Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével

I. Feladat: Az állapotegyenlet megoldása (4-9. fejezet)

Keressük az ^x⁼^x

( )

^t^,^u függvényt, azaz a t idő és u vezérléstől függő állapot jellemző tulajdonságait.

Három estet kell megkülönböztetni:

1. Nemlineáris állapotegyenletek:

• Ebben az esetben, az állapotegyenletek megoldása vagy teljesen lehetetlen vagy közelítőleg határozható meg.

2. Lineáris idővariáns rendszer:

• Csak formális közelítés létezik a megoldásra. A nehézségek nagyon hasonlóak az 1. esethez.

3. Lineáris időinvariáns állapotegyenletek:

• Csak ebben az estben rendelkezünk explicit megoldással. De nehézségek itt is előfordulnak magasabb rendű rendszerekre.

Mivel az állapotegyenletek explicit megoldása csak ritkán lehetséges, a rendszer vizsgálatát más módon kell megtenni, és így a következőkben tárgyalt sajátos kérdésekre kell koncentrálnunk.

II. Feladat: Stabilitás (10. fejezet)

Egy műszaki rendszert nem engedhetünk sem elszabadulni, sem felrobbanni. Az állapotvektornak végesnek kell lennie. Ezzel összefüggésben, azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy mely paraméter értékeknél lehet stabilitás a definíció széles értelemében:

const

→

x , midőn ,t→ ∞,

vagylagosan mikor válik a rendszer instabillá (labilissá), azaz

→ ∞

x , midőn ^t^{→ ∞}.

A stabilitás kérdését az egyenlet megoldása nélkül is meg kell tudnunk válaszolni.

Nehézségekbe ütközhetünk nemlineáris és idővariáns rendszereknél, míg lineáris rendszerekre könnyű stabilitási megállapításokat tenni.

III. Feladat: Irányíthatóság (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

A felhasználó bizonyára egyszerű irányítási rendszer tervezésében érdekelt. Ebben a vonatkozásban felvetődik a kérdés, hogy vajon a rendszer irányítható-e vagy sem, azaz, az u vezérlő értéke megválasztható-e oly módon, hogy a rendszer egy tetszőleges x

( )

állapotból átvihető legyen egy x

( )

t1 célállapotba. Ez a feladat megoldható lineáris rendszerekre, ugyanakkor még nagyok a nehézségeink nemlineáris rendszerek esetén.

2.6. definíció:

Egy n-ed rendű rendszer teljesen irányítható, ha a rendszer bármilyen x

( )

0 =x0 kezdeti feltételből bármilyen x1 állapotba vihető véges t1 >0 idő alatt egy ^u

( )

^t irányítással (bemenő függvénnyel) a

[ ]

0,t1 intervallumon úgy, hogy a megoldás trajektóriája, amely az

x0 -ból indul a t=t1 időpontban kielégiti az x1 értéket.

A Kálmán-féle kritériumot (Kern (2002)) biztosítani kell az irányíthatóság kézbentartása céljából.

IV. Feladat: Optimalizálás (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

Egy rendszernek egy kezdeti állapotból egy adott végállapotba történő irányítási feladata rendszerint többféle irányítási programmal megoldható. Itt az u irányítást oly módon kell megválasztani, hogy egy olyan folyamatot érjünk el, amely a lehető legolcsóbb és olyan gyors, amilyen csak lehet. Az eredmények optimális kritériumok, amelyekre az optimális vezérlést alapozni kell.

V. Feladat: Irányítás (lásd Automatika)

Kétféleképpen határozhatjuk meg az irányítási módszert:

• u mint az időfüggvénye, azaz ^u

( )

^t ,

• u mint az állapot függvénye, azaz ^{u x}

( )

Az első eset a szűk értelemben vett irányítás (vezérlés), míg a második esetben visszacsatolásról beszélünk, és ^{u x}

( )

-t a szabályozó fogja szolgáltatni. A lehető legegyszerűbb és bizonyos értelemben optimális szabályozó meghatározása az irányítástechnika legfontosabb feladata.

VI. Feladat: Szimuláció (5-9. fejezetek)

A szimuláció (a latin “simulatio= szinlelés” kifejezésből) egy valós rendszer imitációja. A szimulálás tevékenysége nem a valós rendszer elemzésén, hanem a rendszer modelljén alapszik. Az irodalomban, a szimuláció (szűk értelemben) a (többnyire numerikus) megoldásra és a rendszeregyenletek értelmezésére vonatkozik.

VII. Feladat: Identifikáció (10. fejezet)

A rendszerelemzés elméleti megközelítése (deduktív modellezés; deduktív = az általánosról a speciálisra való következtetés) legtöbbször nem elegendő, mivel a rendszerparamétereket vagy nehéz meghatározni vagy teljesen lehetetlen. Ezekben az esetekben kísérlettel szükséges azonosítani a teljes szerkezetet vagy az elemzni kívánt szerkezet paramétereit.

3 Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer

3.1 Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek)

Eddig a rendszer egyenleteket explicit alakban adtuk meg, ez azt jelenti, hogy az ^x állapotváltozó sebessége kifejezhető az x állapotot és az u bemenő mennyiséget tartalmazó ^f számítási szabállyal.

Számos alkalmazásban, a rendszeregyenletek (2.3)–mal összhangban csak implicit alakban léteznek:

(

, ( ), ( ),

)

i t t t =

F x x u 0. (3.1)

Ebben az esetben, x nem számítható ki a rendszer függvény egyszerű elemzésével, hanem (3.1) egyenletet meg kell oldani x -ra.

A DAE-rendszerek speciális esetet képviselnek: Itt az x állapotvektor az xa és xd két részvektorból áll, lásd 3.2.2 pont:

ahol x_d azon változókat tartalmazza, amelyek deriváltjai is szerepelnek az egyenletben, míg xa mindazon változókat, amelyek deriváltjai nem fordulnak elő.

A következő rendszer egy speciális eset, amely gyakran előfordul:

A differenciálegyenletek ezen speciális alakjait szokás Hessenberg-féle alaknak is nevezni.

Ha f (x x u)a d, a, =0 megoldható xa-ra, akkor xa beilleszthető és átvihető egy közönséges ODE-rendszerbe (ODE= közönséges differenciálegyenlet).

Gyakran nem pontosan ez a helyzet: Például, lehet, hogy fa nem függ xa-tól. Ebben az esetben, természetesen, xa nem eliminálható fa-val. Itt xa csak úgy eliminálható, ha (3.3) – at idő szerint egyszer vagy többször deriváljuk.

3.1. példa: Nemlineáris egyszerű inga, mint DAE rendszer

Egy m tömegpont, amely csak az xy-síkban mozoghat, egy l hosszúságú súlytalan rúdra fel van függesztve egy 0pontra, amely körül súrlódásmentesen forog.

Az m és 0 pontok távolságát vízszintes irányban x , függőleges irányban y jelöli.

3.1 ábra: Nemlineáris, egyszerű inga.

Az impulzus tétel ^x⁻ és ^y− irányban:

A kiegészítő mennyiséggel

x Sy

mx my

λ = = − . (3.5)

megkapjuk a következő mozgásegyenleteket:

Elsőrendű differenciálegyenleteket kaphatunk az alábbi helyettesítésekkel:

Ezután felírjuk a kinematikai kényszert

2 2 2

x +y − =l , (3.8)

és a következő DAE-rendszert nyerjük:

2 2 2

Az állapotváltozók szétválasztása után kapjuk, hogy:

[ ]

A (3.9) rendszeregyenletet természetesen közönséges egyenletrendszerré (ODE) transzformáljuk. Ez elérhető a (3.9) idő szerinti differenciálásával és megfelelő átalakításával.

Idő szerint differenciálva a (3.9) utolsó egyenletét és behelyettesítve az első kettőbe, kapjuk:

0= x v_x+ y v_y. (3.11)

Ezen egyenlet további differenciálásával kapjuk:

2 2 2 2

Harmadszor is deriválva idő szerint a továbbiakat kapjuk

és végül az ODE a következő lesz:

Tehát (3.9) DAE-t idő szerint háromszor differenciálva végül megkaptuk a (3.14) ODE-t.

A DAE szükséges differenciálásának a számát, hogy a keresett ODE-t megkapjunk, a DAE indexének nevezzük.

3.1. definíció:

A DAE Indexe a szükséges differenciálások számát jelenti, amely a DAE-nek ODE-vé történő átalakításához szükséges.

3.1. Megjegyzések:

1. Az index azt a “távolságot” fejezi ki, amely a DAE és az ODE képei között van. A matematikai inga indexe 3.

2. Ezért egy ODE indexe 0.

3. Az olyan DAE, amelynek 1-nél nagyobb indexe, magasabb indexű DAE-nek nevezzük.

4. Egy DAE indexe a megoldás előrehaladtával változhat (helyi index).

5. Az index szintjével összhangban a numerikus megoldás nehézségei is növkedednek.

A numerikus közelítés, különösen magasabb indexű DAE-ra gyakran nagyon nehéz és bonyolult. Így még a megoldás előtt kell megpróbálnunk lecsökkenteni a rendszer indexét (lásd 7-8. fejezetet). A bemutatott módszert leíró alaknak is nevezik. Azonban, a λ kiszámítására alkalmazhatjuk a (3.12) egyenletet

2 2

1 (v_x v_x g y) λ =l + −

és ezáltal elimináhatjuk λ-t a további egyenletekből.

Ebben az esetben megkapjuk az ODE-t:

( )

eltekintve az előjeltől kifejezhetők egymással

2 2

y= ± l −x

Ezt az állapot reprezentációt ezért nem minimálisnak is nevezhetjük.

3.2. Megjegyzések:

Ez a példa sokkal bonyolultabbnak látszik leíró formában, sőt még nem minimális rendszer alakjában is a (2.1) és (2.2) minimális koordinátaválasztáshoz képest. Mindazonáltal, ezen speciális állapot reprezentációkat gyakran alkalmazzuk, mert

• a bonyolult rendszerek minimális koordinátákkal való leírása néha nagyon munkaigényesek,

• a minimális koordinátákkal az egyenletek nagyon bonyolultak és hibára hajlamosak.

A nem minimális leírás egyik nagy hátránya, hogy a kiegészítő feltételt (a matematikai inga esetére pl. x²+ y²− =l² 0) csak differenciális alakban vesszük figyelembe. Szükségképpen a kezdeti feltételeket úgy kell megválasztani, hogy kielégítsék a kinematikai kiegészítő feltételeket. Továbbá, a nem minimális differenciálegyenletek numerikus megoldása során a kiegészítő feltételek megváltoznak. Ez egy stabilitási eljárás alkalmazását teszi szükségessé, amely korrigálja az állapot-egyenleteket a megoldás során, úgy, hogy az algebrai kiegészítő feltételek ismét egzaktul legyenek kielégítve.

A következő fejezetben bemutatásra kerülő módszerek alkalmazásainak előnye az ilyen típusú egyenlet hatékony és pontos megoldásának képessége.

In document Mechatronikai Modellezés (Pldal 46-54)