Mérőlánc frekvenciafüggő átviteléből adódó hibák

Az „Időben változó mennyiségek mérésének jellegzetes hibái‖ című fejezet bevezetőjében már jeleztük, hogy a mérendő mennyiség várható nagysága (amplitúdója) mellett ismerni kell a mérendő mennyiség (jel) időbeli alakját, és ebből következően a frekvencia spektrumát, hogy a mérőlánc minden tagjának frekvencia-átvitelét ehhez a spektrumhoz illeszthessük, hiszen a mérőlánc dinamikai tulajdonságainak figyelmen kívül hagyása a létező legdurvább hibákat eredményezheti.

A problémát frekvencia tartományban jól szemlélteti a (3.8. ábra - Részletek a H&B B12 gyorsulásérzékelő adatlapjából) ábrán látható diagram, amelyet, egy valós eszköz műszerkönyvéből vettünk.

A 3.7. ábra - Induktív gyorsulásérzékelő felépítése (Hottinger és Baldwin) felső részén látható frekvencia átviteli függvény (r/a, azaz a ház és a tömeg közötti relatív elmozdulás amplitúdója osztva a bemenő gyorsulás amplitúdójával) levezetése igen egyszerű, ha feltételezzük, hogy a rugós vezeték rugómerevsége (k) és a csillapítási tényező (b) lineáris és idő-invariáns rendszerelemek. Ebben az esetben a műszerház és a szeizmikus tömeg közötti relatív elmozdulás, valamint a bemenő gyorsulás közötti összefüggést, e két mennyiséggel matematikai kapcsolatban álló sebességek alkalmazásával, és impedancia módszerrel írhatjuk fel. Az általános impedancia a keresztváltozó (mechanikában sebesség) és az átmenő változó (mechanikában erő) Laplace transzformáltjának hányadosa.

3.11. ábra - A gyorsulásérzékelő működési modellje és impedancia hálózata

A fenti ábra jobb oldalán látható impedancia kapcsolásban meghatározzuk a kimenő sebességhez tartozó impedanciák párhuzamos eredőjét és a keresztváltozó-osztó szabályt alkalmazva azonnal az implicit átviteli függvényt kapjuk:

(3.22)

A sebességek helyére a Laplace transzformáció szabályit figyelembe véve (integrálás, deriválás) az elmozdulás és a gyorsulás helyettesíthető:

(3.23)

Ha az átviteli függvényben a Laplace operátor helyére annak „jelentését‖ írjuk s=jω, akkor nyilvánvalóvá válik számunkra az átvitel körfrekvenciától való függése:

(3.24)

Bevezetve a mechanikában, műszertechnikában szokásos jelöléseket azzal, hogy a nemzetközi szakirodalom a csillapítatlan rezonancia körfrekvenciát hol „α‖, hol „ω0‖ szimbólummal jelöli,

(3.25)

majd az átviteli függvény abszolút értékét képezve a műszer adatlapon szereplő összefüggéshez jutunk:

(3.26)

(3.27)

Az átviteli függvény abszolút értéke „normálás‖, azaz „dimenziótlanítás‖ után alkalmas a Bode diagram megrajzolására, hiszen a bemenő és kimenő jelek fizikai dimenziója nem azonos. A normálásra azért van szükség, mert az átviteli függvény dimenziója, a dB nem fizikai mennyiségekből adódik.

A méréstechnikában a normálás úgy történik, hogy az átviteli függvény adott körfrekvencián vett értékét osztják egy célszerűen igen alacsony körfrekvencián vett átvitel értékével, esetünkben:

(3.28)

Erre az arányra már képezhető a „lg‖ és az eredmény megadható dB-ben.

A „frekvencia-átviteli‖ tulajdonságok Bode diagramon történő ábrázolása elterjedt és jellemző a mérés-és szabályozástechnikai gyakorlatban. Alkalmazása több előnnyel jár. Mindkét tengely „komprimált‖, azaz széles frekvencia tartományban, és nagy amplitúdó arány átfogással jeleníthetőek meg az átviteli tagok frekvencia-függő tulajdonságai. Ezen túlmenően igen szemléletes, mert „első ránézésre‖ megállapítható, hogy az átviteli tag egy adott körfrekvencián milyen mértékben változtatja meg a harmonikus jel (összetevő) amplitúdóját. A körfrekvencia tengely log léptéke körfrekvencia-dekádonként azonos távolságot jelent, és így nem gond számos dekád, tehát nagy frekvencia tartomány ábrázolása. Zérus körfrekvencia természetesen nem jeleníthető meg, csak valamely tetszőleges, nagyon alacsony körfrekvencia érték. A fázis-átvitelt külön diagramon ábrázolják, de a frekvencia tengely léptéke megegyezik az amplitúdó átvitelével.

A kalibrációs Bode diagramot a legtöbb dinamikus műszer esetében közlik a gyártók, de ha mégsem, akkor az arányos átviteli tartományt mindenképpen megadják.

A kimenő és bemenő harmonikus jelek amplitúdó arányának logaritmusa 20-szal szorozva adja azt a dimenzió nélküli mértékegységet, amit a mérés- és híradástechnikában decibel-nek (dB) nevezünk. A „bel” (rövidítése: B) egységet a Bell Telephone Laboratory mérnökei alkalmazták először, a szabványos telefonkábel 1 mérföld (1,6 km) hosszú darabja okozta hangerősség-csökkenés mértékének meghatározásához. Eredetileg „transmission unit‖ vagy TU (átviteli egység) volt az egység neve, majd az 1920-as évek közepén nevezték el a labor alapítójáról (A. G. Bell). A „bel‖, mint egység, túl nagy a műszaki alkalmazásra, ezért használjuk a tizedét.

A dB mértékegységet alkalmazzák az akusztikában, az optikában is, de vigyázat, az akusztikai dB számítása egészen más alapon történik, csak a logaritmus számítás bennük a közös, nem átviteli függvényről van szó! Az akusztikai dB-t hangnyomásszint és hangteljesítményszint megadására alkalmazzák. A tört számlálójában az aktuális érték (hangnyomás, teljesítmény), míg a nevezőben egy vonatkoztatási érték szerepel!

Kétféle dB használatos a műszertechnikában, az egyik az jelszint-decibel, a másik a teljesítmény-decibel. Ez utóbbi esetében a tízes alapú logaritmus előtt azonban nem 20-as, hanem 10-es a szorzó áll. A jelek frekvencia analízise kapcsán a teljesítményre még visszatérünk. Egyébként ez az eredeti formája is a dB definíciónak, mert a kimenő és bemenő teljesítmény közötti viszony meghatározására hozták létre. Teljesítmény viszonyok esetében a szorzó tehát 10, míg a teljesítményben négyzetesen szereplő - többnyire keresztváltozó - amplitúdók arányát behelyettesítve (pl.: P=U² / R) a szorzat a log előtt 2·10 lesz.

Érdemes néhány fontos dB értéken és a mögöttük lévő amplitúdó arányon, és ezek diagramon való megjelenésén elgondolkodni, mert a méréstechnikában a használatuk mindennapos, és ezért ezeket összefoglalva bemutatjuk.

A méréstechnikában gyakran alkalmazott 1%-os hibakorlát (amplitúdó) dB-ben kifejezett értékét is megtaláljuk a táblázatban, célszerűen kerekítve 0.1 dB-t szokás megadni.

Amplitúdó arány dB Amplitúdó arány dB

3.12. ábra - Méréstechnikában fontos dB értékek és az ábrázolás előnyei

A gyorsulásérzékelő esetében a Bode diagram függőleges tengelyén ábrázolt átviteli tényező értékek normálás nélkül az alábbi összefüggéssel számíthatók ki:

(3.29)

Az amplitúdó átvitel hibája tehát jól leolvasható a Bode diagramról, és tájékoztatja a felhasználót a dinamikai szempontból fontos alkalmazhatósági feltételekről.