„összecsúszott” spektruma
2. A Fourier sortól a Fourier és a Laplace transzformációigtranszformációig
A Fourier és a Laplace transzformációk a függvény transzformációk csoportjába tartoznak, közöttük szoros a kapcsolat. A Laplace transzformáció a Fourier transzformáció ismeretében már megérthető.
A kulcs tehát a Fourier transzformációban rejlik, ennek elfogadásához egy gépész, vagy egy mechatronikus esetében, meglátásunk szerint, a Fourier sorból célszerű kiindulunk. Annál is inkább, mert tudománytörténeti tény, hogy a tudósok mechanikai rezgéstani és hőtani problémák megoldására kerestek megoldásokat, és ez vezetett a Fourier-féle leíráshoz.
A matematikatörténettel foglalkozó irodalomban előkelő helyet foglal el a Fourier-sorok elméletének kialakulása. Az elmélet létrejöttében két fizikai probléma játszott főszerepet: a rezgő húr problémája, és a hővezetés egyenlete.
Három vezető matematikus, d'Alembert, Bernoulli és Euler között az 1700-as évek végén vita folyt egy mechanikai probléma, a két végpontjában rögzített, kifeszített rugalmas húr rezgésének matematikai leírásáról.
Meg is született a probléma egy mai szemmel nézve is korrekt megoldása, de ez nem vált széles körben elfogadottá. Nem törődve a kor kételyeivel Joseph Fourier francia matematikus az 1800-as évek elején igen sikeresen alkalmazta a három matematikus által kidolgozott, illetve vitatott eljárást a hő terjedésének matematikai leírására.
Egy 1822-ben megjelent művében Fourier azt elemezte, hogy a környezetétől elszigetelt rúd belsejében zajló hőmérséklet-változást hogyan írhatjuk le. A felvetés szerint a hő csak a rúdban áramlik; a rúd és a környezete között nem.
A matematikusok, beleértve korunk matematikusait is, rengeteg átgondolnivalót kaptak a Fourier-analízissel kapcsolatban. Akadnak még mindig nyitott kérdések, elméleti problémák. Ugyanakkor különösképpen a mérés-és híradástechnika számára a gyakorlati alkalmazásokban jól felhasználható módszerek, technikák jöttek létre.
A Fourier-sorokkal kapcsolatban már a kezdet kezdetén is számos kérdés vetődött fel, s ezek alapvetően megszabták az elméleti kutatások irányát. Dirichlet 1829-ben bebizonyította, hogy szakaszonként monoton függvények trigonometrikus Fourier-sora előállítja a függvényt. Ezzel igazolást nyert, hogy egy fontos függvényosztály elemei rekonstruálhatók Fourier-együtthatóikból, ha a végtelen sor összegét a szokásos módon, vagyis a részletösszegek sorozatának határértékeként határozzuk meg.
A trigonometrikus Fourier-együtthatók kiszámítását az a felismerés tette lehetővé, hogy a trigonometrikus rendszer bármely két különböző tagjának szorzatintegrálja nulla. Ha két függvény szorzatának integrálját a két függvény skaláris szorzatának tekintjük, akkor az imént említett tulajdonság azt jelenti, hogy ezek a függvények páronként merőlegesek (ortogonálisak) egymásra, ortogonális rendszert alkotnak. A függvény Fourier-sora pedig felfogható egy így létrejött végtelen dimenziós koordináta-rendszerben való megjelenítésnek. Ezen szemléletből kiindulva kezdték el vizsgálni a skaláris szorzattal ellátott vektortereket, és ezek fontos osztályát David Hilbert német matematikusról „Hilbert tereknek‖ nevezték el.
Hilbert a trigonometrikus rendszer szerinti Fourier-szintézis problémáival összefüggésben további elméleti kérdéseket vetett fel, többek között a Fourier-sor konvergenciájával kapcsolatosakat is.
Ahogy már említettük, a Fourier analízis a méréstechnikában alapvető fontosságú, mert a megfelelő átviteli tulajdonságokkal rendelkező technikai mérőláncot a vizsgált jel spektrumához kell illeszteni. Kérdés mi az elméleti háttere a jelek harmonikus összetevői, amplitúdó, vagy teljesítmény spektruma meghatározásának?
Az f(t) periodikus, állandó amplitúdójú jel harmonikus összetevőkre bontható, azaz elméletileg végtelen számú, különböző amplitúdójú és frekvenciájú szinusz és koszinusz jelek összegeként írható fel.
(6.16)
Az Ak és Bk együtthatókat a következő módon határozzuk meg:
(6.17)
Az Ak és Bk együtthatók meghatározása igen hosszadalmas, még akkor is, ha egy adott feladatban, a gyakorlatban nincsen szükség minden (végtelen számú) együtthatóra, csak bizonyos számú összetevő kiszámítására. Ezen kívül bonyodalmat jelenthet a trigonometrikus függvények és az adott f(x) jel szorzatának integrálása is.
Ez a probléma küszöbölhető ki azzal, hogy a trigonometrikus függvények helyett komplex exponenciális függvényeket alkalmazunk. Így csak egyetlen, Ck együttható marad, ami azonban komplex, tehát most már nem a spektrum együtthatóiról, hanem komplex amplitúdó spektrumról beszélünk. A trigonometrikus függvények helyére az Euler-formula segítségével komplex exponenciális függvények írhatók.
A fentiek miatt a mérés-és híradástechnikában a Fourier analízis nem trigonometrikus függvényekkel, hanem forgó vektorok – „fazorok‖ segítségével történik. Ezért az első mozzanat, hogy bemutatjuk a kétdimenziós komplex vektort a komplex síkon, és ennek kapcsolódását a trigonometrikus alakokhoz.
(6.18)
(6.19)
6.13. ábra - A komplex vektor (fazor) ábrázolása, a szokásoshoz képest 90 fokkal pozitív
irányba elforgatva
(6.20)
Az Euler formulák szemléltetése céljából egy általános „cos‖ időfüggvényt ábrázoltunk két formában a következő ábrán:
6.14. ábra - Egy általános, „ϕ” fázistolású cos függvény időbeli alakja és komplex
formája
A fenti ábrán egy általános cos függvény időbeli és komplex alakját látjuk. A jel „A‖ amplitúdójú és „υ‖
fázistolású. Az ábrán a függvény t=0 időpillanatbeli értékéhez tartozó vektor piros színnel van jelölve. A jel Euler formula szerinti átírása az alábbi módon történt:
(66.21)
Behelyettesítve az exponenciális alakot a trigonometrikus formába a Fourier sor komplex alakjához jutunk:
(6.22)
A két exponenciális függvény összevonása, és az átrendezés után kétféle komplex együtthatót kapunk, ezek Ak
és Bk:
(6.23)
A cél az, hogy ezt a summát egy kompaktabb, és egyszerűbben számítható alakra hozzuk. Ehhez azonban egy megállapodás is szükséges:
Amint igaz az, hogy -(-1)=1, ugyanúgy legyen –k=k’, azaz –k’=k, ahol k’=-1,-2,-3,…
E megállapodás a Fourier együtthatók előjeleire nézve következményekkel jár:
(6.24)
(páros függvény)
(6.25)
(páratlan függvény)
Behelyettesítve, és az A0 együtthatót is befoglalva, továbbá felhasználva, hogy –k=k’, két lépésben olyan alakhoz jutunk, amely lehetővé teszi az összevonást:
(6.26)
(6.27)
Most már lehetséges egyszerűbb formában is felírni a komplex Fourier sort:
(6.28)
Megjelenik viszont ezzel egy időben egy műszaki szemszögből bizarrnak tűnő jelenség is, ez a negatív körfrekvencia. Ilyen frekvenciák a valóságban természetesen nem léteznek, de bevezetésükért cserében, a kétféle, és elméletben végtelen sok együttható helyett, csupán egyféle, a Ck (persze ugyancsak végtelen sok) kiszámítására van szükség.
Mihez kezdünk azonban a negatív körfrekvenciákkal? Ezek bizonyos, numerikus úton meghatározott komplex amplitúdó spektrumok esetében úgy jelennek meg grafikus formában, hogy a zérus körfrekvenciára szimmetrikusan, kétoldalasan láthatók az együtthatók a körfrekvencia tengely mentén. Ilyen esetben nincs más teendő, mint bal oldali összetevőket a jobb oldali, pozitív körfrekvenciákhoz tartozó együtthatókhoz hozzáadni, és készen van a „műszakilag értelmezhető‖ spektrum.
A Ck komplex együtthatók kiszámításához ugyancsak felhasználjuk az Euler-formulákat.
(6.29)
(6.30)
(6.31)
(6.32)
A Ck komplex mennyiségek tehát a komplex Fourier sor együtthatóinak felelnek meg.
A periodikus jelek spektruma a k=1,2,3,… egész értékek miatt un. „vonalas” spektrum, más néven diszkrét spektrum.
Egy ilyen, képzeletbeli periodikus jel vonalas komplex spektrumát mutatja a 6.16. ábra - Általános, folytonos periodikus jel diszkrét komplex spektruma ábra, három dimenzióban, érdemes a szemléletesség kedvéért
„hátrább lapozni‖. Adott körfrekvencián megjelenő komplex együttható valós és képzetes részre bontható. A legtöbb spektrum ábrázolás azonban nem 3D-s, hanem az együttható abszolút értékét mutatják a megfelelő körfrekvenciáknál: |F(ω)|.
A Fourier sor komplex alakjára és az ennek felírásához szükséges Ck komplex együtthatókra különleges jelentőségük miatt a 3. szakasz - A Fourier sor komplex alakja fejezetben még visszatérünk. Ha ugyanis a Ck
együtthatók komplexek, akkor vektorként is felfoghatók, amint azt a (6.16. ábra - Általános, folytonos periodikus jel diszkrét komplex spektruma) ábrán láthatjuk.
A Fourier transzformációhoz vezető úton azonban itt még nem állhatunk meg. Eddig ugyanis csak periodikus, vagy szakaszosan periodikus jelek sorát tudtuk meghatározni. A technikai jelek világában azonban nem csak összetett periodikus, hanem egy-és kétoldalasan határolt jelek is előfordulnak. Olyan nem periodikus jeleknek (függvények), amelyek teljesítik a Dirichlet-feltételt, tehát abszolút, vagy négyzetesen integrálhatóak nem a Fourier együtthatóit, hanem a Fourier transzformáltját határozzuk meg.
C k felhasználásával – és az amplitúdó sűrűség spektrum c(ω) bevezetésével - jön létre a Fourier transzformáció.
Bevezetjük elsőször is a diszkrét körfrekvenciákon megjelenő együtthatók helyett az amplitúdó sűrűség fogalmát. Ez alatt a Δω sávszélességre eső Ck együtthatókat kell érteni:
és mert
(6.33)
Ha most Δωk helyére behelyettesítjük a 2π/T összefüggést, akkor a T→∞kiterjesztés révén, az impulzus-szerű, időben határolt, nem periodikus függvények is bevonhatók a vizsgálatba azzal, hogy ezek a függvényeket T→∞
időtartamban „legalább egyszer periodikusnak‖ tekintjük. Ck helyére a kiszámításához korábban meghatározott összefüggést helyettesítjük be.
(6.34)
A „T‖ periódusidő tehát eltűnik az összefüggésből, és átrendezés után kapjuk a komplex amplitúdó sűrűség spektrumot, aminek jelölése F(ω).
(6.35)
A Fourier transzformáció tehát minden olyan függvényre alkalmazható, amelyekre teljesül a Dirichlet feltétel, azaz általános periodikus és időben kétoldalasan határolt jelekre is.
A fejezet (6.5. ábra - A Heaviside függvény felbontása) ábráján látható Heaviside-függvény, és a hozzá hasonló, önmagában nem integrálható függvények Fourier transzformálása komoly apparátust igénylő matematikai feladat. A szakirodalomban található Fourier transzformációs táblázatok a gyakorlatban sokszor előforduló, továbbá jó néhány „kritikus‖ függvény transzformáltját tartalmazzák.
Már csupán az utolsó lépés hiányzik ahhoz, hogy a Laplace transzformációhoz eljussunk. A (6.4. ábra - A Fourier analízis összefoglaló bemutatása) ábrán látható táblázatos összefoglalásban az egységugrás, azaz Heaviside függvényt beszoroztuk egy olyan exponenciális függvénnyel, amely a kritikus egyoldalasan határolt, és nem integrálható függvényt konvergenssé teszi. Ez a függvény e-σt lesz, ahol |σ| egy zérustól eltérő, bármilyen kis szám.
(6.36)
A fenti összefüggésben „s‖ a Laplace-operátor. Az f(t) időfüggvényt a transzformáció segítségével az operátor tartományba képezzük le, és az F(s) racionális törtfüggvényt kapjuk eredményül. A mérnöki gyakorlatban a Laplace transzformáció nélkülözhetetlen szerepet játszik a lineáris, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldása során, valamint a mérés-és műszertechnikában az átviteli függvények meghatározásában, az amplitúdó és fázismenet kiszámításában. Erre látunk fontos gyakorlati példát egy másodrendű műszer dinamikai vizsgálatánál, a 4.3. szakasz - Mérőlánc frekvenciafüggő átviteléből adódó hibák fejezetben.
Befejezésül egy összefoglaló táblázatban mutatjuk be a legfontosabb jeltípusok Fourier együtthatóinak, illetve Fourier transzformáltjainak jellemző képeit. Az időben folytonos jelek spektruma vonalas (diszkrét), az időben kétoldalasan határolt jeleké pedig folytonos.
6.15. ábra - Determinált jelek Fourier összetevői
A táblázat csak a jelek felosztása során megjelenő, determinált jeltípusokat mutatja. A szakirodalomban közölt táblázatokban megtaláljuk valamennyi fontos időfüggvény Fourier transzformált alakjait.