Minden tapasztalati tartalom bizonytalansága elől némelyek megkísérlik a matematikai bizonyossághoz me

nekülni, s ez a — gyakran öntudatlan — háttere a modern matematicizmusnak (M. Schlick, Carnap, némiképen Rus­

sel és Wittgenstein stb.), amely voltaképen egy valódi meg­

ismerési módot ismer el: a matematikait*.

Hogy e kérdésben tisztán lássunk, három divatos té­

vedést kell mindjárt most kivédenünk. Az egyik Brouwer intuicionizmusának tévedése, mely szerint a matematikai megismerés abszolút érvényének az szab határt, hogy bi­

zonyos határon túl a matematikai tárgyakra nem érvénye­

sek a logikai alapelvek, nevezetesen a közép kizárásának elve (s így az ellenmondás elve). A másik pedig a mate­

matikai nominalizmus, melyet Hilbert axiomatikája kép­

visel, mely szerint a matematika axiómái nem megismerés, de önkényes konstrukció eredményei. Lássuk ezeket egyenként.

Brouwer szerint98 a princípium exclusi medii a vég­

telen halmazokra nem áll. Az az általános meggyőződés, hogy ez elv érvényes a végtelen halmazokra is, és hogy minden matematikai probléma elvileg megoldható, tanítása szerint téves. E tételét arra a megállapításra építi, hogy

„számok végtelen sorában nem áll az az alternatíva, hogy vagy e sor összes számai bírnak az „E“ tulajdonsággal, vagy pedig (legalább) egy olyan szám van a sorban, amely az „E“ tulajdonsággal nem bír". Legcélszerűbb e tétel kri­

tikáját részünkről arra építeni, hogy feltételesen elfogadva

e tételt, annak következményeit vonjuk le a végtelen szám­

sor természetére nézve, miközben ki fog derülni, hogy ez alapon a szám lényegével jutunk ellentétbe.

A természetes egész számok sora:

1, 2, 3, 4, 5, . . .

gondolkodásunk szempontjából csak határtalan, de tiszta logikai szempontból végtelen. Határtalan, mert számolás­

sal, azaz gondolkodási művelettel sohasem lehet a végére jutni, akármennyi ideig is számolnánk. Végtelen pedig, mert megfelel a végtelen halmaz Canfor-féle meghatá­

rozásának: végtelen halmaz az, amely leképezhető egy valóságos alkatrészére. A fenti sorozatra ez áll, mert egy- egyértelműleg leképezhető, pl. a páros számokra, amelyek összege a természetes egész számok sorozatának valósá­

gos alkatrészei. Tehát

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2, 4, 6, 8, ló , 12, 14, 16, 18, 2 0

Ha a természetes egész számok sorozatára, mely vég­

telen, nem állana a principium exclusi tertíi, akkor nem állana a principium contradictíonis sem, lévén az előbbi az utóbbi merő korrolláriuma." Mert a principium exclusi ter­

űi már akkor elismertetik, amikor a principium contradic- tionis-ban a mindenséget A-ra és non-A-ra osztottuk. E dualizmus ugyanis kizárja azt a trializmust, mely fennál- lana, ha A és non-A között volna harmadik eshetőség. Sőt

— miután a principium contradictions nem egyéb, mint a principium identitatis limitatív kifejezése,100 ami akkor de­

rül ki, ha az azonosság elvét úgy formulázzuk meg, hogy minden dolog csak önmagával azonos — nyilvánvaló, hogy a principium exclusi tertii tagadása a végtelen halmazokra nézve az azonosság s az ellenmondás elvének tagadását jelentené ugyancsak a végtelen halmazokra nézve. Ez pe­

dig nem jelentene kevesebbet, mint azt, hogy a végtelen halmaz lehet egyidöben véges is, ami nyilván ellenkezik magának Brouwernek kiinduló pontjával, mely tagadásával elismeri a véges és végtelen halmaz abszolút különbségét.

Brouwer tanítása tehát egyrészt elismeri a végtelen hal­

mazokra nézve a közép kizárásának elvét, másrészt ta­

gadja ugyanez elv érvényét ugyancsak a végtelen halma­

zokra nézve. Itt valahol logikai hibának kellett becsúsz­

nia, s ez valóban kimutatható azon a ponton, hogy Brouwer összezavarja a kontrarietást a kontradikcióval, s így nem látja, hogy a közép kizárásának elve csak a kontradiktó- rius s nem a kontrárius ellentétekre vonatkozik. Lássuk ezt közelebbről.

Brouwer fenti tétele nem világos diszjunkciót tartal­

maz. Csak kontradiktórius tételek (A —non-A) adnak abszolút diszjunkciót: kontrárius dolgok között (pl. fehér­

fekete, jó-rossz) igenis van harmadik eshetőség: ezekre, te­

hát nem érvényes a princípium exclusi tertii. Brouwer diszjunkcíója zavaros, mert annak a tételnek, mely szerint ,,a végtelen sor összes számai bírnak az E tulajdonság­

gal“ (a tétel), kontradiktórius ellentéte az a tétel, hogy ,,a végtelen sor egy száma sem bír E tulajdonsággal“ (ß té­

tel), és nem az a tétel (mint Brouwer gondolja), mely szerint „van legalább egy szám a végtelen számsor­

ban, mely nem bír az E tulajdonsággal“ [y tétel). Kiderül ez abból, hogy ez utóbbi (y) tételnek kontradiktórius ellen­

téte nem a Brouwer által felhozott a tétel, de a következő tétel: „A számok végtelen sorában legalább egy oly szám van, mely bír E tulajdonsággal“ (ő tétel). Az a és a 6 tételek nem azonosak, tehát nyilvánvaló* Brouwer jcpájtov ip&üöog-a,* a kontradikciót rosszul állítja fel. Az « és y tétel viszonya ugyanis nem kontradikció fmint Brouwer gondolja), hanem a következő:

Ha felírom Brouwer két tételét:

a) „A végtelen sor összes számai bírják az E tulaj­

donságot“,

y) „Van legalább egy oly szám a végtelen számsorban, mely nem bírja E tulajdonságot“, akkor a y tétel a té­

telnek nem kontradiktórius ellentéte, mint fentebb láttuk, hanem az a tétel viszonya a y tételhez az, hogy ha a tétel kontradiktórius ellentéte érvényes, ebből nem is szabad a y tételt következtetni. Mert ha az a tétellel szemben igaz a

ß tétel (a végtelen számsor egy száma sem bír az E tulaj­

donsággal), akkor nem is lehet igaz, hogy legalább egy oly szám van a végtelen számsorban, mely nem bír E tu­

lajdonsággal (y tétel); mert ha a végtelen számsor egyet­

len száma sem bírja E-1, akkor egyszerűen nem igaz, hogy legalább egy oly szám van a végtelen számsorban, mely nem bírja E-i (y). Brouwer tehát 1. nem tudja, mi a kontradikció, 2. nem tudja, mi a logikai kompatibilitás: az a és ő tételek ugyanis inkompatibilisek, de nem a kontra­

dikció, hanem a kontrarietás alapján. Ez utóbbira termé­

szetesen nem áll a princípium exclusi tertii. Brouwer

„nagy felfedezése“ tehát arra redukálódik, amit már Aristoteles jól tudott, hogy a princípium exclusi tertii csak a kontradiktórius s nem a kontrárius ellentétekre áll.101 Valójában úgy áll a dolog, hogy szükségképen álla­

nak a véges számok határozmányai a végtelen számsorra s viszont. A mellett magától értetődő, hogy csak értelmes té­

telekre állanak a logikai elvek, azaz csak azokra, amelyek nem önellenmondóak. Ezért nem áll arra, hogy a kará­

csony vagy kék vagy nem kék; de ez sem bizonyít a prin­

cípium exclusi medii elve érvényességének korlátái mel­

lett. Azaz: mert a végtelen számsor végtelen halmaz, a vé­

ges pedig véges halmaz, abból, hogy mindkettő egyaránt halmaz, következik a halmazvoltűkből folyó tulajdonságuk közössége. Melyik ez a tulajdonság? Ez a leképezhetőség, amely azért folyik a halmaz mivoltából, mert a halmaz bármely definícióját fogadjuk is el, kétségtelen, hogy az elemek összesége. Ebben kettő rejlik: 1. az egyik, hogy egymástól különböző (diverz — nem differens!) elemek alkotják a halmazt, 2. ez elemek valamiképen összetartoz­

nak. A z összetartozás itt nem az elemek közös kvalitásán alapuló, osztálybeli összetartozás — hisz a legkülönfélébb elemek is alkothatnak halmazt, pl. egy szék, egy toll, egy eszme, egy reláció, — hanem csak az a körülmény, hogy az elemek valamennyien elkülönülnek más összeségtől. A halmaz nem osztály, de alak (Gestalt). Ez elkülönülés fel­

teszi azonban, hogy az A halmaz minden egyes eleme el­

különül a B halmaz minden egyes elemétől. Ez

egy-egyér-telmű elkülönülés pedig már leképezés, lévén a leképezés épp megfelelés két halmaz elemei közt. íme, tehát abból, hogy a természetes egész számok sorának egy része is hal­

maz, az egész is halmaz, következik, hogy mindkettő leké­

pezhető. Viszont a leképezhetőség felteszi az ellenmondás elvének érvényét a halmazra, mert különben nem külön­

böznék az A halmaz minden eleme úgy az A halmaz más elemeitől, valamint a B halmaz elemeitől. Ha pedig az el­

lenmondás elve érvényes a végtelen halmazra, érvényes reá a közép kizárásának elve is, mely annak korolláriuma. Te­

hát a végtelen halmazra is érvényes az ellenmondás elve s így a közép kizárásának princípiuma s ezzel együtt minden más logikai princípium is. Tehát téves a matematikai meg­

ismerés bizonyosságát azon az alapon korlátozni akarni, hogy a logikai alapelvek nem egyaránt érvényesek minden matematikai tárgyra, s ezáltal akarni a matematikai nyo­

mozás bizonyosságát kétségbe vonni,

68. De másodszor ugyanígy téves ezt nominálísztikus

In document METAFIZIKA PAULER ÁKOS AZ AKADÉMIA FILOZÓFIAI KÖNYVTÁRA (Pldal 98-102)