1.2 A dinamikai rendszer
1.2.1 Definíciók
1.1. definíció [3]:
A rendszer elemek (alkatrészek, komponensek, objektumok) halmaza,
• amelyek egymásra kölcsönösen hatnak (kölcsönhatás),
• amelyek külső hatásoknak (input) vannak kitéve és
• amelyek kifelé (output) is hatnak.
1.1. Megjegyzés:
A tudomány a rendszer fogalomra többféle definíciót is megfogalmaz, pl.:
1.2. definíció [4]:
Egy objektum mindaddig rendszerként azonosítható, amíg minden egyes részeleme és minden sajátossága az egymástól való kölcsönös függésükkel (rendszer környezetével is) valamilyen logikai értelemben egy nagyobb egésznek a komponenseiként tekinthetők. Ehhez jönnek az axiómák.
Elemek lehetnek pl. építőelemek, alkatrészek, komponensek, objektumok, részek.
A jellemző sajátosságok lehetnek tulajdonságok, ismertetőjelek és a rendszer, valamint környezete közötti kapcsolatok. A rendszer állapotát leíró jelek a rendszer állapotváltozói.
1.3. definíció [4]:
A rendszer egymásra ható képződmények elhatárolt rendezettsége. Ezt a rendezettséget egy határfelület vagy perem határolja (környezettel kapcsolatban lévő rendszerelemek egy
halmaza). A burkolat a rendszert elhatárolja a hozzá kapcsolódó környezetétől. Ezen a kapcsolaton átvitt tulajdonságok és állapotok azok a mennyiségek, amelyek közötti összefüggések leírják a rendszer sajátos viselkedését.
A rendszert szimbolikusan egy blokkal szemléltetjük. A blokk pereme a határfelület, amely a környezetétől való elhatárolást szimbolizálja.
1.4 ábra: A rendszer szemléltetése blokksémán.
A blokk kapcsolata a környezettel, adott esetben, lehet
• r számú ui bemenő (input) mennyiség,
• m számú yi kimenő (output) mennyiség és
• q számú zi zavaró mennyiség.
Ha a rendszernek nincs kapcsolata a környezettel, akkor zárt rendszerről beszélünk. A rendszer teljes állapotát n számú xi állapotváltozóval írjuk le.
1.4. definíció:
Állapotváltozóknak nevezzük a rendszer azon változóit, amelyek ismerete elegendő ahhoz, hogy a rendszer viselkedését teljes mértékben leírjuk. Az állapotváltozók az idő függvényei.
Értékük összessége a rendszer állapotát írja le.
1.2. Megjegyzések:
• Az állapotváltozók a rendszer belső változói.
• Az állapotváltozók megválasztása többféle is lehet. A választott állapotváltozóknak egyértelműeknek, függetleneknek és redundáns menteseknek kell lenniük. Az utóbbi tulajdonságból következik, hogy az állapotváltozók megválasztása teljesen tetszőleges lehet, azonban számuk egyértelműen rögzített.
• A gyakorlati alkalmazásoknál nem minden állapotváltozó érdekes, hanem csak a mindenkori alkalmazás szempontjából szükséges változók. Ezeket a változókat nevezzük kimeneti (output) változóknak, amelyek az állapotváltozók kombinációjából is képezhetők.
Az 1.1 táblázat példákat tartalmaz a különböző tudományterületekről származó állapotváltozókra.
1.1 táblázat: Példák a különböző tudományterületeken előforduló állapotváltozókra.
1.3. példa: Járműrendszer
Egy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek, mint pl. kormánykerék szöge, fékpedál és a gázpedál állásai, jelentik a rendszer bemenő jeleit (inputs). A jármű mozgását leíró változókat állapotváltozóknak nevezzük. Ezen változók kombinációit, illetve részhalmazait kimenő jeleknek (outputs) nevezzük, és az útról átadódó hatásokat pedig zavaró jeleknek nevezzük (lásd 1.5 ábra).
Elektrotechnika Mechanika Eljárástechnika Környezetvédelem
áram helyzet hőmérséklet népesség
feszültség sebesség tömegáram környezet állapota
töltés gyorsulás CO2 kibocsátás
kinetikai energia ózon érték
potenciál energia
1.5 ábra: Egy járműrendszer (Ammon, 1997).
Egy járműdinamikai rendszer példáját mutatja az 1.6 ábra.
1.6 ábra: Két nyomvonalú jármű szabadságfokai [5].
1.4. példa: Rácsos szerkezet
Egy rácsos szerkezet egyes rúdjai képezik a rendszer elemeit. A rudak között fellépő belső kölcsönhatások a csomóponti erők. Bemenő mennyiségek a külső terhelések, és kimenő mennyiségekként a kényszerekben fellépő kényszererőket érthetjük
1.5. példa: Az utak forgalmi rendszere
Rendszerelemként felfoghatók az elhatárolt utcai- és alhálózatban közlekedő egyes járművek. Alrendszereket képezhetnek a mindenkori járműjükkel közlekedő vezetők. A belső kölcsönhatások a jármű relatív távolságainak és sebességeinek felelnek meg.
1.5. definíció:
A több mint egy bemenő és több mint egy kimenő mennyiséggel rendelkező rendszert többváltozós rendszernek, azaz “MIMO” (multiple-input- multiple-output) rendszernek nevezzük.
Az 1.2 táblázat különböző szakterületek rendszerelemeit tartalmazza.
1.2 táblázat: Példák különböző szakterületek rendszerelemeire.
A rendszerelemek közötti kölcsönhatások jellege meghatározza rendszer szerkezetét. A rendszer alrendszerekre (komponensekre) bonthatók.
Egy rendszert alrendszerekké (komponensekké, összetevőkké, alkotórészekké) lehet felosztani és strukturálni. Egy folyamat alrendszerekké történő bontása azzal az előnnyel jár, hogy a rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kapunk és hogy az egyes alrendszereket különböző emberek építhetik fel. A strukturálást úgy kell megvalósítani, hogy az alrendszerek a teljes rendszerbe beilleszthetők legyenek. Az illesztési felületek világos meghatározása alapvető, és ez jelenti az egyik fő problémát a komplex dinamikai rendszereknél.
A rendszer határa (pereme) tetszőlegesen kijelölhető. De általában ott húzunk határokat, ahol néhány egyértelműen meghatározott kapcsolattal a környezettől való elhatárolás világos és a rendszer nem hat vissza a környezetére.
Elektrotechnika Mechanika Eljárástechnika Népesség alakulása
ellenállás tömeg tartály születés
kapacitás rugó szelep halál
vezeték csillapítás csővezeték betegség
tranzisztor rúd keverőüst fogyasztás
erősítő csapágy szűrő
szűrő vezeték reaktor
végállás helyzet aktuátor
erő aktuátor
1.6. definíció:
A dinamikai rendszerek mozgása alatt a rendszer változóinak időbeli megváltozását értjük.
Ezért a mechanikai mozgás (helyváltoztatás) a mozgások összes általános típusainak egy speciális esete.
A már leírt mozgások mellett, az irodalomban (lásd [6]), további mozgások is előfordulnak.
A rendszerparaméterek olyan mennyiségek, amelyek állandók maradnak a rendszer megfigyelése során. Erre vonatkozó példák a természeti állandók, rugóállandók és csillapítási tényezők, ellenállások, stb.
A környezeti hatások olyan mennyiségek, amelyek a rendszerre kívülről hatnak, de amelyre a rendszer nincs visszahatással (visszahatás mentesség). Erre vonatkozó példák a nagy termek hőmérsékleti változása, a kényszermozgások, stb.
Az állapotváltozók kezdeti értékei.
A sebesség az állapotváltozók megváltozásának mértéke, amely az állapotváltozó értékének megváltozása egységnyi idő alatt. Példák erre a sebesség, a gyorsulás, a népesség születési és halálozási rátája, a tömegáram és a nyomásváltozás, stb. Mint ahogy a sebesség példája mutatja, az állapotváltozók egyaránt lehetnek az állapotváltozók változási sebességei és az állapotváltozók önmaguk. Ez elsősorban a mechanikában bír jelentőséggel.
A matematikában a dinamikai rendszereket differenciálegyenletek (DE), n-ed rendű algebrai egyenletek és differenciál-algebrai egyenletek (DAE) írják le (lásd a 3. fejezetet).