A szöggyorsulás, mint az idő függvénye

3.2.3 A szöggyorsulás, mint az idő függvénye

A szöggyorsulás értelmezéséhez első lépésben a t időpontbeli szöggyor-sulás ^(t,t) közelítő értékét értelmezzük a t időpontban induló és t

skaláris értékként adódó különbségi hányados alakjában. A t időpontbeli pontos szöggyorsulást a t időtartam minden határon túli csökkentésével, vagy ami ugyanaz, t  0 határátmenettel kapjuk. Amennyiben a jelzett határérték létezik és véges, a körmozgás t időpontbeli szöggyorsulása az

(t) szögsebesség függvény idő szerinti első deriváltja lesz:

).

Nyilvánvaló, hogy a szöggyorsulást a (t) szögelfordulás függvényből közvetlenül is származtathatjuk, éspedig annak az idő szerinti második differenciálhányadosaként:

Megjegyezzük még, hogy ha a szöggyorsulás értéke pozitív, az pillanat-nyi szögsebesség növekedést, míg ha a szöggyorsulás értéke negatív az pillanatnyi szögsebesség csökkenést azonosít. A forgó mozgás jellemzői-nek összefüggését a következő képletsor szemlélteti:

)

Amennyiben a származtatás irányát meg kívánjuk fordítani, akkor a gyorsulás függvényből a szögsebességet, majd a szögsebességből a szög-elfordulás jellemző függvény alakulását idő szerinti integrálással kaphat-juk meg.

Tekintsük még a most bevezetett jellemzők mértékegységeit! A  szög mértékegysége a radián, azaz [] = rad (360 = 2 rad), az  szögsebes-ség mértékegyszögsebes-sége már származtatott mértékegyszögsebes-ség:

[] =

Hasonlóképpen, a szöggyorsulás mértékegysége is származtatott mérték-egység: 3.2.4 Az egyenletes körmozgás

Ha a mozgó pont  szögsebessége állandó (konstans), egyenletes kör-mozgásról beszélünk. Tekintettel arra, hogy a konstans függvény idő sze-rinti deriváltja az azonosan nulla függvény, adódik, hogy az egyenletes körmozgás esetén a szöggyorsulás azonosan zérus. Az egyenletes kör-mozgást végző pontnak azonban mégis van gyorsulása, ugyanis a kerületi sebesség vektorának iránya folyamatosan változik a körmozgás során, ezért a gyorsulásvektor nem lesz zérus. Valóban, ha felírjuk az {x,y} sík-beli r sugarú körpályán  szögsebességgel mozgó pont

helyvektorát, akkor a gyorsulásvektort az idő szerinti második derivált-ként származtatva:

.

Az eredményül kapott gyorsulásvektorról jól látható, hogy minden t idő-pontban a mozgó pont helyvektorával (mely mindig centrifugálisan, azaz a középpontból a mozgó ponthoz mutató értelmű) ellentett értelmű vektor lesz a mínusz előjel miatt. Ezért az egyenletes körmozgás gyorsulásvekto-rát méltán nevezzük centripetális (a mozgó pontból a forgási középpont

felé mutató értelmű) gyorsulásnak. Az egyenletes körmozgás esetén ter-mészetesen minden pillanatban a körpálya érintőjének irányába eső gyor-sulás összetevő zérusvektor. Ez utóbbi állításunk könnyen belátható, hi-szen a v_t kerületi sebesség vektorának abszolút értékét mindig felírhatjuk a szögsebesség és az r körpályasugár szorzataként v_t  r alakban. Mi-vel pedig egyenletes körmozgás esetén a d/dt szöggyorsulás azonosan zérus, ezért formálisan is kiadódik, hogy a kerületi gyorsulás nagysága is azonosan zérus, ugyanis:

. 0 0





 r

dt r d r dt

d dt

d

t

  v

Most vizsgáljuk meg azt a kérdést, hogy ha ismert az egyenletes körmoz-gás állandó  szögsebessége, akkor milyen lesz a pont (t) szöghelyzet azonosító függvényének az alakulása az idő függvényében. Mivel a szög-sebesség a szöghelyzet jellemző függvény idő szerinti deriváltja, és most az egyenletes körmozgás szögsebessége állandó, csak olyan függvény le-het a szöghelyzet jellemző függvény, amelynek a deriváltja miden idő-pontban azonos konstans. Ilyen függvény azonban végtelen sok különbö-ző változatban létezhet. Valóban, tetskülönbö-zőleges c valós szám esetén a (t,c)

=  t + c függvény megfelel, hiszen ezt t szerint deriválva bármilyen c va-lós konstans esetén visszakapjuk a kívánt konstans  értéket:

. 0 1 )

( ) ,

(    

       

dt dc dt c dt t dt c d t dt

d

A kapott eredményünk helyesen tükrözi azt a tényt, hogy egyenletes kör-mozgás esetén a pont által befutott körívhez tartozó középponti szög az idő függvényében lineárisan növekszik.

3.2.5 A határozatlan integrálról

A (t,c) függvény keresésével kapcsolatos, előzőekben tárgyalt azon egy-szerű feladat, amelyet „ellenőrző deriválással” oldottunk meg, a határo-zatlan integrál kiszámításának feladatát vetíti előre. Általánosabb megfo-galmazásban tekintve a kérdést: adott f(x) függvényhez kereshető egy olyan F(x) függvény, amelyet ha x-szerint deriválunk, megkapjuk a kiin-dulási adott f(x) függvényt, azaz amelyre:

).

( )

(x f x

F dx

d 

Tekintettel arra, hogy a konstans függvény deriváltja az azonosan zérus függvény, az F(x) függvény nincs egyértelműen meghatározva, mivel ha F(x) -hez tetszőleges c konstans értéket hozzáadunk, arra is érvényes lesz a

) ( ] ) (

[F x c f x

dx

d  

összefüggés. Tehát az adott f(x) kiindulási függvényhez egy végtelen sok elemű

R

c c

x

F( ) } _

{ függvényrendszer rendelhető hozzá, melynek bár-mely elemét deriválva a kiindulási f(x) függvényt kapjuk. Az ilyen tulaj-donságú ^{F(x)c}_cR függvényrendszert az f(x) függvény határozatlan in-tegráljának nevezzük. A határozatlan integrál jelölése:



^{f(x)dx {F(x) c}cR .}

A megadott

R

c c

x F( ) }_

{ függvényrendszer elemeit a f(x) -hez rendelt „pri-mitív függvényeknek” nevezzük.

A fentiekben elmondottakat alapján így fogalmazhatjuk meg a határozat-lan integrálást: „az f(x) függvényt integrálni annyit tesz, mint keresni egy olyan F(x) függvényt, amelyet ha deriválunk, deriváltként a kiindu-lási f(x) függvényt kapjuk”.

3.2.6 Állandó gyorsulású haladó mozgás

Fontos speciális mozgásfajtát jelent azon mozgás, amelynek gyorsulás-vektora az időtől nem függ, azaz állandó érték. Legyen a mozgás állandó gyorsulásvektora a és írjuk ezt fel a gyorsulásvektor tartóegyenesére il-leszkedő e egységvektor segítségével a = a e , éspedig a előjeles gyorsu-lásnagyság feltüntetése mellett. Attól függően, hogy az a előjeles nagyság milyen értéket vesz fel, három esetet kell megkülönböztetni:

a.) a = 0, ekkor az a gyorsulásvektor is zérus, és ezért a v sebesség-vektor csak konstans lehet. Ebben az esetben a vizsgált pont egye-nes vonalú egyenletes mozgást végez,

b.) a  0, ekkor a vizsgált pont sebessége növekszik, a  0, ekkor a vizsgált pont sebessége csökken.

t a

a >0

24. ábra Állandó gyorsulású mozgás

A fenti esetek közül tekintsük a b.) alattit. Adott tehát a 24. ábra szerint a gyorsulás előírt a =

dt

dv  0 értéke, keressük a sebesség v = v(t) előjeles nagyságának időbeli alakulását. A feladat másképp megfogalmazva egy olyan v(t) függvény keresését jelenti, amelynek deriváltja egy pozitív konstans. Az integrál feladatot egyelőre kísérletező feltevéssel (Ansatz) oldjuk meg. Tekintsük hipotetikus megoldásnak a v(t) = a t + c lineáris függvényt a megadott a  0 gyorsulásnagyság és tetszőleges c valós kons-tans szerepeltetésével. Az „ellenőrző deriválás” elvégzése most is kimu-tatja, hogy a lineáris sebességfüggvényre vonatkozó hipotézisünk helyes, ugyanis bármilyen c valós konstans esetén deriválással visszakapjuk a kívánt konstans a értéket:

. 0 1 )

( )

( a a

dt dc dt adt c t a dt t d v dt

d       

Így valóban az

R

c c

a t  } 

{ egyparaméteres függvénysereg minden eleme megfelel a kívánalmaknak, ami más szavakkal azt jelenti hogy a megol-dásként megfelelő v(t) függvénysereg éppen a konstans a  0 függvény t szerinti határozatlan integráljával egyenlő:







^adt

t

v( ) a t + c,

ahol c tetszőleges additív valós konstans. Ez a példa mutatja, hogy a deri-váltakból való „visszaszámítást” a határozatlan integrálás elvégzésével végezhetjük. A probléma megoldása szempontjából ezzel kétségtelenül előre léptünk, de mivel végtelen sok „visszaszámított” függvényhez jutot-tunk, a „bőség zavara” áll fenn. A konkrét mozgásviszonyok leírására ezen végtelen elemű függvényseregből pontosan egy elem kiválasztása úgy lehetséges, ha a feladat sajátosságai alapján a 25. ábrán vázolt módon előírjuk, hogy valamely t0 időpontra az ott felvett sebesség v0 értéke mi-lyen legyen.

v(t)=v0+a∙(t-t0)

c-paraméteres függvénysereg

t v

v₀ t₀

25. ábra A sebesség megadása egy adott időpontban

Helyettesítsük be a kapott primitív függvénybe a megadott t0 időpontot és az ott előírt v0 sebesség értékét, ekkor a v(t0) = v0 = a t0 + c egyenlőségből a c konstans konkrét értéket nyer: c = a t0 – v0. Az előírt értékekkel kife-jezett konstanst beírva a sebesség kifejezésébe már egyetlen függvény adódik megoldásként:

) (

)

(t at at₀ v₀

v    ,

amiből rendezéssel az ismert alakú

) ( )

(t v₀ a t t₀

v   

képletet kapjuk, amely azt posztulálja, hogy a t időpontbeli v(t) sebesség a t₀ -ban érvényes v₀ sebesség és a t – t0 időköz alatt végbemenő gyorsuló mozgás a(tt₀) sebességnövekményének összegeként adódik.

Az állandó gyorsulású mozgás vizsgálatában logikusan merül fel az a to-vábbi kérdés, hogy ha már a v(t) sebességfüggvényt az előírt t0 és v0 un.

kezdeti érékek beszerkesztésével egyértelművé lehetett tenni, akkor ho-gyan lehet mármost a vizsgált pont által befutott úthosszat is megkapni, és esetleg valamely további „konstanskiszűrő” érték előírásával egyértelmű-en meghatározni.

A feladat megoldását a formális integrálás helyett most is úgy oldjuk meg, hogy egy hipotetikus kísérletező feltevéssel felvett x(t) függvényről kimutatjuk, hogy deriváltja éppen a fenti v(t) v₀ a(tt₀)függvény.

A kísérletező feltevés (Ansatz) azon az alapon jelölhető ki, hogy figye-lembe vesszük a hatványfüggvények deriválási szabályát, miszerint a de-riválás a hatványfüggvény fokszámát eggyel csökkenti. Mivel a sebesség-függvényünk konstans és t-ben lineáris tagokból áll, ezért e kísérletező

feltevésbeli függvényt lineáris és másodfokú tagokból megfelelő konstan-sok szerepeltetésével célszerű felépíteni.

A fenti előzetes meggondolások alapján – figyelembe véve, hogy derivá-lás után a v(t)  v₀ a(tt₀)függvényt kell kapnunk – a következő x(t) függvényt vesszük fel:

Tekintsük most az így felvett függvény t-szerinti deriváltját:

.

Mint látható, a helyes meggondolásokkal felvett kísérletező feltevésünk szerinti függvényünk t szerinti deriváltja visszaadta a kívánt sebesség-függvényt.

Rögzítsük azonban, hogy most is egy végtelen elemű függvénysereg sze-repelt a kísérletező feltevésünkben, hiszen c tetszőleges valós szám volt.

Mégis kiadódott, hogy bármely c érték esetén érvényes a deriválás után kapott helyes eredmény. A megoldás egyértelművé tételét a már korábban is követett eljárással érhetjük el, nevezetesen előírjuk a 26. ábrán szemlél-tetett módon, hogy a t0 időpontban az x(t) függvény vegye fel az x0 érté-ket. Érvényesítsük tehát behelyettesítéssel a jelzett előírást, ekkor:

, behelyette-sítve a kísérletező feltevésünk képletébe, előbb adódik a

)

kifejezés, és ebből kis rendezéssel kapjuk az egyértelmű megoldást:

2

t x

x0

t0

másodfokú parabola sereg

26. ábra Az befutott távolság kezdeti értéke.

x = ² 2t a a  0

t

t

t v = a t

dt d

dt

d





a

v

x

27. ábra Állandó gyorsulású mozgás foronómiai görbéi

Tehát a a t időpontig befutott x(t) távolság a t0 -ban érvényes x0 kezdeti helyzet és a t – t0 időköz alatt v0 állandó kezdeti sebesség esetén adódó

)

( ₀

0 t t

v  útnövekmény, továbbá a t – t₀ időköz alatt az állandó a gyorsu-lás jelenlétében befutott ( ₀)²

2

1a tt útnövekmény összegeként adódik.

A pont mozgásviszonyainak az idő függvényében való alakulását nagyon szemléletesen jelenítik meg a foronómiai görbék, amelyeket úgy kapunk, hogy közös időléptékű három diagramot rajzolunk egymás alá, legfelül a gyorsulás, alatta a sebesség, legalul a befutott út időfüggvényét. Az adott időpillanatban – „időkeresztmetszetben” – megvalósuló kinematikai jel-lemzőkről igen jó áttekintést nyerünk. A 27. ábrán egy, a t0 = 0 időpont-ban v0 = 0 kezdősebességről az x0 = 0 kezdeti helyzetből induló jármű konstans pozitív gyorsulás melletti foronómiai görbéit szemléltetjük.

3.2.7 Állandó szöggyorsulású forgómozgás

Fontos speciális mozgásfajtát jelent a járműgéptanban a konstans szög-gyorsulású forgómozgás. Jelölje  a vizsgálandó forgómozgás állandó szöggyorsulását. A fentiekben tárgyalt állandó gyorsulású haladó mozgás esetén alkalmazott azon gondolatmenet, amely a konstans a gyorsulásból integrálással és alkalmas kezdeti értékek beiktatásával vezette le az egyér-telmű mozgásjellemző függvényeket most is értelemszerűen alkalmazható a konstans  szöggyorsulásból kiindulva. Most a t0 időponthoz az 0

szögsebesség értéket és a ₀ szög értéket írjuk elő. A mozgásjellemzők ekkor a következőképp alakulnak:

1.  = állandó,

2. (t) ₀(tt₀),

3. _{0 0 0} ( ₀)²

2 ) 1 ( )

(t   tt   tt

 .

Példaként vizsgáljuk a t0 = 0 időpontban 0  0 szögsebesség értékről   0 állandó szöglassulással fékezett kerék esetét. Kérdés lehet, hogy mekko-ra össz szögelfordulást tesz meg a kerék a fékezés megkezdésétől a állásig. A feladat megoldásához először meg kell határozni a forgás meg-szűnésének időpontját az (t)₀(tt₀)0 egyenlet t-re történő megoldásával. Mivel a kiindulási adatok szerint t0 = 0 volt, ezért elegendő az ₀ t 0egyenletet megoldani. Tekintetbe véve, hogy   0, a meg-oldás: t =



₀

. Ha fékezés megkezdésének időpontjában a 0 szög értéket zérusnak írjuk elő, fékezés kezdetétől a megállásig megtett szögelfordulás kifejezhető:





 

 

 



 



 



2 1 2 ] 1 1 2

1 [1 )

( 2

1 _{2 0}²

0 2

0 0 2

0

0     

 sign .

A fenti levezetésben figyelembe vettük, hogy a lassulás miatt sign = -1.

3.3 Járművek mozgásciklusa – menetábra

A járművek rendeltetésszerű üzemében kialakuló ideális mozgásciklust a t = 0 időpontban zérus kezdeti sebességről induló, t1 időpontig ag  0 ál-landó gyorsulással a vmax = a t1 sebességig gyorsuló, majd onnan a t2  t1

időpontig állandó vmax sebességgel haladó, végül a t2 időponttól af  0 ál-landó lassulással a t3 időpontban bekövetkező megállásig csökkenő sebes-ségű mozgásciklus adja.

Az így jellemzett ideális mozgásciklusnak a [0, t3] intervallum felett érvé-nyes a(t) gyorsulásfüggvényét, v(t) sebességfüggvényét és x(t) befutott út függvényét esetszétválasztásos definícióval az alábbiakban adjuk meg:



A fenti függvénydefinícióknak megfelelő foronómiai görbéket a 28. ábrán adjuk meg.

A konstans gyorsulás mellett befutott út időfüggvényét másodfokú para-boladarab ábrázolja. Itt csak emlékeztetünk a másodfokú parabola sajátos tulajdonságára, miszerint egy origócsúcspontú másodfokú parabola bár-mely x₀ abszcisszájához tartozóan készített e érintő egyenese felezi az érintési ponthoz tartozó abszcisszát.

a

t ag>0

a=0

af<0

t v

c

t1 t2 t3

v=ag∙t vmax=ag∙t1

v=ag∙t1+af∙∙(t-t2)

t1 t2 t3

t s

c

t1 t2 t3

2

2 t a_g



 ₁

1 2

2 t1 a t t t

a

g

g     

_{2 1}  ₂²

1 2

1 2

2 a t t

t t t a

a t _f

g

g        

28. ábra Az ideális mozgásciklus foronómiai görbéi.

A jelzett tulajdonságot a 29. ábra vázlata szemlélteti. Az ideális működési ciklus befutott út diagramjának helyes megrajzolását segíti annak a tények a szem előtt tartása, hogy mind a t1 mind pedig a t₂ abszcisszájú pontban a középső konstans sebességhez tartozó lineáris út függvény vonala érintő-legesen csatlakozik a diagram kezdeti és befejező szakaszánnál lévő para-bola darabokhoz.

x0

x₀/2 p

e

29. ábra Parabola és az érintője

3.4 Egyszerű hajtásrendszerek

A járművek nagy részénél a hajtó teljesítmény aktivizálásának helye bi-zonyos távolságban van jármű hajtott egységeitől. Pl. a dízelmotor a hajó-test közepénél található, és a hajtó teljesítményt el kell juttatni („át kell vinni”) a hajó hátsó részénél elhelyezkedő hajócsavarokhoz. Az mondjuk, hogy a hajtó erőgép és a hajtó energia felhasználási helye közé hajtás-rendszert kell elhelyezni. A hajtásrendszer szükségessége a gépegységek elhelyezkedésével kapcsolatos kérdésen túl azzal is kapcsolatos, hogy a hajtó erőgép a teljesítményt nem pont olyan fordulatszám mellett szolgál-tatja, mint amire a felhasználás helyén szükség van. Ezért a hajtásrend-szernek az adott teljesítmény minél kisebb veszteség melletti átvitelén túl sokszor a szögsebességet, és ezzel együtt a hajtó nyomatékot is lényege-sen módosítani kell. A teljesítményt, mint energiaáramot ismertnek téte-lezzük fel, itt csupán a fogalom pontosítását adjuk meg. Tekintsünk egy Δt kicsi pozitív időnövekményt és tegyük fel hogy a [t, t+Δt] időinterval-lumban ΔW(t,Δt) nagyságú energia került betáplálásra egy hajtott gépegy-ségbe. A gépegység által a t időpontban felvett teljesítmény (ami

diffe-renciahányadossal kapjuk, és a pontos értéket Δt0 határátmenet után az energiabevezetés W(t) időfüggvényének az idő szerinti első differenciál-hányadosával értelmezzük:

dt

Mivel az M(t) hajtó nyomaték egy elemi dφ(t) szögelfordulás során vég-zett munkája a gépbe történő differenciálisan kicsi dW(t) energiabeve-zetést jelent, irható, hogy dW (t)  M (t)d(t), és így a teljesítmény-bevitel képlete a

)

eredményre vezet. A nyert képlet visszaadja a jól ismert tényt, miszerint egy adott időpillanatban a teljesítmény az adott időpillanatban érvényes nyomaték és szögsebesség szorzata. Amennyiben a fordított kérdés merül fel, azaz hogy ismert P(t) teljesítmény-alakulási időfüggvény esetén meg kell határozni a t1 és t2 időpontok között a rendszerbe bevezetett energia

W értékét, akkor a vizsgálatot a



 d P t

W t W W

t



t







 ²

1

) ( )

( )

( _{2 1}

integrálkifejezés meghatározásával lehet elvégezni. Speciálisan, ha a P teljesítmény a [t1, t2] intervallumban konstans értékű, akkor a jelzett in-tegrál az ismert egyszerű ^W  ^P(t₂ ^t₁ ⁾ szorzatkifejezést szolgáltatja.

Vizsgálatainkban az energia mértékegysége: [W] = J (dzsúl), a teljesítmé-nyé pedig [P] = W (Watt).

Következő tárgyalásunkban a forgás-, nyomaték- és teljesítmény-átvitelre alkalmas megoldások közül fogaskerékhajtást, a szíjhajtást és a dörzshaj-tást tárgyaljuk.

3.4.1 A fogaskerékhajtás

A 30. ábrán vázolt fogaskerekek a fogak kapcsolódása miatti kényszer következtében közös kerületi sebességgel forognak. A fogak profilját kör-evolvens görbeként alakítják ki, mert a körevolvensek a kerekek tengely-távolságának állandó értéke mellett le tudnak egymáson gördülni. Az áb-rán jól látható a két kerék egymást érintő osztóköre. A két keréken kiala-kított fogak kapcsolódásba lépése, a két osztókör érintési pontján átmenő kapcsolási vonal mentén megy végbe.

M2

M1

1

2

r1

r2

P2 = M2 2

P1 = M1 1

30. ábra Fogaskerék kapcsolat

A két kerék helyes kialakításának egyik kritériuma azt fogalmazza meg, hogy a kapcsolási vonalnak a két osztókör érintési pontjára nézve centrá-lisan szimmetrikusnak kell lennie. A helyes kapcsolódás másik feltétele a fogazat t-vel jelölt osztásával kapcsolatos. Az osztás az osztókörön mért azon ívhosszúság, amely áthidal egy fogat és a mellette lévő fogárkot. A viszonyokat a 31. ábra mutatja.

osztókör

t fog

fogárok

ívhossz az osztókörön

31. ábra Fogosztás

Ha kerék osztókörének sugara r és fogszáma z , akkor az osztókör kerüle-tét elosztva a fogszámmal kapjuk az osztás t értékét:

z t 2r

 .

Az osztásra, mint jellemzőre támaszkodva értelmezzük a fogaskerék to-vábbi fontos jellemzőjét a modulust, röviden a: modult. Az osztás képle-téből kifejezve az osztókör átmérőjét, a

modul"

fogszám átmér ő

"

: szavakban

, ) (

2    

 t zm

z r

d 

képlet adódik, ahol tehát az m = t/ szorzótényező adja fogaskerék modul-ját. A definiáló összefüggés alapján látható, hogy a modul a d = 2r osztó-körátmérő és a z fogszám viszonyszáma. A fogaskerékpár helyes kapcso-lódásának a másik alapfeltétele a két kerék moduljának azonossága.

A hajtásrendszerek esetében az energiaáramlás irányát tekintve mindig megállapítható a rendszer bemenő oldala és kimenő oldala. A tárgyalá-sunkban a bemenő oldali jellemzők mindig 1-es indexet kapnak míg a kimenőoldali jellemzőket a 2-es index fogja azonosítani. A fogaskerékpár esetében tehát a behajtó tengely jellemzői kapják az 1-es indexet, a kihaj-tó tengely jellemzőit pedig a 2-es index azonosítja.

A fogaskerékpár átviteli tulajdonságait a következő három

A most bevezetett három átviteli jellemző közül csak kettő független, mi-vel érvényes az

összefüggés. Így tehát

k

32. ábra Kerületi sebesség a fogaskerék kapcsolatban

A fenti három átviteli jellemző közül az i módosítás kiszámítható a kere-kek geometriai jellemzői alapján is. A 32. ábrán vázoltuk a két kerék su-gara mentén kialakuló kerületi sebességek sugár függvényében lineáris eloszlását, és látható a fogkapcsolat által létrehozott kinematikai kényszer miatt a két kerék osztóköri kerületi sebességének megegyezése. Ezt a ke-rületi sebesség azonosságot formálisan a v  r₁₁  r₂₂ összefüggés rög-zíti. Az i módosítás eredeti értelmezését a kerületi sebesség megegyezés és a modul jelentésének figyelembevételével ki lehet egészíteni:

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1 2

2 2

z z m z

m z d d r r r r

r v r

v

i       



 .

Hangsúlyozni kell, hogy a most bevezetett geometriai jellemzők segítsé-gével értelmezett módosítás számlálójába kerül a bemenő oldali kerék geometriai jellemzője és nevezőjébe a kimenő oldali kerék jellemzője. Így a geometriai jellemzőkkel értelmezett módosításnál az eredeti értelmezés szerinti indexsorrend megfordul!

A fogaskerékhajtás sokszor több fogaskerékből épül fel. Ez akkor szüksé-ges, ha egy fogaskerékpárral a szükséges módosítás nem valósítható meg, vagy ha a kimenő oldali tengely elhelyezésével kapcsolatban sajátos ge-ometriai elrendezést kell megvalósítani. Ez utóbbi esetre ad példát a 33.

ábrán felrajzolt fogaskerékhajtás elrendezés, ahol is a be- és kihajtó tenge-lyek egy közös tartóegyenesre illeszkednek, és a be és kihajtó tengely forgásirány is megegyező.

i1

i2

ω1

M1

P1

ω2

M2

P2

ωx

Mx

Px

33. ábra Fogaskerék hajtás felépítése több fogaskerékből

Az ábrán alkalmazott jelölésekkel a hajtásrendszer eredő módosítását az alapdefiníció alkalmazásával és a közvetítőtengely x szögsebességével történő bővítés után kapjuk:

2

Az eredő módosítás tehát a fokozati részmódosítások szorzataként adódik.

Hasonlóképpen adódik az eredő nyomatékmódosítás és az erdő hatásfok is: másikkal mindig meghatározott.

Ha egy bonyolultabb hajtásrendszer több mint két fogaskerékpárból épül fel, vagy a kerekek közös síkban forogva láncszerűen kapcsolódnak, ak-kor is hasonló szerkezetű összefüggések érvényesek az eredő árviteli jel-lemzőkre. A 34. ábrán több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszert vázol-tunk.

34. ábra Több fogaskerékpár alkotta hajtásrendszer

Az eredő átviteli jellemzőket tetszőleges (véges) n fogaskerékpár esetére az alábbiakban adjuk meg:

A közös forgási síkban láncszerűen kapcsolódó fogaskerekekkel kialakí-tott hajtásrendszert a 35. ábrán vázoltunk fel.

z1

zα

zβ

zγ zδ

z2

v1α

vαβ

vβγ

vγδ

vδ2

r2

ω2

ω1

ωα ωβ ωγ

ωδ

r1

v1α = vαβ = vβγ = vγδ = vδ2

35. ábra Láncszerűen kapcsolódó síkbeli fogaskerék rendszer Az ilyen rendszer módosítása csak a láncban első helyen és az utolsó he-lyen szereplő fogaskerék fogszámáról függ. Ezt a tényt annak alapján le-het belátni, hogy az összes kapcsolódó kerék kerületi sebessége azonos kell, hogy legyen, hiszen a fogkapcsolatok ezt a kényszert tartják fenn.

Mármost ha az első kerék sugara r1 és szögsebessége 1 az utolsó kerék sugara pedig r₂ és szögsebessége 2, akkor a lánc minden fogkapcsolatán közös v kerületi sebesség figyelembevételével:

2 1 2 1

1 2 1 2

z z r r

r v r

v

i    



 .

Az









n

j j n

1 2

1 ... 



 képlet rendszer hatásfokára viszont érvényben marad. Az eredő nyomatékmódosítást most a k =  / i formula alapján le-het számítani.

3.4.2 A szíjhajtás

A forgás, nyomaték és teljesítmény-átvitel klasszikus eszköze a lapos szí-jas szíjhajtás. Ezen hajtásrendszernél a behajtó tengelyre és a kihajtó ten-gelyre egy-egy dobot ékelnek, mely dobok külső felületének meridián-metszete nem a forgástengellyel párhuzamos egyenes, hanem enyhén görbült, a hordó alakjára emlékeztet. A két dobot végtelenített lapos

haj-tószíjjal kötjük össze. A 36. ábrán vázolt rendszerben a bal oldali kisebb r1 sugarú dob a hajtó dob, a jobb oldali nagyobb r2 sugarú pedig a hajtott dob.

M

₁



₁

P

1

n

1

M

2



2

P

2

n

2

r

1

r

2

v

F F

F

0

F

₀

F

_f

F

_f

1

v

₂

36. ábra Lapos szíjas szíjhajtás

Az ilyen elrendezésnél a kimenő tengelyen megjelenő 2 szögsebesség kisebb lesz, mint a bemenő tengely 1 szögsebessége. Tekintettel azonban

Az ilyen elrendezésnél a kimenő tengelyen megjelenő 2 szögsebesség kisebb lesz, mint a bemenő tengely 1 szögsebessége. Tekintettel azonban

In document Általános járműgéptan (Pldal 57-0)