A sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
S´ıkgr´afok dualit´asa
2020. december 8.
Bonyolults´ egelm´ eleti ´ attekint´ es
I Algoritmusok hat´ekonys´ag´anak m´er´esekor azt vizsg´aljuk, hogy az inputm´eret n¨ovekedt´evel hogyan n˝o a maxim´alis l´ep´essz´am.
I Azokat az algoritmusokat szeretj¨uk, amelyikekre a l´ep´essz´am fel¨ulr˝ol becs¨ulhet˝o az input m´eret´enek polinomj´aval.
I Egy probl´ema bonyolults´aga att´ol f¨ugg, hogy mennyire gyors algoritmussal oldhat´o meg.
I Oszt´alyoztuk a d¨ont´esi probl´em´akat: P-beliek, amikre van polinomidej˝u algoritmus. AzNP ´esco−NP b˝ovebb
oszt´alyok: itt az az elv´ar´as, hogy IGEN ill. NEM output eset´en mindig legyen polinomid˝oben ellen˝orizhet˝o bizony´ıt´ek (tan´u).
I Ha egy Π d¨ont´esi probl´em´at (polinomid˝oben) vissza lehet vezetni Π0-re, akkor Π0-t nehezebbnek tekintj¨uk, mint Π-t.
I Az NP oszt´alyban vannak legnehezebb probl´em´ak: az ´u.n.
NP-teljes feladatok. Ezeket rem´enytelennek gondoljuk.
Sz´amos ilyenre l´attunk p´eld´at: SAT, HAM, 3-SZ´IN,. . .
I Sejt´es: P 6=NP, s˝ot: P 6=NP∩co−NP
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore.
HAM ≺ HAM ´UT
| |
G → G0
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
HAM ≺ HAM ´UT
| |
G pol→ G0
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
TfhG-ben van H-k¨or.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
TfhG-ben van H-k¨or. Ekkor G0-ben van (x-b˝olz-be) H-´ut.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
TfhG-ben van H-k¨or. Ekkor G0-ben van (x-b˝olz-be) H-´ut.
Most tfhP aG0 H-´utja. P v´egpontjai az x ´esz levelek.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
TfhG-ben van H-k¨or. Ekkor G0-ben van (x-b˝olz-be) H-´ut.
Most tfhP aG0 H-´utja. P v´egpontjai az x ´esz levelek.
EkkorP−x−y−z aG egy olyan H-´utja, aminek a v´egpontjai szomsz´edosak. Teh´at vanG-ben H-k¨or.
Egy NP-teljess´ egi bizony´ıt´ as
x y z
v
N(v) G
T´etel: HAM≺HAM ´UT.
Biz: LegyenG a HAM inutja. C´el: olyanG0, aminek pontosan akkor van H-´utja, haG-nek van H-k¨ore. Mindezt polinomid˝oben.
Legyenv ∈V(G), ´es k´epezz¨uk G0-t G-b˝ol az ´abra szerint.
TfhG-ben van H-k¨or. Ekkor G0-ben van (x-b˝olz-be) H-´ut.
Most tfhP aG0 H-´utja. P v´egpontjai az x ´esz levelek.
EkkorP−x−y−z aG egy olyan H-´utja, aminek a v´egpontjai szomsz´edosak. Teh´at vanG-ben H-k¨or.
K¨ov: (1) HAM NP-neh´ez (NP-teljes), ez´ert HAM ´UT NP-neh´ez.
(2) HAM ´UT∈NP, ez´ert HAM ´UT NP-teljes.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Csak s´ıkbarajzoltgr´afnak van du´alisa. S´ıkbarajzolhat´o gr´afnak a konkr´et lerajzol´ast´ol f¨ugg˝oen t¨obbf´ele du´alisa is lehet.
3 5 3
5
3 3
4 6
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra:
P`i =
Pd∗(v) = 2e∗
= 2e
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra: P
`i = P
d∗(v) = 2e∗ = 2e (DHSL)
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra: P
`i = P
d∗(v) = 2e∗ = 2e (DHSL) (4)G∗ cs´ucssz´ınez´eseG lapjai sz´ınez´es´enek felel meg. (ld. 4CT)
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra: P
`i = P
d∗(v) = 2e∗ = 2e (DHSL) (4)G∗ cs´ucssz´ınez´eseG lapjai sz´ınez´es´enek felel meg. (ld. 4CT) (5) HaG ¨of, akkort∗=n, s˝ot: G = (G∗)∗.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra: P
`i = P
d∗(v) = 2e∗ = 2e (DHSL) (4)G∗ cs´ucssz´ınez´eseG lapjai sz´ınez´es´enek felel meg. (ld. 4CT) (5) HaG ¨of, akkort∗=n, s˝ot: G = (G∗)∗.
(6) Hurok´el ´es elv´ag´o ´el egym´as du´alisai.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Megf: (1) AG∗ du´alis gr´af SRhat´o,n∗ =t,e∗ =e ´esk∗= 1.
(2) Hav ∈V(G∗) aG i-dik lapj´ahoz tartozik, akkord(v) =`i. (3) HSLG∗-ra: P
`i = P
d∗(v) = 2e∗ = 2e (DHSL) (4)G∗ cs´ucssz´ınez´eseG lapjai sz´ınez´es´enek felel meg. (ld. 4CT) (5) HaG ¨of, akkort∗=n, s˝ot: G = (G∗)∗.
(6) Hurok´el ´es elv´ag´o ´el egym´as du´alisai. De enn´el t¨obb is igaz.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en.
Q
G
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en. Megf: e elv´ag´o ´el ⇐⇒ {e}v´ag´as.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en. Megf: e elv´ag´o ´el ⇐⇒ {e}v´ag´as.
Def: Aze ´esf soros ´elek, ha {e,f} v´ag´as.
G
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en. Megf: e elv´ag´o ´el ⇐⇒ {e}v´ag´as.
Def: Aze ´esf soros ´elek, ha {e,f} v´ag´as.
Megf: (K¨or-v´ag´as dualit´as) Ha G∗ aG SRt gr´af du´alisa, akkor (1)C ⊆E(G) k¨orG-ben ⇐⇒ C∗ v´ag´asG∗-ban.
(2)Q ⊆E(G) v´ag´as G-ben ⇐⇒ Q∗ k¨orG∗-ban.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en. Megf: e elv´ag´o ´el ⇐⇒ {e}v´ag´as.
Def: Aze ´esf soros ´elek, ha {e,f} v´ag´as.
Megf: (K¨or-v´ag´as dualit´as) Ha G∗ aG SRt gr´af du´alisa, akkor (1)C ⊆E(G) k¨orG-ben ⇐⇒ C∗ v´ag´asG∗-ban.
(2)Q ⊆E(G) v´ag´as G-ben ⇐⇒ Q∗ k¨orG∗-ban.
K¨ov: (1) Hurok´el ´es elv´ag´o ´el egym´as du´alisai.
S´ıkgr´ afok du´ alisa
G0 G
Def: AG s´ıkbarajzolt gr´afdu´alisa az a G∗ gr´af, aminek cs´ucsai a G tartom´anyai, ´elei pedigG ´eleinek felelnek meg, ´es az adott ´elt
´altal elv´alasztott tartom´anyoknak megfelel˝o cs´ucsokat k¨oti ¨ossze.
Def: AG gr´afQ ´elhalmaza v´ag´as, ha G−Q sz´etesik (azaz t¨obb komponense van, mintG-nek), de G−Q0 nem esik sz´et semilyen Q6=Q0 ⊂Q eset´en. Megf: e elv´ag´o ´el ⇐⇒ {e}v´ag´as.
Def: Aze ´esf soros ´elek, ha {e,f} v´ag´as.
Megf: (K¨or-v´ag´as dualit´as) Ha G∗ aG SRt gr´af du´alisa, akkor (1)C ⊆E(G) k¨orG-ben ⇐⇒ C∗ v´ag´asG∗-ban.
(2)Q ⊆E(G) v´ag´as G-ben ⇐⇒ Q∗ k¨orG∗-ban.
K¨ov: (1) Hurok´el ´es elv´ag´o ´el egym´as du´alisai.
(2) Soros ´es p´arhuzamos ´elek egym´as du´alisai.
Du´ alisok kapcsolata
L´attuk, hogy ugyanannak a SRhat´o gr´afnak t¨obbf´ele du´alisa is lehet. Mi a kapcsolat a lehets´eges du´alisok k¨oz¨ott?
Du´ alisok kapcsolata
L´attuk, hogy ugyanannak a SRhat´o gr´afnak t¨obbf´ele du´alisa is lehet. Mi a kapcsolat a lehets´eges du´alisok k¨oz¨ott?
Whitney t´etele: TfhG∗ a G SRt gr´af du´alisa. Ekkor H pontosan akkor du´alisaG egy s´ıkbarajzol´as´anak, haH ¨of ´es megkaphat´o G∗-b´ol az al´abbi oper´aci´ok v´eges sokszori alkalmaz´as´aval.
Du´ alisok kapcsolata
L´attuk, hogy ugyanannak a SRhat´o gr´afnak t¨obbf´ele du´alisa is lehet. Mi a kapcsolat a lehets´eges du´alisok k¨oz¨ott?
Whitney t´etele: TfhG∗ a G SRt gr´af du´alisa. Ekkor H pontosan akkor du´alisaG egy s´ıkbarajzol´as´anak, haH ¨of ´es megkaphat´o G∗-b´ol az al´abbi oper´aci´ok v´eges sokszori alkalmaz´as´aval.
1. Elv´ag´o pont ment´en sz´etszed´es/komponensek
¨
osszeragaszt´asa.
Du´ alisok kapcsolata
L´attuk, hogy ugyanannak a SRhat´o gr´afnak t¨obbf´ele du´alisa is lehet. Mi a kapcsolat a lehets´eges du´alisok k¨oz¨ott?
Whitney t´etele: TfhG∗ a G SRt gr´af du´alisa. Ekkor H pontosan akkor du´alisaG egy s´ıkbarajzol´as´anak, haH ¨of ´es megkaphat´o G∗-b´ol az al´abbi oper´aci´ok v´eges sokszori alkalmaz´as´aval.
1. Elv´ag´o pont ment´en sz´etszed´es/komponensek
¨
osszeragaszt´asa.
2. K´et cs´ucs ment´en sz´etv´ag´as, majd ford´ıtva visszaragaszt´as.
G1
G2 G2
G1
Du´ alisok kapcsolata
L´attuk, hogy ugyanannak a SRhat´o gr´afnak t¨obbf´ele du´alisa is lehet. Mi a kapcsolat a lehets´eges du´alisok k¨oz¨ott?
Whitney t´etele: TfhG∗ a G SRt gr´af du´alisa. Ekkor H pontosan akkor du´alisaG egy s´ıkbarajzol´as´anak, haH ¨of ´es megkaphat´o G∗-b´ol az al´abbi oper´aci´ok v´eges sokszori alkalmaz´as´aval.
1. Elv´ag´o pont ment´en sz´etszed´es/komponensek
¨
osszeragaszt´asa.
2. K´et cs´ucs ment´en sz´etv´ag´as, majd ford´ıtva visszaragaszt´as.
G1
G2 G2
G1
Whitney m´asik t´etele: Tfh aG ´esH ¨of gr´afok k¨oz¨ott k¨or-v´ag´as dualit´ast tudunk l´etes´ıteni egy, az ´eleik k¨oz¨otti alkalmas
k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u megfeleltet´essel. Ekkor G ´esH is
s´ıkbarajzolhat´o, ´es alkalmas s´ıkbarajzol´asaik egym´as du´alisai.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
K´etp´olus´u elemekb˝ol ´all´o elektromos h´al´ozatok viselked´es´et a Kirchhoff-f´ele csom´oponti ´es hurokt¨orv´enyek, valamint az Ohm t¨orv´enyek ´ırj´ak le. Ezekb˝ol lehet kisz´am´ıtani a h´al´ozat gr´afj´anak
´elein az ´aramer˝oss´eget ill. az ´elv´egpontok k¨ozti fesz¨ults´eget.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
K´etp´olus´u elemekb˝ol ´all´o elektromos h´al´ozatok viselked´es´et a Kirchhoff-f´ele csom´oponti ´es hurokt¨orv´enyek, valamint az Ohm t¨orv´enyek ´ırj´ak le. Ezekb˝ol lehet kisz´am´ıtani a h´al´ozat gr´afj´anak
´elein az ´aramer˝oss´eget ill. az ´elv´egpontok k¨ozti fesz¨ults´eget.
A csom´oponti t¨orv´enyeket a gr´af v´ag´asaira, a hurokt¨orv´enyeket pedig a gr´af k¨oreire ´ertelmes fel´ırni.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
K´etp´olus´u elemekb˝ol ´all´o elektromos h´al´ozatok viselked´es´et a Kirchhoff-f´ele csom´oponti ´es hurokt¨orv´enyek, valamint az Ohm t¨orv´enyek ´ırj´ak le. Ezekb˝ol lehet kisz´am´ıtani a h´al´ozat gr´afj´anak
´elein az ´aramer˝oss´eget ill. az ´elv´egpontok k¨ozti fesz¨ults´eget.
A csom´oponti t¨orv´enyeket a gr´af v´ag´asaira, a hurokt¨orv´enyeket pedig a gr´af k¨oreire ´ertelmes fel´ırni.
A kor´abban tanult Kruskal-algoritmus alkalmaz´as´aval (a norm´al fa seg´ıts´eg´evel) azt tudtuk meghat´arozni, hogy egy´ertelm˝uen
oldhat´o-e meg a h´al´ozat, ill. meg tudtunk hat´arozni minim´alis sz´am´u Kirchoff-t¨orv´enyb˝ol ad´od´o felt´etelt, amelyek m´ar egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak a megold´ast.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
K´etp´olus´u elemekb˝ol ´all´o elektromos h´al´ozatok viselked´es´et a Kirchhoff-f´ele csom´oponti ´es hurokt¨orv´enyek, valamint az Ohm t¨orv´enyek ´ırj´ak le. Ezekb˝ol lehet kisz´am´ıtani a h´al´ozat gr´afj´anak
´elein az ´aramer˝oss´eget ill. az ´elv´egpontok k¨ozti fesz¨ults´eget.
A csom´oponti t¨orv´enyeket a gr´af v´ag´asaira, a hurokt¨orv´enyeket pedig a gr´af k¨oreire ´ertelmes fel´ırni.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
K´etp´olus´u elemekb˝ol ´all´o elektromos h´al´ozatok viselked´es´et a Kirchhoff-f´ele csom´oponti ´es hurokt¨orv´enyek, valamint az Ohm t¨orv´enyek ´ırj´ak le. Ezekb˝ol lehet kisz´am´ıtani a h´al´ozat gr´afj´anak
´elein az ´aramer˝oss´eget ill. az ´elv´egpontok k¨ozti fesz¨ults´eget.
A csom´oponti t¨orv´enyeket a gr´af v´ag´asaira, a hurokt¨orv´enyeket pedig a gr´af k¨oreire ´ertelmes fel´ırni.
A k´etf´ele Kirchoff-t¨orv´eny hasonl´o form´aj´u: mindkett˝oben bizonyos
´eleken az (I-k vagy ∆U-k) ¨osszege 0. Lehets´eges vajon egy H h´al´ozathoz olyan, du´alis H∗ h´al´ozatot konstru´alni, aminek
ugyanannyi ´ele van, ´es aH∗ megold´asa ugyanaz, mint aH-´e, csak az ´aramer˝oss´egekb˝ol potenci´alk¨ul¨onbs´egek, a
potenci´alk¨ul¨onbs´egekb˝ol pedig ´aramer˝oss´egek lesznek?
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
A k´etf´ele Kirchoff-t¨orv´eny hasonl´o form´aj´u: mindkett˝oben bizonyos
´eleken az (I-k vagy ∆U-k) ¨osszege 0. Lehets´eges vajon egy H h´al´ozathoz olyan, du´alis H∗ h´al´ozatot konstru´alni, aminek
ugyanannyi ´ele van, ´es aH∗ megold´asa ugyanaz, mint aH-´e, csak az ´aramer˝oss´egekb˝ol potenci´alk¨ul¨onbs´egek, a
potenci´alk¨ul¨onbs´egekb˝ol pedig ´aramer˝oss´egek lesznek?
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
A k´etf´ele Kirchoff-t¨orv´eny hasonl´o form´aj´u: mindkett˝oben bizonyos
´eleken az (I-k vagy ∆U-k) ¨osszege 0. Lehets´eges vajon egy H h´al´ozathoz olyan, du´alis H∗ h´al´ozatot konstru´alni, aminek
ugyanannyi ´ele van, ´es aH∗ megold´asa ugyanaz, mint aH-´e, csak az ´aramer˝oss´egekb˝ol potenci´alk¨ul¨onbs´egek, a
potenci´alk¨ul¨onbs´egekb˝ol pedig ´aramer˝oss´egek lesznek?
Ehhez az sz¨uks´eges, hogy a k´et h´al´ozat ´elei k¨oz¨ott olyan k¨olcs.
egy´ert. megfeleltet´es legyen, amire teljes¨ul a k¨or-v´ag´as dualit´as.
Whitney ,,m´asik” t´etele szerint ez pontosan akkor lehets´eges, ha a h´al´ozathoz tartoz´o gr´af s´ıkbarajzolhat´o. Ilyenkor a dualit´as ´ugy val´os´ıthat´o meg, hogy az R nagys´ag´u ellen´all´as du´alisa egy 1/R nagys´ag´u ellen´all´as, az x nagys´ag´u ´aramforr´as´a´e egyx nagys´ag´u fesz¨ults´egforr´as (´es viszont), azy nagys´ag´u kapacit´as´e pedig egy y nagys´ag´u induktivit´as (´es viszont). Ha azonban a h´al´ozathoz tartoz´o gr´af nem s´ıkbarajzolhat´o, akkor nincs hozz´a a fenti
´ertelemben du´alis h´al´ozat.
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
Dualit´ as a villamoss´ agtanban
Whitney ,,egyik” t´etel´enek is van ´am villamoss´agtani
k¨ovetkezm´enye. Nevezetesen, egy ¨osszef¨ugg˝o h´al´ozatb´ol a k´etf´ele oper´aci´o seg´ıts´eg´evel egy m´asik ¨osszef¨ugg˝o h´al´ozatot k´esz´ıt¨unk, akkor az ´ıgy kapott k´et h´al´ozatnak pontosan ugyanaz lesz a megold´asa. (Whitney t´etel´eb˝ol egy´ebk´ent az is k¨ovetkezik, hogy ha k´et h´al´ozatnak ugyanaz a megold´asa, akkor az egyik megkaphat´o a m´asikb´ol a k´etf´ele oper´aci´o v´eges sokszori alkalmaz´as´aval.)
