

r−R₀ )

, (4.26)

ζ₀ = −ϕ, (4.27)

itt a θ₀ a poloid´alis sz¨og, a ζ₀ a toroid´alis sz¨og. A negat´ıv el˝ojelre az´ert van sz¨uks´eg, hogy biztos´ıtsa a rendszer jobsodrat´us´ag´at. A Jacobi determin´ans j = 1/(r₀r). A rendszer szimmetria-tengelye azr= 0 vonal. Azr₀ = const.fel¨uletek egym´asba ´agyazott t´oruszok melyeket k´et sz¨ogjelleg˝u koordin´ata ´ır le. Azr₀ = 0 elfajult fel¨ulet ´es m´agneses tengelynek nevezz¨uk.

A primit´ıv toroid´alis koordin´at´akat term´eszetesen ´altal´anos´ıtva kapjuk az ´altal´anos toroid´alis koordin´at´akat. Olyan sima koordin´ata-f¨uggv´enyeket kell defini´alni (ψ(x), θ(x), ζ(x)), hogy aj =∇ψ· ∇θ× ∇ζ Jacobi determin´ans v´eges ´es pozit´ıv legyen mindenhol. Aθ(x) poloid´alis sz¨og a hely f¨uggv´enye. Ez a f¨uggv´eny egy´ert´ek˝u egy toroid´alis k¨orbefut´as alatt,

´

am 2π-vel v´altozik minden egyes k¨or¨ulfordul´ast k¨ovet˝oen. Hasonl´oan a ζ(x) toroid´alis sz¨og is minden egyes poloid´alis k¨or¨ulfordul´as ut´an 2π-vel megv´altozik. Teh´at:

θ(r₀, θ₀+ 2mπ, ζ₀+ 2nπ) = θ(r₀, θ₀, ζ₀) + 2mπ, (4.28) ζ(r₀, θ₀+ 2mπ, ζ₀+ 2nπ) = ζ(r₀, θ₀, ζ₀) + 2nπ, (4.29) mindenm, n ∈Z. V´eg¨ul defini´aljuk az ´altal´anos radi´alis koordin´at´at, mint argumentu-mainak egy´ert´ek˝u f¨uggv´eny´et:

ψ(r₀, θ₀+ 2mπ, ζ₀+ 2nπ) =ψ(r₀, θ₀, ζ₀). (4.30) Fluxus cimk´ek

Az olyan skal´arf¨uggv´enyt amely konstans egy fluxusfel¨uleten fluxus cimk´enek nevezz¨uk.

Tetsz¨oleges, elegend˝oen sima f(x) f¨uggv´eny, melyre igaz, hogyB·∇f = 0, azaz konstans az er˝ovonal ment´en, tekinthet˝o fluxuscimk´enek abban az esetben, ha az er˝ovonal ergo-dikus. Megjegyezz¨uk, hogy b´armely monoton fluxus cimke tekinthet˝o effekt´ıv radi´alis

koordin´at´anak. A tov´abbiakban defini´aljunk k´et speci´alisan v´alasztott, monoton fluxus cimk´et, melyek k¨ul¨onlegesen fontosak lesznek a tov´abbiak szempontj´ab´ol: a poloid´alis fluxus ´es a toroid´alis fluxus.

Tekints¨unk egy szalag szer˝u S_p fel¨uletet, melyet a m´agneses tengely ´es egy adott r-hez tartoz´o fluxusfel¨ulet θ = const. g¨orb´eje k¨oz¨ott fesz´ıt¨unk ki. Defini´aljuk a poloid´alis fluxust:

ψ(r) =

∫

Sp

B·ndS, (4.31)

ahol n =∇θ/|∇θ| az S_p fel¨uletb˝ol kimutat´o norm´alis egys´egvektor, ir´anya a n¨ovekv˝o θ ir´any´aba.

Aχ(r)toroid´alis fluxust anal´og m´odon defini´alhatjuk azzal a k¨ul¨onbs´eggel, hogy most az integr´alt olyan r-el jellemzett fel¨uletre terjesztj¨uk ki melyreζ = const:

χ(r) =

∫

St

B·ndS, (4.32)

aholn =∇ζ/|∇ζ| azS_t fel¨uletb˝ol kimutat´o norm´alis egys´egvektor.

Mivel mindψ, mind pediχfluxus cimk´ek, egym´as f¨uggv´enyeinek is tekinthet˝ok, azaz ψ = ψ(χ). Meg lehet mutatni, hogy ezen f¨uggv´eny deriv´altja is egy fluxus cimke, ezt a mennyis´eget rot´aci´os transzform´aci´onak nevezz¨uk:

ι= 2πdψ

dχ. (4.33)

ι kulcsfontoss´ag´u mennyis´eg a toroid´alis plazm´ak stabilit´as-elm´elet´eben, ez´ert n´ezz¨uk meg mit is jelent szeml´eletesen. Tekints¨unk egy toroid´alisan k¨orbefut´o m´agneses er˝ ovo-nalat. Ez az er˝ovonal azS_t fel¨uletet (poloid´aslis metszetet) minden egyes k¨or¨ulfordul´asa sor´an valahol ´atd¨ofi. Egy toroid´alis k¨orbefut´as sor´an a ζ toroid´alis sz¨og 2π-vel v´ alto-zik meg, m´ıg az ehhez tartoz´o poloid´alis sz¨og megv´altoz´as´at jellemezz¨uk az ι-val. Itt azonnal meg kell jegyezni, hogy θ megv´altoz´asa nem sz¨uks´egk´eppen azonos minden to-roid´alis k¨orbefordul´as sor´an. Azt lehet megmutatni, hogy v´egtelen k¨or¨ulfordul´as ut´an az egy toroid´alis k¨orbefordul´asra jut´o ´atlagos poloid´alis elfordul´as ι/2π-hez tart. Azt is mondhatjuk teh´at, hogy a rot´aci´os transzform´aci´o az er˝ovonalak ´atlagos csavarod´as´at m´eri egy adott fluxus fel¨uleten. Egy tiszt´an toroid´alis vonal eset´enι= 0, m´ıg egy tiszta poloid´alis k¨or eset´en ι = ∞. Az ι lehet n/m alak´u racion´alis ´es irracion´alis sz´am is.

Azokat a fluxus fel¨uleteket amelyek eset´enι racion´alis, racion´alis fel¨uleteknek nevezz¨uk, amelyek nem ilyenek irracion´alis fel¨uleteknek h´ıvjuk. A tokamakos k¨oz¨oss´eg nem az ι-t haszn´alja, hanem ennek inverz´et az ´un. biztons´agi t´enyez˝ot:

q = 2π ι = dχ

dψ. (4.34)

Fontos megjegyezni, hogy a biztons´agi t´enyez˝o radi´alis gradiense fontos szerepet j´atszik a fell´ep˝o instabilit´asok stabiliz´al´as´aban. Ezt azs= dq/drmennyis´egetm´agneses ny´ır´asnak nevezz¨uk ´es azt jellemzi, hogy az egym´ast k¨ovet˝o fel¨uleteken fut´o er˝ovonalak milyen

´atlagos sz¨oget z´arnak be egym´assal.