SZIMULTÁN ÖKONOMETRIAI MODELLEK PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREI (we
PAIZS JÁNOS
Az elmúlt három évtizedben előtérbe kerültek az egész népgazdaság mű—
ködésének összefüggéseire irányuló kvantitatív vizsgálatok, amelyeknek fontos eszközei az ökonometriai modellek. A vizsgálatok elért elméleti és gyakorlati
eredményei döntően az ökonometriai modellek statisztikai számszerűsítésének tulajdoníthatók. Az ökonometriai modellek sajátosságai, mindenekelőtt szimul- tán jellege szükségessé tette a felhasznált statisztikai módszerek, elsősorban a számszerűsítés szempontjából döntő jelentőségű pzmméterbecsle'si eljárások továbbfejlesztését. Jelen dolgozat célja, hogy áttekintést adjon a módszertani kutatások e területen elért legfontosabb eredményeirőll.
I. A MODELLEK ÁLTALÁNOS MÓDSZER'I'ANI KÉRDÉSEP—
: Az egész népgazdaság működésének, a makroökonómiai folyamatok kauzá—
lis összefüggéseinek kvantitatív vizsgálata számos elméleti hipotézisből indul ki, amelyeket egy modell foglal össze megfelelő matematikai formában. A hipotézi—
sek egyrészt a makroökonómiai folyamatokat és azok kauzális összefüggéseit képviselő változókra és egyenletekre, másrészt a változók valószínűségi tulaj- donságaira vonatkoznak; egzakt modellszerű megfogalmazásuk a specifiká- ció. Az előbbi hipotéziseknek a makroökonómiai folyamatok kauzális kapcso- latait kvantitatíve jellemző paraméterek becslésénél, az utóbbiaknak a becsült paraméterértékek bizonytalanságát jellemző standard hibák meghatározásánál van jelentőségük.
A modell változói, amelyek matematikai szempontb ól (többségükben) való—f' szín űségi változók, a megfelelő gazdasági folyamatoknak a kauzális kapcsola- tokban játszott szerepe szerint endogén vagy exogén jellegűek. Az endogén változók olyan gazdasági folyamatokat képviselnek, amelyeknek alakulása ki- elégítően megmagyarázható, az exogén változó/c olyanokat, amelyeké nem vagy,
kielégítően nem magyarázható meg a modell többi változója által képviselt
* Az önnálló magyar nivatal'vs statisztikai szolgálat százéves fennállása alkalmából rendezett Centenariumi Statisztikai ülésszak keretében l967. május 13—20 között a Magyar Tudományos Akadémián tartott II. Statisztikai Tudnmányos Konferencián megvitatott előadás.
1 Mivel a KSH Matematikai és Statisztikai Módszerek Közgazdasági Alkalmazásának laboratóriumában elké- szült a magyar népaazdasat; M— 1. statisztikai 'nakroznodellie [8] és folyamat ban van az M—Z. modell kidolgozása, [m, úgy véljük, hogy egy ilyen módszertani áttekintés ne'nesak el'néleti sze nnnntbol érdekes. hanem aktuálisis: az ezeknél a modelleknél alkalmazott paraméterhecslési eljárások sajátosságait más eljárásotélval összehasonlítvajobban
kidomhoritia és érthetővé teszi.
2 Az I. rész asz? nultán öknnnmetrlai modellek olyan általános módszertani kérd éscltísmertetl. amelyeknek több vonatkozásban részletesebb kifejtése található a [18] tanulmányban és a [8] kiadvány 1. és 4'. fejezetében.
7 1 8 PAIZS JÁNOS gazdasági folyamatok alakulása alapján. A kauzális kapcsolatokban külön—kii—
lön jelentéktelen mértékben vagy véletlenszerűen működő és explicit forma—
ban figyelembe nem vett gazdasági folyamatok együttes hatását a latens változók reprezentálják. Az endogén és exogén változók értékei statisztikai úton közvet—_
lenül megfigyelhetők, a latens Változók értékeire viszont csak közvetve, a modellből számított értékeik, a reziduu'mok alapján nyerhetünk információt.
' Ha a gazdasági folyamatok összefüggéseit nem statikus, hanem dinamikus modellben ábrázoljuk, amelyben a Változóknak nemcsak ugyanazon t időszak- hoz, hanem különböző t és t—i: (t)0) időszakokhoz tartozó értékei között is lehetnek kauzális összefüggések, kitűnik, hogy az endogén változók t—t idő—
szakbeli késleltetett értékeit a kauzális kapcsolatok szempontjából ugyanaz jel—
lemzi, mint az exogén változók t (és t—t) időszakbeli értékeit. A késleltetett endogén Változók és az exogén változók együtt a predeterminált változók cso—
portját alkotják.
A modell egyenletez'nek többsége az explicit formaban figyelembe vett vála tozók kauzális kapcsolatait leíró regressziós egyenlet, kisebb része a változók logi—
kai kapcsolatait rögzítő z'dentitás. A modell egyenletei algebrai típusukat te- kintve linearisak vagy nem lineárisak lehetnek. Gyakorlati szempontból *—
különösen első közelítésben — előnyös lineáris egyenletrendszer-t alkalmazni.
Az ökonometriai modellek legáltalánosabb típusát a szimultán egyenletekből' álló (röviden: szimultán) modellek képezik, amelyeknek endogén változói'között kölcsönös összefüggés (interdependencia) érvényesül.
A szimultán modelleket a következő hipotézisekkel szokás specifikálni:
]. Az y':[y1, . . ., yM], összesen M számú endogén, az x' : [xv . . L', xN], összesen N számú predeterminalt és az u': [uh . . ., uM], összesen M számú latens változó kapcsolata a t—edik együttes megfigyelés alapján az
y;A 4- 413 a u; : 0 /1a/
az összesen T számú együttes megfigyelés alapján pedig az
YA-l-XB—i—Uzü [N)]
M egyenletből álló lineáris egyenletrendszerrel írható le, amelyben A és B a (nem sztochasztikus) strukturalis paraméterek M M és N M típusú. matrixa, Yv x, és 11; az endogén, a predeterminalt és a latens Változókra vonatkozó tedik együttes megfigyelés M, N és M elemű vektora, Y, X és U a váltoZókra vonat—
kozó T együttes megfigyelés T— M, T- N és T- M típusú matrixa. Az [ 1a/, illetve az /1b/ a modell strukturális egyenletrendszere3 m-edik egyenlete
Yam—1-X8m4-um :O (m:1,...,M) /2/
amelyben am, Bm és ,um az A, Bdés U matrixok M, N és M elemű m-edik
oszlopvektorai.
2. A strukturális egyenletrendszer minden egyenletében van egy olyan en- dogén változó, amelynek paramétere — l-gyel egyenlő, például:
mlm : —1 (normalizálási szabály). [3]
3. A kvadratikus A matrix nem szinguláris. [4]
3 Egészen pontosan a strukturális egyenletrendszer két alternatív meafogalmazása.
PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK 7 1 9
4. Az xt predeterminált változók lineárisan függetlenek. [5/
5. Az 11, latens változók várható értéke zérus, egyidejű Váriancia—kOVárian—f eia mátrixa nem szinguláris, késleltetett variancia-kovariancia matrixa zérus—
matrix, azaz
E(u,):0 (t:1,...,T) ! /6/
Emmy) : z: (t : t', t : 1, T) ./7[
Emmy) : 0 (t : t', u' : 1, T) /8[
6. Az x predeterminált változók valószínűségeloszlása független az u latens változók valószínűségeloszlásától, azaz a predeterminált és latens vál- tozók egyidejű variánoiá--kovariancia matrixa zérusmatrix:
E(x,u'—) : 0 (t : t', t: 1, T) /9/.
Az [ la/ illetve [lb/ és a [3 [— [9 [ hipotézisek képezik a szimultán modell!
strukturális formájának specifikációját. '
Az endogén változók értéke a predeterminált változók és a. paraméterek értékének ismeretében a modell egyenletrendszere alapján meghatározható.
Erre a célra azonban nem a strukturális egyenletrendszert, hanem annak az endogén változókrá mint ismeretlenekre történő megoldásával előállított reduf
káli egyenletrendszert használjuk.
Ha a [4/ hipotézis teljesül, akkor az [la/ , illetve [1b/ strukturális egyen—
letrendszerből előállítható a redukált egyenletrendszer:4 _
y' : x;(—BA—1)H;(—A—1) : x;171uv; (t : 1, T) [m)
illetve '
Y:X(—BA'1)$U(—A"l):XHJrV /11/_
amelyben !
II : :BA—l /12[
a (nem sztochasztikus) redukált paraméterek N- M típusú matrixa,
v; : u;(—A—1) (t : 1, T) /13/
a latens változók M elemű sorvektora, V a latens változók T - M típusú matrixa.
A redukált egyenletrendszer latens változóinak valószínűségi tulajdonság gai a strukturális egyenletrendszer látens változóinak valószínűségi tulajdonsá- gaiból a [13/ összefüggés alapján levezethetok.
A v, látens változók várható értéke zérus, egyidejű varianciá-k-ovarianoia.
matrixa nem szinguláris, késleltetett variáncia--kovariancia matrixa zérus—
mátrix, azaz )
Em) : 0 (t : 1, T) [14/
E(V1V',) : A'"12A—1 : 9 (t : tl, t: 1, . .., T) [15/
Em?) : 0 (t ;: t', u' : 1, T) llöl
* Egészen pontosan a redukált egyenletrendszer két alternativ megfogalmazáea.
720 PAIZS unos—
Az x predeterminált Változók valószínűségeloszlása független a v, latens változók valószínűségeloszlásától, azaz
mm;) : o (: : t', t: 1, T) [17/
A / 10/ , illetve [11/ és a [l2/—/17/ hipotézisek adják a szimultán modell redukált formájának specifikációját. '
A strukturális egyenletrendszer paraméterei csak azt a közvetlen hatást számszerüsitik, amelyet a predeterminált változók az endogén változókra egy-egy egyenletben gyakorolnak, nem' mutatják ugyanakkor azt a közvetett'hatást, amelyet az összes endogén változóra a modell egé—
szében a. kölcsönösen összefüggő endogén változókon keresztül fejtenek ki. A redukált egyenlet- rendszer paraméterei ezzel szemben a predeterminal'o változóknak az endogén véltozókra részben közvetlenül, részben közvetve érvényesülő leljes hatasat juttatják kifejezésre. A paraméterek tartalma alapján a. strukturális egyenletrendszer a gazdasági folyamatok közvetlen, a redukált egyenletrendszer pedig végső kauzális kapcsolatait irja le. Elméleti és gyakorlati szempontból a kauzális kapcsolatok mindkét típusának ismerete jelentős. A modell specifikációja mindig a strukturális formából indul ki, mivel a közgazdasági elmélet és az empirikus kutatások elsősorban a gazdasági folyamatok közvetlen kauzális kapcsolatairól adnak információt.
A modell specifikációjával a gazdasági folyamatok kapcsolatai kvantitatív vizsgálatának első szakasza lezárul. Ezt a szakaszt, mivel általános ismeretek—
nek az egyes esetére történő feltételes alkalmazásából áll, a vizsgalat hipoteti-
kus-deduktív szakaszainak nevezhetjük.
A struktúra
A strukturális forma A, B és 21, vagy a redukált forma l'! és 9 para—
métereinek konkrét értékei adják a gazdasági folyamatok összefüggéseit jel- lemző struktúrát. Ezek a konkrét paraméterértékek — az identitasok paramé- tereitől eltekintve — ismeretlenek, de az endogén és predeterminált változók—
ra végzett véges számú együttes megfigyelés alapján valamilyen becslési eljaras segítségével meghatározhatók. A paraméterbecslés problémáit megelőzően fog—
lalkoznunk kell a paraméterek meghatározhatóságanak logikai feltételével, az identifikációval.
Az identifikácz'ó
Az endogén és preleterminált változókra végzett megfigyelések alapján ismerjük az endo- gén változóknak a predeterminált valtozókra vonatkozó
f(Yt l Iz) . /19/
együttes feltételes eloszlását, amely momentumaival (várható értékével és varíancia-"kovariancia matrixával) jellemezhető. A gazdasági folyamatok kauzális kapcsolatai kvantitatív vizsgálatának csak akkor van értelme, ha feltételezzük, hogy a pre leterrninált változókra végzett megiigyelések az endogén változókra végzett megligyeléseknek egy és csak egy együttes eloszlását határozzák 'meg. "tehát a /lS/ együttes íeltételes eloszlás momentumai egyértelműen meghatározottak.
A paraméterbecslés alapproblémája a strukturális és redukált forma paramétereinek a [18]
együttes feltéieles eloszlás momentumaiból való egyértelmű meghatározása. A modellnek azok az egyenleteí, amelyeknek paraméterei az együttes leltételes eloszlás momentumaiból egyértelműen meghatározhatók, z'dentzfz'kállak,—a többi egyenlete nem z'dentzfz'kált.
Egy egyenlet identifikáltsága a benne szereplő endogén és predeterminált változók számá.- tól függ, és e változók s7ámára beve7eiett lorlátozáaokkal biztosítható
. A redukált egyenletrendszer valamennyi egyenlete eleve identílikált, mivel a [18/ feltételes eloszlás várható értéke:
E(y;lx;) : E(x;H—1-v;lx;) : Ill] (tzl, -- -: T) ' "91
pARAm'rERBECSLESI MÓDSZEREK 721.
a, redukált egyenletrendszer paramétereinek lineáris függvénye, variancia-koveriancía matrixe
pedig
EllYÉ—EUÚHYÉ—EO'Dllxíl : Emvílxí) : 9 (tal. . . " T) /20/
a, redukált egyenletrendszer latens változóinak egyidejű varianoia-kovariancia matrixával egyenlő.
A redukált egyenletrendszer ilentifíkáltsága abból következik, hogy egyenletenként csak egy endogén változót tartalmaz, ami elégséges korlátozás.
A strukturális egyenletrendszer paraméterei és a [18/ feltételes eloszlás momentumei között ilyen közvetlen kapcsolat nincs. Egyenletei akkor és csak akkor identifikáltak, ha. A és B paramé- tereik a. I] pereméterekből e /12/ rendezésével nyert
HA : —-B /21/
összefüggés alapján egyértelműen meghatározhatók.
Az egyes strukturális egyenletekben szereplő változók számára vonatkozó korlátozások a priori információkból adódnak. Egy-egy egyenletben csak azok a. változók szerepelnek, amelyek között közvetlen kauzális kapcsolat van. Az A és B metrixoknak azok az elemei, amelyek az egyes egyenletekben nem szereplő változóknak felelnek meg, zérnssal egyenlők.
A korlátozások szükséges és elégséges mértékének meghatározása végett tekintsük a. struk- turális egyenletrendszer m-edik egyenletet! Ha ebben ez egyenletben M * endogén és N * prede—
terminált változó szerepel, M ** : M ——M * endogén és N ** :: N —N * predeterminált változó pedig nem, akkor a következő formában irható:
Yeatm*Yuawmi'xsptm'lxnpnm'l'um : 0 (m:—"1! ' ' ' ' M) /22/
amelyben értelemszerűen Y,,kaum : 0 és XHBH," : 0. Ha. a [11/ redukált egyenletrend- szert az m-edik strukturális egyenletben szereplő és nem szereplő változók figyelembevételével pertioionáljuk, az
Hat, * Hm,:— *
[Y,kYu] : [Xoxe—ili ]4' [V:—Val [23/
Ha; e,: Hur, ":
egyenletrendszerhez jutunk, amelyben a [] sznbmatn'xeinak első indexe a predeterminált, második indexe, az_ endogén változókra utal, éspezlíg * arra, hogy a kérdéses változó szerepel, ** arra, hogy nem szerepel az m-ezlik strukturális egyenletben. A partícionált am és ,,Bm vektorokat és H metrixot a [21/ összefüggésbe helyettesítve a, szorzások elvégzése után a
Hg, *a*m :: _BÚM [248/
II",,..oz;m : o * /24b/
lineáris egyenletrendszereket nyerjük, amelyekben a, [3/ normalizálási szabálynak megfelelően um,: -— l. A [2413] és [24b/ alapján az m-edik strukturális egyenlet paraméterei akkor és csak akkor határozhatók meg egyértelműen a redukált egyenletrendszer megfelelő paramétereiből, ha az a.,," egyértelműen meghatározható ra'/2414 homogén lineáris egyenletrendszerből. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy enn", rangja M -— 1 legyen. E feltétel teljesülése esetén a prim a. [24a/ alapján már egyértelműen meghatározható. - '
* Mivel a. speeiiikácíó szakaszában a 17 matrix ismeretlen, az előbbi ,,rangfeltétel"-nél gya- korlatilag használhatóbb ez íleníikáltság ,,rendíeltéte "-e, amely szerint az m-eclík strukturális egyenlet paraméterei meghatározhatók a redukált egyenletrendszer paramétereíből, ha az
N** 2 M* _1 /25/
reláció teljesül. Megjegyezzük, hogy az m-edík strukturális egyenlet paramétereinek meghatá.—
rozása akkor és csak akkor egyértelmű, ha a [25/ egyenlőség formájában teljesül (,,éppen identifi—
kált egyenlet"). Egvenlfűtlenség esetében (,,túliflentiiikált egyenlet") az egyértelmű meghatá- rozás biztosítása végett még további korlátozások alkalmazása szükséges, amit az egyes para.- méterbecslési módszerek különböző formában valósítanak meg. Nem ídentzjfz'kált egyenlet paramé—
terei semmilyen becslési módszerrel nem határozhatók meg egyértelműen. '
A Z variancia-kovariancia. matríxra. nézve általában nem rendelkezünk ez identifikáció azemponjából hasznosítható a. priori információkkal, ez a matrix azonban a [15/ rendezésével nyert ZzAgA' összefüggésbőlxmínden esetben egyértelműen meghatározható. '
722 ' PAIZS JÁNOS
A paraméterbecslés
A paraméterek konkrét értékének meghatározása, azaz a modell számszerű- sítése a gazdasági folyamatok kauzális kapcsolatai kvantitatív elemzésének második, induktív szakaszában becslés útján történik. A becslési módszerek, a statisztikai indukció speciális eljárásai, valamilyen alkalmasan megválasztott esztimátorfüggvényt (vagy függvényrendszert) használnak fel, amelynek függ- vényértékeként az endogén és predeterminált változókra végzett (Véges számú) megfigyelés függvényében a paraméterek esztimátorai (becsült értékei)kiszá- míthatók.
Ha az m- edik strukturális egyenlet paramétereire bevezetjük a y ::
—— [a,m B*m] helyettesítést, akkor ezek egy tetszőleges esztimátor függvénye és esztimátora:
;) : (P(Yilm! Xirm) [26]
Az esztimátorok a tényleges paramétereknek a következtetés induktív jel—
legéből eredően mindig csak — többé-kevésbé bizonytalan —- közelítő értékei.
'A statisztikai indukció sajátossága, hogy nemcsak az esztimátorértékek meg- határozását, hanem a velük kapcsolatos biZOnytalanság számszerű jellemzését
is lehetővé teszi.
A paraméterbecsléssel kapcsolatos bizonytalanságot minimálisra csökken- tendő, olyan esztimátorok meghatározására törekszünk, amelyek a legjobban közelítik a tényleges paraméterértékeket. Az esztimátorok, valószínűségi vál—
tozók függvényei lévén, maguk is valószínűségi változók, amelyek momentu—
maikkal jellemezhetők. Igy a ,,legjobb közelítés" egzakt definiálására a mate—
matikai statisztika megfelelő kritériumait használhatjuk, amelyek különböznek egymástól kis minták és nagy minták esetében.
A kisminta-kritérz'umok közül legfontosabbak a. torzításmentesség, a hatásosság és a mini—
mális átlagos hibanégyzet. Az adott minta alapján számított esztimátor és a tényleges paraméter
—--y különbsége az esztimátor mintahibája, a. mintahiba EG; -—'y) várható értéke az esztimátor torzítása. A;. torzitásmentes esztimátora a 7)nak, ha különbségük várható értéke zérus: E('y-— 7)-——
—0. A); leghatásosabb esztimátora 8. y-mak, ha torzításmentes és variancia--kovariancia matrixét egy másik (tetszőleges) torzitásmentes esztimátor — y — variancia--kovariancia matrixából ki- vonva:
ElW—vxíl—W'l —E'[(i)—r)(ii—v)'l
nem negativ definit mátrixot kapunk. (Ha ez a különbség——matrix éppen zérusmatrix, akkor a
két esztimátor hatásossága azonos. ) Abban az esetben, ha a ); és 9, y esztimátorok nem torzítás-
mentesek, de vatianciakovaríancia matrixaik különbsége nem negatív definit, akkor a ? mini- mális második momentummatrixszal s így minimális átlagos hibanégyzettel rendelkező eszti- mátor. A második momentummatrix diagonális elemei az esztimátor komponenseinek átlagos hiba—
négyzetei. Az átlagos hibanégyzet a torzítás négyzetének és a varianciának az összege. Mivel kis minták alapján általában torzitott esztimátorokat nyerünk, a minimális átlagos hibanégyzet a legfontosabb kisminta- kritérium: a. két hibakomponenst (torzítás és variancia) egyidejűleg veszi figyelembe, és olyan esztimátorok kiválasztására ad lehetőséget, amelyekben ezek együtt mini- málisan jelentkeznek.
Tekintettel a paraméterbecslés matematikai nehézségeire és eddig elért eredményeire, elő—
nyösebb a ,,legjobb közelítés" kritériumait nagy mintákra, tehát arra. az esetre megadni, amikor a változókra vonatkozó megfigyelések száma minden határon túl nő.
A uagyminta— vagy aszimptotikus kritériumok közül legfontosabbak az aszimptotikus torzításmentesség és az aszimptotikus hatásosság, amelyeket bizonyos szempontból a konzisztencia foglal össze. A y konzisztens esztimátora a
PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK 7 2 3
y-nak, ha annak a valószínűsége, hogy eltérése a tényleges paramétertől egy előre megadott kis pozitív számokból álló 6 vektornál nagyobb, a megfigyelések
számának növelésével zérushoz konvergál: *
pgm [(i)—v) : ö] : 0-
A konzisztens esztimátor egyrészt aszimptotikusan torzitásmentes, azaz mintahibájának aszimptotikus várható értéke zérushoz konvergál: E' (§; ——y):
: O, másrészt aszimptotikusan hatásos, azaz aszimptotikus variancia-kovarian—
cia matrixa zérusmatrixhoz konvergál:
Én?—we? — m : 0
A a: aszimptotikusan leghatásosabb esztimátora a y-nak, ha konzisztens és aszimptotikus variancia—kovariancia matrixát egy másik (tetszőleges) konzisz- tens esztimátor —— §; —— aszimptotikus variancia-kovariancia matrixábóllevonva:
Én?—wow)?jut—w —w'1
nem negatív definit matrixot kapunk. (Ha ez a különbség—matrix éppen zérus—
matrix, akkor a két esztimátor aszimptotikus hatásossága azonos.)
Hipotézisvizsgálat
Az esztimátorok (közönséges vagy aszimptotikus) variancia-kovarancia matrixának diago- nális elemei adják a becslések standard hibáinak négyzeteit. Mivel a valószinűségszámitás köz—
ponti határeloszlás tétele alapján—a legtöbb esztimátor aszimptotikus eloszlása normális, a becs- lések standard hibái segitségével olyan konfidencia-intervallumok vagy kritikus régiók állapít- hatók meg, amelyek a paraméterek tényleges értékét adott valószinűséggel magukban foglalják, és így megítélhető, hogy aparaméterek becsült értékei szignifikánsan különböznek-e zérustól, vagyis hogy a következtetések az adott modellben igazak-e. (
Az adott modellben igaznak bizonyult következtetések gyakorlati felhasználásakor felmerül a kérdés, hogy ezek a következtetések helyesen tükrözik-e a valóságot. Ezeknek a következtetések—
nek a valóságtartalma attól függ, hogy az adott modell hipotézisei — a statisztikai indukció premisszái — milyen mértékben teljesülnek a konkrét esetben, a kérdés eldöntésére pedig a mate—
matikai statisztika hipotézisvizsgálatz' módszerei szolgálnak.
II. PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK
Az első sztochasztikus ökonometriai modellek számszerűsítésénél a paramé- terek becslését a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével végezték. T. Haa'vel—
mo norvég matematikus—statisztikus mutatta ki [7], hogy ez a módszer szimul—
tán modellek strukturális egyenleteinek a paramétereire nem nyújt konzisztens esztimátorokat, és ezek becslésére a maximális esélyesség teljes információn ala- puló (full information maximum likelihood) módszerét ajánlotta. A maximális esélyesség módszere szimultán modellek strukturális paramétereíre is konzisz- tens becslést nyújt, alkalmazása azonban két jelentős hátránnyal jár: egyrészt azon a gyakorlatban csak közelítően teljesülő feltevésen alapszik, hogy a strukturális és a redukált egyenletrendszer latens változói normális (vagy va—
lamilyen más szabályos) eloszlást követnek, másrészt rendkívül számításigényes.
T. Haavelmo felismerése nyomán élénk tudományos kutatás kezdődött.
Nyilvánvalóvá vált, hogy a paraméterbecslés klasszikus módszerei —— a legki—
sebb négyzetek klasszikus módszere és a maximális esélyesség teljes informá—
ción alapuló módszere —— szimultán modellek strukturális egyenleteire alkal—
mazva továbbfejlesztésre szorulnak. A kutatók olyan paraméterbecslési mód—
724 * * PAIZS JÁNOS
szerek kidolgozására törekedtek, amelyek konzisztens és a maximális esélyesség
teljes információn alapuló módszerével nyerhető esztimátorokat megközelítően hatásos esztimátorokat nyújtanak, ugyanakkor mentesek ez utóbbi módszer- említett hátrányaitól.A klasszikus paraméterbecslési módszerek továbbfejlesztésének -— nagy vonalakban — két fő irányát különböztethetjük meg Az egyik irány, amely a maximális esélyesség módszeréből kiindulva jut el újabb módszerekhez (a
maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszere, a legkisebb
varianciahányados módszere, a legkisebb általánosított reziduális varianeia korlátozott és teljes információn alapuló módszere), az amerikai Cowles Dom—**mission mellett működő matematikai statisztikusok, mindenekelőtt T. W.
Anderson, W. Chemoff, L. Chernoff, W. Hood, T. 0. Koopmans, J. Marschak
és H. Rubin nevéhez kapcsolódik, és fontosabb eredményeit—két monográfia
[10, 13] foglalja össze. A másik irány, amelyet elsősorban H. Theil hollandi — matematikai statisztikus és munkatársai képviselnek, a legkisebb négyzetek klasszikus módszerét fejleszti tovább (a legkisebb négyzetek két- és három—
fokozatú módszere). A két irány bizonyos eredményei szintézisének tekinthető a (k)—osztályú esztimátorok H. Theiltől származó elmélete.
A legkisebb négyzetek klasszikus módszere
A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével a paraméterbeoslés egyen- letenként történik.
Induljunk ki a [22] m-edik strukturális egyenletből (az m index elhagyá- sával):
Y,.a,., *i' X,.B, * u : 0 ' 7'271
Ez az egyenlet a /3/ normalizálási szabály figyelembevételével az ;
y! : Y,:xz * x,,p; * u ' [28]
alakban írható, amelyben y1 az eredményváltozóként szereplő endogén változók T elemű oszlopvektora, Ya és X* a magyarázó változóként szereplő endogén és predeterminált változók T(M —*1) és T -N típusú matrixa, u a latens változók T elemű oszlopvektora, osz és B* a strukturális paraméterek M : 1 és N elemű
oszlopvektora. ' .
* A z : [meg] és y : [%m helyettesítésekkela [23/ az
yi : Zy-su 129/
formát ölti.
A legkisebb négyzetek elvét alkalmazva a 3; paramétereknek azokat a ;) esztimátorait határozzuk meg, amelyek a reziduumok
s : ü'fx : (yl—zavmx—zn : yei—Zi'zw í/Z'Zi ' ISO/
négyzetösszegét minimalizálják. A ]30/ függvény y szerinti parciális derivált—' jait zérussal egyenlővé téve nyerjük az ún. normálegyenleteket, amelyek a
$: : (Z'zru'a'y1 ', ;31/
megoldásai a 7) paramétereknek a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével-
nyert esztimátorai. _ ) . ,
PARAMÉTE'RBECSLESI MÓDSZEREK 725
A / 28/ -ban az Ya endogén jellegű magyarázó változók valószínűségeloszlása nem független az u latens változó valószínűségeloszlásától, azaz
plim T*1YZUá0, _! _
következésképpen a129l-ben a Z magyarázó változók valószínűségeloszlása (sem független az u latens valtozóétól, vagyis plim T"1Z'u7£0. Ennek a
körülménynek a figyelembevételével .
plimí; .—_— plim (Z'Z) "IZ'(Z
)!
4- u) :_ ?
4- plim T'"1(Z'Z) "1 plim T"1Z'u 7!, 7
32_
teháta ;? nem konzisztens esztimátora a y-nak. ' *
Abban a speciális esetben, ha a [28/ csak predeterminalt jellegű magyarázó változókat tartalmaz (Z ; X*), amelyekre a [9/ értelmében plim T—IZ'u,:O teljesül, akkor a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével a y-ra konzisztens .esztimátorok nyerhetők (plim §; :; y).
A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimatorok fon- tos-tulajdonsága,. hogy minimalizáljákva strukturális és redukált egyenletrend—
szer latens változóinak *lT 4U'Ul és [T 'W'V] általánosított varianciáját.
A legkisebb négyzetek közvetett módszere
A legkisebb négyzetek módszerének a strukturális egyenletek paraméter—
beeslésére'va-ló közVet'ett alkalmazása W. Hood és T. O. Koopmans nevéhez fűződik [10]. Ennek a módszernek a gondolatmenete a következő. * . * '
, A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével meghatározzuk a [11] re—
dukált egyenletrendszer II paramétereinek ; '—
1'1 : (X'xrlx'r _ _ /33/
Fesztimátorait. Mivel a redukált egyenletrendszer magyarázó változói! közöt csak predeterminált változók szerepelnek, amelyekre a /17/-ből
plím T — ! x'v : 0
következik, ezek -az esztimátorok konzisztensek:
" *p'umifz': plim (X'X)_1X'(XH* V) : H—l-plim T_1(X'X)*1 plirn T—lx'v : 17 134;
Ezután a [27] _m—edik strukturális egyenlet mi: és B* paramétereinek eszti-
mátorait ia-Ú'matriz'c'megfelelő II*;*' és ÚMW szubmatrixaiból a [24a/ és [24101
összefüggések, valamint a [3/ normalizálási szabály alapján határozzuk meg:
Mivel a konzisztencia invariánstulajdónsag, a konzisztens Ú esztimátorokból
levezetett cic,Ig és B* esztimátorok szintén konzisztensek.
' Az őz,; és B* esztimátorok azonban csak akkor határozhatók meg egyertéL műen' a Ú'eSztimátorokból, ha'a fiú;, szubmatrix kielégíti a [24b] kerlátoz'ó feltételeket. Mivel a legkisebb négyzetek közvetett módszere semmiféle korla—
tozó feltételt nem alkalmaz, hiszen feltétel nélküli szélsőérték-számításonalapszik, a [ 24b/ pedig elevecsak éppen identifikált egyenlet esetében teljesül, eza mód—
s'Zer öáakis ilyen strukturális egyenlet paraméterbecslésére használható; _" J :A 'ökonom'etriai' modellek strukturális egyenletei a változók nagy sza";
ma következtében általában tulidentifikáltak, nagyon jelentősek ezért azok a beeslési módszerek, amelyek a [24b/ korlátozó feltételeket explicit formában is-
figyelembe veszik. _ - ' . x 1 ;
726 ' ' ' PAIZS JÁNOS
A korlátozott információn alapuló módszerek
A korlátozott információn alapuló módszerekkel a paraméterbecslés egyenleteként történik. Ezek a módszerek figyelembe veszik, hogy a becsült egyenlet szimultán egyenletrendszer része. Lényegük olyan feltételes szélsőérték—
számítás, amelyben a /24b/ képezi a korlátozó feltételeket. Minthogy a feltételi egyenletrendszerben szereplő H**,* a redukált egyenletrendszer paraméterei- nek a becsült egyenletben nem szereplő N ** predeterminált és benne szereplő M * endogén változó strukturális paraméterei szorzatából keletkezett szub- matrix, ezek a módszerek a modell specifikációjából a becsült egyenlet speeifi-
*káeióján kíVül csak a becsült egyenletben nem szereplő predetermínált változók XM, matrixára vonatkozóan merítenek információt. Innen származik az' elneve—
zésük: korlátozott információn alapuló módszerek.
Éppen identifikált egyenlet esetében, amelynél a korlátozó feltételek eleve
teljesülnek, s így a feltételes és feltétel nélküli szélsőérték- számítás azonos ered—ményre vezet, a korlátozott információn alapuló módszerekkel nyerhető es'zti—
mátorok megegyeznek a legkisebb négyzetek közvetett módSzerével nyerhető
esztimátorokkal.
A legkisebb négyzetek kétfokozatú módszere
A legkisebb négyzetek klasszikus módszere konzisztens esztimátorekat nyújt a / 28 / egyenlet paramétereim, ha az Y2 endogén jellegű magyarázó válto- zókat ,,megtisztítjuk" az u latens változótól sztochasztikusan függő kempo- nenseiktől úgy, hogy olyan regressziós értékeikkel helyettesítjük őket ame—
lyeknekvalószín űségeloszlása független a latens változó valószínűségeloszlásá-
"tól. Ez az alapgondolata a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerének, ame- lyet H._Theíl [17] és R. L. Basmann [4, 5] egymástól függetlenül dolgezott ki.
A legkisebb négyzetek kétfokozatú módszere az .Yz változók regressziós értékei—
nek előállítására a redukált egyenletrendszernek azokat az
Yz—XÚz-l-Va , _ ( _ /35/
egyenleteit használja fel, amelyekben az Y2 változók eredményváltozóként szerepelnek.
A módszer vázlata a következő.
]. fokozat. A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével meghatározzuk
a [35] II2 paramétereinek .
ii.—(X'xrlx'r _ ' /36/
esztimátorait, amelyek a [17] feltevésből következően konzisztensek. Ezeknek
az esztimátoroknak a felhasználásával kiszámítjuk az Y2 endogén változók -i,— : xii, , ' ,;37/
regressziós értékeit, amelyeknek valószínűségeloszlása független a látens vál- tozó valószínűségeloszlásától. Az Y2 és az Yz között a [35/—— [37] alapján az
Ya : Yz— V,! , , lgs,
összefüggés áll fenn.
PARANIETERBECSLÉSI MÓDSZEREK 727
2. fokozat. A '/28/ egyenletben Yz-t a [38] regressziós értékkel helyette—
sítjük. Az egyenlet paramétereinek becslésére a legkisebb négyzetek klasszikus
módszerét alkalmazva az
' A " ' ;. , A , __1 , .,
az Y Y — v v Y X Y — V
[AZ :[ 2. 21, .2 2 [2 *] [ 2 , 2] y! /39/
B* X*Y2 X*X* X*
esztimatorokhoz, az aaz—nek és a B* —nak a legkisebb négyzetek kétfokozatú mód- szerével nyerhető esztimátoraihoz jutimk.
Abban a speciális esetben, ha a [28 ] egyenlet nem tartalmaz endogén jellegu magyarázó változót, nincs redukalt formaja (V2 : V2 V2 : ()), ésparaméterei- nek a legkisebb négyzetek kétfokozatú és klasszikus módszerével nyerhető esztimátorai megegyeznek.
A maximális esélyesség korlátozott lhfórhiáción alapuló módszerévelnyerhető
esztz'mátorolckoz hasonlo esztz'mátcrok '
A maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerét T. W.
Anderson és H. Rubin dolgozta ki [2, 3]. Ez a módszer is alkalmazza a latens [változók normális eloszlására vonatkozó hipotézist és a maximális esélyesség elvét, számítási igénye azonban lényegesen kisebb, mint klasszikus — teljes információn alapuló —— valtozatáé. , —
W. Hood és T. O. Koopmans kimutatták, hogy a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerével nyert esztimatorok alapvető tu—
lajdonságai (konzisztenciájuk és'igen általános feltételek mellett hatásosságuk is) függetlenek a latens változók normális eloszlasatoles a maximális esélyesség elvétől. Felismerésük a becslési eljárás további egyszerűsítéséhez vezetett. Két olyan módszert dolgoztak ki — a legkisebb varlanciahányados és a legkisebb általánosított rezlduáh's variancía korlátozott információn alapuló módszerét — amelyek a latens változók normális eloszlasára vonatkozó hipotézis és a maxi- mális esélyesség elvének alkalmazasa nélkül a maximális esélyesség korlato- zott információn alapuló módszerével nyerhető esztimátorokkal azonos eszti- ' matorokat nyújtanak. Ezeket a maximalis esélyesség módszerével nyerhető esztimátorokhoz hasonló esztimátoroknak szoktak nevezni.
Aleglcz'sebb varz'ancz'áhányados módszere
Rendezzük át a / 27 / egyenletet a ,
_—Y*a; :: XsB-k "H'— /40/ A
formában. Tekintsük az endogén változóknak az egyenlet baloldalan álló. line- aris kombinációit egyetlen endogén változónak, és jelölésükre vezessük be a
— y szimbólumot. Az így előálló
——y :: X*B*—r-u
[41]!
egyenlet a —y endogén és az X* predeterminált változók közötti regresszió egyenlete, amelynek B* paramétereírealegkisebb négyzetek klasszikus mód—
szerével konzisztens esztimatorokat nyerhetünk:
B*:x—(X sX*l"1X'*Y /42/
' 28 - szs unos
Ezen esztimatorok felhasználásával a _)? számított értékének a, négyzet—
összegey X*X'HX,..) 1X,,gy, a reziduumok varianciája pedig
at?—333513 * a*Y'*X*(X'*X*lZ"IX'*Y*a'_* : altwlta't [43/
! W:— : Y'lkYill— Y'*X*(X'*X*)"1X',Y* MM
Most vonjuk be a modell összes X—: [X* X**] predeterininált változójat a. számításokba A —y és az X közötti regresszió egyenletében a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyert B* : ——- (X'X) IX'y esztimátorok fel-
használásávala ——y számított értékének négyzetösszege y'X(X'X) 1X' , a. rezi—
duumok varianeiaja pedig !—
._a.hol :
a*Y'*Y*a', —a;,,Y'.,X(X'X) —1x'Y*a', :: a,,Wa',,. * /45/
W : Y'úy-o "f YA',X(Xf_X1).' IX,.Yt [46]
ahol :
A [43] és [45] varianciákban a B* ismefetlen' esztimátora már nem szerepel.
__ _ Az on* paraméterekon*esesztimátorait ezutan a legkisebb varianaíakányados
elve szerint, tehát úgy határozzuk meg, hogy azok _areziduumok varianciaina—k
1— **Wea Ja,..Wa* — [47/ *
fhányadosát minimalizálják A [47] függvény okk szerinti parciális deriváltjait
zérussal egyenlővé téve a
(wrzwú, a 0, [43/
'ún. normálegyenletekh'ez jutunk. A [48] homogén lineáris egyenletrendszernek arra akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha együttható matrixa szingularis, azaz ha
' u iw —zwfao ! /49/
A/49/ determinánsegyenlet l—ben magasabbfokú polinom. Mivel] W,, ! a lWl,
_a [47] hányadost ennek a polinomnak a legkisebb gyöke, ! minimalizálja, amelyrel § l teljesül. Ezt az l gyököt a /48/--ba helyettesítve, a [3] normalizalásiszabály felhasználásával az on* esztimátorai egyértelműen meghatározhatók.
A B* esztimatorai a [42/ összefüggésből adódnak az alk esztimátorok fel—
hasznalásával:
B : —a*y'*x*(x' 'xn—í /50/
Egyszerű numerikus szamítással igazolható, hogy W,. ——lW——-— Hun: és
!Y' X* (X'X*)*1:Ú*,* s így belátható, hogy a legkisebb varianciahanyados Lmódszere biztosítja a [24b/ korlátozó feltételek teljesülését
A /43/— /46/ alatt bevezetett jelölések lehetővé teszik, hogy új oldalról világítsuk meg a leg- lkrsebb négyzetek kétfokozatú módszerével nyerhető esztimátorok tartalmát és a legkisebb vari-
anciahányados módszerével nyerhető esztimátotokkal való összefüggését.
Vezessük be a varianciák különbségének ,
(p : WWW; ——a;.Wa—',..— * 151/
függvényét. Az [51/ függvény on* szerinti parciális *deriváltjait zérussal egyenlővé téve a
l (w* Ama; : 0 152/
PARAMÉTERBECSLÉSI MÓDSZEREK 7 2 9
ún. normálegyenletekhez jutunk. Ha a /39/ képlet jobb oldalán álló első tényezőt átvisszük a bal oldalra, és
mindkét oldalon elvégezzük a szorzásokat, két egyenletrendszer adódik. Az egyik llYáYa —YÉX*(X'*X*)—1X'*Y*l '" [Yth _ Y;X(X'X)—1X'Y*])6L2 : 0 /53/
amelyről a /44/ és /46/ alapján belátható, hegyi : 1 esetén — a /39/-ben alkalmazott normali- zálásból adódó különbségtől eltekintve — megegyezik a, /48[—eal, a. másik pedig az [50/-nel azonos. Ebből következik, hogy a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszere is biztosítja, a [24b/
korlátozó feltételek teljesülését, az alkalmazásával nyert esztimátorok pedig minimalizálják a variancíák [51/ különbségét.
A legkisebb általánosított reztduálz's variancia korlátozott információn alapuló módszere
Tekintsünk a /27/ strukturális egyenletet és a redukált egyenletrendszer- nek azokat az
n : XII.. 4- v* : x,,m, 4- xuun, Jr vi l54/
egyenleteit, amelyekben a [27/ egyenlet endogén változói eredményváltozó-
ként szerepelnek. _
Említettük, hogy a legkisebb négyzetek klasszikus módszere minimalizál- ja a strukturális és redukált egyenletrendszer reziduumaínak általánosított var-ianeiáját. A legkisebb általánosított reziduális variancia korlátozott infor- máción alapuló módszerének a lényege, hogy az [54/ redukált egyenletek D*
paramétereinek olyan esztimátorait határozza, meg, amelyek minimalizálják ezen egyenletek ] T *1V;V* l általánosított reziduális varíanciáj át, és ugyanakkor
kielégítik a l24b/ korlátozó feltételeket
A minimalizálandó függvény:
l
2 : —2— long—IV;V*l—p'n**,*
a.,, /55/
amelyben y' Lagrange—féle multiplikátorok N ** elemű sorvektora. Az [55/
függvény minimalizálása agg-ra és [B*—ra a /48/-cal és az 150!—nel azonos esztimá- torokat eredményez.
A maximális esélyesse'g korlátozott információn alapuló módszere
A modell [la/, illetve [Ib/ és [3/— [9/ speeifikáeióját egészítsük ki azzal a hipotézissel, hogy a strukturális forma latens változóinak valószínűségelosztása normális, amiből már következik, hogy a redukált forma latens változói is normális eloszlásúak. Ebben az esetben a [27] strukturális egyenlet paraméterei- nek beeslésére alkalmazhatjuk a maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerét. A likelihood—függvény, amely megadja a [27/ egyenletben szereplő M * endogén változóra vonatkozó megfigyelések együttes feltételes eloszlását, az [54/ redukált egyenletek paramétereinek függvényébenjelenik
meg.
A maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerének lé—
nyege, hogy az [54] egyenletek N* paramétereinek olyan esztímátorait hatá-
rozza meg, amelyek maximalizálják a [27/ egyenlet likelíh ood-függvényét és
egyidejűleg kielégítik a l24b/ korlátozó feltételeket.A likelihood—függvényből — hosszabb levezetés után —- az
1
L : ; log (ot,—W,,aUatWab
56/.
4 statisztikai Szemle
7 30 PAIZS: PARAMETERBÉÓSLESI MÓDSZEREK
függvény adódik," amely ugyanezen on* értékek mellett yes/zi fel a maximúmát,
mint a [47], illetve az [55/ függvény a minimumát. Az arra a /48/, a firm —- megfelelően —— az /50/*'esztimatorokat nyerjük. 'A (k)-osztályú esztz'mátorok ' — — ,
H. Theill fedezte fel,[i7], hogy a tulidentifikalt strukturális egyenletek
paraméterei esztimátorainak egész ,,esaládja" létezik, az ún. (k)-osztályú eszti- mátorok, amelyeknek a legkisebb négyzetek klasszikus módszerével és a korlá,—
tozott információnalapuló módszerekkel nyerhető esztimátorok csak speciális,
esetei. ,,
A [28/ strukturális egyenlet paramétereinek (k)-osztályú esztimatorai : [az [Y;Y,— mt, Y;X,. ]*1[Y;— hvg]
. _ - ' ' Yi
13— X; Y: ' Xinxt X;
ahol 76 a beeslési módszerre jellemző skalár.
A (k)-osztályú esztimáto—rok általános elméletének két alaptételét felhasz-
nálhatjuk a speciális eseteket képező esztímatorok aszimptotikus tulajdonsá—
gainak meghatározására. , "' " —— _ ' ; ' [*
1. tétel. Azok áí (k)-osztályú esztimatorok, amelyekre plim '(k—l) : O
teljesül, konzisztensek. " * ' ; ;
_ 2. tétel. Azok a (%)—osztályú"esZtimátorok, amelyekre plim Tl'2 (70— 1) : O
teljesül konzisztensek és aszimptotikus varianeia—ko'varianeia matrixuk a követ-
kező: ;
157!
k
A A ' ' Ál AVI. A ) r —1
.ZA' : E[ ?! __ %)] fifa) _[ae ]: U2T_1[Y2Y2*V2Vz Y2X*] [58/
"B* B* B* HB— 5* ' Xísz X;X*
ahol az a [28] strukturális egyenlet latens változójának varianeiaja. , _
Vizsgáljuk meg az eddig ismertetett módszerekkel nyerhető esztimatorok
aszimptotikus tulajdonságait. ,
A legkisebb négyzetek klasszikus módszerével nyerhető esztimatorok olyan (k)-osztályú esztimatorok, amelyekre lc : O. Minthogy plim (O— 1) :0, ezek az esztimátorok —- amint ezt bizonyítottuk is —— nem konzisztensek.
A legkisebb négyzetek kétfokozatú módszerével nyerhető esztimatorok olyan (k)-osztályú esztimátorok, amelyekre k : 1.- Minthogyplim (1 —— 1)- : O és plim Tl'2 (1 — 1) : .0, ezek az esztimátorok konzisztensek és aszimptotikus
variancia—kovarianeia matrixuk aZr/58l. x ' 'f
A maximális esélyesség korlátozott információn alapuló módszerével nyer- hető és a hozzájuk hasonló esztimatorokl olyan (k)-osztályú :esztimátorok, amelyekre —- amint ez a legkisebb négyzetek kétfokozatú módszere és "aleg- kisebb varianeiahányados módszere normálegyenleteinek [51] —— [53] alatt meg—
mutatott összefüggéséből következik —— lc : í. Minthogy plim (l — 1) :0
és plim TU? (l — 1): 0, ezek az eeztimátorok konzisztensek és aszimptotikps varianoia—kovarianoia matrixuk az / 58] . ' , ' ')
(A tanulmány II., befejező részét a Statisztikai (Szemle következő számában kökélíük.) ! '
