Példák

3.2.3.1 Elektromos komponensek 3.2. példa: Ohmikus ellenállás

3.11 ábra: Ohmikus ellenállás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

V −V =Ri Ohm törvénye.

3.3. példa: Induktív ellenállás

3.12 ábra: Induktív ellenállás.

Fizikai törvények:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1

1 2

Ldi V V

dt = − induktivitás.

3.4. példa: Kapacitás

3.13 ábra: Kapacitás.

Fizikai törvény:

1 2

i = −i csomóponti szabály,

1 2 1

( )

C d V V i

dt − = kapacitás.

3.5. Megjegyzés:

Az (a)-tól (c)-ig példák az ún. kettős csatlakozókat szemléltetik (a villamos mérnöki feladatokban gyakran alkalmazzák).

3.5. példa: Egyszerű villamos hálózatok

3.14 ábra: Egyszerű villamos hálózat.

Egyenletrendszer:

Differenciális mennyiségeket tartalmaz az egyenletrendszer:

2

Algebrai mennyiségek előfordulnak az egyenletrendszerben:

1

Ebből következik a differenciál-algebrai egyenletrendszer:

3 0

⇒ 6. feladatlap: Negyed jármű rezgései

3.2.3.2 Mechanikai rendszerek

A mechanikai rendszerekben a multi portok ún. “kinetostatikus” átviteli elemeknek tekinthetők, amelyek a mozgást és az erőt viszik át. Tehát a „metszést” még jobban kiterjesztjük.

Helyzet

A helyzet, sebesség és gyorsulás kinematikai mennyiségek (keresztváltozók) az erő statikai mennyiség (átmenő változó). De a következő diagram csak egy sebességet és egy erőt foglal magába (3.16 ábra).

3.6. példa: Rugó

3.15 ábra: Rugó.

A pozitív erő teljesítménye pozitív a vonatkoztatási ponthoz képesti pozitív elmozdulásával.

Az erők egyensúlyából (3.15 ábra) következik:

( )

( )

1 2 0 2 1

F =F =k l − x −x . A rugóra vonatkozó egyenletrendszer:

( )

3.16 ábra: Multi-port rugó modell.

Ebben az esetben differenciálegyenletrendszer nem alkalmazható.

3.7. példa: Tömeg

3.17 ábra: Tömeg.

A tömegre vonatkozó differenciálegyenlet:

F =mx.

3.18 ábra: Multi-port tömeg modell Szokás erre “Terminál”-ként vagy “egy-Port”-ként is hivatkozni.

3.8. példa: Rugó-tömeg rendszer.

3.19 ábra: Rugó-tömeg rendszer.

Algebrai egyenletrendszert kapunk:

( )

( )

1 0 1 0

F =k l − x −x ,

( )

( )

0 0 1 0

F =k l − x −x . A differenciálegyenlet:

F1=mx.

A meglévő három egyenlet négy változót tartalmaz

(

x x F F0, 1, 0, 1

)

. Ez azt jelenti, hogy egy változó teljesen tetszőlegesen megadható. Egy rögztés előírása az x₀ ≡0 lenne, egy harmonikus gerjesztés pedig x0 =rcos

( )

ωt lehetne.

3.6. Megjegyzés:

Mechanikai, elektromechanikai, hidraulikai és hasonló alkatrészek természetes átviteli iránnyal rendelkeznek a keresztváltozó vonatkozásában, míg az átmenő változót tekintve pedig ellentétes irányú.

3.20 ábra: Multi-port.

A metszések bal oldalon a bemenő keresztváltozóval, a jobb oldalon a kimenő átmenő változóval vannak jellemezve. A kapcsolatot a bemenő és kimenő változók között a K mátrixszal írjuk le.

11 1

A multi-port teljesítményveszteség mentességéből következik:

1 1 n n 1 1 m m

ac th⋅ + + ac th⋅ =ac th′⋅ ′+ + ac′ ⋅th′ . (3.18) Mátrix jelöléssel a bemenő és a kimenő kereszt- és az átmenő változók az alábbiak:

1 1 1 1

Ezért a (3.17) és (3.18) egyenletek tömörebb formában írhatók:

′ = ⋅

ac K ac, (3.19)

T⋅ = ′T⋅

ac th ac th . (3.20)

A (3.19) egyenletet beillesztve (3.20)-ba eredményül a következőt kapjuk:

( )

^{T '}

Mivel ez alkalmazható bármelyik ac vektorra, ebből következik

T ′

= ⋅ th K th .

Így a K transzponáltjával számítható át az átmenő változó az ellentétes oldalra.

4 Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon

A következő rész a differenciál-állapotegyenletek megoldásával foglalkozik. A jelölés egyszerűsítése kedvéért, vizsgáljuk meg a következő differenciálegyenletet:

d

( )

érték). Ez alapján a megoldás a következő:

( ) ( )

t

a

x t = +A

∫

f t td ^{. (4.3)}

A (4.1) ODE-t kombinálva a kezdeti feltétellel kezdetiérték-feladatnak nevezzük:

( ) ( , ) , ( )

x t = f x t x a = A . (4.4)

A differenciálegyenlet dinamikai feladatokra való alkalmazásának akkor van értelme, ha

• egy megoldás létezése (egzisztenciája) általában garantált,

• csak egy megoldása van egy adott feladatnak (unicitás).

A következő tétel mindkettőről gondoskodik a feladatok széles körére.

Picard - Lindelöf tétele:

Ha az ^{f x t}

( )

^, folytonos egy adott tartomány minden

( )

^{x t,} pontjában:

{ ( )

^{, : , , ,}

}

D= x t a≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞t b x a b∈R , és létezik egy ^L konstans (Lipschitz konstans), amivel

( )

^,

(

, *

)

*

(

^Lipschitz feltétel

)

f t x − f t x ≤L x−x (4.5)

minden

( ) (

^{t x, , , *t x}

)

^∈D-re, akkor, minden ^{x a}

( )

^{= A} kezdeti feltételhez létezik pontosan egy ^{x t}

( )

megoldás a kezdetiérték-feladatra, amely x folytonos és differenciálható minden

( )

^{t x, ∈D}-re.

Így az állapotegyenlet pontosan egy megoldása garantált, ha az általános megkötések teljesülnek.

4.1. Megjegyzés:

• A tétel előírásai akkor teljesülnek, ha az ^{f x t}

( )

^, függvény x szerinti deriváltjai korlátosak a D tartományon, ekkor élhetünk a következő választással:

( )

( )

• Ez a tétel, minden nehézség nélkül, általánosítható differenciálegyenlet-rendszerekre.

• Csak a megoldás egzisztenciája és unicitása garantált. Egy általános-analitikus eljárás nem adható meg, kivéve a speciális eseteket. Egy fontos esetet képeznek a lineáris differenciálegyenletek. Ezek az alábbi formában adhatók meg

( )

x =ax+h t , (4.7)

• ahol a valós együttható, amely független x-től, és ^{h t}

( )

a gerjesztő függvény.

Miért is garantált ebben az esetben a megoldás egzisztenciája és unicitása?

Ez a tétel n-ed rendű differenciálegyenletekre is alkalmazható, és érvényes a következő tétel.

4.1. tétel:

Az n-ed rendű differenciálegyenlet

( ) (

^,

( ) ( )

^{, ' , , 1}

( ) )

n n

y t = f t y t y t  y ⁻ t (4.8)

teljes megoldása n számú tetszőleges paramétert tartalmaz. A teljes megoldás felfogható, mint a differenciálegyenlet általános megoldása. Megfelelő kiegészítő feltételek választásával, ha megadjuk a paramétereket, megkapjuk a partikuláris megoldást.

Nemlineáris differenciálegyenletekre az általános megoldás ugyan nem lehetetlen, de legalább is nagyon nehéz. Mindazonáltal, speciális esetekre lehetséges a megoldások meghatározása. Minden más esetben az egyetlen alternatíva a numerikus közelítés.

4.1. példa: Megszakítás nélküli logisztikus növekedés

Rendszeregyenlet: dx a ²

x ax x

dt k

= = −

 .

A változók szétválasztásával kapjuk:

0 (1 ) 0

Az egyenlet mindkét oldalát külön-külön integrálva kapjuk:

( ) ( )

4.1 ábra: Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív).

4.1 A megoldás tervezése a fázissíkon

A dinamikai rendszerek viselkedése szemléltethető az x ti

( )

állapotváltozó időfüggvényére alkalmazott kétdimenziós diagrammal.

A rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kaphatunk, ha elimináljuk a t időt az állapotegyenletből:

(

1, ,

)

, 1, ,

i i n

x = f x  x i=  n. (4.9)

Ezt egy két állapotváltozós rendszer példáján mutathatjuk be:

( )

a két egyenlet hányadosának képzésével

( )

a t időt formálisan elimináljuk és így x2-re egy differenciálegyenletet kapunk, amelyben x1 a független változó. Az

(

x x1, 2

)

teret általános esetben fázis térnek hívjuk, és fázis síknak kétszabadságfokú rendszer esetén. Az

(

x x1, 2

)

fázis térben a pont egy trajektória mentén halad, amely a rendszer időfüggő megoldásának folyamatát írja le.

4.2. példa: Lineáris giroszkópikus inga, matematikai inga Állapotegyenletek:

1 2, 2 g 1.

x x x x

= = − l

  (4.13)

Az egyik egyenletet elosztva a másikkal megkapjuk a fázisgörbe egyenletét

1 2

2 2 1 1

2 1 2

dx l x g c

x dx x dx

dx = −g x ⇒

∫

= −

∫

l + ^{, (4.14)}

ahol c egy integrációs konstans, amely először tetszőleges, amelyet végül a megfelelő kezdeti feltételek határoznak meg.

A (4.14) integrálásával kapjuk

2 2

2 2

1 10

2 20

/ /

x x

x c x

l g + = = +l g , (4.15)

ahol x1

( )

0 = x10 és x2

( )

0 = x20 kezdeti feltételeket behelyettesítettük a jobb oldalon.

Ebben az esetben a fázisgörbék ellipszisek c kis- és cω0nagy féltengelyek, az ω0 = g l/ a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciája (lásd 4.2 ábra).

4.2 ábra: A matematikai inga fázisgörbéje.

In document Mechatronikai Modellezés (Pldal 59-72)