táblázat: A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken. 53

Tudomány Keresztváltozó Átmenő változó

mechanika sebesség erő

elektrotechnika feszültség (potenciál különbség) villamos áram

hidraulika/pneumatika nyomás térfogatáram

termodinamika hőmérséklet entrópia áram

Az objektumok csak egyféleképpen kapcsolhatók össze a hálózati (“Cut-Set“) módszerrel:

3.7 ábra: Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel.

A blokkok összekapcsolásánál a következő szabályokat kell betartani:

1. minden keresztváltozó azonos: ac1 =ac2 =ac3=, 2. az átmenő változók összege zérus: th1+th2+th3+=0. 3.3. Megjegyzés:

A kapcsolódás a fizikai komponensek közötti valóságos létező kapcsolatra épül.

Összeszerelés egy teljes rendszerré:

Az egyedi komponenseket a metszetek segítségével kapcsoljuk össze és ezek teljesítmény vesztesség nélkül viszik át a mozgást és az erőt (eltekintve disszipációtól és meghajtó hatástól, mint nyelőtől vagy forrástól).

Előnyök:

• Itt a blokkok és kapcsolódások közvetlenül utalnak a fizikai komponensekre és a kapcsolódásaikra.

• A matematikai modell közvetlenül a szemléltetés segítségével adódik.

3.2.2 Az egyenlet szerkezete

Egy általános blokk a következő két egyenletrendszer csoporton alapszik:

• közönséges differenciálegyenlet ( , , )

d = d d a t

x f x x , (3.15)

• algebrai egyenlet

( , , )

a d a t =

f x x 0, (3.16)

ahol:

• x_d azon változók, amelyek deriváltjait a blokkban értelmezzük (d = differenciál),

• x_a azon változók, amelyek deriváltjai a blokkban nem jelennek meg (a=algebrai).

Bemenő és kimenő változók:

Azon változókat, amelyek idő szerinti deriváltjait a blokkban értelmezzük alapvetően bemenő változóknak tekintjük.

Néhányat ezen változók közül a (3.15) egyenlet segítségével a többi változóval értelmezzük.

Algebrai egyenlet példája (Matematikai inga):

3.8 ábra: Matematikai inga.

1 Tehát ezt kapjuk:

2 2

2 2

1 2

x = ± l −x

x2: bemenő változó, x1: kimenő változó.

A (3.15) és (3.16) kombinációja eredményezi az ún. differenciál-algebrai egyenletrendszert (DAE):

( , , )t =

f x x 0, ahol ^d

a

=   

  x x

x

Speciális módszerek léteznek ezen rendszerek megoldására (ún. “DAE-Solver”, lásd 8.2 fejezetet).

3.4. Megjegyzés:

Figyelemmel a különböző típusú fizikai komponensekre (3.15) vagy (3.16) egyenletet elhagyjuk.

Grafikus szemléltetés:

Itt szintén a rendszerelemek egy fajta blokkvázlatát használjuk. Azonban, ebben az esetben a blokkok nem képviselnek matematikai műveleteket (úgy, mint a klasszikus típusú blokkvázlat), de minden esetben fizikai objektumnak felelnek meg (ac: kereszt, th: átmenő).

3.9 ábra: Grafikus személtetés.

Előjel konvenció:

3.10 ábra: Előjel konvenció.

Az átmenő változók mindig a vágás helyétől a blokkhoz mutatnak. A pozitív jel rögzítése érdekében egy vonalat rajzolunk a körhöz, a pozitív áramlási irány jelzésére.

⇒ 5. feladatlap: Kettős inga modellezése DYMOLA-val

3.2.3 Példák

3.2.3.1 Elektromos komponensek 3.2. példa: Ohmikus ellenállás

3.11 ábra: Ohmikus ellenállás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

V −V =Ri Ohm törvénye.

3.3. példa: Induktív ellenállás

3.12 ábra: Induktív ellenállás.

Fizikai törvények:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1

1 2

Ldi V V

dt = − induktivitás.

3.4. példa: Kapacitás

3.13 ábra: Kapacitás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

( )

C d V V i

dt − = kapacitás.

3.5. Megjegyzés:

Az (a)-tól (c)-ig példák az ún. kettős csatlakozókat szemléltetik (a villamos mérnöki feladatokban gyakran alkalmazzák).

3.5. példa: Egyszerű villamos hálózatok

3.14 ábra: Egyszerű villamos hálózat.

Egyenletrendszer:

Differenciális mennyiségeket tartalmaz az egyenletrendszer:

2

Algebrai mennyiségek előfordulnak az egyenletrendszerben:

1

Ebből következik a differenciál-algebrai egyenletrendszer:

3 0

⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései

3.2.3.2 Mechanikai rendszerek

A mechanikai rendszerekben a multi portok ún. “kinetostatikus” átviteli elemeknek tekinthetők, amelyek a mozgást és az erőt viszik át. Tehát a „metszést” még jobban kiterjesztjük.

Helyzet

A helyzet, sebesség és gyorsulás kinematikai mennyiségek (keresztváltozók) az erő statikai mennyiség (átmenő változó). De a következő diagram csak egy sebességet és egy erőt foglal magába (3.16 ábra).

3.6. példa: Rugó

3.15 ábra: Rugó.

A pozitív erő teljesítménye pozitív a vonatkoztatási ponthoz képesti pozitív elmozdulásával.

Az erők egyensúlyából (3.15 ábra) következik:

( )

( )

1 2 0 2 1

F =F =k l − x −x . A rugóra vonatkozó egyenletrendszer:

( )

3.16 ábra: Multi-port rugó modell.

Ebben az esetben differenciálegyenletrendszer nem alkalmazható.

3.7. példa: Tömeg

3.17 ábra: Tömeg.

A tömegre vonatkozó differenciálegyenlet:

F =mx.

3.18 ábra: Multi-port tömeg modell Szokás erre “Terminál”-ként vagy “egy-Port”-ként is hivatkozni.

3.8. példa: Rugó-tömeg rendszer.

3.19 ábra: Rugó-tömeg rendszer.

Algebrai egyenletrendszert kapunk:

( )

( )

1 0 1 0

F =k l − x −x ,

( )

( )

0 0 1 0

F =k l − x −x . A differenciálegyenlet:

F1=mx.

A meglévő három egyenlet négy változót tartalmaz

(

x x F F0, 1, 0, 1

)

. Ez azt jelenti, hogy egy változó teljesen tetszőlegesen megadható. Egy rögztés előírása az x₀ ≡0 lenne, egy harmonikus gerjesztés pedig x0 =rcos

( )

ωt lehetne.

3.6. Megjegyzés:

Mechanikai, elektromechanikai, hidraulikai és hasonló alkatrészek természetes átviteli iránnyal rendelkeznek a keresztváltozó vonatkozásában, míg az átmenő változót tekintve pedig ellentétes irányú.

3.20 ábra: Multi-port.

A metszések bal oldalon a bemenő keresztváltozóval, a jobb oldalon a kimenő átmenő változóval vannak jellemezve. A kapcsolatot a bemenő és kimenő változók között a K mátrixszal írjuk le.

11 1

A multi-port teljesítményveszteség mentességéből következik:

1 1 n n 1 1 m m

ac th⋅ + + ac th⋅ =ac th′⋅ ′+ + ac′ ⋅th′ . (3.18) Mátrix jelöléssel a bemenő és a kimenő kereszt- és az átmenő változók az alábbiak:

1 1 1 1

Ezért a (3.17) és (3.18) egyenletek tömörebb formában írhatók:

′ = ⋅

ac K ac, (3.19)

T⋅ = ′T⋅

ac th ac th . (3.20)

A (3.19) egyenletet beillesztve (3.20)-ba eredményül a következőt kapjuk:

( )

^{T '}

Mivel ez alkalmazható bármelyik ac vektorra, ebből következik

T ′

= ⋅ th K th .

Így a K transzponáltjával számítható át az átmenő változó az ellentétes oldalra.

4 Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon

A következő rész a differenciál-állapotegyenletek megoldásával foglalkozik. A jelölés egyszerűsítése kedvéért, vizsgáljuk meg a következő differenciálegyenletet:

d

( )

érték). Ez alapján a megoldás a következő:

( ) ( )

t

a

x t = +A

∫

f t td ^{. (4.3)}

A (4.1) ODE-t kombinálva a kezdeti feltétellel kezdetiérték-feladatnak nevezzük:

( ) ( , ) , ( )

x t = f x t x a = A . (4.4)

A differenciálegyenlet dinamikai feladatokra való alkalmazásának akkor van értelme, ha

• egy megoldás létezése (egzisztenciája) általában garantált,

• csak egy megoldása van egy adott feladatnak (unicitás).

A következő tétel mindkettőről gondoskodik a feladatok széles körére.

Picard - Lindelöf tétele:

Ha az ^{f x t}

( )

^, folytonos egy adott tartomány minden

( )

^{x t,} pontjában:

{ ( )

^{, : , , ,}

}

D= x t a≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞t b x a b∈R , és létezik egy ^L konstans (Lipschitz konstans), amivel

( )

^,

(

, *

)

*

(

^Lipschitz feltétel

)

f t x − f t x ≤L x−x (4.5)

minden

( ) (

^{t x, , , *t x}

)

^∈D-re, akkor, minden ^{x a}

( )

^{= A} kezdeti feltételhez létezik pontosan egy ^{x t}

( )

megoldás a kezdetiérték-feladatra, amely x folytonos és differenciálható minden

( )

^{t x, ∈D}-re.

Így az állapotegyenlet pontosan egy megoldása garantált, ha az általános megkötések teljesülnek.

4.1. Megjegyzés:

• A tétel előírásai akkor teljesülnek, ha az ^{f x t}

( )

^, függvény x szerinti deriváltjai korlátosak a D tartományon, ekkor élhetünk a következő választással:

( )

( )

• Ez a tétel, minden nehézség nélkül, általánosítható differenciálegyenlet-rendszerekre.

• Csak a megoldás egzisztenciája és unicitása garantált. Egy általános-analitikus eljárás nem adható meg, kivéve a speciális eseteket. Egy fontos esetet képeznek a lineáris differenciálegyenletek. Ezek az alábbi formában adhatók meg

( )

x =ax+h t , (4.7)

• ahol a valós együttható, amely független x-től, és ^{h t}

( )

a gerjesztő függvény.

Miért is garantált ebben az esetben a megoldás egzisztenciája és unicitása?

Ez a tétel n-ed rendű differenciálegyenletekre is alkalmazható, és érvényes a következő tétel.

4.1. tétel:

Az n-ed rendű differenciálegyenlet

( ) (

^,

( ) ( )

^{, ' , , 1}

( ) )

n n

y t = f t y t y t  y ⁻ t (4.8)

teljes megoldása n számú tetszőleges paramétert tartalmaz. A teljes megoldás felfogható, mint a differenciálegyenlet általános megoldása. Megfelelő kiegészítő feltételek választásával, ha megadjuk a paramétereket, megkapjuk a partikuláris megoldást.

Nemlineáris differenciálegyenletekre az általános megoldás ugyan nem lehetetlen, de legalább is nagyon nehéz. Mindazonáltal, speciális esetekre lehetséges a megoldások meghatározása. Minden más esetben az egyetlen alternatíva a numerikus közelítés.

4.1. példa: Megszakítás nélküli logisztikus növekedés

Rendszeregyenlet: dx a ²

x ax x

dt k

= = −

 .

A változók szétválasztásával kapjuk:

0 (1 ) 0

Az egyenlet mindkét oldalát külön-külön integrálva kapjuk:

( ) ( )

4.1 ábra: Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív).

4.1 A megoldás tervezése a fázissíkon

A dinamikai rendszerek viselkedése szemléltethető az x ti

( )

állapotváltozó időfüggvényére alkalmazott kétdimenziós diagrammal.

A rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kaphatunk, ha elimináljuk a t időt az állapotegyenletből:

(

1, ,

)

, 1, ,

i i n

x = f x  x i=  n. (4.9)

Ezt egy két állapotváltozós rendszer példáján mutathatjuk be:

( )

a két egyenlet hányadosának képzésével

( )

a t időt formálisan elimináljuk és így x2-re egy differenciálegyenletet kapunk, amelyben x1 a független változó. Az

(

x x1, 2

)

teret általános esetben fázis térnek hívjuk, és fázis síknak kétszabadságfokú rendszer esetén. Az

(

x x1, 2

)

fázis térben a pont egy trajektória mentén halad, amely a rendszer időfüggő megoldásának folyamatát írja le.

4.2. példa: Lineáris giroszkópikus inga, matematikai inga Állapotegyenletek:

1 2, 2 g 1.

x x x x

= = − l

  (4.13)

Az egyik egyenletet elosztva a másikkal megkapjuk a fázisgörbe egyenletét

1 2

2 2 1 1

2 1 2

dx l x g c

x dx x dx

dx = −g x ⇒

∫

= −

∫

l + ^{, (4.14)}

ahol c egy integrációs konstans, amely először tetszőleges, amelyet végül a megfelelő kezdeti feltételek határoznak meg.

A (4.14) integrálásával kapjuk

2 2

2 2

1 10

2 20

/ /

x x

x c x

l g + = = +l g , (4.15)

ahol x1

( )

0 = x10 és x2

( )

0 = x20 kezdeti feltételeket behelyettesítettük a jobb oldalon.

Ebben az esetben a fázisgörbék ellipszisek c kis- és cω0nagy féltengelyek, az ω0 = g l/ a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciája (lásd 4.2 ábra).

4.2 ábra: A matematikai inga fázisgörbéje.

4.2 Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei

4.2.1 A homogén rendszer megoldása, alapmátrix

A lineáris állapotegyenletek teljes megoldásai viszonylag egyszerűen előállíthatók. Bizonyos technikai nehézségek elkerülése céljából a következő szakasz pótlólagosan feltételezi, hogy a rendszermátrixnak csak egyszeres sajátértékei vannak, azaz minden sajátérték csak egyszer fordul elő.

A homogén állapotegyenlet

, ⁿ, ^{n n},

= ∈ℜ ∈ℜ × ℜ

x Ax x A (4.16)

megoldását a következő alakba keressük

( )

^{t = eλt}

x x , (4.17)

amelyet visszahelyettesítünk a differenciálegyenletbe:

t t

e^λ e^λ λ =

x Ax . (4.18)

Mivel e^λt ≠0 , az egyenletet elosztjuk e^λt -val és közvetlenül egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk:

(

A−λE x

)

=0. (4.19)

A (4.19) egyenlet egy sajátértékfeladatot határoz meg λ_i, i=1,,n sajátértékekkel és , 1, ,

i i= n

x  sajátvektorokkal, az utóbbiak egy tetszőleges konstans erejéig határozottak. A sajátvektorokat egységnyi hosszúra normalizáljuk:

=1 xi .

A következőkben feltételezzük, hogy a

2

Euklideszi normát alkalmazzuk.

A teljes megoldást a sajátvektorok lineáris kombinációival írjuk fel:

( )

A sajátvektorok alkotta oszlopvektorok egy ún. modális mátrixot határoznak meg

[

^{, , ,}

]

= _{1 2 n}

X x x  x , (4.22)

a λi sajátértékek egy diagonális mátrixot alkotnak

(

1

)

diag λ, ,λ_n

Λ=  , (4.23)

és a ci konstansokat egy oszlopvektorba gyűjtjük

1 ez kielégíti a Taylor-sorfejtés definícióját:

( ) ( ) ( )

Továbbá igaz, hogy a modális mátrix inverze létezik (mivel a sajátvektorok függetlenek

Innen megkapjuk a teljes megoldást

( )

^{t =}

(

^{Λt −1}

)

0

x Xe X x . (4.28)

A zárójelezett kifejezés képviseli az alapmátrixot, azaz:

( )

^{t = Λt −1}

Φ Xe X . (4.29)

A diagonális mátrixra vonatkozó definíciót alkalmazva szintén igaz, hogy

( )

^{t = At}

Φ e . (4.30)

Az alapmátrix az ^x

( )

⁰ kezdeti állapotból az ^x

( )

^t állapotba való átmenetet írja le. Egy még általánosabb megközelítés szerint, az x

( )

t0 kezdeti feltételből kiindulva a Φ

( )

t t, 0 =e^At jelölést is alkalmazhatjuk.

Az e^At mátrix számos fontos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek nagymértékben egybeesnek a skaláris exponenciális függvények tulajdonságaival:

1. Differenciálhatóság: ^{d e t e t}

( )

^t

( )

^t

dt ^A =A ^A ⇔Φ =AΦ . 2. Regularitás: ^det

( )

^{eAt ≠0.}

3. Műveleti szabályok:

(^{1 2})

( ) ( ) ( )

A (4.30) egyenlet csak egy speciális esete egy mátrix függvénynek; pl. az szintén igaz, hogy

( ) ( )

¹

sin A =Xsin Λ X⁻ , (4.31)

azaz, egy mátrix függvényt a (4.31)-el megadott alakkal összhangban fogjuk elemezni, az X modális mátrixszal, és a függvényt a Λ diagonális mátrix főátló elemeire egyenként alkalmazva. A további számítási módszerek a Taylor-soron és a Cayley és Hamilton tételén alapszanak.

4.3. példa: Egydimenziós rezgőrendszer Van egy rendszerünk

cos(t) y+ =y

 ,

amely egy egydimenziós rezgőrendszer gerjesztett rezgéseit írja le. Ki kell számítanunk a homogén differenciálegyenlet általános megoldását.

Az állapotegyenletek

1 2

x =x és

2 1 cos

x = − +x t, vagy mátrix formában

0 1 0

Ezzel megkapjuk a modális mátrixot

[

^,

]

^{1 1 1}

2 i i

 

= ^{1 2} =  − 

X x x , (4.33)

így az alapmátrix

( )

A homogén egyenlet általános megoldása, tekintettel (4.28)-ra, adott:

( )

0 ^{10 10 20}

egy tetszőleges x0 kezdeti vektorral.

4.2.2 Az inhomogén állapotegyenlet megoldása

Ha egy rendszer ^b

( )

^t külső gerjesztésnek van kitéve, akkor a következő állapotegyenletet kapjuk:

( )

^t

( )

^t

= +

x Ax b , (4.36)

Ezen kívül A-ról feltételezzük, hogy konstans. A (4.36) megoldása a (4.38) homogén és a külső gerjesztésből származó xp

( )

^t inhomogén részéből áll, azaz, ezek szerint:

( )

^{t =}

( )

^t 0⁺ p

( )

^t

x Φ x x . (4.37)

A partikuláris megoldás meghatározására használhatjuk a konstansok variálásának módszerét. Ehhez a következőből indulunk ki:

( )

^{t =}

( ) ( )

^{t t}

xp Φ c , (4.38)

ahol ^c a variált konstans.

A (4.38) időszerinti differenciálása után kapjuk:

( )

^{t =}

( ) ( )

^{t c t +}

( ) ( )

^{t t =} _p

( ) ( )

^{t + t}

xp Φ Φ c Ax b . (4.39)

Mivel Φ

( )

^{t =}AΦ

( )

^t , ez azt eredményezi, hogy:

( ) ( )

^{t t =}

( )

^{t ⇒}

( )

^{t = −1}

( ) ( )

^{t t =}

( )

^−t

Φ c b c Φ b Φ b. (4.40)

A (4.40) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható: általános és teljes megoldás:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A jobb oldalon az első tag a rendszer szabad mozgását írja le az adott kezdeti feltétellel, míg a második összetevő a gerjesztett mozgást fejezi ki a b gerjesztés hatására. Nagyon fontos megjegyezni, hogy az összefüggéa az első tag nullához konvergál az időben. Ez az eset akkor fordul elő, ha egy szabadrendszer megfelel bizonyos stabilitási feltételeknek, lásd 10.

fejezetet. Itt a rendszer állandósult viselkedését a második összetevő írja le.

4.4. példa: Egydimenziós gerjesztett rezgőrendszer

A következő megoldást kapjuk a 4.3. példa rezgőrendszerére

( ) ( ) ( )

Egyenlővé tesszük a kezdeti feltételt zéróval, azaz x10 =x20 =0 és megkapjuk a megoldást:

( ) ( )

5 Az állapot egyenletek normál koordinátákkal

5.1 Normál koordináták

Megfelelő transzformációval gyakran egyszerűsíthetjük az állapotegyenleteket. A gyakorlatban nyilvánvalóan a lineáris transzformáció korlátain belül maradunk.

Máskülönben, a lineáris egyenletek nemlineárissá transzformálása nagyon megbonyolítaná a számításokat.

Az x állapotvektor lineáris transzformációja z állapotvektorrá a következő módon tehető meg:

=

x Tz, (5.1)

ahol T egy n×n méretű mátrix. Továbbá, léteznie kell egyértelmű inverz transzformációnak is:

Alkalmazzuk a (5.1) transzformációt egy lineáris állapotegyenletre:

= +

x Ax Bu. (5.4)

Így először

= +

Tz ATz Bu, (5.5)

adódik és azután T⁻¹-el történő bal oldali szorzással a következő állapotegyenletet kapjuk

= +

z Az Bu, (5.6)

ahol A=T AT⁻¹ (5.7)

és B=T B⁻¹ . (5.8)

Az (5.7) transzformációt hasonlósági transzformációnak nevezzük. A hasonlósági transzformáció fogalma abból a tényből származik, hogy az ^A és A=T AT⁻¹ mátrixok azonos sajátértékekkel rendelkeznek.

5.1. tétel:

A hasonló rendszer sajátértékei invariánsok lineáris nemszinguláris transzformációkkal szemben.

A transzformáció célja, hogy általa a megoldás és az egyenletrendszer értelmezése egyszerűbb legyen, azaz, a mátrix szerkezete “alkalmasabb” legyen, mint az A kezdeti mátrixéra.

Egyik keresett jellemző az egyenletek között kapcsolódás mértéke, amely a lehető legkisebb legyen. Ha ^A minden sajátértéke különbözik egymástól, akkor a rendszer-egyenletek teljesen független egyenletekké transzformálhatók, azaz, az új rendszermátrix diagonális szerkezetű lesz.

5.2. tétel:

Ha az n×n méretű A mátrix minden sajátértéke különbözik egymástól, és rendelkezésünkre áll egy T nemszinguláris lineáris transzformáció, akkor a T AT⁻¹ rendszermátrix, az ⁿ db sajátértékkel a főátlóban, diagonális szerkezetű lesz.

Ez alapján

Az ilyen tulajdonságú A mátrixot diagonalizálhatónak nevezzük.

A sajátvektorokat oszlopokba rendezve képezhetjük a ^T mátrixot, azaz, a ^T mátrix megegyezik a 4.2.1 pont alatt bevezetett X modális mátrixszal.

A transzformált irányítatlan

(

^u=0

)

rendszer u darab differenciálegyenletből áll, amelyek függetlenek egymástól

, 1, ,

i i i

z =λz i=  n (5.10)

és az ⁿ-dimenziójú ^z

( )

^t teljes mozgás az egyedi mozgásokkal fogalmazható meg

[

^{0 0} zi ^{0 0}

]

^T, i ^{1, ,}n

= =

zi    . (5.11)

A zi koordinátát (5.11)-ben normál koordinátának nevezzük, és 0, ha i j,

= ≠

T i j

z z (5.12)

amely azt jelenti, hogy a zi vektorok egymásra ortogonálisak.

Egy normál koordinátára alapozott rendszerben minden sajátérték csak egy koordinátára van hatással, azaz minden főkoordináta időfüggő változása független a maradék főkoordináták időfüggő változásától.

Az összefüggés az eredeti koordináták és a normál koordináták között egy-egy

Jegyezzük meg, ha komplex sajátértékek jelennek meg (és ezért komplex sajátvektorok is) az egyenletekben komplex tagok származnak, amelyek megváltoztatják a közvetlen precíz elemzést. Ez a hátrány is megszüntethető, ha figyelembe vesszük, hogy a valós mátrixok komplex sajátértékei mindig a komplex konjugált párjaival jelennek meg:

1/2 i

λ = ±δ ω. (5.14)

A megfelelő egyenletek az alábbi módon írhatók

( )

A (5.15) és (5.16) összeadása és kivonása után kapjuk, hogy

( ) ( )

a valós egyenletekkel

1 1 2

y =δy +ωy , (5.21)

2 1 2

y = −ωy +δy . (5.22)

A két elsőrendű differenciálegyenletből egyetlen másodrendű differenciálegyenlet állítható elő az (5.21) egyenlet idő szerinti differenciálásával majd az (5.22) egyenletbe illesztésével

( )

( )

1 1 1 1 1

y =δy +ω ω− y +_ω^δ y −δy

   .

Ez egy rezgés normál alakban felírt homogén lineáris egyenlete:

(

^{2 2}

)

1 2 1 1 0

y − δy + δ +ω y =

  . (5.23)

Összefoglalás

Lineáris rendszerek megoldásának értelmezése a sajátértékekkel Az A rendszermátrix általában I számú

, 1, ,

i i i I

λ δ= =  (5.24)

valós sajátértékkel és k számú konjugált komplex sajátértékkel

i , 1, ,

i i i I I k

λ δ= ± ω = +  + (5.25)

rendelkezik. Tehát, az első ^I számú egyenlethez valós gyökök tartoznak ezért teljesen szétválaszthatók. A maradék egyenletek párokat alkotnak és helyettesíthetők k számú másodrendűvel, ezzel eliminálva minden második koordinátát. Így minden főkoordináta vagy egy nem periodikus mozgást vagy egy csillapított rezgést ír le.

Így, egy dinamikai rendszer mozgásairól teljes megállapítást tehetünk a sajátértékek segítségével. A sajátértékek lényeges szerepet játszanak a rendszerviselkedésben.

Grafikusan a komplex számsíkon szemléltetjük a sajátértékeket, azaz a gyökhelyeket (lásd 5.2 ábra5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél.). A gyökhelygörbe tömör információval szolgál a sajátértékek paraméterszerinti megváltozásáról.

A gyökhelygörbe közvetlenül információt szolgáltat a lineáris rendszer stabilitásáról is.

Minden stabil megoldás sajátértéke a komplex sík bal oldalán található, azaz, a sajátértékek negatíve valós résszel rendelkeznek, amely garantálja a megoldási időgörbe nullához való közeledését, lásd (5.17) egyenletet.

Eltekintve a stabilitási szemponttól, a gyökhelygörbe információval szolgál az autonóm rendszer hosszú idejű viselkedéséről is. Ezt a viselkedést kis csillapítású rendszer megoldásával határozzuk meg (ha a rendszert a kezdeti feltétel gerjeszti csupán). A legkisebb csillapítású megoldásokhoz tartozó gyökök a komplex sík bal oldalán a képzetes tengely közelében találhatók. Ezeket a sajátértékeket domináns sajátértékeknek nevezzük, és az állapotegyenlet megfelelő megoldásait pedig domináns megoldásnak.

Kapcsolat a sajátérték, sajátfrekvencia, a rendszer csillapítása és a rendszer időállandója között

Minden valós λ sajátértékhez tartozik egy ún. T időállandó T 1

= −λ.

A gerjesztettlen rendszer állapotváltozójának időfüggvénye rendelkezik egy alábbi alakú résszel

5.1 ábra: Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel.

Az 5.1 ábra 5.1 ábra: Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel.a t0,5 ún. felezési időt szemlélteti

0,5 ln 2 0, 69215

t = T ≈ T.

Megfordítva, kiszámíthatjuk a valós λ sajátértéket a mért felezési időből

1 0,5

2e ^t

λ = − = −T ⁻ , (5.26)

Ha komplex a sajátértékpár

, i

λ λ δ= ± ω

a rendszer lengőképes, és sajátfrekvenciája 1

f 2 ω

= π

Lehr-féle csillapítása pedig

2 2

D δ

δ ω

= + .

Ebben az esetben az állapotváltozók időfüggvényei

( )

( )t =e^δt cos(2π f t)− sin(2πf t)

s u v

alakuak, a λ-hoz tartozó megfelelő sajátvektorral

= ± i x u v

megfelelő sajátvektorokkal. Ez a rész csökken, ha δ <⁰, így ^D>0. A két egymást követő amplitúdó hányadosa

2

2

1 1 1

D

i D

i

s e

s

− π

+ = − < .

Az 5.2 ábra 5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél.személteti a megfelelő folyamatot.

5.2 ábra: Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél.

A rendszer mátrix konjugált komplex sajátértékét kiszámíthatjuk a rendszer egy sajátfrekvenciájából és a megfelelő csillapításából:

, 2 2

1 2

fD f i

D λ λ = − π ± π

− .

5.3 ábra: Lineáris rendszerek viselkedése a sajátértékek komplex síkon való helyzetének függvényében.

5.1. példa: Negyed autó (lásd [10])

5.4 ábra: Negyed autó.

Ebben a példában az 5.4 ábra szemléltetett negyed autót vizsgáljuk.

A kerék koncentrált tömege számos alkatrész (abroncs, keréktárcsa, fék, a felfüggesztés megfelelő része) összegeként áll elő és mR helyettesíti, amelyet egy

( )

cR rugó köt az úthoz.

A rugó az abroncs függőleges merevségét képviseli. A kerék csillapítását elhanyagoljuk.

A kerék és a kocsi megfelelően helyettesített (az autó adott része, motor, sebességváltó, szerelvények, stb.) mA tömege között egy rugós tag

(

c dA^, A

)

ideális rugó és csillapítás) található. Lineáris karakterisztikájú rugókat és csillapítást feltételezve, az impulzustételből származó egyenletek:

( ) ( )

A lineáris rendszer egyensúlyi helyzetére a következő állapotvektort választjuk

0

ebből az alábbi egyenletek következnek

[ ]

kezdeti mennyiségeink:

( )

0

(

2

)

dyn R S R R S

F =c x −x −F =c x −x ahol F0 a statikus kerékerő

( )

Mátrix formában írva

  

A rendszer viselkedésének elemzéséhez a következő adatokat választjuk:

A 380

Az 5.5 ábra a rendszert a komplex síkon szemlélteti, ahol megrajzoljuk a gyökhelygörbéket a csillapítási tényező 1500Ns m/ ≤d_A≤6500Ns m/ tartományban való változásának függvényében.

Nyilvánvaló, hogy a négy sajátérték távolodik a képzetes tengelytől a csillapítás növekedésével. Végül elérik a valós tengelyt, amely azt jelenti, hogy a rendszer aszimptótikusan csillapodik elegendően nagy dA értéknél.

5.5 ábra: A negyed autó sajátértékei 1500 Ns/m ≤ dA ≤ 6500 Ns/m csillapításnál.

⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései

5.2 Többszörös sajátértékű rendszerek viselkedése

5.2.1 Többszörös sajátértékek hatása [3]

Az előző megfontolások kikötötték, hogy az ^A rendszer mátrix ⁿ db független sajátvektorral rendelkezik. Ez biztosan előfordul, ha a sajátértékek különböznek egymástól. Ha többszörös sajátértékek fordulnak elő, a diagonalizálást nem tudjuk garantálni a továbbiakban. Ezt egy másodrendű rendszeren fogjuk megmutatni:

A mátrixok

0 1

0 és 0

λ λ

λ λ

   

=  = 

   

1 2

A A , (5.27)

mind a kettő kétszeres λ sajátértékkel rendelkezik. Ha A2 diagonalizálható lenne, akkor létezne egy ^X transzformáció, úgy, hogy

valamint ,

= ^-1 =

1 2 1 2

A X A X XA A X (5.28)

ahol

Az (5.28) egyenletben kijelölt műveletek végrehajtása után

11 12 11 21 12 11

Megtalálhatjuk ennek a viselkedésnek a fizikai magyarázatát, ha az állapot egyenletek megfelelő megoldásait értelmezzük. Az A1 mátrixhoz tartozó egyenletek,

1 1 Az A2 rendszermátrixhoz tartozó rendszeregyenlet:

1 1 2

A két megoldásra teljesen különböző fizikai viselkedés tartozik. Ez még nyilvánvalóbb a λ=0 választásnál, rendre

10

Ez azt jelenti, hogy az első rendszer nyugalomban van, míg a másik konstans y20 sebességgel mozog. Alapvetően, ebben az esetben két különböző mozgással van dolgunk, és az nyilvánvaló, hogy egyszerű koordináta transzformációval a nyugalmi helyzetet nem tudjuk mozgásra bírni.

Másfelől, ez azt mutatja, hogy egy kétszeres sajátértékkel bíró másodrendű rendszert (5.27) alatti két alapvető alak egyikére tudjuk transzformálni.

5.2.2 Jordan-féle normálalak

A rendszer mátrix diagonalizálása hasonlósági transzformációval csak akkor lehetséges, ha minden sajátvektor valóban létezik.

De ha a λi többszörös sajátérték vi multiplicitással fordul elő, akkor ez az ún. többszörös sajátérték di számú független sajátvektorral fog rendelkezni, ahol di a rang csökkenésének vagy a vesztességének a foka, amely a következő összefüggésből határozható meg:

( )

Rang , 1 ha 1, , .

i i i i

d = −n λE−A ≤d ≤v i= … m<n (5.31)

Az A mátrix nem diagonalizálható ebben az esetben, de mindenesetre van egy X transzformációnk, amely szerint

−

Jordan-féle blokkoknak nevezzük. Ez annyiban különbözik a diagonálistól, hogy a felső kodiagonális elemek helyén 1-ek vannak. Az azonos sajátértékű Jordán-féle blokkok száma megegyezik a független sajátvektorok számával, amelyek a sajátértékekhez tartoznak. A (5.31) egyenlettel összhangban, minden egyes sajátérték pontosan di számú λi főátlójú Jordan-féle blokkot tartalmaz.

Legyen a rendszeregyenlet felírva z=Jz

 (5.34)

normál koordinátákkal.

normál koordinátákkal.

In document Mechatronikai Modellezés (Pldal 55-137)