2. Az MHD-k¨ ozel´ıt´ es 8
2.10. Mire j´ o a helicit´ as koncepci´ oja?
Sz´am´ıtsuk ki a helicit´ast egy v´egtelen¨ul hossz´u, hengerszimmetrikus plazm´aban.
A m´agneses teret bontsuk fel a hengerszimmetri´ahoz alkalmazkod´o komponensekre:
B = Bθ(r)eθ+Bz(r)er (2.76)
A·B ≡ AθBθ+AzBz (2.77)
µ(r) ≡ Bθ(r)
rBz(r) (2.78)
Aholµ(r) az inverz d˝ol´essz¨og (inverse magnetic pitch), amely azt mutatja meg, hogy mennyire tekerednek az er˝ovonalak.
• Ha Bθ(r) = 0→ µ= 0, azaz a m´agneses t´er f¨ugg˝olegesen lefel´e mutat (z ir´any´u).
Ezt a koncepci´ot θ-pinchnek nevezz¨uk.
• Ha Bz(r) = 0→µ→ ∞, azaz nincs igaz´an d˝ol´essz¨oge a m´agneses er˝ovonalaknak.
Ezt a koncepci´ot z-pinchnek nevezz¨uk.
Mikor lesz a helicit´as z´erus?
Az a k´epzet¨unk t´amadhat, hogy K ̸= 0-hoz elegend˝o a d˝ol´essz¨og (µ) v´egess´ege. Ez nincs
´ıgy, µ=konstans eset´en is lehet K = 0.
Altal´´ anos helik´alis geometri´aban fel´ırva:
I(r) = Bθ1 r
∫ r 0
rBzdr
| {z }
Aθ
−Bz
∫ r 0
Bθdr
| {z }
Az
(2.79)
Majd felhaszn´alva, hogyµ= rBBθ
z →Bθ =µrBz. I(r) = µBz
∫ r 0
Bθ
µ dr−Bz
∫ r 0
Bθdr (2.80)
Azaz ha µ r-t˝ol f¨uggetlen, akkor I(r) = 0, mert kiejti az integr´al alatti az integr´al el˝ottit. Teh´atI(r) akkor nem 0, ha µ(r)̸=konst. (azaz van m´agneses ny´ır´as).
Fluxushurkok eset´en a helicit´as viszonylag egyszer˝uen kisz´amolhat´o. P´eld´aul k´et egym´ast keresztez˝o fluxushurok eset´en: K = 2·ψ1·ψ2, ahol a sz´am mindig a keresztez´esek sz´am´aval egyezik meg (teh´at ha egy hurok ¨onmag´at keresztezi, akkor is n¨ovekedik). A K teh´at a glob´alis topol´ogi´at is jellemzi.
3. fejezet
MHD hull´ amok
Altal´´ anoss´agban elmondhat´o, hogy a fizikai rendszerek, k¨ozegek vizsg´alatakor a rendszer-ben terjed˝o kis amplit´ut´oj´u line´aris hull´amok tulajdons´agai fontos inform´aci´okkal szol-g´alnak a sz´obanforg´o modell dinamik´aj´ar´ol. A m´agnesezett plazm´akban fell´ep˝o line´aris hull´ammozg´asok sokkal v´altozatosabb k´epet mutatnak mint amit a h´etk¨oznapi folyad´ e-kok eset´eben megszokahattunk. Ennek oka term´eszetesen a t¨olt¨ott r´eszecsk´ek jelenl´ete a k¨ozegben. Ebben a fejezetben t´argyaljuk az ide´alis magnetohidrodinamikai modellben fell´ep˝o legelemibb line´aris hull´amokat: (1) Alfv´en-hull´amok, (2) gyors magnetoszonikus hull´amok, (3) lass´u magnetoszonikus hull´amok. Megjegyezz¨uk, hogy a fenti h´arom hul-l´amt´ıpus elnevez´ese a szakirodalomban nem egys´eges, ez´ert is fontos a fizikai l´enyeg¨uket pontosan meg´erteni. Az Alfv´en-hull´amban az els˝odleges hull´amz´o mennyis´eg a m´agneses mez˝o ´es ehhez NEM t´arsul s˝ur˝us´egperturb´aci´o, m´ıg a magnetoszonikus hull´amok eset´ e-ben - ahogy elnevez´es¨uk is sz´epen jelzi - a m´agneses perturb´aci´o ´es a nyom´asperturb´aci´o egyszerre l´ep fel.
Miel˝ott az MHD hull´amok h´arom, fentebb eml´ıtett ´ag´at r´eszletesen t´argyaln´ank, el˝ o-k´esz´ıt´esk´eppen t´argyaljuk az egyszer˝u hanghull´amokat. ´Am mindenekel˝ott ism´etelj¨uk ´at r¨oviden a hull´amok t´argyal´as´an´al mindig k¨ovetett matematikai l´ep´eseket:
1. Fel´ırjuk a fizikai rendszer¨unket jellemz˝o modell-egyenleteket, jelen esetben az ide´alis MHD egyenleteket.
2. Meghat´arozzuk a modell egyens´ulyi megold´asait. Ez az egyens´uly lehet trivi´alis, az-az a plaz-azm´aban nincsenek gradiensek ´es az ´araml´asi sebess´egeket null´anak vessz¨uk, vagy ak´ar bonyolultabb, ´araml´asokat ´es ´es v´eges gradienseket is tartalmaz´o.
3. Ezek ut´an tegy¨uk fel, hogy a fizikai rendszer¨unket azf(x, t),g(x, t),h(x, t), . . . me-z˝okkel jellemezz¨uk. Mivel ezeket a mez˝oket a dinamikai egyenletek ¨osszekapcsolj´ak, ez´ert amennyiben el˝o´ırjuk valamely mez˝o egyens´ulyi ´ert´eke k¨or¨uli kis perturb´aci´ o-j´at, a t¨obbi mez˝o is ’v´alaszolni’ fog erre a perturb´aci´ora. P´eld´aul, perturb´aljuk az
f(x, t) mez˝ot az egyens´uly k¨or¨ul:
f(x, t) =f0+ϵf1,
aholϵ≪1, ´es∀x, teset´enϵ|f1| ≪ |f0|. Ezek ut´an a dinamikai egyenletek megadj´ak a g = g(f) = g(f0 +ϵf1) t´ıpus´u nemline´aris ¨osszef¨ugg´eseket. Term´eszetesen az im´enti fel´ır´as egy´ertelm˝uen sugalmazza a g-mez˝o Taylor-sor szerintig =g0+ϵg1+ ϵ2g2 +· · · kifejt´es´et. Line´aris plazmahull´amok vizsg´alata eset´en el´egs´eges az els˝o rendig val´o kifejt´es.
4. A dinamikai egyenletek lineariz´al´asa. ez azt jelenti, hogy az egyenletkb˝ol elhagyjuk az f1 ·f1, f1·g1, f1∇f1 ´es f1∇g1 jelleg˝u tagokat.
5. Felt´etelezz¨uk, hogy a perturb´aci´o t´erben ´es id˝oben harmonikus, csatolatlan m´ odus-ok ¨osszege. Egy ilyen m´odus matematikai alakja: f1 = f1(k, ω)e−i(ωt−k·x). Ezzel a fel´ır´assal, homog´en egyens´ulyt felt´etelezve, ´alland´o egy¨utthat´os algebrai egyen-letrendszert kapunk, amely meghat´arozza a saj´at´ert´ekprobl´ema ω(k) = 0 karak-terisztikus egyenlet´et, vagy m´as n´even a diszperzi´os rel´aci´ot. Megjegyezz¨uk m´eg, hogy abb´ol ad´od´oan, hogy a hull´amegyenlet id˝oben m´asodrend˝u, a karakterisztikus egyenlet ω megold´asai lehetnek komplex sz´amok, ami lehet˝ov´e teszi a harmonikus megold´asok mellett, exponenci´alisan lecseng˝o, vagy exponenci´alisan n¨ovekv˝o (in-stabil) megold´asok megjelen´es´et is.
3.1. G´ azdinamikai hanghull´ amok
Els˝o p´eldak´ent tekints¨unk most egy nem m´agnesezett kontinuumot (pl. klasszikus g´az), melyet a k¨ovetkez˝o egyenletrendszer ´ır le:
∂ρ
∂t +∇(ρU) = 0, kontinuit´asi egyenlet (3.1) ρ
(∂U
∂t +U· ∇U )
+∇P = 0, mozg´asegyenlet (3.2)
∂P
∂t +U· ∇P +γP∇ ·U = 0, adiabatikus ´allapotegyenlet. (3.3) A rendszert le´ır´o mez˝ok: a ρ(x, t) s˝ur˝us´eg, az U(x, t) ´araml´asi sebess´eg ´es a P(x, t) nyom´as. Ez ¨osszesen 5 v´altoz´o. A γ az el˝oz˝oekb˝ol ismert fajh˝oar´any.
A k¨ovetkez˝o l´ep´esben megadjuk az egyens´uly jelleg´et: tegy¨uk fel, hogy az egyens´ulyi k¨ozeg homog´en (∇. . .= 0) ´es id˝of¨uggetlen (∂/∂t= 0), tov´abb´aU0 = 0.
Ezek ut´an tekints¨unk kis perturb´aci´okat az egyens´uly k¨or¨ul:
ertelmezhet˝o, hiszen az egyens´uly ´araml´asmentes. Ekkor viszony´ıt´asi sebess´egnek nem az egyens´ulyi sebess´eget v´alasztjuk, hanem azt mondhatjuk, hogy a sebess´eg-perturb´aci´o legyen kicsi a k¨ozegre jellemz˝o cs hangsebess´eghez viszony´ıtva.
A dinamikai egyenletekbe behelyettes´ıtve a 3.4 kifejez´eseket kapjuk a lineariz´alt egyenletrendszert:
1. Lineariz´alt kontinuit´asi egyenlet:
∂
3. Lineariz´alt ´allapotegyenlet:
Gy˝ujts¨uk ¨ossze egy helyre a kapott egyenleteket!
∂ρ1
Erdemes megfigyelni, hogy a´ ρ1 csak a 3.8 egyenletben jelenik meg ´es l´enyeg´eben t´erben ´es id˝oben, egy sk´alafaktort´ol eltekintve, megegyezik a P1-gyel. Ezen a ponton, k´et lehet˝os´eg¨unk van a tov´abbl´ep´esre: (1) a 3.9 ´es a 3.10 egyenleteket felhaszn´alva le-vezet¨unk egy egyenletet az U1 sebess´egperturb´aci´okra, (2) az eredeti, teljes rendszert
´
attranszform´aljuk Fourier-t´erbe, majd az algebrai egyenletrendszert megoldjuk, megha-t´arozva a saj´at´ert´ekeket ´es saj´atm´odusokat. Kezdj¨uk az els˝o m´odszerrel! K´epezz¨uk az 3.10 ´allapotegyenlet gradiens´et!
Felhaszn´alva, hogy a t´erbeli ´es az id˝obeli deriv´al´as sorrendje fel´ecser´elhet˝o, kapjuk:
∂
∂t∇P1+γP0∇2·U1 = 0.
Az 3.9 mozg´asegyenletb˝ol kifejezve a ∇P1-et, be´ırjuk a fenti egyenletbe:
−∂
Ez az egyenlet egy hull´amegyenlet a sebess´eg-perturb´aci´ora - a szakirodalomban ezt szok-t´ak sebess´eg-reprezent´aci´onak nevezni. A Laplace-oper´ator el˝ott ´all´o egy¨utthat´o dimen-z´oj´at megvizsg´alva: [P0]/[ρ0] ∼ N·m/kg = m2/s2, teh´at sebess´eg-n´egyzet dimenzi´oj´u, mint ahogyan egy hull´amegyenlet eset´eben lennie kell. Ez a sebess´eg az egyens´ulyi k¨ozeg param´etereivel sz´am´ıtott hangsebess´eg:
cs =
√ γP0
ρ0 . (3.12)
A 3.11 hull´amegyenlet egy ´alland´o egy¨utthat´os (cs) hiperbolikus line´aris parci´alis diffe-renci´alegyenlet. Ennek leg´altal´anosabb megold´asa fel´ırhat´o elemi s´ıkhull´amok szuperpo-z´ıci´ojak´ent:
U1(x, t) =∑
k,ω
U1(k, ω)ei(k·x−ωt) (3.13) Val´oj´aban itt a (k, ω) v´aloz´ok nem f¨uggetlenek, hiszen ¨osszekapcsolja ˝oket az ω(k) = 0 diszperzi´os rel´aci´o, ez´ert a tov´abbiakban az explicit ω f¨ugg´est nem jel¨olj¨uk. Tov´abb´a az egyszer˝us´eg kedv´e´ert feltessz¨uk, hogy a spektrum tiszt´an diszkr´et jelleg˝u, ez´ert a m´ odus-ok egyszer˝u szumm´aj´at tekintj¨uk (olyan mintha dobozba z´art hull´amokat vizsg´aln´ank).
Mivel a hull´amegyenlet line´aris, el´eg egyetlen m´odusra megoldani. Az id˝obeli m´asodik deriv´alt, szok´as szerint csak egy (iω)2 szorz´ot´enyez˝ot jelent. Mivel ez egy vektoregyenlet a t´erbeli r´esz deriv´altja nem trivi´alis:
∇2U1 ≡grad(divU1) ⇒ ∂i∂jU1j
A fenti tramszform´aci´o seg´ıts´eg´evel az al´abbi egyszer˝u saj´at´ert´ek-egyenletrendszert
kap-juk: [
A fenti saj´at´ert´ekegyenlet karakterisztikus egyenlet´et megkapjuk amennyiben az egyenlet m´atrix´anak determin´ans´at z´eruss´a tessz¨uk.
ω2(ω2(ω2−c2sk2)) = 0. (3.17) Ezen egyenlet megold´asai az ω= 0 ´es azω=±cs·k. Az els˝o megold´ashoz tartoz´o saj´ at-vektor az (U1x, U1y,0), ahol az els˝o k´et komponens tetsz˝oleges. A m´asodik megold´ashoz a (0,0, U1z) saj´atvektor tartozik, ahol U1z tetsz˝oleges. Az ω = 0 saj´at´ert´ek egy x−y s´ıkban megval´osul´o merev transzl´aci´onak felel meg ´es fizikailag ´erdektelen. Azω =±cs·k diszperzi´os rel´aci´o egy ω/k = cs f´azissebess´eggel, azaz hangsebess´eggel a k ir´any´aba (+
el˝ojel), illetve azzal ellent´etesen (− el˝ojel) terjed˝o longitudin´alis hull´amot ´ır le.
A m´asik lehet˝os´eg¨unk, hogy az eredeti3.8-3.10line´aris egyenletrendszerbe k¨ozvetlen¨ul helyettes´ıtj¨uk be a 3.13 alak´u f¨uggv´enyeket a ρ1,U1, P1 v´altoz´okra.
−iωρ1(k) +ρ0ik·U1(k) = 0, (3.18)
−iωρ0U1(k) +ikP1(k) = 0, (3.19)
−iωP1(k) +γP0ik·U1(k) = 0. (3.20) Most vizsg´aljuk meg az el˝obbiekben megtal´alt ω = 0, (U1x, U1y,0) megold´ast, azaz he-lyettes´ıts¨uk be a fenti egyenletrendszerbe az U1 ⊥kfelt´etelt!
−iωρ1(k) = 0, (3.21)
−iωρ0U1(k) +ikP1(k) = 0, (3.22)
−iωP1(k) = 0. (3.23)
Ha most kihaszn´aljuk, hogyω = 0, akkor a k¨oz´eps˝o egyenletb˝ol azonnal k¨ovetkezik, hogy P1 = 0, azaz nincs nyom´asperturb´aci´o, DE az els˝o egyenletb˝ol (amit a sebess´ egreprezen-t´aci´on´al nem haszn´altunk fel!) ω= 0 mellett az k¨ovetkezik, hogy aρ1s˝ur˝us´egperturb´aci´o tetsz˝oleges null´at´ol k¨ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel! Mit is jelenthet ez a furcsa megold´as?
Mivel a nyom´as nem perturb´alt csak a s˝ur˝us´eg, azS =P ρ−γ entr´opia is egy¨utt v´altozik a s˝ur˝us´eggel. Ezt a ’m´odust’ szokt´akentr´opia-hull´amnak nevezni. Ez azonban nem azonos a tiszta transzl´aci´os ’m´odussal’, ugyanakkor err˝ol is elmondhat´o, hogy nem hordoz sem-mi fontos fizikai inform´aci´ot a rendszerr˝ol. Numerikus szempotb´ol fontos lehet, amikor a differenci´alegyenlet-rendszer megold´asait oszt´alyozzuk.
3.2. Plazmahull´ amok homog´ en k¨ ozegben
TODO: ide m´eg kell ´ırni valami bevezet˝ot?!
Az el˝oz˝o fejezetben tett el˝ok´esz¨uleteink elegend˝oek ahhoz, hogy most m´ar az ide´alis MHD-modell keretei k¨oz¨ott fell´ep˝o f˝obb hull´amokat tanulm´anyozzuk. Mindenekel˝ott
´ırjuk fel egy v´egtelen kiterjed´es˝u ´es homog´en ide´alis plazma MHD egyenleteit:
∂ρ
∂t +∇ ·(ρU) = 0, (3.24)
ρ∂U
∂t + (U· ∇)U+∇P −J×B= 0, (3.25)
∂P
∂t + (U· ∇)P +γP∇ ·U= 0, (3.26)
E+U×B= 0, (3.27)
∇ ×B=µ0J, (3.28)
∇ ×E=−∂B
∂t , (3.29)
∇ ·B= 0. (3.30)
Ezen nemline´aris parci´alis differenci´alegyenlet rendszer v´altoz´oi aρ(x, t),U(x, t),P(x, t)
´
es a B(x, t) f¨uggv´enyek - ¨osszesen 8 skal´armez˝o. Szimmetrikusabb egyenleteket kapunk amennyiben a P nyom´as helyett, az Eb egys´egnyi t¨omegre jut´o bels˝o energi´at tekintj¨uk v´altoz´onak. Ide´alis g´azokra ennek defin´ıci´oja:
Eb ≡ 1 γ−1
P
ρ. (3.31)
Ennek a defin´ıci´onak a seg´ıts´eg´evel az energiaegyenlet a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti:
∂Eb
∂t + (U· ∇)Eb+ (γ−1)Eb∇ ·U= 0 (3.32) A tov´abbiakban transzform´aljuk ki a J-t ´es az E-t az MHD egyenletekb˝ol:
−J×B = −(∇ ×B)×B
∇ ×E = −∇ ×(U×B). (3.33)
A fenti kifejez´eseket kifejthetj¨uk amennyiben alkalmazzuk a j´ol bev´alt indexes sz´amol´ as-m´odot:
−[J×B]i = −[(∇ ×B)×B]i =−εijkεjlm(∂lBm)Bk =εikjεjlm(∂lBm)Bk
= (δilδkm−δimδkl) (∂lBm)Bk = (∂iBk)−Bk(∂kBi)
=⇒ (∇ ◦B)B−(B· ∇)B,
[∇ ×E]i = −[∇ ×(U×B)]i =−εijk∂jεklm(UlBm) =−εijkεklm∂j(UlBm)
= −(δilδjm−δimδjl)∂j(UlBm) = −(δilδjm−δimδjl) (Ul∂jBm+Bm∂jUl)
= −Ui∂| {z }mBm
divB=0
−(Bj∂j)Ui+ (Uj∂j)Bi+Bi∂lUl
=⇒ −(B· ∇)U+ (U· ∇)B+B(∇ ·U). (3.34)
Ezen eredm´enyeket felhaszn´alva fel´ırhatjuk az MHD egyenleteket egy m´asik form´ A k¨ovetkez˝o l´ep´es, a list´ank szerint, az egyens´ulyi ´allapot meghat´aroz´asa. Tegy¨uk fel, mint eddig is, hogy egy v´egtelen kiterjed´es˝u, nyugalomban l´ev˝o (U0 = 0) ´es homog´en plazm´aval ´allunk szemben, melyet a t´erben ´es id˝oben ´alland´oρ0, Eb0,B0 param´eterekkel
´ırunk le.
A lineariz´al´as k¨ovetkez˝o szakasz´aban a(z) 3.35 - 3.38 MHD egyenletekbe behelyette-s´ıtj¨uk azf(x, t) =f0+f1(x, t) alak´u kifejez´eseket, majd azokat a tagokat elhanyagoljuk, amelyekben az egyens´ulyi mez˝ok t´er- ´es id˝oderiv´altjai szerepelnek, illetve a perturb´aci´ o-ban magasabb rend˝u (f1·f1-jelleg˝u) tagokat is elhanyagoljuk.
∂ρ1 Tudjuk, hogy az MHD egyenletek magukban foglalj´ak a g´azdinamikai egyenleteket is, ez´ert v´arhat´oan a cs =√
γP/ρ0 hangsebess´eg fontos param´eter lesz itt is. Ezen t´ul k´ er-d´es, hogy vajon a m´agneses t´errel ¨osszef¨ugg´esben is fell´ep-e valamilyen jellemz˝o sebess´eg?
Gondoljunk most dimenzi´oanal´ızis szempontj´ab´ol arra, hogy a sebess´eg nem m´as, mint
√Energia ∼ √
energias˝ur˝us´eg t¨omegs˝ur˝us´eg ∼ √
B20
ρ0 = √Bρ00. Ez val´oban az egyens´ulyi MHD ´allapotot jellemz˝oAlfv´en-sebess´eg. Teh´at az egyens´ulyban k´et jellemz˝o sebess´eg defini´alhat´o:
cs =
Azt l´athattuk a 2.4 fejezetben hogy, az MHD egyenletek sk´alaf¨uggetlenek, ami azt is jelenti, hogy a modell fizikai mondanival´oja nem f¨ugg a m´ert´ekrendszer megv´alaszt´as´at´ol.
Ha ez ´ıgy van akkor c´elszer˝unek t˝unik olyan alakban f¨ol´ırni ezeket az egyenleteket, hogy azok dimenzi´o-n´elk¨uliek legyenek. Ehhez els˝o l´ep´esk´ent norm´alni kell a v´altoz´okat:
˜
Ezen transzform´aci´okat alkalmazva az MHD egyenletekre, kapjuk a dimenzi´otlan MHD modellt, melynek egy¨utthat´oi a cs, a cA ´es a γ: Amennyiben felt´etelezz¨uk, hogy a megold´asok k hull´amsz´am´u, ω k¨orfrekvenci´aj´u f¨ ug-getlen, line´aris m´odusok (hull´amok) ¨osszegek´ent ´allnak el˝o, a fenti egyenletek Fourier-transzform´altjai minden egyes m´odusra ugyanolyan alak´u algebrai egyenletek:
0 +csk·U˜ + 0 + 0 = γωρ,˜ (3.50)
Gy˝ujts¨uk ¨ossze, hogyan n´eznek ki a fenti k¨ozel´ıt´esek ut´an az MHD-egyenleteink.
∂ρ
∂p
∂t +u· ∇p+pγ∇u = 0 (3.56)
∂B
∂t − ∇ ×(u×B) = 0 (3.57)
∇ ·B = 0 (3.58)
Legyen a m´agneses ter¨unkz ir´any´u (B0 = (0,0, Bz)), ´es a s˝ur˝us´egben, a nyom´asban, a sebess´egben ´es a m´agneses t´erben csak kis fluktu´aci´okat engedj¨unk meg ρ0 = konst., p0 = konst., u0 = 01, ´es B0 = (0,0, Bz) k¨or¨ul. Ezeket a kicsiny fluktu´aci´okat 1-es indexszel jel¨olj¨uk, teh´at a s˝ur˝us´eg, nyom´as, sebess´eg ´es a m´agneses t´er ´ert´eke a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel, sorrendben: ρ = ρ0 + ρ1, p = p0 +p1, u = u0 + u1, B = B0 + B1. Ezut´an helyettes´ıts¨uk be az ´ıgy fel´ırt ´ert´ekeket az egyenleteinkbe ´es hagyjuk el a m´asodrend˝uen kicsiny tagokat (ezt a m´odszert lineariz´al´asnak nevezz¨uk). Ezt el˝osz¨or r´eszletesen megmutatjuk a kontinuit´asi egyenleten, ut´ana m´ar csak az eredm´enyeket k¨oz¨olj¨uk, de term´eszetesen a t¨obbi egyenlet is hasonl´o m´odon levezethet˝o.
∂
∂t(ρ0+ρ1) +∇ ·((ρ0+ρ1)(u0+u1)) = 0 (3.59) A fentiekb˝ol kiesik a ∂ρ∂t0 = 0, hiszen a ρ0 =konst., az u0 = 0 tag, valamint aρ1·u1, hiszen lineariz´aljuk egyenleteinket, teh´at a m´asodrendben kicsiny tagokat elhanyagoljuk.
A fentiek ut´an a lineariz´alt kontinuit´asi egyenlet a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel.
∂ρ1
∂t +∇ ·(ρ0·u1) = 0 (3.60)
A lineariz´alt mozg´asegyenlet teh´at hasonl´o megfontol´asok ut´an a k¨ovetkez˝ok´eppen n´ez ki.
ρ0∂u1
∂t +∇p1− 1
µ0(∇ ×B1)×B0 = 0 (3.61) A∇ ×B1 tagb´ol l´athatjuk, hogy a rendszer¨unkben perturb´alt ´arams˝ur˝us´eg fog indu-k´al´odni. A g´azdinamikai egyenlet lineariz´alt alakja a k¨ovetkez˝o.
1Emiatt az ´arams˝ur˝us´eg is ´atlag´ert´eke is z´erus lesz: j0= 0.
∂p1
∂t +γp0∇u1 = 0 (3.62)
A marad´ek k´et egyenlet¨unk (a 3.57. ´es a 3.58.) pedig a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o a lineariz´al´as ut´an.
∂B1
∂t − ∇ ×(u1×B0) = 0 (3.63)
∇ ·B1 = 0 (3.64)
Ne feledj¨uk, hogy a fenti egyenletekben a ρ1, u1, B1, p1 perturb´alt mennyis´egek,
´es vegy¨uk ´eszre azt is, hogy a perturb´alt s˝ur˝us´eg, ρ1 csak a 3.60. egyenletben szere-pel. Koncentr´aljuk a m´agneses t´er hull´amz´as´ara, az akusztikus ´es a magneto-akusztikus hull´amokat most nem vizsg´aljuk. Ez az egyenleteinkben ´ugy mutatkozik meg, hogy p0 =p1 = 0. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a kinetikus nyom´as j´oval kisebb, mint a 2µB2
0-lal jel¨olt m´agneses nyom´as. Kett˝oj¨uk h´anyadosa egy´ebk´ent a plazma β, melynek
´
ert´eke: β = Bp2 2µ0
.
Vegy¨uk a lineariz´alt mozg´asegyenlet id˝o szerinti deriv´altj´at:
ρ0∂2u1
∂t2 = 1 µ0
(
∇ × ∂B1
∂t )
×B0. (3.65)
Tekintve, hogy B0 nem id˝of¨ugg˝o ´es az Amp`ere-t¨orv´eny alapj´an tudjuk, hogy ∂B∂t1 =
∇ ×(u1×B0), az egyenlet¨unk a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o:
ρ0∂2u1
∂t2 = 1
µ0 [∇ ×(∇ ×(u1 ×B0))]×B0. (3.66) A fenti egyenlet egy hull´amegyenlet, keress¨uk ennek a s´ıkhull´am megold´as´at a Fourier-t´erben. A hull´ammegold´as azt jelenti, hogy u-t u1 = ˆu·ei(kr−ωt) alakban keress¨uk, a Fourier-t´erben pedig a t´erbeli ´es id˝obeli deriv´al´asok a k¨ovetkez˝ok´eppen egyszer˝us¨odnek:
∇ → ik ´es ∂t∂ → −iω. A fentieket helyettes´ıts¨uk be az 3.66. egyenletbe, ekkor a k¨ovetkez˝ot kapjuk.
−ω2ρ0uˆ = 1
µ0 [k×(k×(ˆu×B0ez))]×B0ez (3.67)
A fenti 3.67. egyenletet ´atrendezve a k¨ovetkez˝o eredm´enyt kapjuk.
−ω2uˆ = B02
ρ0µ0 [k×(k×(ˆu×ez)]×ez (3.68) A fenti egyenletb˝ol azonnal l´atszik, hogy ˆu·ez = 0, azaz a sebess´egperturb´aci´onak nincs a m´agneses t´errel p´arhuzamos komponense. Az3.68. egyenletb˝ol a hull´am terjed´esi sebess´ege a m´agneses nyom´assal (a m´agneses t´er energias˝ur˝us´eg´evel) kifejezve:
vA =
√ 2 ρ0
B20 2µ0 =
√ 2
ρ0WB. (3.69)
4. fejezet
Az MHD egyens´ uly ´ es stabilit´ asa
Az eddigiek sor´an is m´ar ny´ılv´anval´ov´a v´alt, hogy az MHD elm´elet a legt¨obb k¨ ozel´ı-t´est tartalmaz´o elm´elet a h´aromszint˝u (egyr´eszecske k´ep - kinetikus elm´elet - folyad´ek elm´eletek) le´ır´asi s´em´ankban. Ennek ellen´ere mag´anak az MHD-nak sokr´et˝u a gyakor-lati alkalmaz´asi k¨ore: tokamakok egyens´ulyi konfigur´aci´oj´anak sz´am´ıt´asa, asztrofizikai plazm´ak tanulm´anyoz´asa, plazmahajt´om˝uvek stb. A f´uzi´os plazmafizika ter¨ulet´en az MHD-elm´elet f˝o jelent˝os´ege abban ´all, hogy olyan m´agneses t´erszerkezetek felder´ıt´es´ e-re alkalmas melyek lehet˝ov´e teszik a forr´o plazma stabil ¨osszetart´as´at lehet˝oleg magas plazma-β ´ert´ekek mellett.
Azzal kezdj¨uk, hogy megvizsg´aljuk az elm´elet bel¨ul fell´ep˝o k¨ul¨onb¨oz˝o er˝oket, fesz¨ ult-s´egeket amelyek az egyens´ulyi ´allapotot ´es annak stabilit´as´at meghat´arozz´ak. Az MHD mozg´asegyenlet:
ρ [∂U
∂t +U· ∇U ]
=J×B− ∇P. (4.1)
Ez az egyenlet l´enyeg´eben a semleges folyad´ekokra ´erv´enyes mozg´asegyenlet (Navier-Stokes egyenlet) ´altal´anos´ıt´asa elektromos ´aram vezet´es´ere alkalmas kont´ınuumokra - erre a t´enyre utal aJ×B tag. A legt¨obb f´uzi´os alkalmaz´asban a viszkozit´as elhanyagolhat´o ez´ert nem tal´alunk a (4.1) egyenletben ilyen tagot. Meg kell azonban jegyezn¨unk, hogy amennyiben valamilyen k¨uls˝o forgat´onyomat´ek fell´ep (pl. tokamakba nem radi´alisan bel˝ott semleges f˝ut˝onyal´abok tudnak ilyen forgat´onyomat´ekot l´etrehozni) az egyens´ulyi konfigur´aci´oban viszkozit´asnak kell fell´epnie, hogy kikompenz´alja ezt a forgat´onyomat´ e-kot. Ilyenkor viszk´ozus tagot is meg kell jelen´ıteni a mozg´asegyenletben.
Az elgondolhat´o m´agneses konfigur´aci´ok k¨oz¨ul, tal´an a legegyszer˝ubb nemtrivi´alis eset av´akuum m´agneses mez˝o. Ez az az eset, amikor a teljes m´agneses mez˝ot a plazm´ankat mag´aban foglal´o t´erfogaton k´ıv¨ul es˝o ´aramok gener´alj´ak, azaz a plazm´aban mag´aban nem folyik ´aram. Mivel nincsenek lok´alis ´aramok, a v´akuum m´agneses mez˝ore ´erv´enyes:
∇ ×Bv= 0, (4.2)
azaz a v´akuum mez˝o rot´aci´omentes, ami ekvivalens azzal, hogy maga a vektormez˝o
fel-´ırhat´o egy skal´armez˝o (m´agneses potenci´al) gradiensek´ent: Bv = ∇χ. Mivel minden m´agneses t´er divergenci´aja elt˝unik, azonnal k¨ovetkezik, hogy a v´akuum m´agneses poten-ci´al egy Laplace egyenletnek tesz eleget:
∇2χ= 0. (4.3)
Az ilyen t´ıpus´u fizikai probl´em´akb´ol (ld. elektrosztatika Laplace egyenlete) j´ol ismert t´eny, hogy amennyiben maga aχ mez˝ot vagy annak norm´alis ir´any´u deriv´altj´at aV t´ er-fogatot k¨or¨ulvev˝o S fel¨uleten megadjuk, ez egy´ertelm˝uen meghat´arozza χ-t a V-ben. A fenti Laplace egyenlet line´aris, amennyiben az egyens´ulyi konfigur´aci´o valamilyen szim-metri´aval b´ır, a szimmetria-v´altoz´o szerint Fourier-transzform´alni lehet az egyenletet.
L´assunk egy konkr´etabb p´eld´at. Tegy¨uk fel, hogy az egyens´ulyunk hengerszimmetri-kus, azaz szok´asos {r, θ, z}koordin´at´ak k¨oz¨ul a θ´es a z szimmetriakoordin´ata. Ebben az esetben a m´agneses potenci´alχ(r)·exp (imθ+ikz) alak´u tagok szuperpoz´ıci´oja. Minden egyesm-re ´es k-ra a Laplace egyenlet:
∂2χ
amely egyenlet megold´asai az Im(kr) ´es Km(kr) m´odos´ıtott Bessel-f¨uggv´enyek. A Laplace egyenlet ´altal´anos megold´asa hengerszimmetrikus esetben:
χ(r, θ, z) = megol-d´asok adhat´ok m´as szimmetri´aj´u v´akuum m´agneses terekre is.
Term´eszetesen a nem-v´akuum terek sokkal bonyolultabbak lehetnek, hiszen ezeket nem csup´an a hat´arfelt´etelek, hanem a t´erfogaton bel¨ul foly´o ´aramok (plazma ´aram) is meghat´arozz´ak. Fontos ´all´ıt´as, amit itt nem bizony´ıtunk az, hogy adott hat´arfelt´ e-telek mellett a v´akuum m´agneses t´er a legalacsonyabb energi´aj´u megold´as. Ezt ´ugy is mondhatjuk, hogy Laplace egyenlet minden realiz´al´od´o megold´as´anak ki kell el´eg´ıtenie a hat´arfelt´eteleket, tov´abb´a amennyiben ´aramok folynak a vizsg´alt t´erfogaton bel¨ul a kialakul´o m´agneses mez˝o nem lehet a legalacsonyabb energi´aj´u ´allapotban. Ha ez ´ıgy van, akkor a nem-v´akuum m´agneses mez˝o instabilit´asok szabadenergia-forr´asak´ent is fel-foghat´o. Itt meg kell m´eg eml´ıten¨unk egy ´erdekes esetet. El˝ofordulhat ugyanis, hogy mik¨ozben a m´agneses konfigur´aci´o id˝ofejl˝od´ese a legalacsonyabb v´akuum m´agneses mez˝o ir´any´aba tart, olyan ´allapot ´all el˝o melyben a plazma´aram ´es a m´agneses mez˝o a t´erfogat minden pontj´aban azonos ir´any´u. Ekkor a J×B m´agneses er˝o z´eruss´a v´alik. Ezt az
´
allapotot h´ıvj´ak er˝omentes egyens´ulynak. A lehets´eges m´agneses konfigur´aci´ok ter´eben ez egy lok´alis minimum ´es mivel nem l´ep fel olyan er˝ohat´as ami ebb˝ol kimozd´ıtan´a a rendszert, ez az ´allapot tart´osan is fennmaradhat.
Miel˝ott tov´abb menn´enk a konkr´et m´agneses geometri´ak ir´any´aba, ´erdemes id˝ot szen-teln¨unk a J×B MHD-er˝o kvalitat´ıv ´es kvantitat´ıv vizsg´alat´ara. Tekints¨unk el˝osz¨or k´et fontos fogalmat: apinch-er˝o´es ahoop-er˝o fogalm´at. Induljunk ki abb´ol a k¨oz´episkol´ab´ol is ismert t´etelb˝ol, hogy v´egtelen egyenes p´arhuzamos vezet˝ok k¨olcs¨onhatnak egym´assal
Miel˝ott tov´abb menn´enk a konkr´et m´agneses geometri´ak ir´any´aba, ´erdemes id˝ot szen-teln¨unk a J×B MHD-er˝o kvalitat´ıv ´es kvantitat´ıv vizsg´alat´ara. Tekints¨unk el˝osz¨or k´et fontos fogalmat: apinch-er˝o´es ahoop-er˝o fogalm´at. Induljunk ki abb´ol a k¨oz´episkol´ab´ol is ismert t´etelb˝ol, hogy v´egtelen egyenes p´arhuzamos vezet˝ok k¨olcs¨onhatnak egym´assal