A méréstechnikában alapszabály, hogy „ne higgyünk vakon‖ a mérőberendezések által kijelzett értékekben. A kalibrálás metrológiai definíciója a 3. szakasz - Metrológiai definíciók fejezetben található meg. A témához szorosan kötődik két másik fogalom is, a leszármaztathatóság és a visszavezethetőség.
Tekintettel arra, hogy kalibrálást szinte minden méréstechnikához kapcsolódó munkahelyen végeznek, ez az egyik legáltalánosabb és legfontosabb metrológiai feladat, hiszen a konkrét mérési feladat végrehajtása előtt kalibrálnunk kell, ha
• ismeretlen mérőeszközt veszünk használatba,
• elkallódtak a műszer(ek) adatlapjai,
• régebben volt használatban egy alkalmazni kívánt műszer,
• saját tervezésű mérőeszközt készítettünk, vagy
• megterveztünk és összeállítottunk egy mérőláncot.
A fenti néhány kiragadott példa csak szemléltetésül szolgál, ennél sokkal szélesebb ez a terület. Ha a munkaeszköz jellegű mérőműszert kalibrálunk, akkor a használati etalonokkal kell ezeket összehasonlítani, mert a visszavezetési láncban a kevésbé pontos etalonok felől haladunk a pontosabbak felé. A visszavezethetőség metrológiai szabálya általánosságban megköveteli, hogy használati mérőeszközünk ismert bizonytalanságú összehasonlítások láncolatán keresztül kapcsolódjon a nemzeti etalonhoz.
A referencia etalonokat rendszerint az adott ország nemzeti metrológiai laboratóriumában (NMI) kalibráltatják a nemzeti etalonok segítségével. Ezeknek a nemzeti etalonoknak és az adott NMI által kiadott kalibrálási bizonyítványoknak kölcsönös elismerése kötelező, ha az adott ország aláírója az 1998-as CIPM-MRA–nak, vagyis a CIPM Kölcsönös Elismerési Megállapodásának.
A használati etalon ellenőrzése olyan referencia etalon (műszer) segítségével történjen, amelyet a legjobbnak tekintünk az adott mérőlaborban. A használati etalonok referencia etalonnal való összevetésének időtervét az adott szervezet (üzem) metrológiai szabályzata írja elő. Ha nem vagyunk meggyőződve a referencia etalon megbízhatóságáról, akkor helyi, vagy országos mérésügyi szervezethez célszerű fordulni.
Kétféle kalibrálás történhet, statikus és dinamikus, azonban a dinamikus esetében is első lépcső a statikus kalibrálás. A statikus kalibrálás célja főként a műszer karakterisztikájának ellenőrzése, de fontos más metrológia jellemzők vizsgálata is. Ennek során célszerűen választott lépcsőzéssel a vizsgált műszer teljes mérési tartományában összehasonlítjuk a kijelzett értéket a referenciaként használt etalon értékmutatásával. A leolvasás csak a műszer állandósult állapotában történhet. Annak eldöntése, hogy a kalibrálási lépcsők mekkorák legyenek, vagy műszerkönyvek, előírások segítenek eligazodni, vagy a tapasztalatunkra kell hagyatkozni.
Fontos a feloldást (érzékenységi küszöböt) több tartományban ellenőrizve meggyőződni arról, hogy a felbontás (legkisebb kijelzett érték) megfelelő-e? A (4. szakasz - Fontosabb műszertechnikai alapfogalmak) fejezetben felsorolt műszerjellemzők közül szükség szerint kell továbbiakat kiválasztani.
A dinamikus kalibrálás különösen fontos, ha időben változó mennyiségek mérésére szolgál a vizsgált műszer, vagy mérőrendszer. A dinamikus kalibrálás célja annak eldöntése, hogy a mérőeszköz rendszáma, időállandói, beállási ideje, frekvencia menete, alsó és felső határfrekvenciája, rezonancia frekvenciája, stb. valóban egyeznek-e a feltételezett értékekkel, illetve ezek egyeznek-e az adatlapon megadott értékekkel?
2.3. ábra - Dinamikus kalibrálás idő tartományban (elsőrendű rendszer)
Ismeretes, hogy az elsőrendű rendszer (műszer) egy energiatárolót tartalmaz. Tudjuk, hogy a rendszámot az adott rendszer független energiatárolóinak száma határozza meg.
Az elsőrendű rendszer dinamikus viselkedését leíró differenciálegyenlet általános alakjában megjelenik két olyan fontos műszertechnikai jellemző, amelyek metrológiai szempontból is fontosak, ez a „T‖ időállandó és az
„A‖ érzékenység (erősítés). A műszer időtartománybeli matematikai modellje az alábbi:
(2.1)
A (2.3. ábra - Dinamikus kalibrálás idő tartományban (elsőrendű rendszer)) ábrán az xKI kimenőjelet U(t) villamos feszültségként értelmeztük.
A differenciálegyenlet Laplace transzformálása és megfelelő átrendezése után kapjuk az átviteli függvényt. Az átviteli függvényben s=jω helyettesítéssel kapjuk azt a körfrekvenciától függő formát, amely segítségével a Bode diagram megszerkeszthető:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
2.4. ábra - Dinamikus kalibrálás eredményének ábrázolása frekvencia tartományban (Elsőrendű rendszer)
A (4. szakasz - Fontosabb műszertechnikai alapfogalmak) fejezetben ismertetett műszertechnikai metrológiai jellemzők felismerhetőek a két ábrán.
6. Regresszió
A regresszió alkalmazásával az ismert etalon értékek és a vizsgált műszer által jelzett értékek közötti kapcsolatot szándékozunk kimutatni. A legismertebb forma a lineáris regresszió, amelynek esetében az etalon értékek és a vizsgált műszer által mutatott értékek között lineáris kapcsolatot feltételezünk. A kapcsolatot egy egyenes egyenletének formájában adjuk meg, és ehhez szükség van a regressziós egyenes „m‖ meredekségére és a „b‖
nullpont-hibára.
Két változatot kell megkülönböztetnünk. Az egyik esetben az etalon bizonytalansága kisebb, mint a vizsgált műszeré. Az etalon beállított „xi‖ értékei jelentik a független változót, megadható az ehhez az értékhez tartozó
„δi‖ hiba és alkalmazható a legkisebb négyzetek módszere. A másik esetben – és ez gyakran előfordul a gépészeti méréstechnikában – az etalon és a vizsgált műszer bizonytalansága összemérhető, hasonló. Ilyenkor
regressziós egyenes két paraméterének meghatározására. (Wald Ábrahám a XX. sz. elején a kolozsvári Ferenc József Tudományegyetem matematika tanára volt.)
Amennyiben tehát az etalon kisebb bizonytalanságú, pontosabb, mint a vizsgált műszer, a két paraméter meghatározására alkalmazható a Gauss által javasolt „legkisebb négyzetek módszere‖. Ilyen típusú kalibrálási feladat például egy olyan finomtapintó ellenőrzése, amelyik 1 μm felbontással rendelkezik, és etalonként mérőhasáb készletet alkalmazunk.
A (2.5. ábra - Regressziós egyenes és a kalibrációs pontok) ábrán látható egy lineáris regresszió, ahol xBE=x és xKI=y:
2.5. ábra - Regressziós egyenes és a kalibrációs pontok
Az ábrán látható eltérések négyzetösszegének minimumát keressük. A pontpárok ismeretében a regressziós egyenes „m‖ meredekségét és a „b‖ nullpont-hibát szélsőérték-kereséssel határozhatjuk meg.
(2.6)
Az összefüggést „m‖ és „b‖ szerint külön-külön parciálisan deriváljuk, és egyenlővé tesszük zérussal.
(2.7)
Olyan egyenletrendszert kapunk, amelyik kétszer „n‖ db egyenletből áll:
(2.8)
(2.9)
A második „csoportból‖, azaz egyenletrendszerből „b‖ azonnal kifejezhető, és meghatározásához már csak az átlagokat kell kiszámítani:
(2.10)
(2.11)
A továbbiakban „m‖ meghatározása a feladat. Az első egyenletrendszerbe behelyettesítjük a „b‖-re kapott eredményt:
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Végül a fenti egyenletből „m‖-re rendezve kapjuk az első eredményt, ami ebben a formájában algoritmizálásra egyelőre nem alkalmas.
(2.15)
A számláló azonban tovább alakítható:
(2.16)
Végül olyan alakhoz jutunk, amely már algoritmizálásra is alkalmas.
(2.17)
A nevezőt is át kell formálni. A következő egyenlet már több lépés eredményét mutatja. Ha az egyenlet jobb oldalán elvégezzük a kijelölt műveletet, akkor belátható, hogy az összefüggés helyes.
(2.18)
Így mind a számlálóban, mind a nevezőben olyan formákhoz jutottunk, amelyek áttekinthető és jól alkalmazható számítási módot kínálnak a regressziós egyenes meredekségének meghatározására:
(2.19)
Az előzőekben bemutatott számítási módszer csak akkor alkalmazható, ha az etalon bizonytalansága kisebb, mint a vizsgált eszközé.
A Wald-módszer viszont segít abban az esetben, ha mind az etalonként alkalmazott eszközt, mind pedig a vizsgált műszert normális eloszlású, véletlen hiba terheli.
Az eljárás lépései a következőek:
1. Az értékpárokat nagyság szerint sorba rendezzük. Lehetőleg a mérési tartomány két végének környezetében végezzünk méréseket. A halmazt két részre osztjuk, és mindkét részhalmaz súlypontját képezzük.
2. A két súlypontot (S1, S2) összekötve a regressziós egyenes meredekségét kapjuk.
3. A teljes halmaz „S‖ súlypontjának kiszámítása után a 2. pontban meghatározott meredekséggel húzunk egyenest az „S‖ súlyponton keresztül.
A különbségtétel kedvéért a meredekséget „α‖ és a nullpont-hibát „β‖ szimbólummal jelöljük.
A két részhalmaz súlypontjának meghatározása a következők szerint történik:
(2.20)
Az átlagok segítségével már kijelölhető a meredekség:
(2.21)
Végül meg kell határoznunk a nullpont-hibát, az egyenes és a függőleges tengely metszéspontját. Most valamennyi értékpár felhasználásával kiszámítjuk a teljes ponthalmaz súlypontját, és az így kapott átlagértékkel a keresett metszéspontot:
(2.22)
(2.23)
A Wald-módszerrel meghatározott regressziós egyenes egyenletének paramétereivel kapjuk a végeredményt:
(2.24)
2.6. ábra - A Wald-módszer grafikus szemléltetése
A regresszió analízis természetesen a fentiekben bemutatottaknál lényegesen szélesebb körű. Ebben a fejezetben csak a méréstechnikában legfontosabb ismeretekre szorítkoztunk.
7. Korreláció
Az ipari gyakorlatban sokszor elengedhetetlenül fontos a mérési adatok közötti lineáris kapcsolat objektív kimutatása, a matematika eszköztárának igénybevételével. Gyakori feladat annak eldöntése, hogy két, különböző mérési sorozatból származó mintasokaság, azaz adathalmaz között van-e lineáris összefüggés? A függőség mértékének meghatározása a korrelációszámítással történik.
Ilyen gyakorlati feladat lehet a gépészetben például annak eldöntése, hogy egy tengely vállbeszúrásának megadott erőhatással történő körkörös zömítése (görgőzés) és a görgőzés eredményeként létrejövő alakváltozás között van-e összefüggés? Összefügg-e továbbá a görgőzés (zömítés) mélysége a tengely szilárdságának növekedésével?
A módszer alapja a vektorszámítás. Két vektor között egy pozitív, vagy negatív előjelű szorzó, azaz konstans, akkor teremt kapcsolatot, ha a vektorok között bezárt szög 0°, vagy 180°. Ha két vektor egymáshoz képest 90°-ot zár be, akkor nincsen közöttük egy konstanssal kifejezhető lineáris kapcsolat.
A vektorokra érvényes szabály kiterjeszthető a mérési adatok halmazára is, ha a mért értékek és a várható érték közötti különbségeket egy n-dimenziós vektor elemeinek tekintjük.
A vektor-térben ugyanis egyszerűbb a korreláció (kapcsolat) értelmezése.
Ha ugyanis a két vektor egymással υ szöget zár be, akkor a szög értékével kifejezhető minden lényeges összefüggés:
1. υ=90º, akkor nincs a ponthalmazok között lineáris függés
2. υ=0º, akkor van lineáris összefüggés, a két n-dimenziós vektor között konstans szorzóval kifejezhető a kapcsolat: y=ax
3. υ=180º, akkor a két n-dimenziós vektor között negatív konstans szorzóval kifejezhető lineáris kapcsolat van:
y= - ax, a két vektor ellentétesen korrelált
4. υ≈0º, ill. υ≈180º akkor lehet lineáris a kapcsolat, de van egy korrekciós tag is, amelyet „e‖ szimbólummal jelölünk: y= ax + e, ahol |e|→0
A korrelációs tényező számításhoz szükséges összefüggéshez a következő megfontolások alapján jutunk.
A két vektor közötti hajlásszög cosinus-a -1 és +1 között mozoghat, ezt nevezzük „r‖ korrelációs tényezőnek (faktornak).
(2.25)
Behelyettesítve az előző képletbe a kijelölt matematikai műveleteknek megfelelő alakokat, és figyelembe véve azt, hogy a gyakorlatban a mért adatok felhasználásával nem a korrelációs tényezőt, hanem a tapasztalati korrelációs tényezőt tudjuk csak meghatározni, a következő formát kapjuk:
(2.26)
Látható, hogy az egyenlőtlenségből eltűnt az egyenlőség jel, hiszen az elméleti értéket empirikus adatokból nem lehet meghatározni. További átformálások „kínálják‖ magukat, amelyek révén a számításhoz lényegesen egyszerűbb alakhoz jutunk:
(2.27)
A tapasztalati korrelációs tényező kiszámítására alkalmas célszerű alakban a két mérési adathalmaz abszolút hibái mellett a tapasztalati szórások szerepelnek. Ez előnyös, mert ezekre az adatokra, paraméterekre a statisztikai feldolgozás során más célból is szükség van.
(2.28)
Végül fontos megjegyezni, hogy a műszaki gyakorlatban csak akkor feltételezzük a lineáris kapcsolatot, ha az empirikus korrelációs tényező értéke 0,7 felett van, de sok esetben már csak a 0,8 feletti értékek elfogadhatóak.
A statisztikai szakirodalomban megtalálható „Pearson-táblázatok‖ a konfidenciaszint és a minta elemszámának függvényében adják meg azt a tapasztalati korrelációs tényezőt, amely mellett a kapcsolat hipotézise elfogadható. E táblázatok azonban nem a műszaki területek sajátosságait veszik alapul, és ezért a gépészetben ajánlatos a fent jelzett szigorúbb vizsgálat.