Vezérlés és szabályozás

A gépek üzemébe szükség szerint be kell avatkozni a kívánt üzemállapo-tok beállítása céljából. Mondottuk fentebb, hogy már a gépek tervezése folyamán biztosítani kell a jelleggörbék szükség szerinti változtathatósá-gát valamely, a működés fizikai feltételeit befolyásoló paraméter megvál-toztatásával.

A gép üzeme során valamely paraméternek a jelleggörbék befolyásolására irányuló megváltoztatását a gép vezérlésének nevezzük. A vezérlési pa-raméter megváltoztatásával a gép eredeti jelleggörbéje megváltozik, és így a vezérlési paraméterrel meghatározott jelleggörbe sokaság adódik.

Példaként tekintsünk egy dízelmotort, ahol az égéstérbe ciklusonként be-fecskendezett gázolaj mennyiségét változtatva a motor nyomatéki jelleg-görbéi megváltoznak. Jelölje a gázolaj-befecskendezési jellemzőt az u pa-raméter. A 113. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó motor M_e(n,u_i) nyoma-téki jelleggörbéit négy különböző u₁, u₂,…,u₄ vezérlési paraméter érték figyelembe vételével.

2 1

u4

M_m

n2 n M_e

Mm

M_e

n1

u1

u₂ u₃

113. ábra A dízelmotor nyomatéki jelleggörbéi.

A dízelmotorok üzemében a jelleggöbe azonosítására bevezetett ui para-méternek az i-edik beállításhoz tartozóan egy ciklus során befecskende-zett gázolajtömeg és az egy ciklus alatt maximálisan befecskendezhető gázolajtömeg hányadosaként értelmezett töltés értékét választhatjuk. Az ábrán feltüntetett Mm(n) függvény a dízelmotorral hajtott jármű menetel-lenállásának a motortengelyre átszámított nyomatéki megfelelője, azaz a

motort terhelő nyomaték. Ha motor az 1-jelű munkapontban üzemel, ak-kor az u3 vezérlési jellemző szerinti jelleggörbével az n1 motorfordulat-szám fennállása mellett alakul ki a jármű haladó mozgásának v1 sebessé-ge. Ha jármű vezetője el akarja érni a nagyobb v₂ sebességet, akkor felté-ve, hogy a sebességváltó azonos fokozatban maradt, a motor vezérlését az u2 értékre kell változtatnia, aminek hatására a motor nyomatéka megnö-vekszik és eléri a 2-jelű munkapontot, ahol az n2 motorfordulatszám fenn-állása mellett biztosítható a jármű haladó mozgásának v₂ sebessége.

Az elmondottakból kiolvasható, hogy a kiadott vezérlés-változtatás hatá-sára a jármű mozgásállapotát kívánt irányban befolyásolni lehetett. Maga a vezérlés, mint irányítási akció az ismertetett nyílt hatáslánc menti hatás-terjedéssel magyarázható, és a vezérlés végeredménye nem kerül önmű-ködően ellenőrzésre, azaz nem csatolódik vissza a ténylegesen elért sebes-ség érték a vezérlés esetleges további korrigálása céljából. A vezérlésnél tehát nincs visszacsatolás.

Amennyiben az irányított rendszer valamely állapotának a lehetőség sze-rinti pontos fenntartása a cél, akkor a rendszert szabályozni kell! A beve-zetett vezérlő paraméter változtatása továbbra is feladat marad, hiszen a rendszer működését ezen vezérlőparaméter változással lehet befolyásolni.

Szabályozásnál azonban a célállapot jellemzői folyamatosan mérésre ke-rülnek és a vezérlésváltoztatás mértéke az elért aktuális állapot és a kívánt célállapot eltérése függvényeként automatikusan kerül beállításra, éspedig oly módon, hogy az aktuális és a célállapot eltérése mindig csökkenjen.

Az elmondottak alapján világos, hogy a szabályozás hatáslánca zárt kell, hogy legyen, és a kiadott vezérlési érték okozta állapotváltozási eredmény folyamatosan vissza kell hogy csatolódjon magára a további vezérlés ki-alakításra. A szabályozásnál tehát van visszacsatolás!

A dízelmotoros jármű példáját tekintve ki lehet tűzni a konstans haladási sebességre pl. a v1 sebességre történő szabályozás feladatát. Ekkor azt mondjuk, hogy az előírt (vagy parancsolt) rendszerállapot a v1 = áll. se-bességű haladás. A motor fordulatszáma a jármű sebességével meghatá-rozott függvény szerint kényszerkapcsolatban van, és az előírt v₁ sebessé-gű haladás állapotában n1–gyel egyenlő. A szabályozási feladatot most úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a motor n1 fordulatszámát a lehető legpon-tosabban tartani kell, és ezért folyamatosan mérjük az aktuális n motor-fordulatszámot, és kiértékeljük az előírt n₁ fordulatszámtól vett n = n - n1 eltérést, és ha ez pozitív értéket ad, akkor a motor töltését csökkentjük, ha pedig negatív értéket ad akkor a motor töltését növeljük az u vezérlés

megfelelő, automatikus változtatásával. A vezérlés mindaddig változik, amíg az előírt n1 fordulatszámértéktől vett n = n - n1 eltérés abszolút ér-tékében valamely előírt  pontossági korlátnál nagyobb eltérés van jelen.

A 114. ábrán blokkvázlatokkal érzékeltetjük a vezérlés és a szabályozás hatásláncának jellegzetes eltérését, nevezetesen azt, hogy a vezérlés ha-táslánca nyitott és nincs visszacsatolás, míg a szabályozás hatáslánca zárt és van visszacsatolás. Az alkalmazott jelölések megfelelnek a koráb-bi magyarázatban szereplő mennyiségeknek, csupán a x értékel kapcso-latban kell elmondani, hogy az a kívánt fordulatszám érték eléréséhez a befecskendező szivattyú állító karján a megfelelő elmozdulás értéket jelö-li, amelyik majd kialakítja a megfelelő u töltés-vezérlést.

vezérlő egység

motor munka-folyamat

befecskende-ző szivattyú

tehetelen tömegek vezérlő u

egység

motor munka-folyamat

befecskende-ző szivattyú

tehetelen tömegek vezérlő

egység

motor

munkafo-lyamat

befecskende-ző szivattyú

tehetetlen tömegek

x Me

Mm

n1 u

A vezérlés nyílt hatáslánca

A szabályozás zárt hatáslánca Me

Mm

u n

n1 tehetetlen

tömegek motor

munkafo-lyamat

befecskende-ző szivattyú szabályozó

egység

x

n

114. ábra A vezérlés és a szabályozás blokkvázlata.

7 Mintafeladatok

7.1 1. Gyakorló feladat: mérési eredmények feldolgozása

Egy hengeres alkatrészeket gyártó szerszámgép beállításait méréssel kí-vánjuk ellenőrizni. Ehhez egy 10 darabból álló mintát veszünk a gép által készített alkatrészekből, melyek átmérőjét ezredmilliméteres pontossággal megmérjük. A 10 független mérés eredményét a táblázat tartalmazza.

i 1 2 3 4 5

di (mm) 99.983 99.951 99.962 99.968 99.970

i 6 7 8 9 10

d_i (mm) 99.957 99.976 99.984 99.965 99.979 4. Táblázat. Az átmérőmérés adatai

a.) Határozza meg a mért eredmények számtani átlagát és korrigált ta-pasztalati szórását!

b.) Adja meg az első 5 mérésre vonatkozóan a relatív hiba számértékét!

c.) Az átmérőmérés relatív hibáiból kiindulva határozza meg a kereszt-metszetek relatív hibáit az első 5 mérésre vonatkozóan!

d.) Feltételezzük, hogy a mérési eredmények Gauss-eloszlást követnek.

Írja fel az alkatrészek átmérőinek jellemzésére alkalmas valószínűségi sűrűségfüggvényt!

e.) A szerszámgép beállításai akkor megfelelőek, ha az általa készített al-katrészek legfeljebb 5%-a selejt. Az átmérőre vonatkozó előírás Ø100 h8 = Ø100 _0⁰_.054, vagyis a névlegesen 100 mm-es átmérővel rendelke-ző alkatrész megfelelő, ha átmérője 99.946 mm és 100.000 mm között van. A minta alapján megfelelőek a szerszámgép jelenlegi beállításai?

f.) A gép által gyártott alkatrészeket két különböző sorozatban gyártott berendezésbe építik be. Ebből az egyik típusba csak az Ø100 g6 = Ø100^_⁰₀^._.⁰¹²₀₂₇ tűrésmezőbe eső alkatrész a megfelelő, vagyis a kész dara-bok átmérőinek 99.973 mm és 99.988 mm között kell lenniük. A je-lenlegi beállításokkal működő szerszámgép a minta alapján várhatóan mekkora részben készít ebbe, a szigorúbb tűrésmezőbe eső alkatré-szekből?

Megoldás:

a.) A mérések számtani átlaga (2.3.2. fejezet)

mm

korrigált empirikus szórása pedig

 

b.) Jelen esetben csak a látszólagos relatív hiba értéke adható meg, mivel a pontos érték nem ismert, csupán annak torzítatlan statisztikai becslé-se, a véges minta számtani átlaga áll rendelkezésünkre (2.6. fejezet).

n

c.) A keresztmetszet nagysága az átmérő négyzetének konstansszorosa. A linearizált hibaterjedés alkalmazásával a hatványkifejezés relatív hibá-ja megadható a hatványalap relatív hibáhibá-ja és a hatványkitevő szorzata-ként (2.7.1. fejezet). Esetünkben

di

d.) A Gauss- vagy normális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye

  ^{ 2} érték és a σ szórás (2.4.4. fejezet). A rendelkezésünkre álló véges min-ta esetén ezek torzímin-tatlan becsléseit, vagyis a számmin-tani átlagot és a kor-rigált tapasztalati szórást használhatjuk. Így m  d_n és σ ≈ sd* helyet-tesítéssel a keresett sűrűségfüggvény

  körüli ±2 szórásnyi intervallumba esés valószínűsége 95.4%. Esetünk-ben tehát a minta szerint felvett sűrűségfüggvény értelméEsetünk-ben a szer-számgép által készített alkatrészek 95.4%-ának átmérője

mm

Mivel ez az intervallum keskenyebb, mint a h8 tűrésmező által kijelölt [99.946 mm, 100.000 mm] intervallum, ezért a gép jelenlegi beállításai megfelelőek.

f.) A valószínűségi sűrűségfüggvény területarányos az intervallumba esés valószínűségével (2.4.4fejezet). Tehát annak a valószínűsége, hogy a  valószínűségi változó értéke az [a,b] zárt intervallumba esik, éppen egyenlő az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti területtel az [a,b]

intervallum felett. Matematikailag kifejezve:  ^ ^



 

Feladatunk tehát a megadott intervallum felett az f(x) sűrűségfüggvény Riemann szerinti határozott integráljának kiszámítása. Mivel f(x) zárt alakban nem integrálható, vagyis nem határozható meg a primitív függvénye, ezért a keresett integrált csak numerikus közelítéssel adhat-juk meg. A keresett területet trapézzal közelítjük.

TER = Pda,b

115. ábra A gép által gyártott alkatrészek átmérőinek f(x) valószínűségi sűrűségfüggvénye

Ennek lényege, hogy az integrál numerikus közelítése könnyen megha-tározható az intervallum határain felvett f(a) és f(b) függvényértékek, ill. az intervallum (b-a) szélessége segítségével. Ezt szemléltetik a 115.

és 116. ábrák.

116. ábra. Az adott intervallumba esés valószínűségének becslése a sűrű-ségfüggvény alatti terület trapézzal történő közelítésével

Esetünkben az alkatrészek d átmérőjének kell az a = 99.973 mm és a b

= 99.988 mm határok közé esnie. Az f(x) sűrűségfüggvény görbéje alatti terület közelítően az ábrán vázolt trapéz területével egyenlő:

 

         

%.

40 . 32 3240 . 0 015 . 0 2

916 . 8 287 . 34

2 ,





 







 





 ^{a b}



^{f x dx f a f b b a}

d

b

a

P

Az ábráról az is leolvasható, hogy az így kiszámított terület a tényle-gesnél valamivel kisebbre adódik.

Megjegyzés: A trapézzal való közelítés csak olyan esetben használható nagy biztonsággal, ha a függvény görbéje az adott szakaszon jó közelí-téssel egyenes. Egyéb esetben az eredmény nagyon messze eshet a kö-zelített terület valódi nagyságától.

7.2 2. Gyakorló feladat: regressziós görbe illesztése mérési adatokra Egy vasúti személykocsi alapellenállásának meghatározását méréssel kí-vánjuk elvégezni. A mérés során a kocsit sík, egyenes pályán, szélcsendes időben, adott értékekre beállított sebességgel vontattuk és mértük a vonó-készüléken átadott erő nagyságát. A mérés vázlatát a 117. ábra mutatja. A méréssel meghatározott összetartozó sebesség- és vonóerő értékeket a táblázat tartalmazza.

117. ábra. Vasúti kocsi alapellenállásának mérése

vi (km/h) 20 40 60 80 100

Fvi (kN) 0.81 1.06 1.38 1.87 2.29

5. Táblázat. Mért menetellenállás értékek

a.) Fizikai ismeretekre alapozva tudjuk, hogy a kocsi alapellenállása a haladási sebesség kvadratikus függvénye lesz. Írja fel a legkisebb négyzetek módszere értelmében a célfüggvényt az alapellenállás Fv0(v)

= a∙v² + b alakú közelítő sebesség-függvénye esetére! Az összefüg-gésben [Fv0] = kN és [v] = km/h .

b.) Vezesse le a közelítő függvény a és b együtthatójának meghatározásá-ra alkalmas összefüggéseket és határozza meg a két pameghatározásá-raméter optimá-lis értékét!

c.) Mennyi a célfüggvény minimális értéke?

Megoldás:

a.) Feladatunk egy kétparaméteres parabola illesztése a méréssel meghatá-rozott ponthalmazba úgy, hogy a görbe „összességében” a legjobban közelítse azt (2.8. fejezet).

Megjegyzés: FONTOS! A regressziós görbe illesztése nem interpolá-ció, azaz előfordulhat, hogy az eredményül kapott optimális görbe egyetlen mérési ponton sem megy keresztül. A görbe optimális volta most annyit jelent, hogy az előírt alakú görbe – az illesztési

feltételek-nek megfelelően – a lehető legközelebb halad minden mérési ponthoz.

A legkisebb négyzetek módszere az ordinátairányú eltérések minimali-zálását jelenti. Eszerint minden (xi, yi) mérési pont távolsága az illesz-tett f(x) regressziós görbétől y irányban mérendő, előjeles nagysága pedig d_i = y_i - f(x_i). Tekintve, hogy a pozitív és negatív eltérések egy-szerű összegzés esetén kiolthatnák egymást, a négyzeteiket vesszük fi-gyelembe. Így az i-edik mérési ponthoz tartozó négyzet területe TERi = [y_i - f(x_i)]². A cél ezen területek összegének minimalizálása, vagyis a legkisebb négyzetek elve szerinti célfüggvény n mérési pont esetében

általánosan a

  

  

 















n

i

n

i

i i i

n

i

i d y f x

TER

1 1

2 2 1

min! alakba ír-ható. A Φ célfüggvény változói az illesztendő f(x) görbe paraméterei lesznek. Az ismertetett eljárást a 118. ábra szemlélteti.

118. ábra. A legkisebb négyzetek módszere

A feladatban a független változó a v sebesség, az illesztendő görbe pe-dig az alapellenállás Fv0(v) = a∙v² + b alakú sebesség-függvénye. A cél-függvény tehát most a  ^, 

   

^min!

1

2  2 











 n

i

i

vi a v b

F b

a alakot ölti.

b.) Általános esetben egy kétváltozós függvény globális minimumhelyé-nek megkeresése igen összetett feladat. Az általunk vizsgált esetben azonban – tekintettel a feladat természetére és a felvett célfüggvény alakjára – a minimumhely azonosításához elégséges feltételt jelent a célfüggvény parciális deriváltjainak eltűnése.

A Φ(a,b) célfüggvény parciális deriváltjait akkor kapjuk meg, ha a

függvényt először az a független változója szerint differenciáljuk úgy, hogy közben a másik, b változót konstansnak tekintjük; illetve fordít-va. Az így kapott a-tól és b-től függő két kifejezést zéróval egyenlővé téve egy két egyenletből álló algebrai egyenletrendszerre jutunk a két ismeretlen paraméterre nézve. Ez az ún. Gauss-féle normálegyenletek rendszere. Ennek megoldása adja meg a paraméterek keresett optimális értékeit.

parciá-lis deriváltjai rendre a következők:

 

   

Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk az összetett függvények diffe-renciálására vonatkozó lánc-szabályt és kihasználtuk a differenciálás összegtartó tulajdonságát.

A kapott egyenletrendszer megoldásával az optimális a és b paraméte-reket a mérési adatokra támaszkodva meghatározó összefüggésekre ju-tunk.



Az elvégzett műveleteket könnyebb áttekinteni, ha a (*) egyenletrend-szerben szereplő konstansokat egyszerűbb jelölésekkel helyettesítjük.

Legyen például:

. Ekkor a megoldandó egyenletrendszer a



Kifejezve a második egyenletből b-t:

n k a b k³   ¹



ezt behelyettesítve az első egyenletbe: 0

2

Az együtthatók számértékei a mérési adatok alapján a következők:

.

Ezekkel a paraméterek optimális értékei pedig az alábbiak lesznek:

2

Tehát az alapellenállás legkisebb négyzetek módszere értelmében op-timális paraméterekkel rendelkező közelítő függvénye az

lesz, amelybe a v sebesség értékét km/h-ban kell behelyettesíteni. Ezt mutatja a 119. ábra.

F_v0(v) = 0.0001546∙v² + 0.8017 (kN)

119. ábra. A mérési adatokra illesztett regressziós parabola

c.) A célfüggvény értéke a fent kapott optimális paraméter-értékek behe-lyettesítése esetén lesz minimális, hiszen a célfüggvény a regressziós görbe és a mérési pontok ordinátairányú eltéréseinek négyzetösszegét adja meg.

7.3 3. Gyakorló feladat: csavarvonal menti mozgás vizsgálata

Egy állandósult üzemállapotban működő hajócsavar egyik pontjának ki-nematikai viszonyait szeretnénk feltérképezni. A vizsgálat során alkalma-zott koordináta-rendszer origója a t0 = 0 s időpillanatban a hajócsavar sík-jában, a forgástengely középpontjában van a 120. ábra szerinti elrende-zésben. A hajó (x irányú) haladási sebessége v = 50 km/h és állandónak vehető. A hajócsavar átmérője D = 8 m, állandó fordulatszáma pedig n = 120 1/min. Tekintsük az egyik csavarlapát kerületi pontját, melynek

hely-zete a t0 időpillanatban az r₀  i j k 2 0

0 D

helyvektorral adható meg.

x

y

z n

120. ábra. A hajócsavar vizsgálatának koordináta-rendszere

a.) Írja fel a vizsgált pont hely- és sebességvektorának időbeli változását leíró összefüggéseket és ezek alapján határozza meg a vizsgált pont hely- és sebességvektorát a t = 1.25 s időpillanatban!

b.) Határozza meg a csavarlapát vizsgált pontja által a fenti idő alatt befu-tott út nagyságát!

Megoldások:

a.) A vizsgált pont csavarvonal mentén fog egyenletesen mozogni. A helyvektor felírásához célszerű a mozgást két komponensére bontva elemezni, azaz az x irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást és az y-z síkkal párhuy-zamos, x tengely mentén moy-zgó síkban y-zajló egyenletes körmozgást kell jellemezni.

A mindenkori helyvektor x koordinátáját tehát az r_x t v_xt össze-függés adja meg, miközben az y és z koordináták értékeit a 121. ábra szerinti egyenletes körmozgást leíró összefüggésekből nyerhetjük.

Ha az egyenletes körmozgás állandó szögsebessége , akkor a t0 = 0 s időpontban éppen a z tengelyen, az origótól R távolságra tartózkodó pont koordinátái rendre r_y t  Rsin t és r_z t  Rcos t lesz-nek, mivel a  szögelfordulás a   ^t összefüggéssel számítható.



R∙sin(φ)

R∙cos(φ)

R

121. ábra. Az egyenletes körmozgás jellemzői

Ha figyelembe vesszük még azt is, hogy a körpálya R sugara éppen a hajócsavar D átmérőjének a fele, továbbá az egyenletes körmozgás szögsebessége a fordulatszám 2-szerese, vagyis   2 n, akkor az r helyvektor tetszőleges t időpontbeli értéke a következő lesz:

  i   j   k

A vizsgált pont sebességvektorát definíció szerint a helyvektor idő sze-rinti első deriváltjaként kapjuk meg:

       

A fenti összefüggésekbe helyettesítve az adott mennyiségeket a hely-vektor és a sebességhely-vektor koordinátáinak számértékeit is meghatároz-hatjuk.

A hajócsavar szögsebessége

s

a csavarlapát vizsgált pontjának helyzetét megadó vektor a t = 1.25 s időpontban:

     

sebességvektora pedig

     

A kapott eredményeket a 122. ábra szemlélteti, melyen feltüntettük a vizsgált pont mozgásának pályáját, valamint a helyzet- és sebességjel-lemző vektorokat a t = 0 s és a t = 1.25 s időpillanatokra vonatkozóan.

v(t)

r(t)

v0

r0

122. ábra. Csavarvonal menti mozgás eredménye

b.) A csavarlapát vizsgált kerületi pontja által befutott út nagysága a fent ábrázolt csavarvonal-darab hosszával egyenlő. Mivel az ív-hossz-koordináta mentén egyenletes mozgásról van szó, a megtett út kiszámításának talán legegyszerűbb megoldása az, ha az időben állandó nagyságú sebességvektor abszolút értékét megszorozzuk a mozgás időtartamával. Ha tehát az előző pontban kapott v(t) sebes-ségvektor hossza

 

keresett út, vagyis a mozgáspálya ívhossza

 t   t t  52.144 1.25  65.180 m

s v .

7.4 4. Gyakorló feladat: hajtásrendszer vizsgálata

Egy villamosmotor szíj segítségével kétfokozatú fogaskerék-hajtóművet hajt. Az elrendezés vázlatát a 123. ábra mutatja.

123. ábra. A vizsgált hajtáslánc elrendezése

A motor névleges fordulatszáma nm = 3600 1/min, üresjárási vesztesége Pv0 = 1.4 kW, teljes terheléskor a hálózatból P1100 = 39 kW villamos telje-sítményt vesz fel, miközben félterhelés mellett P150 = 19.8 kW a teljesít-mény-felvétele.

A motor tengelyére ékelt szíjtárcsa átmérője dsz1 = 175 mm, a fogaskerék-hajtómű behajtótengelyén elhelyezett tárcsa átmérője dsz2 = 350 mm, a szlip értéke s = 4 %. A szíjban legfeljebb F = 1500 N erő ébredhet.

A fogaskerék-hajtómű két azonos fokozatot valósít meg. A kisfogaskere-kek fogszáma zf1 = 25, gördülőköri átmérőjük df1 = 275 mm. Egy fogaske-rék-kapcsolat hatásfoka ε fok = 99 %.

a.) Határozza meg a hajtó villamosmotor névleges terhelését és hatásfo-kát! Adja meg a motor optimális terhelésének és hatásfokának értékét!

Írja fel és ábrázolja a motor hatásfokának alakulását a hasznos telje-sítmény függvényében a megadott pontokban, illetve 0, 10, 20 és 30 kW terhelésnél!

b.) Mekkora legnagyobb erővel szabad a szíjat előfeszíteni?

c.) Határozza meg a fogaskerék-hajtómű nagyfogaskerekeinek gördülőkö-ri átmérőjét és fogszámát, ha a rendszer kihajtótengelyének fordulat-száma névleges motorfordulatszám mellett nki = 570 1/min! Adja meg az erőátvitel eredő fordulatszám- és nyomatékmódosításának, illetve hatásfokának értékét!

Megoldás:

a.) Villamosmotor esetében a változó veszteségteljesítmény a hasznos (le-adott) teljesítmény másodfokú függvénye (3.7. fejezet), így az

P félterhelés mel-lett. Ha az előbbit kifejezzük a hasznos teljesítmény segítségével, ak-kor az alábbi egyenletrendszer adódik:

 

A fenti algebrai egyenletrendszer két ismeretlene a P2n névleges hasz-nos teljesítmény és a változó veszteség kifejezésében szereplő c együttható. Ha kivonjuk a második egyenlet négyszeresét az első egyenletből, akkor a

0 2

150

1100 4 P P_n 3 P_v

P     

egyenletet kapjuk, melyet rendezve a névleges hasznos:

kW

lesz. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe a c konstans is megha-tározható: ^P₁₁₀₀  ^P_2n  ^P_v0 ^c^P₂²_n, melyből c-t kifejezve

A motor hatásfoka a névleges teljesítmény leadásakor:

%

Az előzőek alapján a villamosmotor hatásfoka felírható a hasznos tel-jesítmény függvényeként is:

 ₂

A motor optimális terhelése az a P₂^* hasznos teljesítmény lesz, mely mellet hatásfokának értéke maximális. A hatásfokfüggvény maximu-mának szükséges feltétele, hogy deriváltja zérus legyen:

 

 

Megjegyzés: A deriváláskor alkalmaztuk a törtfüggvények differenciá-lására vonatkozó szabályt:

g2

A kapott tört csak akkor lehet egyenlő nullával, ha a számlálója zérus, vagyis P_v0 cP₂^*2  0, azaz P_v0  cP₂^*2. Fogadjuk most el további magyarázat nélkül, hogy esetünkben ezen feltétel teljesülése elégséges a hatásfok maximumhelyének azonosításához. Így az optimális terhe-lés értéke

Megjegyzés: Az optimális terhelés értéke meghatározható „geometriai”

úton is. A motor korábbiakban felírt hatásfokfüggvénye átalakítható a következőképpen:

A hatásfok tehát a veszteség- és a hasznos teljesítmény arányától függ.

Minél kisebb a P_v/P₂ arány, a hatásfok annál nagyobb lesz. Ha most ábrázoljuk a gép veszteségteljesítményét a hasznos teljesítmény függ-vényében, akkor láthatjuk, hogy ez a hányados éppen egyenlő az origót a függvény görbéjének bármely pontjával összekötő egyenes α szögé-nek tangensével. Így a hatásfok értéke akkor lesz maximális, ha tg α = min! Ez akkor áll fenn, ha az origóból húzott egyenes éppen érinti a veszteségfüggvény görbéjét. A viszonyokat a 124. ábra szemlélteti.

α ^P2*

Pv0

Pvv 2

2

tan 0

P P P

P

P_{v vv v}

 

 

124. ábra. Villamos gép optimális terhelésének meghatározása Vegyük még figyelembe, hogy a parabola bármely pontbeli érintője mindig felezi az érintési abszcisszát. Tehát kimondhatjuk, hogy az áb-rán kék színnel rajzolt érintő a 0-tól P2*

-ig Pv0 magasságban húzott vízszintes vonalat felezi. Az így létrejött két egyforma hosszúságú sza-kaszt jelöltük pirossal. Ekkor viszont annak a két derékszögű három-szögnek, melyeknek egy-egy befogója ez a két szakasz, továbbá ezen befogó melletti hegyesszögük az ábrán is megjelölt α, szükségképp egybevágónak kell lenniük. Így tehát azt olvashatjuk le az ábráról, hogy optimális terhelés esetén a villamos gép Pv0 állandó (üresjárási) és Pvv változó vesztesége azonos nagyságú lesz! Vagyis P_v0  cP₂^*2, ahogy azt az előző megoldás szerint is kaptuk.

A motor maximális hatásfokát ezek után az alábbi összefüggés adja meg:

% 323 . 92 92323 . 0 4 . 1 2 67492 . 33

67492 . 33

2 ₀

* 2

* 2

max  



 



 

Pv

P

 P .

A megadott további terhelések esetén is ugyanígy számítható a hatás-fok értéke. Az eredményeket és a hatáshatás-fok változását a terhelés függ-vényében a 125. ábra mutatja.

ε0 = 0, mivel P₂ = 0 W.

2 2 0

2 2

x v

x x

x P P c P

P





 

 , például

%.

276 . 92

%, 350 . 91

%, 779 . 86 86779 . 0 10 10 23457 . 1 4 . 1 10

10

30 20

2 10 3







 





  _







125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés függvényében b.) A szíjhajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy két tárcsa kerü-letére egy „végtelenített” szíjat feszítünk (3.4.2. fejezet). Ha az egyik

125. ábra. Villamos gép hatásfokának alakulása a terhelés függvényében b.) A szíjhajtással történő erőátszármaztatás lényege, hogy két tárcsa kerü-letére egy „végtelenített” szíjat feszítünk (3.4.2. fejezet). Ha az egyik

In document Általános járműgéptan (Pldal 160-200)