Folytonos, nem stacionárius jelek analízise a gyakorlatban

Az idő-ablakot a nem stacionárius folytonos jelek mentén mozgatva, meg lehet határozni az ablakozott rész frekvencia spektrumát. Az eredmény megjelenítése 3D-ben célszerű, mert így egyrészt a frekvenciától való függés (spektrum), másrészt a spektrum-kép időbeli változása is megjeleníthető.

A nem stacionárius időbeli jelek analízise esetében az időbeli ablakozásnak nagy szerepe van. Ha az időablak négyszög formájú, akkor a két végén „hirtelen‖ változás történik. (Elméletben végtelen meredekséggel, a gyakorlatban persze bizonyos átmenettel.) A szakadás megszüntethető, és lényegesen jobb eredmény kapható, ha az ablak „lágyabb‖ átmenetű, például Gauss-függvény alakú.

A gyakorlatban használatos ablakok a jelminta más-más részét hangsúlyozzák ki, de mindegyik ablak jobb, mint a négyszög ablak. A nem stacionárius folytonos jelből vett mintát akkor lehet a legkönnyebben analizálni, ha a minta a teljes jelhez képest rövid, mert így hasonló a helyzet, mintha stacionárius jelet vizsgálnánk.

Az ilyen típusú jelek analízise során az alábbi tényezőket kell figyelni:

• Az időablak típusát

• Az időablak hosszát

• Az inkrementális lépések megválasztását

7.20. ábra - Gauss-időablak „simító” hatása a jelmintaperiodikus visszajátszása során

Az időablakozás és a hozzá kapcsolódó spektrum nem érthető a Fourier transzformáció néhány fontos összefüggésének felelevenítése nélkül.

A legfontosabb az ablakozás szempontjából a konvoluciós tétel, amelynek révén a konvolúciós integrál szorzattá transzformálható. A tételt a leggyakrabban a Laplace operátor térben alkalmazzuk, amikor a bemenőjel Laplace transzformáltját az átviteli függvénnyel megszorozva a kimenőjel Laplace transzformáltját állítjuk elő. Időtartományban ennek a műveletnek a konvoluciós integrál felel meg. A konvolució jelölése a két függvény között egy csillaggal történik.

(7.41)

A konvolució azonban nem csak a Laplace transzformációhoz kapcsolódik.

A Fourier transzformáció is tartalmaz ennek megfelelő szabályokat. A legfontosabbak ezek közül a témához kapcsolódóan az alábbiak:

(7.42)

A kimenőjel spektrumát tehát egyszerűen úgy állíthatjuk elő, hogy a bemenőjel spektrumát a frekvencia átviteli függvénnyel megszorozzuk. A folyamatot egyetlen kiragadott részlet segítségével könnyen elképzelhetjük, ha kiválasztunk egy összetevőt a bemenőjel spektrumából ωi körfrekvenciánál, és ezt a frekvencia átviteli függvény ωi körfrekvenciához tartozó értékével megszorozzuk. Az időtartományban az integrálszámítás lényegesen bonyolultabb.

A megszokott formájú konvolucióban a g(t) függvény az átviteli tag súlyfüggvénye, tehát maga is időfüggvény.

A konvoluciót tehát időtartományban végezzük.

Ha egy lépéssel továbbmegyünk, és a konvoluciót a frekvenciatartományra is kiterjesztjük a Fourier transzformációs szabályoknak megfelelően, akkor az időablakozás frekvenciatérbeli hatása érthetővé válik.

A konvolucióban felcseréljük az idő és a frekvencia tartományt, azaz a változókat, és így az alábbi összefüggéseket kapjuk:

(7.43)

Tekintettel arra, hogy F(jω) és G(jω) komplex függvények, a szorzatuk is komplex szorzat, ami azt jelenti, hogy szorozzuk az amplitúdókat, és összegezzük a fázisszögeket. Az integrálás ebben az esetben vektor-összegzést jelent.

Ha tehát egy f(t) folytonos időbeli jelből ki akarunk „vágni‖ egy meghatározott hosszúságú mintát, akkor egy g(t) négyszög időablakkal kell az f(t) függvényt megszorozni. A két időtartománybeli jel szorzata a frekvenciatartományban a megfelelő jelek spektrumainak konvolucióját eredményezi.

A folyamat képi megjelenítése a (7.21. ábra - Időfüggvények szorzása – spektrumok konvoluciója) ábrán követhető nyomon. Felülről sorrendben az első két függvény egy-egy koszinusz, illetve szinusz függvény, mellettük jobbra a komplex Fourier transzformáltjuk, amelyek Dirac-impulzusok +ωi és -ωi körfrekvenciáknál.

Láttuk, hogy , tehát a komplex Fourier transzformált valós része koszinusz, képzetes

spektrumokon is. A harmadik függvény egy négyszög időablak (T időtartamú impulzus), amellyel a folytonos harmonikus függvényekből egy-egy mintát szeretnénk „kimetszeni‖. Az impulzus spektruma a jobboldalon látható, és csak valós résszel rendelkezik. A koszinusz jellel való szorzás (ablakozás) eredménye a spektrumban az, hogy az impulzus spektruma a koszinusz függvény -ωi és +ωi körfrekvenciáinál jelenik meg, és csak valós része van. Jól látszik, hogy az ablakozott koszinusz jel lineáris átlaga nem zérus (a pozitív és negatív hullám-felek eredője nem zérus), ezért jelenik meg a spektrumban zérus körfrekvenciánál is összetevő.

A szinusz függvény ablakozása imaginárius spektrumot eredményez, ugyancsak a függvény -ωi és +ωi

körfrekvenciáin, és ismét az impulzus spektruma jelenik meg. A spektrumnak nincs összetevője a zérus körfrekvencián, mert az ablakozott szinusz jel lineáris átlaga zérus.

7.21. ábra - Időfüggvények szorzása – spektrumok konvoluciója

A konvolucióval létrejött spektrum megjelenítése lényegesen egyszerűbb, ha a teljesítmény spektrum közlése a feladat, mert ebben az esetben a 3D-s kép helyett csak a valós koordinátarendszerben kell ábrázolni az eredményt.

A következő ábrán ugyancsak harmonikus jelen történő „ablakozást‖ látunk két időablak esetében, és jobboldalon a teljesítmény spektrum látható. A folytonos, periodikus harmonikus függvény Fourier transzformáltja (komplex spektruma) ±f0 frekvenciáknál egy-egy Dirac-impulzus. A nem periodikus négyszög-impulzus és a Gauss-függvény spektruma folytonos, és a függőleges tengelyre szimmetrikus. A frekvenciatérbeli konvolució eredményeként az ablakok spektruma a harmonikus jel ±f0 frekvenciáin jelenik meg. Látható, hogy a négyszögjel két végén végbemenő hirtelen változás (végtelen meredekség) igen széles sávú spektrumot eredményez. Az eredeti harmonikus jel frekvenciáján van ugyan egy jól elkülöníthető csúcs, de az oldalsávok teljesítménye nem elhanyagolható. A Gauss-függvénnyel történő ablakozás a harmonikus jelből fokozatosan növekvő amplitúdójú részletet „vág ki‖, a hirtelen ugrás megszűnik, és a spektrum ennek következtében „szűkebb‖ lesz. A teljesítmény spektrumban a megjelenő Gauss-spektrum csúcsaihoz tartozó ±f0

frekvenciák felelnek meg az eredeti folytonos jel frekvenciáinak. Az oldalsávok persze itt sem elhanyagolható mértékűek, ennek nagysága a Gauss-függvény alakjától, pontosabban annak szórásától függ.

7.22. ábra - Négyszög és Gauss ablak hatása a spektrumra

Az időablak típusának megválasztása

Az analóg szűrési gyakorlatban az alábbi időablakokat szokás alkalmazni:

• Négyszög ablak T időtartammal

• Hanning (cos²) ablak

• Hamming ablak (Hanning ablak egy kismértékű emeléssel)

• Gauss ablak

Táblázatban foglaltuk össze a fenti időablakokhoz tartozó szűrési tulajdonságokat:

Típus 3dB sávszélesség

β=1/T

Zaj sávszélesség B eff

Legmagasabb oldalsáv [dB]

Oldalsávok csúcsainak meredeksége

Négyszög 0.9 β 1.0 β -13 -20 dB/dekád

Hanning 1.4 β 1.5 β -32 -60 dB/dekád

Hamming 1.3 β 1.4 β -42 -20 dB/dekád

Gauss 1.8 β 1.9 β nincs nincs

A különböző típusú és „T‖ időtartamú időablakok frekvencia menetét hasonlítjuk össze a következő ábrán:

7.23. ábra - Jellegzetes időablakok és frekvenciamenetük

Az időablak hosszának megválasztása

Természetes, hogy az ablak hossza az analizálni kívánt nem stacionárius, folytonos jel hosszától függ, gondoljunk példaképpen a beszédben kiejtett hangzókra, amelyek időtartama átlagban 40 ms körüli. A rövid minta következménye természetesen nagy sávszélesség lesz a frekvenciatartományban, gondoljunk az impulzus spektrumára. A különböző ablak típusok Teff effektív hossza (összehasonlítás céljából) az effektív, vagy zaj sávszélességgel határozható meg, ha a jelminta véletlenszerű, és nagyjából stacionárius:

(7.44)

A Teff érték tulajdonképpen a TA helyettesítésére szolgál abban a korábban már megismert összefüggésben, amely az átlagolási idő és a hiba várható eloszlása közötti kapcsolatot adja meg.

(7.45)

Láttuk, hogy minél hosszabb az átlagolási idő, annál kisebb a hiba, az eredmény bizonytalansága, empirikus szórása.

Konstans relatív sávszélességű analízis esetében előfordulhat, hogy a kapott eredményt nem a szűrő sávszélessége, hanem az időablak alakja határozza meg.

Az inkrementális lépések megválasztása

Láttuk, hogy Teff dönti el az inkrementális lépések szélességét. Ugyanakkor, ha a fenti elméleti képlet szerint állapítjuk meg a frekvencia inkrementumot, akkor a gyakorlatban hibát követhetünk el.

A lépések sávszélességét célszerű keskenyebbre választani, például a következő minta szerint:

Egy Hanning ablak effektív sávszélessége 1.5β, a képlet alapján számítható Teff=0.67T. Az inkrementális lépések számításához 0.5T értéket célszerű választani.