mátrixokkal, összhangban (11.31)-el, a nemlineáris mozgásegyenletrendszer az alábbi alakra vezet:
A reakcióerőket elimináltuk a szorzások folyamán és ezért már akkor elhagyhatjuk, amikor a Newton-Euler egyenleteket felírjuk.
Az itt bemutatott módszer szintén alkalmas a mozgásegyenletek számítógépes megoldására.
A módszert úgy is hatékonyan alkalmazhatjuk, ha a Jacobi mátrixokat explicite nem állítjuk elő és a reakcióerőket nem elimináljuk algebrai transzformációval. Ebben az estben azonban az összes reakcióerőt be kell venni az egyenletrendszerbe.
11.6 Lineáris mozgásegyenletek
Az általános nemlineáris egyenleteken túl a linearizált mozgásegyenletek is fontos szerepet játszanak a gyakorlatban és különösen az irányítástechnikában.
A mechanikai rendszerek linearizálását célszerűen, egy egyensúlyi helyzet körül, vagy még általánosabban, a referencia-, vagy célmegoldás körül végezzük. A referencia- vagy célmegoldás önmagára a rendszerre épül, vagy pedig kívülről a visszacsatolási szabályozás szolgáltatja. A rendszert jellemző referencia (cél) megoldások a nemlineáris mozgásegyenletek partikuláris megoldásai:
( ,t s) s + ( ,t s, s)= ( ,t s, s) ⇒ s( )t
M y y k y y q y y y . (11.55)
A referencia (cél) megoldások közelében a rendszer csak kis zavarást szenved:
( ) ahol ( ) t t s( ) t h h < < y .
Ezért
( )t = s+h( )t
y y . (11.56)
Egy megfelelő szétválasztást kell alkalmaznunk a külsőleg működtetett “szabályzó” erőkre ( ) ( ) ( )
e e e
t = s t + h t
f f f . (11.57)
Ha ezt behelyettesítjük az eredeti nemlineáris mozgásegyenletbe, akkor lineáris tagokkal bezárólag a bevezetett mennyiségekre a következőt kapjuk:
1
Ezek végrehajtása után, egy egyenletet kapunk külön a referencia (cél) mozgásra és külön egy egyenletet az attól való eltérésre.
A célmegoldás:
( ,t s) s + ( ,t s, s)= ( ,t s, s, se)
M y y k y y q y y f . (11.59)
A zavarás mozgásegyenlete:
( , , ) ( , , , )
A nemlineáris mozgásegyenletből tagonkénti linearizálással is megkaphatjuk a (11.59) egyenletet.
A P és Q mátrix (és minden más négyzetes mátrix) felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus összetevőre:
1 1 )
Így megkapjuk a mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletét
( ) ( )
+ + + + =
My D G y K N y h. (11.64)
Az alábbi mátrix tulajdonságok nyilvánvalóan érvényesek:
, , ,
T T T T
= = − = = −
D D G G K K N N . (11.65)
Itt a mátrixok határozottan ugyanazzal a fizikai tulajdonságokkal rendelkeznek, mint a rendszer. Ha megszorozzuk yT -vel a bal oldalról, akkor a rendszer energiaviszonyaira egy egyenletet kapunk
Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározó a kinetikai energia megváltozásában, és így a tömegerők vonatkozásában fontos a szerepe. A D csillapítási mátrix a Rayleigh-féle függvényen keresztül képviseli a csillapító erőket, Ga giroszkópikus erőket képviseli, amely az energiaegyensúlyra nincs hatással. A K mátrix a potenciális energián keresztül képviseli a konzervatív helytől függő erőket, míg N a nem konzervatív helytől függő erőket. A rendszer konzervatív, ha D=N=0, azaz, a h külső erő hiányában a rendszer T +U energiája konstans lenne.
11.5. példa: A kettős inga linearizált mozgásegyenletei.
A 11.5 pontban kapott kettős inga kis kilengéseire feltételezzük , , , α β α β 01.
Ha ezt figyelembe vesszük a (11.54) mozgásegyenletben, megkapjuk a linearizált mozgásegyenletet
vagy a (11.64) szabályos formájában
2
és a “merevségi mátrix”:
3 0
11.7 Állapotegyenletek
A következőkben tekintettel a többtest rendszerekre, a másodrendű mozgásegyenletek átalakítását állapotegyenletté az alábbi helyettesítéssel célszerű megtenni
1
Figyelembe véve x1=x2 =y összefüggéseket, a nemlineáris állapotegyenletek
2
Lineáris esetben azt kapjuk, hogy
12 Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet
A mozgásegyenlet előállításának egy fontos alternatívájával a Lagrange-féle módszer (1788) szolgál. Ellentétben a szintézisen alapuló módszerekkel, amelyeket a fentiekben már részleteztük (a testek szétszedése után az impulzus- és perdülettételek alkalmazásával és a reakcióerők eliminálásával kapjuk meg az egyenleteket), ebben az esetben analitikus módszert alkalmazunk amely, a rendszer teljes energia kifejezéseinek vizsgálatán alapul.
Kinetikai energia
A Ki merev test Ti kinetikai energiáját az mi tömeggel, az Ii tehetetlenségi tenzorral, a súlypontjának vMi sebességével és az ωi szögsebességgel írjuk fel
1 2 1
2 2
haladó mozgás forgó mozgás
T
i Mi i i i
T = mv + ω I ω
(( (( . (12.1)
A kinetikai energia egy haladó mozgási- és egy forgó mozgási részből áll. Mivel a kinetikai energia független az alkalmazott koordinátarendszertől, így az egyáltalán nem fontos, hogy milyen koordinátarendszerben fejezzük ki az adott energiamennyiséget. Másfelől az is világos, hogy a szögsebesség vektort és a tehetetlenségi tenzort azonos koordinátarendszerben kell felírni.
Az egyes testek tömegközéppontját választjuk referencia pontnak. A többtest rendszer kinetikai energiáját az egyes testek kinetikai energiájának összege adja:
(
2)
közismert, potenciállal rendelkeznek és így differenciálással meghatározhatók, azazU
Egy többtest rendszer potenciális energiája az egyes testek potenciális energiájának az
Azok az erők amelyek, a (12.3) összefüggéssel egy potenciál függvény differenciálásával számíthatók, rendelkeznek energia tárolási képességgel és ezért konzervatívnak nevezzük. A nem konzervatív erők módosítják a rendszer teljes energiáját. Ha speciálisan olyan erőkkel foglalkozunk, amelyek elnyelik (disszipálják) az energiát, akkor azokat disszipatív erőknek nevezzük.
Konzervatív erőkre példákkal szolgálnak a súlyerők
fG= −mg, és rugóerők
fF = −cs,
felírhatók a megfelelő potenciálok
UG =mgz, és
1 2 F 2
U = cs .
A potenciálok egy konstans erejéig határozottak, azaz, a potenciál nulla pontja tetszőlegesen felvehető. Ha egy többtest rendszerre csak konzervatív erők hatnak, az egész rendszert konzervatívnak nevezzük. Így jutunk el a mechanikai energia megmaradási tételéhez:
0 0 .
T+ =U T +U =const (12.5)
A fent bevezetett energiamennyiségeket a mozgásegyenletek származtatására használjuk fel.
Ennél a módszernél, a szintézisen alapulóval ellentétben a rendszert nem szedjük szét alkotóelemeire, hanem a rendszert, mint egészet vizsgáljuk.
Mindenekelőtt, a kinetikai energiát az általános koordináták, és ha szükséges, az idő függvényeként fejezzük ki
(
2)
Az általánosított erők az alkalmazott erőkből és nyomatékokból származnak
[ ] [ ]
Ezen mennyiségek segítségével megkaphatjuk a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenleteket szükséges a rekcióerők bevezetése. Így ezek nem is számíthatók ki.
• A mozgásegyenletek előállítása céljából, ki kell számolnunk a T( , , )y y t függvény parciális és teljes deriváltját. A láncszabályt kell alkalmaznunk a T -nek a t időszerinti teljes deriváltjának előállításához.
Konzervatív rendszerekben az általánosított erők (12.5) szerinti számítása elkerülhető, mivel ezek a (12.2)-höz hasonlóan) kiszámíthatók az U potenciális energia általánosított koordinátái szerinti deriválásaival is. Így kapjuk
k Lagrange-féle mozgásegyenlet
( ) (12.5) kifejezéssel vesszük figyelembe a (12.8) egyenlet jobb oldalán.
12.1. példa: Kettős inga, 11.7 ábra
A kettős inga haladó és forgómozgási sebességeire rendre a (11.34) és (11.35) kifejezéseket használjuk.
A rendszer teljes kinetikai energiájára az alábbi kifejezést kapjuk
( )
és a potenciális energiára pedig (3cos cos ) U = −mgl α+ β .
A parciális deriváltakra az alábbi kifejezések adódnak
2 2 2
Ebben az esetben a mozgásegyenleteket a (11.54)-gyel megegyező alakban kapjuk, ahol
• A Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletből származó egyenletek teljesen azonosak a 11.5 pontban ugyanezen általánosított koordinátákra levezetett egyenletekkel, amelyeket a Newton-Euler egyenletekből a d’Alembert elv segítségével kaptunk. Ez általános esetre is fennáll. A két módszer csupán a megközelítés útjaiban különbözik és nem az eredményekben.
• Ellentétben a Lagrange formalizmussal a Newton-Euler egyenletek (ebben a formában) lehetővé teszik a reakcióerők kiszámítását. Megfordítva, ezen erők figyelembe vétele nem szükségesek az egyenletek felállításánál, amely nagy előnyt jelent a gyakorlatban.
13 Nemlineáris egynyomvonalú modell
[10]A 13.1 ábra egy nemlineáris egynyomvonalú járműmodellt szemléltet.
13.1 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell (bicikli modell), felülnézet
13.2 ábra: Nemlineáris egynyomvonalú modell, oldalnézet