ábra: A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata

       

       

x x A B x

y S u C D u

 (2.26)

A (2.24) and (2.25) segítségével igazoljuk a lineáris dinamikai rendszer sajátos jellemzőit:

• Arányosság: λ∈ℜ-rel és igaz, hogy λu⇒λ λx, y.

• Szuperpozíció: u₁+u₂ ⇒x₁+x₂, y₁+y₂

2.10 ábra: A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata.

2.5. Megjegyzések:

Idővariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az ^A és ^Bmátrixok az időnek explicit függvényei

( )

^{t =}

( )

^{t +}

( )

^t

x A x B u. (2.27)

Az időinvariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az A és ^Bmátrixok konstansok

( )

^{t = +}

x Ax Bu. (2.28)

Az időinvariáns rendszer gyakran abban az esetben áll elő, amikor x u₀, ₀ =const.

2.16. példa: Matematikai inga

2.17. példa: Csillapítatlan logisztikus növekedés

Az ^x=0 egyensúlyi pont körüli linearizálással kapjuk, hogy:

x=ax,

és a x=k körül közelítve:

x= −ax.

2.18. példa: Linearizálás periodikus megoldásra

( )

Következésképp, a lineáris rendszer állapotegyenlete az alábbi alakú

2 2 2

2.5 Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével [3]

I. Feladat: Az állapotegyenlet megoldása (4-9. fejezet)

Keressük az ^x=x

( )

^t,u függvényt, azaz a t idő és u vezérléstől függő állapot jellemző tulajdonságait.

Három estet kell megkülönböztetni:

1. Nemlineáris állapotegyenletek:

• Ebben az esetben, az állapotegyenletek megoldása vagy teljesen lehetetlen vagy közelítőleg határozható meg.

2. Lineáris idővariáns rendszer:

• Csak formális közelítés létezik a megoldásra. A nehézségek nagyon hasonlóak az 1. esethez.

3. Lineáris időinvariáns állapotegyenletek:

• Csak ebben az estben rendelkezünk explicit megoldással. De nehézségek itt is előfordulnak magasabb rendű rendszerekre.

Mivel az állapotegyenletek explicit megoldása csak ritkán lehetséges, a rendszer vizsgálatát más módon kell megtenni, és így a következőkben tárgyalt sajátos kérdésekre kell koncentrálnunk.

II. Feladat: Stabilitás (10. fejezet)

Egy műszaki rendszert nem engedhetünk sem elszabadulni, sem felrobbanni. Az állapotvektornak végesnek kell lennie. Ezzel összefüggésben, azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy mely paraméter értékeknél lehet stabilitás a definíció széles értelemében:

const

→

x , midőn ,t→ ∞,

vagylagosan mikor válik a rendszer instabillá (labilissá), azaz

→ ∞

x , midőn ^{t→ ∞}.

A stabilitás kérdését az egyenlet megoldása nélkül is meg kell tudnunk válaszolni.

Nehézségekbe ütközhetünk nemlineáris és idővariáns rendszereknél, míg lineáris rendszerekre könnyű stabilitási megállapításokat tenni.

III. Feladat: Irányíthatóság (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

A felhasználó bizonyára egyszerű irányítási rendszer tervezésében érdekelt. Ebben a vonatkozásban felvetődik a kérdés, hogy vajon a rendszer irányítható-e vagy sem, azaz, az u vezérlő értéke megválasztható-e oly módon, hogy a rendszer egy tetszőleges x

( )

t0

állapotból átvihető legyen egy x

( )

t1 célállapotba. Ez a feladat megoldható lineáris rendszerekre, ugyanakkor még nagyok a nehézségeink nemlineáris rendszerek esetén.

2.6. definíció:

Egy n-ed rendű rendszer teljesen irányítható, ha a rendszer bármilyen x

( )

0 =x0 kezdeti feltételből bármilyen x1 állapotba vihető véges t1 >0 idő alatt egy ^u

( )

^t irányítással (bemenő függvénnyel) a

[ ]

0,t1 intervallumon úgy, hogy a megoldás trajektóriája, amely az

x0 -ból indul a t=t1 időpontban kielégiti az x1 értéket.

A Kálmán-féle kritériumot (Kern (2002)) biztosítani kell az irányíthatóság kézbentartása céljából.

IV. Feladat: Optimalizálás (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

Egy rendszernek egy kezdeti állapotból egy adott végállapotba történő irányítási feladata rendszerint többféle irányítási programmal megoldható. Itt az u irányítást oly módon kell megválasztani, hogy egy olyan folyamatot érjünk el, amely a lehető legolcsóbb és olyan gyors, amilyen csak lehet. Az eredmények optimális kritériumok, amelyekre az optimális vezérlést alapozni kell.

V. Feladat: Irányítás (lásd Automatika)

Kétféleképpen határozhatjuk meg az irányítási módszert:

• u mint az időfüggvénye, azaz ^u

( )

^t ,

• u mint az állapot függvénye, azaz ^{u x}

( )

.

Az első eset a szűk értelemben vett irányítás (vezérlés), míg a második esetben visszacsatolásról beszélünk, és ^{u x}

( )

-t a szabályozó fogja szolgáltatni. A lehető legegyszerűbb és bizonyos értelemben optimális szabályozó meghatározása az irányítástechnika legfontosabb feladata.

VI. Feladat: Szimuláció (5-9. fejezetek)

A szimuláció (a latin “simulatio= szinlelés” kifejezésből) egy valós rendszer imitációja. A szimulálás tevékenysége nem a valós rendszer elemzésén, hanem a rendszer modelljén alapszik. Az irodalomban, a szimuláció (szűk értelemben) a (többnyire numerikus) megoldásra és a rendszeregyenletek értelmezésére vonatkozik.

VII. Feladat: Identifikáció (10. fejezet)

A rendszerelemzés elméleti megközelítése (deduktív modellezés; deduktív = az általánosról a speciálisra való következtetés) legtöbbször nem elegendő, mivel a rendszerparamétereket vagy nehéz meghatározni vagy teljesen lehetetlen. Ezekben az esetekben kísérlettel szükséges azonosítani a teljes szerkezetet vagy az elemzni kívánt szerkezet paramétereit.

3 Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer

3.1 Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek)

Eddig a rendszer egyenleteket explicit alakban adtuk meg, ez azt jelenti, hogy az ^x állapotváltozó sebessége kifejezhető az x állapotot és az u bemenő mennyiséget tartalmazó ^f számítási szabállyal.

Számos alkalmazásban, a rendszeregyenletek (2.3)–mal összhangban csak implicit alakban léteznek:

(

, ( ), ( ),

)

i t t t =

F x x u 0. (3.1)

Ebben az esetben, x nem számítható ki a rendszer függvény egyszerű elemzésével, hanem (3.1) egyenletet meg kell oldani x -ra.

A DAE-rendszerek speciális esetet képviselnek: Itt az x állapotvektor az xa és xd két részvektorból áll, lásd 3.2.2 pont:

d

ahol x_d azon változókat tartalmazza, amelyek deriváltjai is szerepelnek az egyenletben, míg xa mindazon változókat, amelyek deriváltjai nem fordulnak elő.

A következő rendszer egy speciális eset, amely gyakran előfordul:

,

A differenciálegyenletek ezen speciális alakjait szokás Hessenberg-féle alaknak is nevezni.

Ha f (x x u)a d, a, =0 megoldható xa-ra, akkor xa beilleszthető és átvihető egy közönséges ODE-rendszerbe (ODE= közönséges differenciálegyenlet).

Gyakran nem pontosan ez a helyzet: Például, lehet, hogy fa nem függ xa-tól. Ebben az esetben, természetesen, xa nem eliminálható fa-val. Itt xa csak úgy eliminálható, ha (3.3) – at idő szerint egyszer vagy többször deriváljuk.

3.1. példa: Nemlineáris egyszerű inga, mint DAE rendszer

Egy m tömegpont, amely csak az xy-síkban mozoghat, egy l hosszúságú súlytalan rúdra fel van függesztve egy 0pontra, amely körül súrlódásmentesen forog.

Az m és 0 pontok távolságát vízszintes irányban x , függőleges irányban y jelöli.

3.1 ábra: Nemlineáris, egyszerű inga.

Az impulzus tétel ^x− és ^y− irányban:

A kiegészítő mennyiséggel

x Sy

S

mx my

λ = = − . (3.5)

megkapjuk a következő mozgásegyenleteket:

,

Elsőrendű differenciálegyenleteket kaphatunk az alábbi helyettesítésekkel:

,

Ezután felírjuk a kinematikai kényszert

2 2 2

0

x +y − =l , (3.8)

és a következő DAE-rendszert nyerjük:

2 2 2

Az állapotváltozók szétválasztása után kapjuk, hogy:

[ ]

A (3.9) rendszeregyenletet természetesen közönséges egyenletrendszerré (ODE) transzformáljuk. Ez elérhető a (3.9) idő szerinti differenciálásával és megfelelő átalakításával.

Idő szerint differenciálva a (3.9) utolsó egyenletét és behelyettesítve az első kettőbe, kapjuk:

0= x v_x+ y v_y. (3.11)

Ezen egyenlet további differenciálásával kapjuk:

2 2 2 2

Harmadszor is deriválva idő szerint a továbbiakat kapjuk

2

és végül az ODE a következő lesz:

Tehát (3.9) DAE-t idő szerint háromszor differenciálva végül megkaptuk a (3.14) ODE-t.

A DAE szükséges differenciálásának a számát, hogy a keresett ODE-t megkapjunk, a DAE indexének nevezzük.

3.1. definíció:

A DAE Indexe a szükséges differenciálások számát jelenti, amely a DAE-nek ODE-vé történő átalakításához szükséges.

3.1. Megjegyzések:

1. Az index azt a “távolságot” fejezi ki, amely a DAE és az ODE képei között van. A matematikai inga indexe 3.

2. Ezért egy ODE indexe 0.

3. Az olyan DAE, amelynek 1-nél nagyobb indexe, magasabb indexű DAE-nek nevezzük.

4. Egy DAE indexe a megoldás előrehaladtával változhat (helyi index).

5. Az index szintjével összhangban a numerikus megoldás nehézségei is növkedednek.

A numerikus közelítés, különösen magasabb indexű DAE-ra gyakran nagyon nehéz és bonyolult. Így még a megoldás előtt kell megpróbálnunk lecsökkenteni a rendszer indexét (lásd 7-8. fejezetet). A bemutatott módszert leíró alaknak is nevezik. Azonban, a λ kiszámítására alkalmazhatjuk a (3.12) egyenletet

2 2

2

1 (v_x v_x g y) λ =l + −

és ezáltal elimináhatjuk λ-t a további egyenletekből.

Ebben az esetben megkapjuk az ODE-t:

( )

eltekintve az előjeltől kifejezhetők egymással

2 2

y= ± l −x

Ezt az állapot reprezentációt ezért nem minimálisnak is nevezhetjük.

3.2. Megjegyzések:

Ez a példa sokkal bonyolultabbnak látszik leíró formában, sőt még nem minimális rendszer alakjában is a (2.1) és (2.2) minimális koordinátaválasztáshoz képest. Mindazonáltal, ezen speciális állapot reprezentációkat gyakran alkalmazzuk, mert

• a bonyolult rendszerek minimális koordinátákkal való leírása néha nagyon munkaigényesek,

• a minimális koordinátákkal az egyenletek nagyon bonyolultak és hibára hajlamosak.

A nem minimális leírás egyik nagy hátránya, hogy a kiegészítő feltételt (a matematikai inga esetére pl. x²+ y²− =l² 0) csak differenciális alakban vesszük figyelembe. Szükségképpen a kezdeti feltételeket úgy kell megválasztani, hogy kielégítsék a kinematikai kiegészítő feltételeket. Továbbá, a nem minimális differenciálegyenletek numerikus megoldása során a kiegészítő feltételek megváltoznak. Ez egy stabilitási eljárás alkalmazását teszi szükségessé, amely korrigálja az állapot-egyenleteket a megoldás során, úgy, hogy az algebrai kiegészítő feltételek ismét egzaktul legyenek kielégítve.

A következő fejezetben bemutatásra kerülő módszerek alkalmazásainak előnye az ilyen típusú egyenlet hatékony és pontos megoldásának képessége.

3.2 A hálózati módszer (“Cut-Set” vagy Multiport módszer)

3.2.1 Alapgondolat

Ellentétben a blokkvázlattal, a következő modell szemlétetések nem reprezentálják a modellegyenlet szerkezetét (3.2 ábra), hanem a valós rendszer fizikai szerkezetét (3.3 ábra).

Itt minden fizikai komponenst egy blokk képvisel, amely a megfelelő interfészeken keresztül kapcsolódik és kölcsönhatásban van más komponensekkel valamint a környezettel.

3.2 ábra: Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció.

3.3 ábra: Objektum-orientált modellezés/szimuláció.

Ezt a hálózati módszert objektumorientált módszernek is szokás nevezni.

Minden metszés (Cut) két változó jellemez:

3.4 ábra: Blokkvázlat.

ahol:

keresztváltozó: két interfész között mért mennyiség; hasonló, mint pl. a feszültség (= egy villamos kör potenciálkülönbsége),

3.5 ábra: Különbség mérése (keresztváltozó).

átmenő változó: a szerkezeten belül egy beépített eszközzel mért mennyiség; hasonló, mint a villamos áram mérése egy áramkörben.

3.6 ábra: Áramlás mérése (átmenő változó).

A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken hasonló, mint a 3.1 táblázatban.

3.1 táblázat: A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken.

Tudomány Keresztváltozó Átmenő változó

mechanika sebesség erő

elektrotechnika feszültség (potenciál különbség) villamos áram

hidraulika/pneumatika nyomás térfogatáram

termodinamika hőmérséklet entrópia áram

Az objektumok csak egyféleképpen kapcsolhatók össze a hálózati (“Cut-Set“) módszerrel:

3.7 ábra: Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel.

A blokkok összekapcsolásánál a következő szabályokat kell betartani:

1. minden keresztváltozó azonos: ac1 =ac2 =ac3=, 2. az átmenő változók összege zérus: th1+th2+th3+=0. 3.3. Megjegyzés:

A kapcsolódás a fizikai komponensek közötti valóságos létező kapcsolatra épül.

Összeszerelés egy teljes rendszerré:

Az egyedi komponenseket a metszetek segítségével kapcsoljuk össze és ezek teljesítmény vesztesség nélkül viszik át a mozgást és az erőt (eltekintve disszipációtól és meghajtó hatástól, mint nyelőtől vagy forrástól).

Előnyök:

• Itt a blokkok és kapcsolódások közvetlenül utalnak a fizikai komponensekre és a kapcsolódásaikra.

• A matematikai modell közvetlenül a szemléltetés segítségével adódik.

3.2.2 Az egyenlet szerkezete

Egy általános blokk a következő két egyenletrendszer csoporton alapszik:

• közönséges differenciálegyenlet ( , , )

d = d d a t

x f x x , (3.15)

• algebrai egyenlet

( , , )

a d a t =

f x x 0, (3.16)

ahol:

• x_d azon változók, amelyek deriváltjait a blokkban értelmezzük (d = differenciál),

• x_a azon változók, amelyek deriváltjai a blokkban nem jelennek meg (a=algebrai).

Bemenő és kimenő változók:

Azon változókat, amelyek idő szerinti deriváltjait a blokkban értelmezzük alapvetően bemenő változóknak tekintjük.

Néhányat ezen változók közül a (3.15) egyenlet segítségével a többi változóval értelmezzük.

Algebrai egyenlet példája (Matematikai inga):

3.8 ábra: Matematikai inga.

1 Tehát ezt kapjuk:

2 2

2 2

1 2

x = ± l −x

x2: bemenő változó, x1: kimenő változó.

A (3.15) és (3.16) kombinációja eredményezi az ún. differenciál-algebrai egyenletrendszert (DAE):

( , , )t =

f x x 0, ahol ^d

a

=   

  x x

x

Speciális módszerek léteznek ezen rendszerek megoldására (ún. “DAE-Solver”, lásd 8.2 fejezetet).

3.4. Megjegyzés:

Figyelemmel a különböző típusú fizikai komponensekre (3.15) vagy (3.16) egyenletet elhagyjuk.

Grafikus szemléltetés:

Itt szintén a rendszerelemek egy fajta blokkvázlatát használjuk. Azonban, ebben az esetben a blokkok nem képviselnek matematikai műveleteket (úgy, mint a klasszikus típusú blokkvázlat), de minden esetben fizikai objektumnak felelnek meg (ac: kereszt, th: átmenő).

3.9 ábra: Grafikus személtetés.

Előjel konvenció:

3.10 ábra: Előjel konvenció.

Az átmenő változók mindig a vágás helyétől a blokkhoz mutatnak. A pozitív jel rögzítése érdekében egy vonalat rajzolunk a körhöz, a pozitív áramlási irány jelzésére.

⇒ 5. feladatlap: Kettős inga modellezése DYMOLA-val

3.2.3 Példák

3.2.3.1 Elektromos komponensek 3.2. példa: Ohmikus ellenállás

3.11 ábra: Ohmikus ellenállás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

V −V =Ri Ohm törvénye.

3.3. példa: Induktív ellenállás

3.12 ábra: Induktív ellenállás.

Fizikai törvények:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1

1 2

Ldi V V

dt = − induktivitás.

3.4. példa: Kapacitás

3.13 ábra: Kapacitás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

( )

C d V V i

dt − = kapacitás.

3.5. Megjegyzés:

Az (a)-tól (c)-ig példák az ún. kettős csatlakozókat szemléltetik (a villamos mérnöki feladatokban gyakran alkalmazzák).

3.5. példa: Egyszerű villamos hálózatok

3.14 ábra: Egyszerű villamos hálózat.

Egyenletrendszer:

Differenciális mennyiségeket tartalmaz az egyenletrendszer:

2

Algebrai mennyiségek előfordulnak az egyenletrendszerben:

1

Ebből következik a differenciál-algebrai egyenletrendszer:

3 0

⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései

3.2.3.2 Mechanikai rendszerek

A mechanikai rendszerekben a multi portok ún. “kinetostatikus” átviteli elemeknek tekinthetők, amelyek a mozgást és az erőt viszik át. Tehát a „metszést” még jobban kiterjesztjük.

Helyzet

A helyzet, sebesség és gyorsulás kinematikai mennyiségek (keresztváltozók) az erő statikai mennyiség (átmenő változó). De a következő diagram csak egy sebességet és egy erőt foglal magába (3.16 ábra).

3.6. példa: Rugó

3.15 ábra: Rugó.

A pozitív erő teljesítménye pozitív a vonatkoztatási ponthoz képesti pozitív elmozdulásával.

Az erők egyensúlyából (3.15 ábra) következik:

( )

( )

1 2 0 2 1

F =F =k l − x −x . A rugóra vonatkozó egyenletrendszer:

( )

3.16 ábra: Multi-port rugó modell.

Ebben az esetben differenciálegyenletrendszer nem alkalmazható.

3.7. példa: Tömeg

3.17 ábra: Tömeg.

A tömegre vonatkozó differenciálegyenlet:

F =mx.

3.18 ábra: Multi-port tömeg modell Szokás erre “Terminál”-ként vagy “egy-Port”-ként is hivatkozni.

3.8. példa: Rugó-tömeg rendszer.

3.19 ábra: Rugó-tömeg rendszer.

Algebrai egyenletrendszert kapunk:

( )

( )

1 0 1 0

F =k l − x −x ,

( )

( )

0 0 1 0

F =k l − x −x . A differenciálegyenlet:

F1=mx.

A meglévő három egyenlet négy változót tartalmaz

(

x x F F0, 1, 0, 1

)

. Ez azt jelenti, hogy egy változó teljesen tetszőlegesen megadható. Egy rögztés előírása az x₀ ≡0 lenne, egy harmonikus gerjesztés pedig x0 =rcos

( )

ωt lehetne.

3.6. Megjegyzés:

Mechanikai, elektromechanikai, hidraulikai és hasonló alkatrészek természetes átviteli iránnyal rendelkeznek a keresztváltozó vonatkozásában, míg az átmenő változót tekintve pedig ellentétes irányú.

3.20 ábra: Multi-port.

A metszések bal oldalon a bemenő keresztváltozóval, a jobb oldalon a kimenő átmenő változóval vannak jellemezve. A kapcsolatot a bemenő és kimenő változók között a K mátrixszal írjuk le.

11 1

A multi-port teljesítményveszteség mentességéből következik:

1 1 n n 1 1 m m

ac th⋅ + + ac th⋅ =ac th′⋅ ′+ + ac′ ⋅th′ . (3.18) Mátrix jelöléssel a bemenő és a kimenő kereszt- és az átmenő változók az alábbiak:

1 1 1 1

Ezért a (3.17) és (3.18) egyenletek tömörebb formában írhatók:

′ = ⋅

ac K ac, (3.19)

T⋅ = ′T⋅

ac th ac th . (3.20)

A (3.19) egyenletet beillesztve (3.20)-ba eredményül a következőt kapjuk:

( )

^{T '}

Mivel ez alkalmazható bármelyik ac vektorra, ebből következik

T ′

= ⋅ th K th .

Így a K transzponáltjával számítható át az átmenő változó az ellentétes oldalra.

4 Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon

A következő rész a differenciál-állapotegyenletek megoldásával foglalkozik. A jelölés egyszerűsítése kedvéért, vizsgáljuk meg a következő differenciálegyenletet:

d

( )

érték). Ez alapján a megoldás a következő:

( ) ( )

t

a

x t = +A

∫

f t td ^{. (4.3)}

A (4.1) ODE-t kombinálva a kezdeti feltétellel kezdetiérték-feladatnak nevezzük:

( ) ( , ) , ( )

x t = f x t x a = A . (4.4)

A differenciálegyenlet dinamikai feladatokra való alkalmazásának akkor van értelme, ha

• egy megoldás létezése (egzisztenciája) általában garantált,

• csak egy megoldása van egy adott feladatnak (unicitás).

A következő tétel mindkettőről gondoskodik a feladatok széles körére.

Picard - Lindelöf tétele:

Ha az ^{f x t}

( )

^, folytonos egy adott tartomány minden

( )

^{x t,} pontjában:

{ ( )

^{, : , , ,}

}

D= x t a≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞t b x a b∈R , és létezik egy ^L konstans (Lipschitz konstans), amivel

( )

^,

(

, *

)

*

(

^Lipschitz feltétel

)

f t x − f t x ≤L x−x (4.5)

minden

( ) (

^{t x, , , *t x}

)

^∈D-re, akkor, minden ^{x a}

( )

^{= A} kezdeti feltételhez létezik pontosan egy ^{x t}

( )

megoldás a kezdetiérték-feladatra, amely x folytonos és differenciálható minden

( )

^{t x, ∈D}-re.

Így az állapotegyenlet pontosan egy megoldása garantált, ha az általános megkötések teljesülnek.

4.1. Megjegyzés:

• A tétel előírásai akkor teljesülnek, ha az ^{f x t}

( )

^, függvény x szerinti deriváltjai korlátosak a D tartományon, ekkor élhetünk a következő választással:

( )

( )

• Ez a tétel, minden nehézség nélkül, általánosítható differenciálegyenlet-rendszerekre.

• Csak a megoldás egzisztenciája és unicitása garantált. Egy általános-analitikus eljárás nem adható meg, kivéve a speciális eseteket. Egy fontos esetet képeznek a lineáris differenciálegyenletek. Ezek az alábbi formában adhatók meg

( )

x =ax+h t , (4.7)

• ahol a valós együttható, amely független x-től, és ^{h t}

( )

a gerjesztő függvény.

Miért is garantált ebben az esetben a megoldás egzisztenciája és unicitása?

Ez a tétel n-ed rendű differenciálegyenletekre is alkalmazható, és érvényes a következő tétel.

4.1. tétel:

Az n-ed rendű differenciálegyenlet

( ) (

^,

( ) ( )

^{, ' , , 1}

( ) )

n n

y t = f t y t y t  y ⁻ t (4.8)

teljes megoldása n számú tetszőleges paramétert tartalmaz. A teljes megoldás felfogható, mint a differenciálegyenlet általános megoldása. Megfelelő kiegészítő feltételek választásával, ha megadjuk a paramétereket, megkapjuk a partikuláris megoldást.

Nemlineáris differenciálegyenletekre az általános megoldás ugyan nem lehetetlen, de legalább is nagyon nehéz. Mindazonáltal, speciális esetekre lehetséges a megoldások meghatározása. Minden más esetben az egyetlen alternatíva a numerikus közelítés.

4.1. példa: Megszakítás nélküli logisztikus növekedés

Rendszeregyenlet: dx a ²

x ax x

dt k

= = −

 .

A változók szétválasztásával kapjuk:

0 (1 ) 0

Az egyenlet mindkét oldalát külön-külön integrálva kapjuk:

( ) ( )

4.1 ábra: Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív).

4.1 A megoldás tervezése a fázissíkon

A dinamikai rendszerek viselkedése szemléltethető az x ti

( )

állapotváltozó időfüggvényére alkalmazott kétdimenziós diagrammal.

A rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kaphatunk, ha elimináljuk a t időt az állapotegyenletből:

(

1, ,

)

, 1, ,

i i n

x = f x  x i=  n. (4.9)

Ezt egy két állapotváltozós rendszer példáján mutathatjuk be:

( )

a két egyenlet hányadosának képzésével

( )

a t időt formálisan elimináljuk és így x2-re egy differenciálegyenletet kapunk, amelyben x1 a független változó. Az

(

x x1, 2

)

teret általános esetben fázis térnek hívjuk, és fázis síknak kétszabadságfokú rendszer esetén. Az

(

x x1, 2

)

fázis térben a pont egy trajektória mentén halad, amely a rendszer időfüggő megoldásának folyamatát írja le.

4.2. példa: Lineáris giroszkópikus inga, matematikai inga Állapotegyenletek:

1 2, 2 g 1.

x x x x

= = − l

  (4.13)

Az egyik egyenletet elosztva a másikkal megkapjuk a fázisgörbe egyenletét

1 2

2 2 1 1

2 1 2

dx l x g c

x dx x dx

dx = −g x ⇒

∫

= −

∫

l + ^{, (4.14)}

ahol c egy integrációs konstans, amely először tetszőleges, amelyet végül a megfelelő kezdeti feltételek határoznak meg.

A (4.14) integrálásával kapjuk

2 2

2 2

1 10

2 20

/ /

x x

x c x

l g + = = +l g , (4.15)

ahol x1

( )

0 = x10 és x2

( )

0 = x20 kezdeti feltételeket behelyettesítettük a jobb oldalon.

Ebben az esetben a fázisgörbék ellipszisek c kis- és cω0nagy féltengelyek, az ω0 = g l/ a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciája (lásd 4.2 ábra).

4.2 ábra: A matematikai inga fázisgörbéje.

4.2 Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei

4.2.1 A homogén rendszer megoldása, alapmátrix

A lineáris állapotegyenletek teljes megoldásai viszonylag egyszerűen előállíthatók. Bizonyos technikai nehézségek elkerülése céljából a következő szakasz pótlólagosan feltételezi, hogy a rendszermátrixnak csak egyszeres sajátértékei vannak, azaz minden sajátérték csak egyszer fordul elő.

A homogén állapotegyenlet

, ⁿ, ^{n n},

= ∈ℜ ∈ℜ × ℜ

x Ax x A (4.16)

megoldását a következő alakba keressük

( )

^{t = eλt}

x x , (4.17)

amelyet visszahelyettesítünk a differenciálegyenletbe:

t t

e^λ e^λ λ =

x Ax . (4.18)

Mivel e^λt ≠0 , az egyenletet elosztjuk e^λt -val és közvetlenül egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk:

(

A−λE x

)

=0. (4.19)

A (4.19) egyenlet egy sajátértékfeladatot határoz meg λ_i, i=1,,n sajátértékekkel és , 1, ,

i i= n

x  sajátvektorokkal, az utóbbiak egy tetszőleges konstans erejéig határozottak. A sajátvektorokat egységnyi hosszúra normalizáljuk:

=1 xi .

A következőkben feltételezzük, hogy a

2

Euklideszi normát alkalmazzuk.

A teljes megoldást a sajátvektorok lineáris kombinációival írjuk fel:

( )

A sajátvektorok alkotta oszlopvektorok egy ún. modális mátrixot határoznak meg

[

^{, , ,}

]

= _{1 2 n}

X x x  x , (4.22)

a λi sajátértékek egy diagonális mátrixot alkotnak

(

1

)

diag λ, ,λ_n

Λ=  , (4.23)

és a ci konstansokat egy oszlopvektorba gyűjtjük

1 ez kielégíti a Taylor-sorfejtés definícióját:

( ) ( ) ( )

Továbbá igaz, hogy a modális mátrix inverze létezik (mivel a sajátvektorok függetlenek

Innen megkapjuk a teljes megoldást

( )

^{t =}

(

^{Λt −1}

)

0

x Xe X x . (4.28)

A zárójelezett kifejezés képviseli az alapmátrixot, azaz:

( )

^{t = Λt −1}

Φ Xe X . (4.29)

A diagonális mátrixra vonatkozó definíciót alkalmazva szintén igaz, hogy

( )

^{t = At}

Φ e . (4.30)

Az alapmátrix az ^x

( )

⁰ kezdeti állapotból az ^x

( )

^t állapotba való átmenetet írja le. Egy még általánosabb megközelítés szerint, az x

( )

t0 kezdeti feltételből kiindulva a Φ

( )

t t, 0 =e^At jelölést is alkalmazhatjuk.

Az e^At mátrix számos fontos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek nagymértékben egybeesnek a skaláris exponenciális függvények tulajdonságaival:

1. Differenciálhatóság: ^{d e t e t}

( )

^t

( )

^t

dt ^A =A ^A ⇔Φ =AΦ . 2. Regularitás: ^det

( )

^{eAt ≠0.}

3. Műveleti szabályok:

(^{1 2})

( ) ( ) ( )

A (4.30) egyenlet csak egy speciális esete egy mátrix függvénynek; pl. az szintén igaz, hogy

( ) ( )

¹

sin A =Xsin Λ X⁻ , (4.31)

azaz, egy mátrix függvényt a (4.31)-el megadott alakkal összhangban fogjuk elemezni, az X modális mátrixszal, és a függvényt a Λ diagonális mátrix főátló elemeire egyenként alkalmazva. A további számítási módszerek a Taylor-soron és a Cayley és Hamilton tételén alapszanak.

4.3. példa: Egydimenziós rezgőrendszer Van egy rendszerünk

cos(t) y+ =y

 ,

amely egy egydimenziós rezgőrendszer gerjesztett rezgéseit írja le. Ki kell számítanunk a homogén differenciálegyenlet általános megoldását.

Az állapotegyenletek

1 2

x =x és

2 1 cos

x = − +x t, vagy mátrix formában

0 1 0

Ezzel megkapjuk a modális mátrixot

[

^,

]

^{1 1 1}

2 i i

 

= ^{1 2} =  − 

X x x , (4.33)

így az alapmátrix

( )

A homogén egyenlet általános megoldása, tekintettel (4.28)-ra, adott:

( )

0 ^{10 10 20}

egy tetszőleges x0 kezdeti vektorral.

4.2.2 Az inhomogén állapotegyenlet megoldása

Ha egy rendszer ^b

( )

^t külső gerjesztésnek van kitéve, akkor a következő állapotegyenletet kapjuk:

( )

^t

( )

^t

= +

x Ax b , (4.36)

Ezen kívül A-ról feltételezzük, hogy konstans. A (4.36) megoldása a (4.38) homogén és a külső gerjesztésből származó xp

( )

^t inhomogén részéből áll, azaz, ezek szerint:

( )

^{t =}

( )

^t 0⁺ p

( )

^t

x Φ x x . (4.37)

A partikuláris megoldás meghatározására használhatjuk a konstansok variálásának módszerét. Ehhez a következőből indulunk ki:

( )

^{t =}

( ) ( )

^{t t}

xp Φ c , (4.38)

ahol ^c a variált konstans.

A (4.38) időszerinti differenciálása után kapjuk:

( )

^{t =}

( ) ( )

^{t c t +}

( ) ( )

^{t t =} _p

( ) ( )

^{t + t}

xp Φ Φ c Ax b . (4.39)

Mivel Φ

( )

^{t =}AΦ

( )

^t , ez azt eredményezi, hogy:

( ) ( )

^{t t =}

( )

^{t ⇒}

( )

^{t = −1}

( ) ( )

^{t t =}

( )

^−t

Φ c b c Φ b Φ b. (4.40)

A (4.40) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható: általános és teljes megoldás:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A jobb oldalon az első tag a rendszer szabad mozgását írja le az adott kezdeti feltétellel, míg a második összetevő a gerjesztett mozgást fejezi ki a b gerjesztés hatására. Nagyon fontos megjegyezni, hogy az összefüggéa az első tag nullához konvergál az időben. Ez az eset akkor fordul elő, ha egy szabadrendszer megfelel bizonyos stabilitási feltételeknek, lásd 10.

A jobb oldalon az első tag a rendszer szabad mozgását írja le az adott kezdeti feltétellel, míg a második összetevő a gerjesztett mozgást fejezi ki a b gerjesztés hatására. Nagyon fontos megjegyezni, hogy az összefüggéa az első tag nullához konvergál az időben. Ez az eset akkor fordul elő, ha egy szabadrendszer megfelel bizonyos stabilitási feltételeknek, lásd 10.

In document Mechatronikai Modellezés (Pldal 44-0)