3.8 Gépek periodikus mozgásai
3.8.1 Harmonikus lengőmozgás
Mechanikai lengőrendszert úgy alakíthatunk ki, hogy egy tömeget alkal-mas húzó-nyomó rugóval egy helyt álló ponthoz kapcsolunk. Ha a töme-get kimozdítjuk az eredeti nyugalmi helyzetéből, akkor a kimozdítás so-rán a rugó ellenében munkát kell végeznünk, és ez a munka a rugóban, mint deformációs munka tárolódik mindaddig, amíg kezünkkel a tömeg mozgását meggátolva a rúgóerőt ellensúlyozzuk. Ha most elengedjük a tömeget, akkor a rugó visszatérítő ereje következtében a tömeg mozgásba kezd, és sebességének növekedésével kinetikus energiára tesz szert. A magára hagyott lengőrendszerben tehát energiaátalakulási folyamat indult el. A mozgás kezdetén csak a rúgóban volt felhalmozva deformációs munka, a megindult mozgás során ennek egy rész kinetikus energiává alakult. A megindult mozgásfolyamatnak azonban lesz egy pillanata, amikor a mozgó tömeg abba a helyzetbe kerül, ahol a kézzel történt kitérí-tés előtt nyugalomban volt. Mivel ebben a helyzetben nem volt rugódeformáció, ebben a helyzetben nincs deformációs munka a rugóban, hanem a kezdeti össz-energia most a középhelyzeten véges sebességgel átlendülő tömeg kinetikus energiájaként azonosítható. A középhelyzeten átlendült tömeg sebessége csökkenni kezd, mert a rugó most ismét defor-málódik. Elérkezik egy pillanat, amikor a tömeg sebessége zérusra csök-ken (ez a mozgás irányváltásának pillanat). Ekkor a rendszer össz-energiája ismét deformációs munka formájában a rugóban található. A tömegben tárolt kinetikus energia ebben az időpillanatban zérus. Az így elért helyzetből a mozgás indításakor kialakult folyamat ismétlődik meg a ellenkező mozgásértelem mellett. A zéró sebességről visszafelé induló tömeg kinetikus energiája növekszik, és a rugó megfeszítettségének csök-kenése miatt a rugóban tárolódó deformációs munka a kialakult kinetikus energia nagyságával csökken, hiszen az energiamegmaradás elve érvé-nyesül. A mozgás-indítás után T idő elteltével a vázolt folyamat arra ve-zet, hogy a tömeg ismét eléri a mozgás indulásakor felvett pillanatnyi helyzetét. A jelzett fizikai folyamatok – ha egyéb energiaelvezetés vagy energia hozzávezetés nem befolyásolja rendszert – egybevágó formában ismétlődnek T idővel jellemzett periódussal, és egy hosszabb, több perió-dust átfogó mozgásfolyamat alakul ki. Érzékelhető tehát, hogy a kialakult lengőmozgással párhuzamosan folyamatos energiaáramlás és energiafor-ma átalakulás megy végbe. A lengőrendszer tehát két energiatárolót
tar-talmaz, a tömeget, mint kinetikusenergia-tárólót és a rugót, mint deformá-ciósenergia-tárolót.
Jelen vizsgálatainkban csak lineáris karakterisztikájú rugókkal bíró lengő rendszerrel foglalkozunk. Az 51. ábrán felrajzoltuk ugyanazt a hengeres csavarrúgót deformálatlan és az F nyomóerővel deformált állapotban, fel-tüntettük továbbá a deformáció és a rugóerő kapcsolatát magadó F = F(y) lineáris rugódiagramot is.
y
F=0
F
s = tg F = s y
F
51. ábra Lineáris karakterisztikájú rugó és rugódigramja.
Az y deformáció függvényében homogén lineáris változású F rugóerő az F = s y függvénykapcsolattal adható meg, ahol a szereplő s együttható a rugó „merevsége”, mely merevség mértékegysége nyilvánvalóan: [s] = N/m. Az s merevség mellett c = 1/s reciprokát is használhatjuk a rugó jel-lemzésre. Ez a reciprokként értelmezett mennyiség az un. „rugóállandó”, melynek mértékegysége: [c]= m/N. A rugó merevsége tehát „egységnyi rugódeformációt okozó erő nagyságával” van definiálva, míg a rugóál-landó mint „egységnyi erő által okozott rugódeformáció nagyságával”
van meghatározva.
A lengőrendszer mozgásviszonyainak tanulmányozásához tekintsük az 52. ábrát! A felső ábrarész a lengő rendszer nyugalmi állapotát jeleníti meg, az alsó ábrarész pedig a tömegközéppontot jobbra y-nal kitérített ál-lapotban a lengés megindulását megelőző helyzetben ábrázolja.
Az egyensúlyi helyzetéből jobbra az y elmozdulás-vektorral jellemzett helyzetben lévő tömegre F = s y vízszintes irányú, balra mutató értelmű visszatérítő erővektor működik. Mivel más erőhatás a tömegre nem hat, ez a „kitérésfüggő” F erő egyben a tömegre ható vízszintes eredő erő is.
Newton II. axiómája szerint az eredő erő egyenlő a tömeg és a gyorsulás szorzatával.
F
y s
m
52. ábra Lengőrendszer.
Érvényesítsük ezt a törvényt a lengő rendszerünk tömegére. A tömeg gyorsulása az időfüggő y(t) kitérés-vektor időszerinti második deriváltja.
Ezzel és a rugalmas visszatérítő erőre kapott előbbi F = s y összefüggés szerint az F = m a összefüggés a következő vektoros függvényegyenlet alakot nyeri:
) ( )
(
) ( (t) ), ( )
(t my t F -sy t my t sy t
F .. .. .
Valamely függvényegyenlet ismeretlene egy függvény az értelmezési tar-tománya feletti teljes menetében. A lengési kitérésre felírt függvény-egyenlet megoldása egy olyan y(t) vektorértékű időfüggvény megtalálását jelenti, amelyet második deriváltjával együtt visszahelyettesítve a függ-vényegyenletbe, azt mindet t-re azonosan kielégíti.
A nyert vektoros függvényegyenletet az egyszerűbb kezelés érdekében skalár függvényegyenletté alakítjuk. Tekintsük ehhez a jobbra mutató po-zitívnak tekintett e egységvektort, ezzel a kitérés és a gyorsulás vektorér-tékű időfüggvények így írhatók fel:
e y
e
y(t) y(t) , ..(t) .y.(t) ,
Ahol y(t)és y ..(t)már skalárértékű időfüggvények. A mozgást jellemző vektoros függvényegyenlet a bevezetett kifejezésekkel rendezés után az
e e e
e e
y
y(t)s (t) m y(t) sy(t) [m y(t) sy(t)] 0
m .. .. ..
alakot nyeri. Figyelembe véve az egyenlőség-sor jobb oldali két utolsó ki-fejezésével kapcsolatosan azt a tényt, hogy azonos e egységvektorral kife-jezett két mennyiség minden t időpontra fennálló egyenlősége (azonos egyenlősége) maga után vonja az együtthatóként szereplő skalár szorzók
minden t-re való egyenlőségét a már skaláris y(t)ismeretlen függvényre vonatkozó
t t
sy t y
m ..( ) ( ) 0,
függvény-egyenletet kapjuk.
A kívánt y(t) megoldásfüggvényt kísérletező feltevés alkalmazásával, és a megoldás kritérium teljesülésének ellenőrzésével határozzuk meg.
A kísérletező feltevést a kialakuló lengési folyamat periodikusságára vo-natkozó fizikai ismeretünk alapján célszerű szinuszos függvény alakjában keresni. Ennek megfelelően tekintsük hipotetikus megoldásnak az
) sin(
)
(t A t y
skalár függvényt, ahol A, és három egyelőre ismeretlen konstans pa-raméter.
A kísérletező feltevés helyességének ellenőrzése céljából kétszer derivál-juk a megválasztott hipotetikus megoldásfüggvényt:
) sin(
) ( , ) cos(
)
(t A t y t A2 t
y. .. .
A hipotetikus megoldásfüggvényt és második deriváltját most visszahe-lyettesítjük a függvényegyenletbe, és megvizsgáljuk, hogy az ismeretlen paraméter-hármas valamilyen értéke mellett teljesíthető-e a megkívánt azonosan nulla tulajdonság. A behelyettesítés után az
t t
A s t
A
m[ 2sin( )] [ sin( )] 0,
egyenlőség azonosan, minden t-re való fennállását kellene érvényesíteni.
Mivel a tényleges időfüggést adó sin függvény mindkét tagban azonos ar-gumentummal szerepel, a feladat sikeres megoldása nem látszik lehetet-lennek. Az együtthatókat kell tehát összehasonlítani, és megfelelő kritéri-umot előírni a bevezetett A, és paraméterekre. Valóban, ha érvényesít-jük az
sA mA2
követelményt, akkor a visszahelyettesítéssel nyert egyenlőség azonosság-gá válik. Az A konstanssal egyszerűsíteni lehet és kritériumot kapunk arra vonatkozóan, hogy a lengő rendszerünk fontos paraméterei az s merevség és az m tömeg ismeretében milyen körfrekvenciájú szinusz függvények
lehetnek a függvényegyenlet hipotetikus megoldásában. Kifejezve érté-két, a nevezetes
m
s
képletet kapjuk a sajátlengés körfrekvenciájára, másképp: sajátkörfrek-venciájára. A sajátkörfrekvencia mértékegysége: [] =
s
rad . A lengés sa-játfrekvenciáját a T periódusidő reciproka értelmezi: f = 1/T, mértékegy-sége: [f] = 1/s = Hz. A lengés sajátkörfrekvenciája és sajátfrekvenciája szorosan összefügg: =2 f .
Az eddigi lépéseink tehát megoldásra, sőt végtelen sok megoldásra (meg-oldásfüggvény seregre) vezettek, melyek az sajátkörfrekvencia ismere-tében a következő képlettettel vannak meghatározva:
és , ) sin(
)
( t A
m A s
t
y tetszőleges lehet .
Egy konkrét mozgás meghatározásához – a jelzett kétparaméteres függ-vényseregből való kiválasztásához – tehát további feltételek hozzávételével konkretizálni kell a vizsgált mozgás esetén érvényes A és értékét. A feltételeket az által adjuk meg, hogy előírjuk egy rögzített t0 kezdeti időpontra az akkor fennálló helyzet y(t0) y0 és sebesség
0 0)
(t v
y. értékét. A jelzett feltételek előírását a „kezdeti értékek” meg-adásának nevezzük. Valóban, ha érvényesítjük a két kezdeti értékekre vo-natkozó előírást, akkor egy két egyenletből álló egyenletrendszert kapunk a keresett A és érték meghatározására az alábbiak szerint:
, ) ( )
sin(
)
( 0 t0 y0 F1 A, ε y0
m A s
t
y
. ) , ( )
cos(
)
( 0 t v0 F2 A v0
m s m
A s t
y.
Rátekintve az egyenletrendszerre, azonnal látható, hogy a megoldásként adódó A és érték az előírt y0 és v0 értékeken kívül függ a rendszert meg-határozó s merevség és m tömeg értékétől is.
Az elmondottak alkalmazását egy példán keresztül mutatjuk be. Legyen az előírt kezdeti időpont t0 = 0, a kezdeti helyzet legyen egy y0 0 pozitív érték, a kezdeti sebesség pedig legyen zérus: v0 = 0. A tömeget tehát ki-mozdítjuk az y0 0 helyzetbe, és ott egyensúlyban tartjuk (v0 = 0) az indí-tás t0 = 0 időpontjáig. Érvényesítsük az A és értékekre fent konstruált egyenletrendszert a most előírt kezdeti feltételek tekintetbe vételével! Ek-kor behelyettesítés után az alábbi egyenletrendszer adódik:
, 0 )
0
sin( y0
m
A s
. 0 ) 0
cos(
m s m
A s
A zérus értékű részeket elhagyva az alábbi egyenletrendszerre jutunk:
, 0 )
sin( y0
A
. 0 ) cos( m
A s
A szereplő egyenletek közül először a második egyenletet szemügyre vé-ve, megállapítható, hogy végtelen sok érték megfelelhet megoldásként, a legkisebb pozitív megoldást a = /2 érték adja, a többi ettől k -vel különbözik, ahol k egész szám. Elegendő mármost az = /2 érték to-vábbvitele az első egyenletbe, ahonnan meghatározhatjuk a mozgás A konstansát. Mivel sin(/2) = 1, kapjuk, hogy az előírt kezdeti feltételek esetén A = y0. A végigvitt gondolatmenet alapján kapott konstansok figye-lembe vételével az előírt kezdeti feltételeket kielégítő mozgás kitérésfügg-vénye a következő lesz:
. 0 , ) cos(
) 2 sin(
)
( 0 0 t t
m y s
t m y s
t
y
A megoldásként kapott mozgás y.(t)sebességfüggvényét és y ..(t) gyorsu-lásfüggvényét is meghatározzuk a megfelelő deriválások végrehajtásával:
, periódusidejű harmonikus lengőmozgás foronómiai görbéit.
t
53. ábra A harmonikus lengőmozgás foronómiai göbéi.