„összecsúszott” spektruma
1. Analóg frekvenciaanalízis
1.5. Cepstrum analízis
B. P. Bogert, M. J. R. Healy, J. W. Tukey „The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo-Autocovariance, Cross-ceprstrum and Saphe Cracking‖ című, a Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis kiadványban megjelent (M. Rosenblatt, Ed. Wiley, New York, 1963 [7.1.] cikke 1963-ban mutatta be azt a módszert, amelynek segítségével a földrengések igen összetett rezgésképéből szét lehetett
„választani‖ az epicentrumban (forrás) kipattant lökéshullámokat, a földkéreg, mint bonyolult átviteli tulajdonságokkal rendelkező passzív rendszer válaszát (kvázi „súlyfüggvényét‖), és az echókat (visszahatásokat,
„visszhangokat‖). Rendszertechnikai kifejezésekkel fogalmazva: el kellett különíteni a földkéreg impulzus-válaszától a forrás által kibocsátott rezgésjeleket.
Bogert újítása azért nagyon fontos újdonság és nélkülözhetetlen gyakorlati módszer a jelanalízisben, mert J.
Trampe Broch „On the Applicability and Limitations of the Cross-Corelation and the Cross-Spectral Density Techniques‖ című, a B&K Technical Review No 4. 1970 [7.2.] megjelent publikációjában, a későbbiekben
csúcsok, amelyek például a visszhanggal kapcsolatba hozhatók lennének, sajnálatos módon erősen függenek a frekvencia spektrum alakjától. Ráadásul a földkéregben való terjedés különféle szűrő hatásoknak is ki van téve.
A teljesítmény spektrum logaritmusának felhasználásával is történtek próbálkozások, de ezek az eredmények is hasonlóan érzékenyek a szűrésre. Csak a cepstrum képes olyan késleltetett csúcsokat is kimutatni, amire az auto-és keresztkorreláció már nem volt alkalmas.
A gépészeti méréstechnika szempontjából természetesen nem a cepstrum analízis eredeti célja fontos, hanem az, hogy a Bogert-féle publikációt követően szédítő sebességgel kezdték a módszert alkalmazni különböző tudományterületeken, ahol hasonló dekonvoluciós problémákkal küzdöttek. A szeizmikus vizsgálatok után, másodikként, a beszédanalízis területén alkalmazták, mert a cepstrum alkalmas a hangképző szervek frekvencia átviteli tulajdonságainak, és önmagában a „tiszta‖ hang frekvenciaspektrumának szétválasztására. A hangképző szervek esetleges deformitásai, betegségei ennek segítségével beazonosíthatóvá váltak.
A gépészeti méréstechnika szempontjából természetesen nem ez a két alkalmazás, hanem az alábbi műszaki lehetőségek játszanak szerepet:
• géprezgések periodikus összetevőinek detektálása és azonosítása,
• turbinalapátok hibái,
• csapágyak hibái,
a megfelelő felharmonikusak és oldalsávok elkülönítésének segítségével.
Bogert és társai a bevezetőben említett publikációjukban az általuk javasolt cepstrum analízis eljárás fogalmaira és egységeire olyan elnevezéseket találtak ki, amelyek az eredeti frekvencia analízisből származtak, de néhány betű felcserélésével teljesen új szavak születtek az új fogalmak megjelölésére. Mindeközben persze, a megjelölések hangalakja a felhasználóban a hagyományos frekvencia analízissel való rokonság érzetét kelti, nem alaptalanul.
Nézzünk ezek közül néhányat, angol nyelven, mert így érzékelhető a betűk cseréje. A quefrencia dimenziója idő, ez a soron következő definícióból is nyilvánvaló lesz.
Frekvencia analízis Cepstrum analízis
A cepstrum analízist több szakirodalom joggal nevezi dekonvoluciónak. Az elnevezés jogos, és igen szemléletesen tükrözi a cepstrum analízis lényegét. Az idő tartományban mért „válaszjelek‖, amelyet a földrengéseket észlelő szeizmológiai állomások regisztrálnak, valójában konvoluciós integrálok „eredményei‖.
Ugyanis, a rendszertechnikában megszokott módon, időtartományban az „y(t)” kimenőjel (válaszjel) az alábbi módon adható meg az átviteli tag „g(t)” impulzus válaszának (súlyfüggvény) és az „u(t)” gerjesztő jelnek ismeretében:
(7.52)
A gépészeti méréstechnikai alkalmazásokban legyen az u(t) függvény egy gép (géprendszer) belső zaja, vagy rezgésforrásának jele, g(t) pedig az impulzusválasz, amely a gép belsejétől a mérési pontig terjedő összetett, és nehezen modellezhető rendszert jellemzi.
A méréssel detektálható y(t) válaszjelből idő tartományban nem lehet az eredeti két összetevőt szétválasztani, de amint olvashattuk, az autokorrelációs spektrum sem volt erre alkalmas.
Bogert és társai a konvoluciós integrál frekvencia tartománybeli megfelelőjéből indultak ki, és arra alapozva, hogy a szorzatból logaritmusképzéssel összeg állítható elő, megalkották a cepstrum fogalmát. A cepstrum lényegében az átviteli függvény és a gerjesztés spektrumának logaritmikus összege. Ezt mutatjuk be a következőkben.
A konvolució megfelelője frekvencia tartományban a frekvencia függvények szorzata. Az egyenlet logaritmusát képezve, az egyenlet összeggé alakul.
(7.53)
A két összetevő a linearitási törvény alapján külön-külön Fourier transzformálható, így áll elő a cepstrum, amely a két kérdéses időfüggvényből származó spektrum összege:
(7.54)
Az egyenlet lényegében a „dekonvolució‖, azaz az időfüggvényekhez rendelt spektrumok szétválasztásának folyamatát mutatja.
Napjainkban a cepstrum két formája ismeretes és alkalmazott, ezek a
• teljesítmény cepstrum és a
• komplex cepstrum.
Ez utóbbi elnevezésben ugyan benne foglaltatik a komplex jelző, de a cepstrum valójában nem komplex, csak reális része van, erről a későbbiekben még lesz szó.
A következő ábra baloldalán a kitartott emberi „Á‖ hangméréssel felvett spektrumát (válasz spektruma), jobboldalán pedig a cepstrumát mutatja. A spektrumból az eredeti hang frekvenciája nem szűrhető ki, mert a hang több felharmonikussal együtt jelenik meg. A hangképző szervek frekvencia átviteléről egyszerűen pedig nincsen információ.
A jobboldali cepstrumban viszont a hangképző szervek frekvencia átvitele és az eredeti „Á‖ hang már jól elkülönítetten jelenik meg. Az átviteli tagra (láncra) jellemző quefrenciák általában alacsonyabb értéknél jelennek meg (kisebb a spektrum fluktuációja), így könnyen felismerhetőek, erre jó példa az alábbi ábra jobboldala.
7.27. ábra - Kitartott „Á” hang spektruma és cepstruma
Teljesítmény cepstrum
Matematikailag és történelmileg ez az első forma, hiszen az idézett munkában a cepstrum mint „A teljesítmény spektrum logaritmusának teljesítmény spektruma‖ van definiálva.
A „miért‖ kérdésre azonnal érthető a válasz: A bevezetőben ismertetett összefüggések általános formában mutatták be a cepstrum analízis lényegét. Tudomásul kell azonban vennünk, hogy az analizálandó jelek túlnyomó része sztochasztikus jellegű. Az ilyen jeltípusok frekvencia analízise „egyszerű” Fourier transzformációval nem lehetséges, csak az autokorreláció révén.
Nézzük az egyes lépéseket sorjában:
Az időbeli jel Fourier transzformáltja a szokott módon képezhető:
(7.55)
A jel teljesítmény spektruma:
(7.56)
Végezetül a cepstrum:
(7.57)
Fontos egy másik megközelítésben, a quefrency dimenziója miatt, hogy az „Rxx(τ)” autokorrelációs függvény és a teljesítmény spektrum között az alábbi összefüggés áll fenn (Wiener-Hincsin tétel):
(7.58)
Az autokorrelációs függvény stacionárius és ergodikus folyamat esetében az időközépérték segítségével meghatározható. Meg kell jegyezni, hogy nem stacionárius jelek esetében az autokorrelációs függvény nem csak
„τ” eltolási időnek, hanem a „t0” kiindulási időpontnak függvénye is.
(7.59)
Ezért az eltolási idő „τ” nem csupán az autokorrelációra, hanem a cepstrumra is jellemző.
A quefrency dimenziója tehát idő.
Nem is lehet más, hiszen a módszer a konvoluciós integrál eredményeként kapott válaszfüggvény dekonvolucióját jelenti. A konvoluciós integrálban ugyanis az átviteli tag súlyfüggvényét ugyancsak folytonosan „τ” idővel toljuk el a bemenő függvényhez képest, és „τ” szerint integrálunk.
A cepstrum megítélésénél fontos, hogy magas quefrency értékek a spektrum gyors fluktuációját jelentik, míg kis quefrency értékek éppen az ellenkezőjét, lassú változásokat mutatnak a jel spektrumában.
Hátra van még a cepstrum mértékegységének kérdése. Tekintettel arra, hogy spektrumot leginkább logaritmikus léptékben adjuk meg, és a mértékegység „dB‖, a cepstrum mértékegysége „(dB)2 ‖ lesz. (Eredetileg a cepstrum megalkotói a teljesítmény második Fourier transzformáltjára „amplitúdó spektrum‖ elnevezést használtak, amelynek dimenziója viszont „dB‖ lenne. A második transzformáció a későbbi szerzőknél vagy előre, vagy vissza Fourier transzformáció, ahol csak a léptékek különböznek.)
Komplex cepstrum
Ezt a cepstrum formát A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, és T.G. Stockham írták le publikációjukban, amely a
„Nonlinear Filtering of Multiplied and Convolved Signals IEEE Trans. Audio & Electroacoustics, Vol. AU-16.
No 3, Sept. 1968 [7.3.] jelent meg.
A nevétől eltérően ez egy valós értékű függvény, az elnevezésnek az oka abban áll, hogy a komplex cepstrumot a komplex spektrumból eredeztetik. A legfontosabb tulajdonsága az, hogy a fázis információ nem „vész el‖.
Ennek következtében a szűrési műveletek után az eredeti jel teljes egészében visszaállítható. Lényegében alkalmas lineáris szűrési technikák alkalmazásával a konvolucióval és szorzással képezett jelek eredeti összetevőinek szétbontására.
A szerzők a komplex cepstrumot a következőképpen definiálták:
„Az időbeli jel komplex spektruma komplex logaritmusának inverz Fourier transzformáltja‖.
A szöveg az alábbi műveletekkel írható le:
(7.60)
A szerzők a teljesítmény cepstrumtól való eltérés hangsúlyozására a komplex cepstrumot Kx(τ) formában jelölték.
Ismeretes, hogy a komplex spektrum Fx(f) a következő alakban írható fel:
(7.61)
A transzformált Fx(f) a Fourier transzformáció eredményeként jött létre:
(7.62)
A komplex exponenciális függvény a valós és képzetes részre való bontás helyett amplitúdót és fázist ad meg.
Ha az Fx(f) transzformált természetes logaritmusát képezzük a komplex cepstrum eredeti definíciója szerint, akkor az amplitúdó és fázis információ szétválnak:
(7.63)
A komplex spektrum a definíciója szerint tehát:
(7.64)
A komplex spektrum A(f) és ejΦ(f) szorzat alakjából tehát e komplex cepstrum esetében is összeg lesz a logaritmus révén.
Valós fx(t) függvény komplex spektruma páros konjugált lesz. Így A(f) és lnA(f) páros is páros lesz, Φ(f) pedig páratlan. Ezért a komplex L(f) függvény konjugált páros, amelynek inverz Fourier transzformáltja valós időfüggvény lesz.
A komplex cepstrum révén lehetővé válik az, hogy a mérhető válaszjel komplex cepstrumából kivonva az átviteli függvény komplex cepstrumát megkapjuk a forrás eredeti jelének komplex cepstrumát, amelyből azután a jel időbeli alakja visszaállítható. Az átviteli függvény komplex cepstruma jellemzően alacsony quefrency értékeken jelentkezik, így könnyű az azonosítás és az eltávolítás.
A következő példán jól követhető a visszhang megszűntetése.
A következő ábra legfelül látható, 1. képén három, periodikusan lecsengő szinuszos jel látható, egymástól τ0 időbeli távolságra. Az első eredeti jelnek tehát két, csökkenő amplitúdójú visszhangja van. Ez az additív jellegű periodicitás megjelenik a logaritmikus amplitúdó spektrumon (2. kép) és fázismeneten (3. kép) is. Ez a két kép tehát már nem a megszokott spektrum, hanem azok logaritmusa. Az amplitúdó spektrumban látható kiemelés a harmonikus jel frekvenciája, a folytonos, sinx/x jellegű spektrum összetevő pedig az időbeli jel impulzus formája miatt jelenik meg.
7.28. ábra - A komplex cepstrum alkalmazása visszhang eltávolítására
Az inverz Fourier transzformálás után, tehát a komplex cepstrumban, az ismétlődést olyan formában látjuk viszont a 4. képen, hogy a harmonikus jelhez tartozó Dirac-impulzusok τ0 távolságra helyezkednek el.
Eltávolítva a két visszhangot jelentő impulzust (második és harmadik), a „kijavított‖ komplex cepstrumot visszatranszformálják logaritmikus spektrummá (5. és 6. kép), majd egy inverz logaritmusképzést követően sor kerül a második inverz Fourier transzformálásra is. A folyamat végén, a 7. képen látható az eredeti, visszhangmentes jel időbeli alakja.
Irodalmak
[7.1.] Bogert, B. P., Healy, J. R., és Tukey, J. W. . The Quefrency Analysis of Time Series for Echoes: Cepstrum, Pseudo-Autocovariance, Cross-ceprstrum and Saphe Cracking. Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis . Wiley. 1963.
[7.2.] Broch, Trampe . On the Applicability and Limitations of the Cross-Corelation and the Cross-Spectral Density Techniques. B&K Technical Review No 4.. 1970.
[7.3.] Oppenheim, A. V. , Schafer, R. W. , és Stockham, T.G. . Nonlinear Filtering of Multiplied and Convolved Signals . IEEE Trans. Audio & Electroacoustics. Vol. AU-16. No 3. Sept. 1968.