4.2 Folyadékáramlások
4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet
81. ábra A folytonosság tétele.
4.2.3 Az ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet
A 82. ábrán vázolt vékony áramcsőben kialakuló stacionárius áramlás jel-lemzéséhez tekintsük az áramcső két, nem egybeeső keresztmetszetét.
A vizsgált áramcső belépő keresztmetszetét az 1, a kilépő keresztmetszet-ét pedig a 2 index azonosítja. Az 1 jelű pontban az áramlási sebesség v1 nagyságú, a nyomás p1 nagyságú, míg a pont valamely referenciasíktól számított magassága h1. A 2 jelű pontot hasonlóképpen a v2, p2 és h2 ér-ték-hármas jellemzi. Az áramló folyadék fajlagos össz-munkaképességét leggyakrabban a folyadéksúlyegységére eső mozgási energia (kinetikus energia) értékéből, a súlyegységére eső helyzeti energia értékéből és a fo-lyadék súlyegységre vonatkoztatott nyomásból származó (külső), munka-képességéből számított összeggel jellemezzük.
A v
1
1
A
2 v p
2 2h
2p
1h
182. ábra Bernoulli egyenlet.
A most bevezetett, a folyadék súlyegységére fajlagos munkaképességek magasság mértékegységet kapnak, mivel W munka és FG súlyerő esetén a W/FG hányados mértékegysége: [W/FG] = Nm/N = m. A elmondottak alapján mindig szem előtt kell tartani a bevezetett "magasság" megneve-zések energetikai tartalmát. Hangsúlyozni kell, hogy míg a fajlagos kine-tikus energia és a fajlagos helyzeti energia a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, addig a nyomásból származó fajlagos munkaképesség nem a tekintett súlyegységbe zárt anyagmennyiséghez kötött érték, hanem kívülről, a vizsgált, egységnyi súlyú anyagmennyiség-re kívülről, a környezetében uralkodó folyadéknyomásból eanyagmennyiség-redő átvitt munkaképesség. Ezek után megadjuk a bevezetett fajlagos munkaképes-ségek rövid megnevezéseit:
fajlagos mozgási energia: v2/2g sebességmagasság,
nyomásból származó fajlagos
munkaképesség: p/g nyomásmagasság,
fajlagos helyzeti energia: h geometriai magasság.
A fentiekben elmondottak alapján a veszteségmentes, stacionárius áram-lásra vonatkozó Bernoulli egyenletet, mint az össz-munkaképesség áram-cső menti megmaradási tételét fogalmazhatjuk meg. Ha a szóbanforgó össz-munkaképesség e = v2/2g + p/g + h, akkor alkalmazva az össz-munkaképesség megmaradására vonatkozó elvet az 1 és 2 jelű kereszt-metszetekre, akkor előbb az e1 = e2 egyenlőséget, majd kifejtett alakban a
v12/2g + p1/g + h1 = e1 = e2 = v22/2g + p2/g + h2 .
egyenlőségsort írhatjuk fel, ami a stacionárius áramlásra vonatkozó Ber-noulli-egyenlet alapformája. A felírt összefüggésben a vékony
áramcső-darab végkeresztmetszetein érvényes 6 fizikai jellemző közötti implicit függvénykapcsolat került megfogalmazásra a következő elvi felírás sze-rint:
F(v1,p1,h1,v2,p2,h2) = 0.
A Bernoulli egyenlet konkrét alkalmazásai során azonban a szereplő 6 változó közül végül is csak egy változó maradhat ismeretlen, a többi ötöt vagy az előfeltételek (pl. geometriai magassági viszonyok), vagy a konti-nuitási tétel (a térfogatáram állandósága) vagy mérések szolgáltatta ada-tok (pl. mért nyomások) alapján ismernünk kell.
Pl. 1.) A Bernoulli-egyenlet alkalmazása a Venturi-cső esetére
A géptani vizsgálatokban sok esetben szükség van valamely csővezeték-ben kialakuló térfogatáram méréses meghatározása. Ezt a méréses vizsgá-latot teszi lehetővé a Venturi-cső. A 83. ábra szerint a vízszintesen veze-tett állandó keresztmetszetű csővezetékbe egy szorosan egymáshoz kap-csolódóan kialakított kúposan szűkülő majd bővülő csőrészt építünk be (konfúzor és diffúzor).
m h
v
1p
1A
v
2p
2a
1 2
83. ábra Venturi-cső.
A csővezeték még eredeti alakú keresztmetszeténél és a kúpos szűkítő (konfúzor) legszűkebb, torkolati keresztmetszeténél a vizsgált csőrész tengelyére merőleges irányban nyomáskivezető csővégződést készítünk.
Így lehetővé válik a konfúzorba történő belépés előtt és a konfúzor torko-latánál fennálló nyomás kivezetése és a fennálló nyomáskülönbség méré-ses meghatározása. A nyomáskülönbség mérése az ábra szerinti U-csöves manométerrel történik. A vázolt elhelyezkedésű Venturi cső esetén is-merve a konfúzor előtti A keresztmetszeti felületet és konfúzor torkolat a
keresztmetszeti felületét, a v2 torkolati sebesség kifejezhető a kivezetett p1
és p2 nyomás p = (p1p2) különbségének ismeretében:
v2 = 2(p1-p2)/( (1(a/A)) .
A v2 sebesség ismeretében az időegység alatt átáramló térfogat (a térfo-gatáram) aQ = a v2 összefüggés alapján számítható. A képlet alkalmazá-sához szükséges p = (p1p2) nyomáskülönbség az Ucsöves manométer
h szinteltérése és a mérőfolyadék (pl. higany) m sűrűsége ismeretében (p1p2) = m gh alakban számítható.
Pl. 2.) Kiömlés tartályból
Sok mérnöki feladatok megoldása során szükséges valamely nagyméretű tartály kifolyónyílásán jelentkező térfogatáram ismerete. Amennyiben igen nagyméretű tartályt (elvileg végtelen nagy térfogatú tartály) vizsgá-lunk, akkor a tartálybeli folyadéktükör szintjének süllyedése a kifolyás el-ső rövid időszakában elhanyagolható. Feltételezve a jelzett időszakban a kifolyás stacionaritását, Bernoulli egyenlet írható fel a tartálybeli folya-déktükör 1 jelű és a kifolyónyílás 2 jelű keresztmetszete között (84. ábra).
A tartály nagy mérete miatt elfogadható, hogy v1 0. Így a kiömlési se-besség:
v2 = 2(p1 p2)/ 2g(h2 h1) .
A fenti képlet alapján két speciális kérdésre könnyen kaphatunk választ.
Az első kérdés: mi a helyzet, ha a tartály nyitott, azaz p1 = p0 is teljesül? A választ a Torricelli–féle kifolyási törvény adja:
v2 = 2g(h2 h1) .
. . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. .
. .
. .
. .
p
11
p
2= p
0v
2A
2h
22
h
184. ábra Kifolyás tartályból.
A második kérdés: mi a helyzet, ha a tartály légnemű közeggel van töltve, melynek súlya elhanyagolható. Ekkor a h1 – h2 helyzetienergia változás zérusnak vehető és kapjuk a gázkiáramlásra érvényes Bunsen–féle kifo-lyási törvényt:
v2 = 2(p1 p2)/ . 4.2.4 Folyadékszállítás dugattyús szivattyúval
Számos mérnöki rendszerben szükséges folyadéktömegek áthelyezése. Az áthelyezendő folyadéktömeget szivattyú alkalmazásával hozhatjuk moz-gásba és juttathatjuk el a kívánt helyen lévő tartályba. Ezen tantárgyban a térfogatkiszorítás elvén működő dugattyús szivattyú működését a 85. ábra alapján vizsgáljuk. A működés alapelve az, hogy külső energiaforrás fel-használásával a szivattyú periodikusan változtatott térfogatú térrészével kapcsoljuk össze az elszállítandó folyadékteret. A változó térfogatot a henger fala és változó helyzetű dugattyú felülete határolja. A munkatér növekedésekor a hengerben nyomáscsökkenés (depresszió) következik be és a külső folyadéktérből térfogatáram indul meg a munkatér felé. A hen-ger ezen szívási ütem alatti feltöltődése után a dugattyú ellenkező irányú mozgásba kezd és így a munkatér térfogata csökkenni kezd.
s
r
H A
hny
hsz p0
sz ny
85. ábra Dugattyús szivattyú.
A csökkenő térfogat miatt kialakuló túlnyomás következtében folyadék-áramlás indul meg a munkatérből kifelé. A távozó folyadéktérfogatot azu-tán alkalmas csővezetékkel a kívánt helyen lévő tartályba vezetjük. A tér-fogatáram időbeli lefolyását a dugattyú mozgása határozza meg. A fo-lyamatos működéshez a dugattyú periodikus ide-oda mozgatását a 85. áb-ra szerinti kulisszás hajtómű biztosítja. A nyomó- és a szívócsőben kiala-kuló térfogatáramlás időbeli lefutása instacionárius lesz, mivel a sebessé-gi viszonyok a kulisszás hajtómű szinuszos sebesség-törvényét követik.
Ha a dugattyúfelület A és a kulisszasebesség vx(t), akkor a pillanatnyi fo-lyadékszállítás a nyomócsőben a
) ( )
(t Av t Q x
képlettel írható fel. A 88. ábrán felrajzoltuk a nyomócsőben és a szívó-csőben megvalósuló térfogatáramok időbeli alakulását. Látszik, hogy a gép lévén egyszeres működésű, a nyomócsőben csak minden második félperiódus alatt van zérustól különbözö térfogatáram, azaz csak minden második löket „hasznos”. A szívócsőben kialakuló térfogatáram éppen egy félperiódussal van eltolódva a nyomócsőbeli térfogatáramtól. Itt is érvényes, hogy csak minden második löket „hasznos”. A diagramban víz-szintes szaggatott vonallal tüntettük fel a nyomócsőben és a szívócsőben azonos nagyságú közepes térfogatáram szintjét. A közepes térfogatáram értéke azonban könnyen felírható képletben is a kulisszás hajtómű tenge-lyének n másodpercenkénti fordulatszáma, az A dugattyúfelület, az s du-gattyúlöket tekintetbe vételével:
Q = A s n.
Q Q
szQ
nyQ _ . 0
t
. . .
86. ábra Egyszeres működésű dugattyús szivattyú térfogatszállítása.
Ha a szivattyúval az alsó tartály folyadékszintje fellett H magasságban lé-vő folyadékszinttel bíró nyílt tartályba kell a folyadékot feljuttatni, azaz a szállítómagasság H, akkor a folydékszállításhoz szükséges közepes hajtó-teljesítmény
P = g H Q
alakban adódik, ahol a szivattyú eredő hatásfoka. Fontos megjegyezni, hogy a szivattyú Hsz szívómagassága behatárolt érték, hiszen a szívócső-ben nem csökkenhet a nyomás az aktuális üzemi hőmérsékleten érvényes telített gőznyomás pt értéke alá, mert ellenkező esetben a folyadékoszlop elszakad. Ezért érvényesnek kell lennie a
g Hsz pt
relációnak. Tekintettel a folyadékszállítás instacionárius voltára, az űr-képződés elkerüésére adott fenti feltételen túlmenően még tovább kell korlátozni a szivattyú megengedett szívómagasságát, ennek a kérdésnek a részleteibe azonban most nem bocsátkozunk.
A dugattyús szivattyú folyadékszállítása növelhető, és egyenletesebbé te-hető kettős működésű kialakítással. Ennél a géptípusnál a 87. ábra szerint a dugattyú mindkét oldalán munkateret biztosítunk.
A vázolt hengerkialakítás, szelepelrendezés és csővezeték-kapcsolat ese-tén a gép a kulisszamozgás minden félperiódusában hasznos folyadék-szállítás történik mind a szívó-, mind pedig a nyomócsőben, azaz minden löketbefutás „hasznos”. A kettős működésű dugattyús szivattyú nyomó-csövében megvalósuló folyadékszállítás időfüggvényét és a közepes fo-lyadékszállítást megjelenítő konstans vonalat a 88. ábrán rajzoltuk fel.
Ekkor a közepes folyadékszállítás: Q = 2 A s n.
s
sz ny
87. ábra Kettős működésű dugattyús szivattyú.
Q _ . 0
t
ny
Q .
ny88. ábra A folyadékszállítás kettős működésű dugattyús szivattyúval.
A dugattyús szivattyú nyomócsövében igen nagy a folyadékszállítás in-gadozása. A folyadékszállítás egyenletességét jelentősen növelni lehet légüst (légrugós energiatároló) alkalmazásával. A 89. ábrán egy egyszeres működésű szivattyú nyomóvezetékébe épített légüstöt mutat.
q _ . 0
t
q q .
q
sz. q
ny.
p
köz p
t
.. .
.. . . . .
. .
.
p
. V
q
...
... ... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
q .
nyq
sz.
89. ábra Légüst alkalmazása.
A légüst működése azon alapul, hogy abban az időintervallumban, amikor a szivattyú pillanatnyi folyadékszállítása nagyobb a közepes folyadékszál-lításnál, a dugattyú által a nyomócsőbe továbbított folyadék egy része a légüstbe hatol az ott uralkodó levegőnyomás engedte mértékig (légrugó).
Amikor azután a pillanatnyi folyadékszállítás lecsökken a közepes folya-dékszállítás alá, akkor a légüstben jelen lévő folyadékot a légüstbe történt előző betöltési folyamat során megnövekedett levegőnyomás részben ki-tolja a légüst térfogatból, és ezzel a nyomócsőben kialakuló folyadékszál-lítás hiányt mintegy utánpótolva azt egyenletesebbé teszi.
Jelölje q a légüstben kialakuló legnagyobb levegőtérfogat-változás mér-tékét, a légüstbeli levegőnyomás változás legnagyobb értékét pedig p.
Feltételezve, hogy a légüstben a levegő állapotváltozása izotermikus (ál-landó hőmérsékleten végbemenő), a térfogatváltozási- és a nyomásválto-zási folyamatok egyenlőtlenségi fokainak
p köz köz köz
V p
p V
q V
V
közelítő egyenlősége adódik. Ebből az előírt p nyomásegyenlőtlenség el-éréséhez szükséges minimális légüstbeli levegőtérfogatot a következő képlet adja:
p köz
V q
.
4.2.5 Valóságos folyadékok veszteséges áramlása
A gépekben végbemenő áramlások közege valóságos folyadék. További vizsgálataink során figyelembe kell venni a folyadéksúrlódás okozta energiaveszteséget is. Hasonlóképp, a csővezetékekben alkalmazott kü-lönféle elzáró szerkezetek és idomdarabok is áramlási energiaveszteséget okoznak, ezek hatását is tekintetbe kell venni.
Viszkózus folyadék egyenes tengelyű, állandó keresztmetszetű vízszintes csőben végbemenő stacionárius áramlása során megvalósuló folyadéksúr-lódással kapcsolatos energia-disszipációs hatás a csővezeték két végpont-ja közötti nyomásesés tényében nyilvánul meg. Az a helyzet ugyanis, hogy a csőkeresztmetszet állandósága miatt a folytonosság tétele szerint a sebesség nem változhat a csővezeték mentén, ezért a sebességmagassá-goknak is meg kell egyezniük a cső két végpontjában. A kinetikus energia rovására tehát nem jelentkezik veszteség. Hasonlóképp, mivel a cső víz-szintes, a két cső végen a geometriai magasságok megegyezőek, ezért a helyzeti energia rovására sem jelentkezhet veszteség. Marad egyedüli harmadik lehetőségként a nyomásból származó munkaképesség rovására kialakuló veszteség. A 90. ábrán felrajzoltuk a szóban forgó r0 belső suga-rú csőben egy l hosszúságú vízszintes tengelyű hengeres folyadékelemre annak stacionárius tovaáramlása során fellépő fajlagos felületi erőket.
Ezek a henger két kör alakú fedlapján működő nyomások és a henger pa-lástján működő, csőtengely irányú és egyenletes eloszlású, a hengerbe zárt folyadék mozgását gátolni igyekvő viszkózus csúsztatófeszültségek.
r
0l v
v _
p
1p
290. ábra Súrlódásos folyadék áramlása csővezetékben.
Bizonyítható, hogy a vizsgált l hosszúságú, r0 sugarú körkeresztmetszetű egyenes cső esetén, ha abban dinamikai viszkozitású folyadék ál-landósult v_ keresztmetszetmenti átlagsebességgel áramlik, az áramlás fenntartásához szükséges nyomáskülönbség:
p1 p2 = 8 l v / r02.
A korábban tárgyalt ideális folyadékra vonatkozó Bernoulli egyenlet veszteségi taggal való kiegészítéséhez célszerű a veszteségmagasság fo-galmát. A definíció azon alapszik, hogy a veszteség miatt fellépő p1 p2 csőtengely menti nyomásesést a g konstanssal normálva magasság mér-tékegységben adódó fajlagos – a folyadék súlyegységére számított – munkaképesség csökkenést, veszteségjellemzőt kapunk. Az így értelme-zett veszteségmagasság képlete: h' = (p1 -p2) /g, mértékegysége [h'] = m.
4.2.6 A veszteséges Bernoulli egyenlet, csővezetéki áramlások
A veszteséges áramlások esetén a folyadéktér valamely áramvonala men-tén a folyadék össz-munkaképessége nem maradhat állandó, hanem a disszipáció miatt az áramlás irányában csökkennie kell. Az ideális áram-lásra vonatkozóan az előzőekben bevezetett munkaképességi mérleg-egyenletet egy munkaképesség-veszteségi tag bevezetésével módosítani kell:
e1 = e2 + e',
ahol e' a folyadék munkaképesség veszteségét magadó tag. A folyadék súlyegységre vetített munkaképességeivel magasság mértékegységben megfogalmazott alak a következőképp alakul:
v12/2g + p1/g + h1 = e1 = e2 + e' = v22/2g + p2/g + h2 + h'.
A h' veszteségmagasságot célszerű kifejezni valamelyik sebességmagas-ság segítségével h' = (l/d)(v2/2g) alakban, ahol a csősúrlódási tényező, l a vizsgált egyenes csőszakasz hossza, d pedig a cső belső átmérője.
A csősúrlódási tényező függ az áramlás réteges (lamináris 91. ábra) vagy gomolygó (turbulens 92. ábra) voltától. Az áramlás ezen két struktu-rális változatát a Reynolds féle szám kiszámításával tudjuk azonosítani.
v v _
91. ábra A lamináris áramlás sebességprofilja.
v v _
92. ábra A turbulens áramlás sebességprofilja.
A Reynolds számot csőáramlás esetén a Re =
vd
összefüggés értelmezi, ahol v a d belső átmérőjű csőben végbemenő áramlás keresztmetszetmenti átlag-sebessége. Ha Re 2320, akkor az áramlást laminárisnak nevezzük, és a csősúrlódási tényezőt a = 64/Re képlettel számíthatjuk. Ha Re 2320, akkor az áramlást gomolygónak, keveredőnek vagy turbulensnek nevezzük. A Re 105 tartományban a Blasius-formula használható, mely szerint 0,316/(Re)1/4. A turbulens áramlásban különböző felületi érdességű csövek esetén érvényesülő cső-súrlódási tényezőről az r0/k paraméter paraméterrel jellemzett görbesereg tájékoztat. Itt r0 a cső névleges belső sugara, k pedig a legnagyobb felületi érdesség terjedelem félértéke. Minél simább a cső belső felülete, annál nagyobb az r0/k paraméter értéke.
turbulens
lamináris
0,0015 0,05
Re
64
log Lépték
Re
log lépték
2320 2·105
500 15 130
r0/k
93. ábra A csősúrlódási tényező a Reynolds szám függvényében.
A csővezetékben lévő idomdarabok és elzáró szerkezetek okozta áramlási veszteségeket a h' = v2/2g veszteségmagassági tag formában jellemez-zük, ahol a veszteségtényezőt a csőidom geometriájának ill. a zárás mértékének függvényében táblázatból lehet kiolvasni. A 94. ábrán egy-szerű blokkvázlattal érzékeltetjük a veszteséges Bernoulli egyenlet által megfogalmazott munkaképesség mérleget, miszerint az 1-jelű keresztmet-szetben az egységnyi súlyú folyadék rész össz-munkaképessége fedezi a 2-jelű keresztmetszetben az oda érkezett egységnyi súlyú folyadékban meglévő össz-munkaképességet és az 1 2 áramlás során keletkező munkaképesség veszteséget.
e1 e2
e '
94. ábra Munkaképesség mérleg veszteséges áramlás esetén.
A súlyegységre vonatkoztatott munkaképességekkel megfogalmazott veszteséges Bernoulli-egyenlet alap alakja mármost a következő:
+ 2
2 2
2 2 2 1 1 2
1 h h
g p g h v g p g
v
.
A veszteséges áramlások kezelését a nagyméretű tartályból csővezetéken át történő, veszteséges kiáramlás példája szemlélteti. A 95. ábra szerinti nagyméretű tartály esetén ismét élni lehet a v1 0 közelítéssel. Ismert p0
és p1 nyomás, valamint adott l1, l2 és l3 csőhossza, továbbá ismert k cső-könyök ellenállási tényező mellett a feladat megoldható.
p1 1
p2 =p0
v2 A2 h2
2 h1 ... ..
... . .. .
. .... .. . . . .. . . .
l2 l1
l3
k
k
,d95. ábra Veszteséges kiáramlás tartályból.
Elsőnek meghatározzuk a veszteségmagasság kifejezését, figyelembe vé-ve, hogy mind a három csőszakasznak azonos d átmérője van, és ezért a bennük kialakuló sebesség végig v2 lesz:
g
Majd ezzel a veszteséges Bernoulli egyenlet a következő alakot nyeri:
h se-besség képlete előáll:
d k
4.3 Az impulzus tétel és alkalmazásai 4.3.1 Impulzustétel áramcsőre
Valamely m tömegű és v sebességvektorú anyagi pont impulzusvektora I= m v alakban meghatározott. Iránya a sebességvektor tartóegyenesére illeszkedik, és értelme megegyezik a sebességvektor értelmével. Az m tömeg, mint skalár együttható szerepel.
Tekintsük most az áramlási térben elhatárolt áramcsőrészbe zárt folyadék tömeg impulzusát a t időpontban. Ez a kiterjedt tömeg anyagi pontok vég-telen összességeként fogható fel, és ha a benne szereplő mi tömegű és vi
(t) sebességű anyagi pont impulzusa Ii(t)= mi vi(t), akkor az egész kiter-jedt folyadéktömegre a szereplő pontok impulzusvektorait vektoriálisan összegezni kell, és a t időpontbeli össz-impulzus I(t) = mi vi(t) alakban adható meg. A 96. ábrán a vizsgált áramcsőben tekintetbe vett folyadék-tömeg a folytonos vonallal megrajzolt A(t) zárt felület által határolt tér-részt foglalja el.
v
1
I
0 m
m
A ( ) t A
1A
2v
2 t t)
96. ábra Folyadéktömeg impulzusa.
Egy kicsi pozitív t 0 időnövekmény figyelembe vételével tekinthetjük a t időpontban az A(t) felülettel határolt folyadékelemek új helyzetét, a vizsgálatunk tárgyát képező folyadéktömeg a t idő alatt ugyanis tova-mozdul az áramcsőben és a t + t időpontban a szaggatott vonallal rajzolt A(t + t) zárt felülettel határolt térrészt tölti ki. Mivel a tömeg tovamoz-dult az áramcső mentén, az ellenőrzött tömegpontok most a t + t idő-pontbeli végállapotban az áramcső más sebességű pontjaiban vannak, mint a vizsgálat kezdeti t időpontjában voltak. Ebből következik, hogy az ellenőrzött folyadéktömeg t + t időpontbeli végállapotban fennálló I(t + t) össz-impulzusa különbözni fog a kezdeti t időponban fennálló I(t) össz-impulzustól. A t idő alatt tehát az impulzusvektorban változás történt. Figyelembe véve, hogy a tömegre ható eredő erőt az impulzus-vektor idő szerinti deriváltja definiálja, tekintsük a t időponttól és a t időtartamtól függő I(t,t) I(t t) I(t) impulzusváltozást, és ké-szítsük el ennek a t időtartam egységére vonatkoztató különbségi hánya-dost:
t t t t t
t t
I( , ) I( ) I( )
.
Ezen különbségi hányados t 0 melletti határértékét képezve kapjuk a t időpontban az A(t) felületben jelenlévő „ellenőrzött” folyadéktömegre ható eredő erőt :
t t t t t
t t t
Δt
Δt
) ( ) lim (
) , lim ( ) (
0 0
I I
F I .
Stacionárius áramlás esetén a fenti határértéket könnyen meg tudjuk hatá-rozni.
Legyen az áramlás stacionárius, és összhangban a 96. ábrával az áramcső belépő keresztmetszeti sebessége legyen v1, kilépő keresztmetszeti sebes-sége pedig legyen v2 , a stacionárius tömegáram legyen m . Ekkor t idő alatt a vizsgált áramcsőben lévő tömegpontok tovamozdulnak az áramcső mentén. Jelölje I0 az eredeti helyzetben lévő áramcső határoló felülete (A(t)) és a t idő után a tovamozdult helyzetben lévő áramcső határoló fe-lülete (A(t+t)) által körülzárt térfogatok közös részében lévő folyadék össz-impulzusát (96. ábra vonalkázott rész). A t idő alatti impulzus vál-tozás:
I = I0 + m v2 - (I0 + m v1) = m (v2 - v1).
Itt m a t idő alatt tovamozdult folyadéktömeg azon részét jelöli, amely a kilépő keresztmetszeten átlépve elhagyta az eredeti A(t) ellenőrző felü-lettel körülhatárolt térrészt. Behelyettesítve a nyert összefüggést a folya-déktömegre ható eredő F(t)erőre korábban általánosan megfogalmazott kifejezésbe, kapjuk a keresett erő explicit kifejezését:
v ,
Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket és képezve a határértéket
).
Figyelembe véve még, hogy a stacionárius áramcső két vizsgált kereszt-metszetében a v1 és v2 sebesség állandó, és hogy a éppen a stacionárius tömegáram értékét adja, kiadódik, hogy a t időpont-ban az eredeti kezdeti helyzetben lévő áramcsődarabba zárt folyadéktö-megre ható eredő erő az
F(t) = m (v2 - v1) képlettel van meghatározva.
4.3.2 Az impulzus tétel alkalmazásai, egyszerű turbinák
Az impulzustétel alkalmazás lehetőséget ad az egyszerű turbinák nyoma-ték, teljesítmény és hatásfok viszonyainak meghatározására. A 97. ábrán a folyadék hozzávezetést biztosító un. sugárcső kifolyónyílásán kilépő sza-badsugár radiális síklapátozású egyszerű akciós turbinát hajt.
A p
0
1
F
*u v
2v
1F
=
-2 r
97. ábra Lapátos kerék.
A vizsgált szabadsugár egy áramcső darabját elhatároló ellenőrző felület az 1 jelű ponttól a 2 jelű pontig tart. Tekintettel arra, hogy a lapátos ke-rékben véges számú lapát helyezkedik el, a kialakuló áramlás a lapátok periodikus bemerülése és kilépése miatt szaggatott jelleget ölt, a vizsgált áramcsőbeli áramlás instacionárius. Azonban, mivel a kerék egyenletes szögsebességű üzemével foglalkozunk, kijelenthető, hogy az áramcsőbeli sebességkép időbeli középértéke állandónak vehető – és az áramlás így un. „kvázi-stacionárius” (mintegy stacionárius) tulajdonságú. A stacioná-rius áramcsőre ható eredő erőre levezett impulzustétel kvázi stacionástacioná-rius áramlás esetén is érvényes, azonban ekkor csupán az eredő erő időbeli középértéke adódik eredményként.
A fentek előrebocsátása után meghatározzuk a lapátos kerék által leadott hajtónyomaték és hajtóteljesítmény időbeli középértékének nagyságát.
Tekintsük ehhez először az ellenőrzött folyadéktömegre a lapátozás és a folyadéksugár kölcsönhatása következtében ható erő középértékben vett alakulását az impulzustétel szerint. Mivel a vizsgált ellenőrző felület a 2-jelű keresztmetszetén a folyadék közepes kilépési sebessége mindig a ke-rék u kerületi sebességével egyezik meg, ezért az impulzustétel szerint az ellenőrzött folyadéktömegre ható közepes eredő erő
) (u v1 m
F
alakban adódik. Mármost a lapátos kerékre ezzel az erővel ellentetten a folyadékból kiinduló F = F erő működik és fejti ki az M = Fr =
r v u m( 1)
hajtó nyomatékot. Figyelembe véve a lapátos kerék köze-pes sugaránál a kerületi sebesség és a kerék szögsebessége közötti u = r
kapcsolatot, felírható a lapátos kerékre ható hajtó nyomaték a szögsebes-ség függvényében:
1) 1 2
(r v r mv r mr m
r F
M .
Ezzel meg van határozva a vizsgált egyszerű turbina M() nyomatéki jel-leggörbéje. Mint az leolvasható a kapott képletről, a hajtó nyomaték a ke-rék forgási szögsebesség függvényében lineárisan csökken és a hajtó nyomaték eltűnik, ha eléri a v1/r értéket, vagy ami ugyanaz, ha a kerék közepes sugarának u kerületi sebessége eléri a sugárcsőből érkező folya-dék 1-jelű pontbeli v1 sebességét. A kereket hajtó P2 teljesítményt az M() nyomatéki függvény szögsebességgel való beszorzása adja:
Ezzel meg van határozva a vizsgált egyszerű turbina M() nyomatéki jel-leggörbéje. Mint az leolvasható a kapott képletről, a hajtó nyomaték a ke-rék forgási szögsebesség függvényében lineárisan csökken és a hajtó nyomaték eltűnik, ha eléri a v1/r értéket, vagy ami ugyanaz, ha a kerék közepes sugarának u kerületi sebessége eléri a sugárcsőből érkező folya-dék 1-jelű pontbeli v1 sebességét. A kereket hajtó P2 teljesítményt az M() nyomatéki függvény szögsebességgel való beszorzása adja: