SZIMULTÁN ÖKONOMETRIAI MODELLEK PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREI (n.)
PAIZS JÁNOS
A tanulmány első felének (lásd: Statisztikai Szemle 1968. évi 7 . sz. 717 — 730.
old.) I. részében a szimultán ökonometriai modellek általános módszertani kér—
déseivel foglalkoztunk. A legfontosabb alapfogalmak (a modellek változói, pa- raméterei és egyenletei) bevezetése után definiáltuk a modell és a struktúra fo—
galmát, majd áttekintettük a modellek kidolgozása három szakaszának — a specifikációnak, a paraméterbecslésnek és a hipotézisvizsgálatnak —' alapvető problémáit. Megfogalmaztuk azokat a hipotéziseket, amelyek a modell struk—
turális és redukált formájának specifikációját adják. A paraméterbecslés alap—
elveire térve foglalkoztunk a paraméterbecslés logikai feltételével, az identifi—
kációval, majd bevezettük az esztimátorfüggvény és az esztimátorok fogalmát, valamint az esztimáto'rok legfontosabb aszimptotikus és kisminta-tulajdonsá—
gait. Felvetettük a modell hipotézisei és a valóság egybevetésének, a hipotézis—
vizsgálatnak a szükségességét.
A II. részben rátértünk a paraméterbecslési módszerek tárgyalására. Rövid történeti áttekintés után a módszerek három csoportjával foglalkoztunk: a ) a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével, b) a legkisebb négyzetek közvetett módszerével, c ) a korlátozott információn alapuló módszerekkel (a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével, a maximális esélyesség korlátozott infor—
máción alapuló módszerével és két hozzá ,,hasonló" módszerrel és a (k)—osztályú esztimátorokkal). Levezettük az egyes módszerekkel nyerhető esztimátorokat, megadtuk azok variancia—kovariancia matrixát, és vizsgáltuk az esztimátorok konzisztenciáját. Megállapítottuk, hogy az a ) módszerrel szemben a b) és a c ) módszer konzisztens esztimátorokat nyújt.
Témánkat a teljes információn alapuló módszerek ismertetésével foly- tatjuk.
A teljes információn alapuló módszerek
A teljes információn alapuló módszerekkel a paraméterbecslés a modell valamennyi strukturális egyenletére egyidejűleg történik. E módszerek lényege olyan feltételes szélsőérték-számítás, amelyben M számú [2412] típusú egyenlet—
rendszer képezia korlátozó feltételeket. Egyetlen strukturális egyenlet szem- pontjából tekintve ez azt jelenti, hogy paraméterei becslésénél nemcsak a benne nem szereplő predeterminált Változók XM matrixára, hanem a benne nem szereplő endogén változók Y** matrixára és az egész strukturális egyenlet—
856 PAIZS JANos ; rendszer latens változóinak E varianeia—koVarianeia matrixára vonatkozó infer- ! mációk — gyakorlatilag a modell specifikációjából meríthető összes információ
—- felhasználásra kerülnek. Innen származik 6 módszerek elnevezése: teljes
információn alapuló módszerek. '
A strukturális egyenletrendszer éppen identifikált egyenletei, amelyekre a [24b/ korlátozó feltételek eleve teljesülnek, kihagyhatók az egyidejű becslés- ből anélkül, hogy a többi (túlidentifikált) egyenlet paramétereinek esztimátorai megváltoznának.
A legkisebb négyzetek háromfokozatú módszere
A legkisebb négyzetek háromfokozatú módszerét A. Zellner és H. Thad dolgozta ki [19]. Bemutatásához Zm : [YZmX*m] és ym : Mmmm] helyettesí—
tésekkel és a [3/ normalizálási szabály felhasználásával az [ 1.b/ strukturális egyenletrendszer valamennyi egyenletet hozzuk az
ymZZm?m*um ' (m:1,...,'M) . /59/
alakra, és az így kapott M számú egyenletet rendezzük az
y1 zlo 0 yl u1
y2 0 Z2... 0 312 112 _
. : . . . 4. . [60/
yM 0 () ... ZM ))M UM
formába. A [60/ nyilvánvalóan identikus az [lb/-Vel, és tömörebben így
írható:
y : Z'y—i—u [61/
A /61/ egyenletrendszer )) paramétereire a legkisebb négyzetek klasszikus módszere nem nyújt konzisztens esztimátorokat, mivel plim Z'u yi 0. Ha a
;61/—et balról megszorozzuk a modell összes predeterminált változójára vonat- kozó megfigyelésekből képzett
x' 0 . 0 0 x' 0
E' : ' : ' _ /62/
0 6 X'
matrixszal, akkor a '
E'y : E'zws'u , [63/
egyenletrendszerhez jutunk. Igazolható, hogy
plim (E'ZE'u) : plim E'Z plim E'uzü
tehát a /62/ egyenletrendszer paramétereim a legkisebb négyzetek klasszikus módszere konzisztens esztimátorokat nyújt.
Figyelembe véve, hogy a /62/ Én latens változóinak E(u'EE'n)—-—Z€9X'X variancia—kovariancia matrixa nem azonos a /7/ alatt definiált matrixszal, hanem abból az X'X másodrendű momentummatrix megfelelő elemével való elemenkénti szorzás útján keletkezik (a ez) jel ilyen típusú ún. KrOneeker—féle
PARAMETERBECSLÉSI MÓDSZEREK 8 5 7
szorzást jelöl), az ü* : E u reziduumok minimalizálandó négyzetösszege a kö—I
vetkező:
S : ü*'[Z_l$ (X'X)'1]fi* : (y—Zí;)',':"[23_1 e (X'X)"1]E'(y——Zí;) [64/
A [64/ függvény 77 szerinti parciális deriváltjait zérussal egyenlővé téve és rendezve a
z'E[2—1 e (X'X)—I]E'zp : z'Em—l e (X'X) —1]s'y /65/
ún. no rmálegyenletek, ezek megoldásaként pedig a
;; : (Z'S[Z" 1 % (X'X) _1]E'Z)"1Z'EI[Z—1 e (X'X) —1]E"y [66/
esztimátorok adódnak.
A [66/ esztimátorok tartalmazzák az [lb] strukturális egyenletrendszer latens változói ismeretlen Z variancia— kovariancia matrixának az inverzét. A.
Zellner és H. Theil ezen 2 matrix meghatározására a legkisebb négyzetek két- fokozatú módszerét használják fel. Igy a )) strukturális paraméterek becslésére a következő háromfokozatú eljárás adódik.
]. fokozat. A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével becsüljük a redu—
kált egyenletrendszer valamennyi paraméterét.
2. fokozat. A redukált formából kiválasztjuk az egyes strukturális egyenle—
tekben magyarázó változóként szereplő endogén Változóknak megfelelő blok- kokat, és a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével egyenletenként be- csüljük a strukturális paramétereket. A strukturális paraméterek esztimátorai—
nak felhasználásával meghatározzuk a strukturális forma reziduumait és latens
változói variancia—kovariancia matrixának Z esztimátorát.
3. fokozat. A É mátrixot invertáljuk,és a É—l inverz—mátrixot a /66/ kép- letbe helyettesítjük, amivel a )) paramétereknek a legkisebb négyzetek három—
fokozatú módszerével nyert esztimátoraihoz jutunk:
;, : (zeném! e (X'X)"1]E'Z)—1Z'E[É"1 % (X'X) —1]E'y [671
amelyek —— ez a levezetésből következik — konzisztensek.
A y esztimátorok aszimptotikus variancia—kovariancia matrixa a követ—
kező:
2— Elw— ?) (y- M'] —_EíZ'E[Z lel X 'E'Xrll z) * /68/
7
Abban a speciális esetben, ha a különböző strukturális egyenletek latens változóinak valószínűségeloszlása független egymástól, azaz a Z és a Z *1 diago- nális mátrixok, akkor a legkisebb négyzetek háromfokozatú módszerével nyer—
hető esztimátorok megegyeznek a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszeré—
vel nyerhető esztimátorokkal.
A legkisebb általánosított reziduálts variancta teljes információn alapuló módszere A maximális esélyesség teljes információn alapuló módszerének szimultán modellek paraméterbeeslésére való alkalmazása T. 0. Koopmans, H. Rubin és B. B. Letpntk érdeme [13]. Koopmans és Hood későbbi felismerése — a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszeréhez hasonlóan
—— e módszer egyszerűsítését is eredményezte: olyan módszerek kidolgozásához vezetett, amelyek a latens változók normális eloszlására vonatkozó hipotézis
5 Statisztikai Szemle
;
858 ' _ — * ' PAIZS 'JÁNOS'
és a maximális esélyesség elvének alkalmazása nélkül a maximális esélyesség teljes információn alapuló módSzerével nyerhető esztimátorokkal azonos eszt—if mátorokat nyújtanak. Szokás ezeket az es'ztimátorokat a maximális esélyesség teljes információn alapuló módszerével nyerhető esztimátorokhoz hasonló esztimátoroknak is nevezni.
E módszerek közül a legkisebb általánosított reziduális varianeia teljes információn alapuló módszerét emeljük ki. Alapgondolata a korlátozott infor—
máción alapuló válto7atáéval analóg .
A [11/ redukált egyenletrendszer II paramétereinek esztimátorait úgy határozzuk meg, hogy azok a redukált egyenletrendszer latens változóinak ]T 1V' V] általánosított varianciáját minimalizálják és az egyes egyenletekre bevezetett összes [246] típusú korlátozó feltételt kielégítsék.
AZ : [X Y] és I]: [A B]? helyettesítések után azgllb/ strukturális egyen-
letrendszer a L — f
ZP4—U. : 0 . _ [69/—
forinában írható. Minthogy a V : —UA*1 : leA—1 ? összefüggés alapján V'V:A'*1 F'Z'ZPA—l, az összes/24b/ típusú korlátozó feltétel figyelembevé—
telével minimalizálandó függvény a következő:
1 i '
3103 IV' V] : ? log lA'*1F'Z'ZI"A*1l 70],
Azoknak a ]" esztimátoroknak a meghatározása, amelyek mellett a [70/ mini—
mális, ismét a Lagrange--féle multiplikátor módszerrel történik.
A legkisebb általánosított reziduális varianeia teljes információn alapuló módszerével nyerhető esztimátorok konzisztens-ek aszimptotikus varianeia—
kovarianeia matrixuk pedig megegyezik a legkisebb négyzetek háromfokozatú módszerével nyerhető esztimátórok [68/ varianoia—kovarianeia matrixával.
A maximális esélyesség teljes információn alapuló módszere
Ha a modell [la/, illetve /1b/es3/ /— [9 [specifikációját ismét kiegészít—
jük azzal a hipotézissel, hogy a strukturális forma latens változóinak valószínűség- eloszlása normális, akkor az [lb] strukturális egyenletrendszer paramétereinek becslésére alkalmazhatjuk a maximális esélyesség teljes információn alapuló módszerét. A likelihood-függvény a [11] redukált egyenletrendszer]? para—
métereinek függvényében jelenik meg A módszer lényege az, hogy a [11/
egyenletrendszer]? paramétereinek Olyan esztimátorait határozza meg, ame- lyek maximalizálják az ] lb/ egyenletrendszer likelihood- függvényét, és ugyan—
akkor kielégítík az összes /24b/ típusú korlátozó feltételt A likelihood- függvény ugyanazon F értékek mellett veszi fel a maximumát, mint a [70/
függvény a minimumát.
m. A PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK ÖSSZEHASONLÉTÁSA
A II. részben vázlatosan ismertettük a szimultán ökonometriai model—
lek legfontosabb paraméterbecslési vmódszereit. Most — az előzőkben nyert eredmények alapján és azokat kiegészítve —' kísérletet teszünk ezeknek a módszereknek az összehasonlítására és relatívértékük megállapítására. Vizsgá- lódásunk célja a következő kérdések megválaszolása. Hogyan rangsorolhatók
PARAMÉT'ERBECSLÉSI MÓDSZEREK 8 59
ezek a módszerek az esztimátoro'k —— I. részben bevezetett — aszimptotikus és kisminta—tulajdonságai alapján? Hogyan rangsorolhatók két —— gyakorlati szempontból igen jelentős —— kiegészítő kritérium—: az esztimátorok specifiká- ciós hibákra mutatott érzékenysége és az esztimátorok meghatározásának számítási igényei szempontjából? Végül: melyik módszer alkalmazása ajánlható valamely konkrét esetben az előbbi szempontok együttes figyelembevételével?
Aszlmptotz'kus tulajdonságok
A strukturális egyenletek paramétereim az ismertetett módszerek —— a legkisebb négyzetek klasszikus módszere kivételével —— konzisztens és aszimp—
totikusan torzításmentes esztimátorokat nyújtanak. —
Az ismertetett korlátozott információn alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok olyan (k)—osztályú e'sztimátorok, amelyekre plim T1'2 (k— 1) : () teljesül, aszimptotikus variancia—kovariancia matrixuk azonos, tehát aszimp—
totikus hatásosságuk egyenlő. Ha a latens Változók eloszlása normális, akkor _ ezek az esztimátorok maximum likelihood esztimátorok, vagyis az ugyanilyen információmennyiséget felhasználó esztimátorok között aszimptotikusan a leg-
hatásosabbak. , .
Az ismertetett teljes információn alapuló módszerekkel nyerhető eszti—
mátorok aszimptotikus varíancia-kovariancia matrixa azonos, tehát aszimp—
totikus hatásossága egyenlő. Ha a latens Változók eloszlása normális, akkor ezek az esztimátorok is maximum likelíhood esztimátorok, tehát az ugyan—
ilyen informáeiómennyiséget felhasználó esztimátorok között aszimptotikusan a leghatásosabbak.
A korlátozott információn alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok [58/ aszimptotikus varianeia—kovarianeia matrixa mindig felbontható a teljes . információn alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok [68/ aszimptotikus variancia—kovariancia matrixának és egy nem negatív definit matrixnak az összegére, amely nem negatív definit matrix csak speciális esetekben zérus—
matrix, például ha a Z varianca—kovariancia matrix diagonális, vagy ha a modell éppen identifikált strukturális egyenletekből áll. Ez azt jelenti, hogy a teljes információn alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok —— speciális esetektől eltekintve — aszimptotikusan hatásosabbak, mint a korlátozott infor—
máción alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok, ami a felhasznált informá—
ciómennyiség különbségéből következik. '
A korlátozott információn alapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok aszimptotikus variancia-kovaríaneia matrixa mindig felbontható a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimátorok aszimptotikus varian- cia—kovariancia matrixának és egy pozitív definit matrixnak az összegére.
Ez azt jelenti, hogy az utóbbi esztimátorok aszimptotikusan hatásosabbak, mint az előbbiek, ami a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimátorok minimum-variancia tulajdonságából következik. A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimátoroknak ezt a tulajdonsá—
gát nem szabad túlértékelni, mivel a minta elemszámának növekedésével vala—
mennyi konzisztens esztimátor aszimptotikus variancia—kovariancia matrixa zérusmatrixhoz konvergál, a legkisebb négyzetek, klasszikus módszerével nyer—
hető'esztimátorok aszimptotikus*torzítottsága azonban változatlan marad. * A redukált egyenletrendszer paramétereim két úton nyerhetünk konzisztens esztimátorokat: egyrészt a legkisebb"négyzetekközvetett, módszerével,. más—
53
8 6 () PAIZS JÁNOS
részt a strukturális egyenletrendszer paramétereinek valamilyen korlátozott vagy teljes információn alapuló módszerrel meghatározott konzisztens eszti—
mátoraiból a / 21 / összefüggés szerint. Az utóbbi esztimátorok aszimptotikusan hatásosabbak, mint az előbbiek, ami abból következik, hogy azok a strukturális paraméterek, amelyekből levezettük őket, feltételes szélsőérték-számítás ered—
ményei.
Kisminta-tulay'donságok
Az ökonometriai modellek számszerűsítéséhez általában kis minták áll—
nak rendelkezésre (t : 15—50). Ez a körülmény különösen jelentőssé teszi az esztimátorok kisminta—tulajdonságainak vizsgálatát. A kisminta-tulaj donsá- gok meghatározása analitikus (deduktív) úton igen nehéz, és eddig csak néhány becslési módszerre5 történt meg. Rendkívül fontosak ezért a kisminta-tulaj- donságokról szintetikus (induktív) úton, Monte Carlo kísérletekkel nyert infor—
máeiók.
A Monte Carlo kísérletek lényege6 a következőkben vázolható.
]. Az endogén és predeterminált változók 15—50 tagból álló idősora alapján valamelyik becslési módszer segítségével meghatározzuk a strukturális paraméterek A és B matrixát és a.
strukturális egyenletrendszer latens változóinak E variancia-kovariancia matrixát. Az A, B és 2 így nyert esztimatorait a továbbiakban úgy tekintjük, mint e paraméterek tényleges értékeit.
2. A /12/ és /15/ összefüggések alapján meghatározzuk a redukált paraméterek I] matrixát és a redukált egyenletrendszer latens változóinak .!) varíaneia-kovariancia matrixát.
3. A redukált egyenletrendszer latens változóira olyan — az idősor tagszámának megfelelő elemszámú — véletlen mintát veszünk (például a véletlen számok táblázatából), amely eleget tesz a /14/ — [1 7/ feltételeknek. A latens változók ezen véletlen értékeit és a predeterminált Változók eredeti idősorát felhasználva, a redukált egyenletrendszerből meghatározzuk az endogén változók idősorát, amely az eredetitől eltér, tehát az endogén változókra vonatkozó új mintának tekinthető.
Ezt az eljárást lOO—200-szor megismételve az endogén változókra 100—200 idősort állítunk elő.
4. Az endogén változók 100—200 idősora és a predeterminált változók eredeti ídősora alapján valamennyi vizsgálandó paraméterbecslési módszerrel meghatározzuk a strukturális paraméterek A és B matrixát és a strukturális egyenletrendszer latens változóinak Z variancia- kovarianeia matrixát. így minden egyes paraméterre —— becslési módszerenként — 100—200 esztimátorértéket kapunk.
Ha -— az alkalmazott becslési módszerek szerint külön—külön —- meghatározzuk az egyes paraméterekre nyert esztimátorértékek valószinűségeloszlásának jellemzőit, akkor ezeknek a momentumoknak és a tényleges paraméterértékeknek az összehasonlítása alapján jellemezhetjük a becslési módszerek kisminta—tulajdonságait.
Hangsúlyozni kell, hogy a Monte Carlo kísérletekből levonható következte—
tések realitása függ egyrészt attól, hogy a ténylegesnek tekintett paraméter—
értékek milyen mértékben felelnek meg a tényleges paraméterértékeknek, más- részt a ténylegesnek tekintett paraméterértékek által képviselt struktúra speciális tulajdonságaitól.
A Monte Carlo kísérletek tapasztalatait7 a következőkben összegezhetjiik.
5 R. L. Basmann (A Note on the Exact Finite Sample Fregueney Functions of Generalised Classieal Linear Estimations in Two Leading Overidentified Cases, Journal of the American Statistical Association, 1961. (iii)—636.
old.) a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével nyerhető esztimátorok, A. L. Nagm' (The Bias and Moment.
Matrix of the General (k)-Class Estimators of the Parameters in Simultaneous Eunatíons, Econometrica, 1959. 575 —— 595, old.) a lk)—osztalyu esztimátorok kisminta—tulajdnnságalt határozta meg analitikus úton.
6 A Mome Carlo kisérleteket részletesebben tárgyalja a [14] kiadvany 2. fejezete.
7 Itt csak a következő — általunk ismert —— Monte Carlo kisérletek eredményeire támaszkodunk: A. L. Num":
A Monte Carlo Study of Alternative Simultaneous Egu'ation Estimators Ha'canometrica, 1960. 573 — 590. old.); R. Sum- men a Capital-Intensive Anni-each to the SmallSample Properties of Various Simultaneous Eeuatiou Estimators (Eco—
nometrica, 1965. 1 —- 41. old.); R. L. Baamomn: An Experimental Investigation of Some Small Sample Properties of GLS Estimutors of Svructural Eduations: Some Prellmlnary Results (General Electric Company, Handford Laboratory, Richland, Washington, más., idézi [11]); H. Wagmr: A Monte Carlo Study of Estimates of Simultaneous Linear Structural Eduations ( Econometrica, 1958. 117—133. old.).
PARAMETERBECSLÉSI MÓDSZEREK 86 1
A strukturális paraméterekre valamennyi módszer torzított esztimátorokat nyújt, de az aszimptotikusan torzítatlan esztimátorok torzítása általában ki- sebb, ,mint a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimáto—
roké, éspedig a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével nyerhető esztimá-
torok torzítása kisebb, mint a maximális esélyesség korlátozott információn
alapuló módszerével nyerhető esztimátoroké, ezeké pedig kisebb, mint a maxi- mális esélyesség teljes információn alapuló módszerével nyerhető esztimátoroké.A hatásosság kritériumánál erősen jelentkezik a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimátorok minimum—variancia tulajdonsága: vala—
mennyi esztimátor között ezeknek a legkisebb a varianciája. A többi ezeket a következő sorrendben követi: a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszeré—
vel, a maximális esélyesség teljes és korlátozott információn alapuló módszeré- vel nyerhető esztimátorok. A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyer- hető esztimátorok minimálisrvarianciája általában nem elégséges ahhoz, hogy torzításukat kompenzálja. Igy a legfontosabb kisminta-tulajdonság, az át—
lagos hibanégyzet szempontjából a sorrend: a maximális esélyesség teljes infor- máción alapuló módszerével, a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével, a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerével, alegkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimátorok.
A redukált paraméterek becslésénél a módszerek sorrendje általában vala—
mennyi kritérium szempontjából megegyezik a strukturális paraméterek becs—
lésénél tapasztalt sorrenddel. Ha az összehasonlításba a legkisebb négyzetek közvetett módszerét is bevonjuk, kitűnik, hogy a vele nyerhető esztimátorok az összehasonlított módszerekkel nyerhető esztimátorok között valamennyi
kritérium szerint a legrosszabbak.
Mindezek alapján megállapíthatjuk, hogy az esztimátorok aszimptotikus tulajdonságaik alapján történt rangsorolása a legfontosabb kisminta—tulajdon- ság, az átlagos hibanégyzet alapján kis mintákban is érvényes: a szimultán modellekre kidolgozott módszerek jobbak, mint a legkisebb négyzetek klasszikus módszere, a túlidentifikált' strukturális egyenletek paraméter becslésére ki- dolgozott módszerek jobbak, mint a legkisebb négyzetek közvetett módszere, végül a teljes információn alapuló módszerek jobbak, mint a korlátozott infor-
máción alapuló módszerek.
Számítási igény
Lényeges különbség mutatkozik a paraméterbeeslési módszerek között számítási igényeik: a szükséges számítások bonyolultsága és volumene tekinte—
tében. ,
A legkisebb természetesen a legkisebb négyzetek klasszikus módszerének számítási igénye.
A korlátozott információn alapuló módszerek közül a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszere egyszerűbb és'kisebb volumenű számításokat igényel, mint a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszere vagy a hozzá hasonló módszerek, amelyek egyenletenként egy M *—fokú polinom leg—
kisebb gyökének meghatározását is szükségessé teszik.
A teljes információn alapuló módszerek számítási igénye nagyobb, mint
a korlátozott információn alapuló módszereké. Közülük a legkisebb négyzetek háromfokozatú módszerének számításai egyszerűbbek és kisebb volumenűek,862 " * :szs"—'JANOS
mint a! maximális esélyesség teljes. információn alapuló módszeréi vagy a. hozzád hasonló
módszerekéi, amelyek egy nem lineáris egyenletrendszer megoldását
is szükségessé tesziks. i * '
Érzékenység
Az /1a/, illetve [16/ és a [3í-4/9/ hipotézisckkel olyan ideális modellt specifikáltunk, amelyben az ismertetett becslési módszerek —— a legkiSebb négyzetek klasszikus módszere/"kivételével — optimális tulajdonságokkal ren—
delkező esztimátorokat nyújtanak. Ezek a hipotézisek a gyakorlatban —— külö;
nösen kis minták alapján végzett elemzéseknél -— általában csak közelítően teljesülnek, vagyis kisebb-nagyobb mértékű speczfz'kációs hibák jelentkeznek.
A specifikációs hibák módosítják —— ' kedvezőtlenül befolyásolják — az eszti—
mátorok optimális tulajdonságait, A különböző becslési módszerekkel nyert esztimátorok ugyanazon specifikációs hibákra különböző érzékenységgel reagál- nak. Az esztimároroknak a specifikációs hibákra mutatott érzékenysége Vizsgá—
latára elsősorban a Monte Carlo kísérletek szolgálnak.
A specifikációs hibák és az esztimátorok tulajdonságainak összefüggéseiről ' ma még az intenzív kutatómunka és a nagyszámú ilyen irányú kísérlet9 elle—
nére sem lehet teljes képünk, ami elsősorban a probléma rendkívüli összetett- ségével magyarázható. Annyi azonban az eddigi eredményekből is kétségtelen—
nek látszik, hogy a maximális esélyesség korlátozott és teljes információn alapuló módszerével nyerhető, valamint a hozzájuk hasonló esztimátorok a specifikációs hibákra érzékenyebbek, mint a legkisebb négyzetek két— és három—
fokozatú módszerével nyerhető esztimátorok.
*
Az esztimátorok áttekintett tulajdonságai alapján nem lehetséges a becslési módszerek egyértelmű rangsorolása.
Valamely konkrét esetben az alkalmazandó paraméterbecslési módszer kiválasztásánál két —— egymással ellentétes -— szempont érvényesül: optimális tulajdonságokkal rendelkező esztimátorokat kívánunk nyerni minimális számí- tási ráfordítással. E két szempont figyelembevételével és az esztimátorok vázolt tulajdonságai alapján az alkalmazandó becslési módszer kiválasztásáról a
következőket mondhatjuk:
a) ha a számítási kapacitás korlátozott információn alapuló módszer hasz- nálatát indokolja, legelőnyösebb a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszeré—
nek alkalmazása, mivel kevésbé számításigényes és a specifikációs hibákra kevésbé érzékeny, mint a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszere vagy a hozzá hasonló módszerek, ugyanakkor nagy minták alapján ezekkel azonos hatásosságú, kis mintákban pedig ezeknél hatásosabb esztimá—
torokat eredményez; ' (
b ) ha a számítókapacitás teljes információn alapuló módszer használatát
is lehetővé teszi, legelőnyösebb a legkisebb négyzetek háromfokozatú módszeré—
nek alkalmazása, mivel ez kevéSbé számításigényes és a _specifikációs hibákra
8 T. J. Rothenberg és 0. T. Leenders [16] a számítási iágéxky csökkentésére a maximális esélyesség teljes informá—
ción alapuló módszerének ,,linearízált" változatát dolgozz k— i. * . ' , _ 9 Például: R. Summers: A Capital—Intensive Approach. . . (Econcmetrwa, 1965. 1—4i. old.); _ W. A. _Nem- wanger—T. A. Y ancey: Paraméter Estimat'es and' Autonomous Growth (Journal of the American bmtwgwal Asaocm- tfian, 1959. 389—402. old.); G. W. Ladd: Effects ofShocks and Enorsvijn Estimation: a_n Empirical Cpmpariscn (Journal af'Farm Economía, 1956. 485—495. oldó; L. R. Klein;- The Efficiency of Estim'ation m Econometric Models (Essays in Economics and Econcinetrics c. kötetben. 'The University of North Carolina Press, Chapel Hill, 14 . C. 1960. aie—232.
old.); J. G. Cragg: On the Sensitivity of Simultaneous—Eguations Estimators to the Stochastic Assumptions of the Models (Journal— of the American Statístical Associasion. 1966. 136— 151. old.).
PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK 86 3
kevésbé érzékeny, mint a maximális esélyesség teljes információn alapuló mód— szere vagy a hozzá hasonló módszerek, ugyanakkor — legalábbis nagy minták alapján —— ezekkel azonos hatásosságú esztimátorokat eredményez.
IRODALOM
[l] Aitkvn, A. C.: On Lcast-Sguares and Linear Combination of Observations. Proceedings of the Royal Soci-
ety of Edinburgh. 1935. _
[2] A Marson, T. W.—-Rubin, H.: Estimation of parameterei of a single eduation in a complete system of sto—
ehastie eguations. Annals of Mathematical SllltiRti/ÉS. 1949. 46 ——63. old.
( [3] Anderson, T. W.—Rubin, H.: The asymptotiopl'operties of estimates of the parameters of a single eguation in a complete system of stoc'nastie eguations. Annals of Mathematíeal'Smtistics, 1950, 570—582. old.
[4] Basmarm, R. L.: A generalized classical method of linear estimation of eoefficients in astruetural emiation.
Econometrina. 1957. 77—83. old. -
[5] Basmann, R. L.: On the asymptotie distribution of generalized elassical linear estimators. Econometrica, 1960. 97 — 307. old.
[ő] Goldberger, A. S.: Econometric Theory. John Wiley and Sons, N. Y. 1964.
[7] Heavelmo, T.: The statistical implieation of a system of simultaneous eguations. Econometrica, 1943.
1 ——12. old.
[8] A magyar népgazdaság M-l. statisztikai makromodellje. Nemzetközi Módszertani Füzetek 7. sz. A Köz- ponti Statisztikai Hivatal Statisztikai és Matematikai Módszerek Közgazdasági Alkalmazásanak Laboratóriuma. Bu—
dapest. 1965.
[9] Dr. Halabuk László; Specifikációs elgondolások az M—II. modellel kapcsolatban. A Központi Statisztikai Hivatal Statisztikai e's Matematikai Módszerek Közgazdasági Alkalmazásanak Laboratóriuma. Laboratóriumi Mun- kaanyagok 5. sz. Budapest, 1967. Kézirat gyanant.
[10] Iloorl, W.—Koopmens, T. C.: Studies in Econometric Methods. Cowles Commission Monograph 14.
John Wiley and Sons. N. Y. 1953.
[11] Johnston, J.: Eoonometrin Meth'xds. McGraw—Hill, N. Y. 1963.
[12] Klein. L. R.: A Textbook ot' Eeonometrics. Row, Peterson. Evansten, 1953.
[13] Koopmans, T. O.: Statistieal Inference in Dynamic Economic Models. Cowles Commission Monograph 10, John Wiley and Sons, N. Y. 1950.
[14] Szimuláció statisztikai makromodellekkel. Nemzetközi Módszertani Füzetek 8. sz. A Központi Statisz—
tikai Hivatal Statisztikai és Matematikai Módszerek Közgazdasági Alkalmazásának Laboratóriuma. Budapest, 1966.
[15] Pawlowsky, Z.: Modele ekonometryczne rownan opisowich. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe. Warsza—
wa, 1963. (5—7. fejezet.)
[16] Rothenberg, T. J.—Leenders, 0. T.: Efficient estimation of simultaneous eouation system. Econometrica, 1964. 57—76. old.
[17] Theíl, H: Economic Forecasts and Policy. North—Holland, Amsterdam, 1961.
[18] Dr. Thaisa Ede: A makroökonómiai modellek statisztikai problémái. Statisztikai Szemle, 1965. évi 4. sz.
399—411.0ld.
[19] Zellner, A.-—Thez'l, H.: Three—stage least'souares: simultaneous estimation of simultaneous eduations.
Econometrim, 1962. 54—78. old.
PESIOME
ABTOp nouBeprae'T paCCMOTpeHmo METOJIH oueHKu napameipos maxposxosozvmuecmx mo—
neneü. B nepsoü aacm csoeii CTaTbH es HOIIbITOHU/IBaeT ocuossue BOUpOCbi B essen c maxpo- axouozvmuecxumu monensmu. OH onpenenne'r nemm/m mellen" " CTpVKTYpr, a Tamke Te ru- HOTBSBI, KOTOpble oőpasvrer CTpYKTYpHViO 14 pezwuupoeauuyio (popri cumynmaunux malmo- exosommecxux moneneii. OH noapoöuo paccmanuBaeT maTemaTuuecxne npennocsmxu oucmm napameTpon u, coome'rcmenso, BO3MO)KHOCTI: onpeneneuus CTpVKTVpr: Bonpoc "nemi/mma—
rum. OH seem/n' norma—mi mumampnoü (oymumu " acmmampa, a 'raKme Bamnei'iumx acumn- mmuecxux " MaJIOBbIÖOpO'lelX csoücm scmma'ropoe. B saxmotieuue OH YKa3blBaeT na ne- oöxonumocn KOHTPOJISI mum—es mellem.
Bo B'ropoii uacm amop IICMOHCTpl/lpve'r meToum ouemm napazviefrpos: Knaccmecxuii "
Kocnesubiü merem)! Haumeubumx icBanpa'ros, Ha meTonos, OCHOBblBaiOiIll/IXCH Ha orpauu'ieuuoi'i umbopmauuu, nevxcrvneuuaTbiü METOlI Haumeubumx Keanpa'roe, ocnoebisaioumücs Ha orpa- mmesuoii umbopmalmu MeTOII maxcumanbuoü Beposmocm " nonoőnbie emy MeTORbl, uanee, scmma'ropm Knacca (K), "3 me'rones, ocHosbIBaioumxcs Ha nonnoü nudiopmaimu Tpexcwneu- ria—mü meToa Haumeubmux KBaleaTOB " OCHOBbIBaiOllH/IECH Ha nom—mü uncpopmaimu METOIIH Maxcumanbnoi/i Beposmocm. OH Bumm/n' nonvuaemme npu nomoum omenbumx memnos sem—
MaTOpbl, ux acummomwecxym manuuv Bapuau'mocm-Kosapnaemocm PI ananusupyer KOH—
cum'euumo acmma'ropon.
B Tpe'rbeiri uacm amop, Ha ocuosanuu acumn'ro—muecxux 14 manoeuöopoenux ceoücm semm-repes, ux wecmmenmocm K cneundmuecxum emuőxam H Tpeőosaeui'i K pacueTaM, conocraBnHeT npuseneuuue MeTOlIbl ouemm napameTpos. Hpn Komnnexcuozw weTe Bcex lie- TblpeX Touex epemm ou npuxoam K BblBOlIY, uTo cpezm meronoe, ocuosblsaloumxcs Ha orpa- Hnuesuoü usdmpmauuu Haunyumue peevnb'raru naeT nevxcwneeua'rmü MCTOII Haumeubumx megemeli, a cpezm me'ronmz, OCHOBbIBaiOIIU/IXCSI Ha nonuoü uucpopmauuu TpechyneHuaTmü.
mezon nanmenbmux KBaleaTOB.
86 4 PAIZS: PARAME'I'ERBECSLÉSI Mónmaex
SUMMARY
The study surveys the methods of parameter estimation in simultaneous econometric models. The first part of the study summarizes the fundamental guestions concerning eco-' nometric models. It defines the notion of the model and the structure as well as the hypotheses constituting the structural and reduced form of simultaneous econometric models. It deals With the details of the mathematical conditions of the parameter estimatíon, viz. the definability of the structure, i. e. the guestion of identification. It introduees the notion of the estimator and the estimator function as well as the most important asymptotic and small sample-properties, ' of the estimators. Finally, it touches upon the necessity of testing the hypotheses of the
model.
The second part presents the different methods of parameter estimation: the method of
the classícal and indirect least sguares; from among the limited information methods, the two-
stage least sguares method, the limited information maximum likelihood method and similar methods (that of the least varíance estimators and the least generalized residual varianee esti- mators), finally the (k)-class estimators. As concerns the full information methods, the study deals With the three-stage least sguares method, the full information maximum likelihoo'd and a similar method: that of the least generalized residual variance estimators. The article defines the estimators obtainable by the specific methods and their asymptotie variance-covariance matri-
ces; it analyses then the consistency of the estimators. '
The third part makes a comparison between the parameter estimation methods enumerated, on the basis of the asymptotic and small sample-properties of the estimators, as well es on the basis of their sensitivity to specification errors and computational needs. Considering, the four points of view mentioned, the author comes to the conclusion that the two-stage least sguares method (from among the limited information methods) and the three—stage least sguar- es method (from the full information ones) are applicable with best results.
(
