mennyi-ségek dimenziójának értelmezése.
Definíció: Valamely fizikai mennyiség dimenzióján annak mérő-számtól és mértékegységtől független tartalmát – a minőségének azonosítását – megadó információt értjük. A dimenzió mennyiségi-leg határozatlan. Az x-szel jelölt fizikai mennyiség dimenziójának jele: Dim(x).
A fizikai mennyiségek közül ésszerűen kiválasztott alapmennyiségekre származtatott mennyiségek rendszere építhető. Az alapmennyiségekhez alapdimenziókat, a származtatott mennyiségekhez pedig az alapdimenzi-ók függvényeként kiadódó származtatott dimenzialapdimenzi-ókat lehet rendelni.
Tekintsük a következő tárgyalásunk szempontjából alapvető három ha-gyományos alapmennyiséget, a távolságot, a tömeget és az időt. A jelölé-seket a következők szerint vesszük fel:
1. távolság, jele: s , dimenziója: Dim(s) = L, 2. tömeg, jele: m , dimenziója: Dim(m) = M, 3. idő, jele: t , dimenziója: Dim(t) = T.
Tekintsünk ezek után példákat az alapmennyiségekből képzett származta-tott mennyiségek és azok származtaszármazta-tott dimenzióinak képzésére. Előre bocsátjuk, hogy ha egy fizikai mennyiség betűjele elé a Δ jelet írjuk, az azt jelenti, hogy a szóban forgó mennyiség kis növekményét tekintjük. Pl.
Δs egy kis távolságnövekményt, Δt pedig egy kis időnövekményt jelent.
1. sebesség, értelmezése: v =
t s
, dimenziója:
Dim(v) = LT-1
T L ) Dim(
)
Dim(
t
s ,
2. gyorsulás, értelmezése: a =
t v
, dimenziója:
Dim(a) = -2
-1
T L T
T L ) Dim(
)
Dim(
t
v ,
3. erő, értelmezése: F = m a, dimenziója:
Dim(F) = Dim(m) Dim(a) = M L T -2 4. nyomás, értelmezése: p =
A F
, dimenziója:
Dim(p) = -1 -2
2 -2
T L M L
T L M ) Dim(
)
Dim(
A
F .
Rögzítsük azt az eredményt, hogy a vizsgált példák esetében a származta-tott dimenziók mindenkor az alapdimenziók hatványszorzataként voltak felírhatók. Általános esetben is ugyanez a helyzet, valamely x fizikai mennyiség dimenziója mindig felírható az alapdimenziók hat-ványszorzataként a következő alakban:
Dim(x) = L i M j T k , ahol i, j, k kitevők egész számok.
A tárgyalásunknak ezen a pontján fontos hangsúlyozni, hogy valamely fi-zikai mennyiség dimenziója nem egyenlő a tekintett mennyiség mérték-egységével.
Az x fizikai mennyiség dimenziója ugyanis a megadott definíció szerint mennyiségileg határozatlan minőség azonosító szimbólum (amelyre szimbolikus algebrai műveletek vannak értelmezve). Az x fizikai mennyi-ség mértékegysége ezzel szemben a tekintett fizikai mennyiség megálla-podásszerűen egységnyinek tekintett részét határozza meg. Az x mérték-egységébe foglalt mennyiséget [x] jelöli. Ezzel a mértékegység fogalom-mal lehetővé válik a fizikai mennyiségek numerikus értékekkel történő jellemzése. Egy x mennyiség numerikus jellemzése úgy történik, hogy megadjuk azt az {x} valós számértéket – az x mennyiség mérőszámát –, amellyel meg kell szorozni a mértékegységbe foglalt mennyiséget, hogy a tekintett x-ben jelen lévő mennyiséget kapjuk. Képletben:
x = {x} [x] = mérőszám mértékegység.
A mérőszámnak tehát csak a tekintett adott mértékegység megválasztásra nézve van értelme. Természetszerűen adott fizikai mennyiség esetén a mértékegység elvileg sokféleképp megválasztható. Legyen adva pl. [x]1
és [x]2 az x mennyiség két különbözőnek választott mértékegysége.
Ezek figyelembe vételével az x mennyiség a következő alakban írható fel:
x = {x}1 [x]1 = {x}2 [x]2 .
A most felírt összefüggés adja meg az alapját a x fizikai vizsgált mennyi-ség különböző mértékegymennyi-ségekhez tartozó mérőszámai átszámításának.
Amennyiben a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányát ismerjük, és adott az [x]1 -hez tartozó {x}1 mérőszám is ismert, akkor az [x]2 -höz tartozó keresett {x}2 mérőszámot a nyilvánvaló
{x}2 = {x}1
2 1
] [
] [
x
x = {x}1 k
kifejezés szolgáltatja. A bevezetett k szorzó neve: átszámítási szorzó, és a két különböző mértékegységbe foglalt mennyiség arányszámaként van ér-telmezve.
Az elmondottakat egy, az erő mérőszámának meghatározásával kapcsola-tos példával szemléltetjük. A régebben általánosan használt „műszaki mértékrendszerben” az erő mértékegység az 1 kp erő volt. Az 1 kp erő-egység meghatározását az adta, hogy ekkora erő egy 1 kg tömegű testet 9.80665 m/s2 gyorsulással mozgat. Az erő mértékegysége a jelenleg szab-ványos mértékrendszerben az 1 N. Az 1 N erőegység meghatározását – mint ismeretes – az adja, hogy az 1 N nagyságú erő 1 kg tömegű testet 1 m/s2 gyorsulással mozgat. Ha tehát [F]1= kp és [F]2 = N , akkor feltehető a kérdés, hogy 10 kp erő hány N? Az eddigi jelöléseink szerint tehát is-mert az erő kp-ban mért mérőszáma: {F}1 = 10 és keresett az {F}2 szám-értéke. Tekintetbe véve, hogy most a korábban bevezetett átszámítási szorzó értékére a k = [F]1/[F]2 = 9,80665/1 = 9,80665 szám adódik, a ke-resett {F}2 számérték felírható:
{F}2 = {F}1 k = 10 . 9,80665 = 98,0665 . Tehát 10 kp az 98, 0665 N.
A mértékegység és a mérőszám kérdéskörét még egy analógia bemutatá-sával szemléltetjük. Ismeretes, hogy a fizikában vektormennyiségeket és skalármennyiségeket különböztetünk meg. A vektormennyiségek meg-adásához nagyságuk, irányuk és értelmük megadása szükséges. A skalár mennyiségeket mérőszámuk (skálán leolvasható előjeles nagyságuk) egy-értelműen jellemzi. A szokásos 3-dimenziós geometriai tér vektorait irá-nyított egyenesdarabokként foghatjuk fel.
Ebben az esetben a vektor nagysága az irányított egyenesdarab (nem ne-gatív) hossza, abszolút értéke jellemzi. A vektor iránya azon tartó-egyenessel van megadva, amelyre az irányított egyenesdarab illeszkedik.
A vektor értelme azzal van megadva, hogy az irányított egyenesdarab nyílhegye az irány-egyenesen merre mutat. Attól függően, hogy a hossz-egységet miképp választjuk meg, beszélhetünk különböző egységvekto-rokról. A legegyszerűbb esetet tekintve vizsgáljuk az 5. ábra szerinti víz-szintes egyenesre illeszkedő x vektort. Az ábrán feltüntettünk két külön-bözőnek választott ugyancsak vízszintes egységvektort, az e1 és e2 vekto-rokat. A bevezetett két egységvektor változat mindegyike vektorjelleg hordozó, és ezekre támaszkodva alkalmas előjeles x1 és x2 skalár szorzó-számok segítségével kétfélképp is előállítható a tekintett x vektor:
x = x1 e1, x = x2 e2 .
x
x 0
e1
e2
2 2 1 1
e x x
e x x
5. ábra Vektormennyiség
Mivel azonban a két előállítás ugyanazon vektort adja, a két kifejezés jobb oldalai egymás között is egyenlők kell, hogy legyenek, azaz
x1 e1 = x2 e2 .
A kapott egyenlőség alkalmas arra, hogy ismerve az egységvektorok hosszainak arányát az előjeles skalár szorzószámok (az adott egységvek-torra vonatkozó koordináták) összefüggését is megadhassuk. Ha pl. x1-et ismerjük, akkor x2 kifejezhető a következő alakban:
x2 = x1
2 1
e
e = x1 k .
A kapott kifejezés tökéletes analógiát mutat a fizikai mennyiségek külön-böző mértékegységhez tartozó mérőszámai összefüggésének levezetése-kor kapott képlettel. A szereplő k =e1 /e2 hányados itt is átszámítási szorzóként értelmezhető. Ezek szerint az egységvektorok, mint vektorjel-leg hordozó objektumok analógiában állnak a mértékegységekkel, amely utóbbiak szintén a vizsgált fizikai mennyiség jellegét hordozzák. A vekto-rok különböző egységvektovekto-rokra vonatkozó skalárkoordinátái pedig
tö-kéletes analógiában vannak a vizsgált fizikai mennyiség különböző mér-tékegység választáshoz tartozó mérőszámaival.
Az eddigiekben a mértékegység és a mérőszám összefüggését általános vonatkozások előtérbe helyezésével tárgyaltuk, és megismertük a fizikai mennyiség különböző mértékegység választások esetén adódó mérőszá-mai közötti átszámítás képletét. A következőkben a mértékegységek kér-déskörét abban az összefüggésben vizsgáljuk, hogy a már tárgyalt alap-mennyiségekhez alapmértékegységeket rendelve, a származtatott mennyi-ségek mértékegységeit visszavezetjük az alapmértékegymennyi-ségektől függő ki-fejezésekre. Nézzük tehát rendre a már korábban is tekintett alapmennyi-ségeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó alapmértékegyalapmennyi-ségeket:
1. távolság, jele: s , [s] = m, 2. tömeg, jele: m , [m] = kg, 3. idő, jele: t , [t] = s.
A példánkban korábban is vizsgált származtatott mennyiségek mérték-egységei mármost a következők lesznek:
1. sebesség, v = szár-maztatott mennyiségek dimenzióinál tárgyaltakhoz hasonlóan a származ-tatott mennyiségek mértékegységei is kifejezhetők az alapmértékegységek hatványszorzataiként. Figyeljünk fel arra, hogy a hatványszorzatos kifeje-zéseket az erő és a nyomás esetében egyszerűbb, egy betűs jelöléssel el-látva bevezettük a jól ismert N mértékegységet, amelybe foglalt erő az 1 kg tömeget 1 m/s2 gyorsulással mozgatja, és a Pa mértékegységet, amely-be foglalt nyomást az 1 m2-re ható 1N nyomóerő okozza.