Továbbá tetszőleges rögzített K, t > 0 ésx ∈Rn esetén a Fubini-tétel és a
2.2.64. Definíció. Egy g ∈ C(Rn) függvényt normális növekedésűnek mondunk, ha alkalmasC, K >0számokkal mindenx∈Rn-re
A fenti definícióban (az egydimenziós esethez hasonlóan) mindig feltehető, hogy aC függvény folytonosan deriválható és szigorúan növő, sőt hogy
+∞limC= +∞.
Ha g ∈ C(Rn) normális növekedésű függvény, akkor e szakasz bevezető megjegyzése alapján triviálisan
2.2.65. Állítás. Tetszőleges g∈C(Rn)normális növekedésű függvényre az u:Ro+×Rn →R,
függvény folytonosan deriválható, sőt azxváltozó vonatkozásában szerint két-szer folytonosan deriválható, és kielégíti a
∂0u−∆u= 0
n-dimenziós diffúziós egyenletet. AzufüggvényRo+×Rn-en vett összes első-rendű, továbbá az x változó vonatozásában vett összes másodrendű parciális deriváltja a definiáló integrálba való bederiválással számolható.
Bizonyítás. A normális növekedés értelmében alkalmas C, K > 0
× B(x0,1)környezetére a 2.2.51. Állítás alapján igaz, hogy minden1≤k≤nmellett azrk 7→ (1+(rk−xk)2)·eK·|rk|
Így a Fubini-tétel alapján az
`(r) :=`1(r1)· · · ·.`n(rn)
függvényL1(Rn)-beli majoránsa ezek szorzatának, következésképpen (krk ≤
≤
függvényeknek is (midőn (t,x) az U környezetet futja be). Ezért |g(r)| ≤
≤C·eK·krk alapjánur(t, x) := √g(r)
integrálba (t,x) ∈ U mellett be lehet deriválni t szerint egyszer és x kom-ponensei szerint kétszer is. (Tehát∆ is bevihető az integráljel mögé.) Ezzel pedig egyrészt az
u(t,x) = Z
Rn
ur(t,x)dr,
∂ku(t,x) =−
(1≤k6=j≤n) függvények a jegyzet legelső állításának értelmében folyto-nosak(t0,x0)-ban, másrészt ugyaninnen
∂0u(t0,x0)−∆u(t0,x0) = 0.
Homogén diffúziós formula Rn-ben
2.2.66. Megjegyzés. A Fubini-tétel és egyváltozós integráltranszformációk triviális egymás utánjával adódik, hogy mindenf ∈ L1(Rn), α >0 ésb∈
∈Rneseténp=α·r+bhelyettesítéssel Z
2.2.67. Megjegyzés. Hag∈C(Rn) normális növekedésű függvény, akkor az előbbi megjegyzés alapjánp= r−x
2√
t helyettesítéssel minden t >0 ésx∈
∈Rnesetén
2.2.68. Állítás. Tetszőleges g∈C(Rn)normális növekedésű függvényre az u:Ro+×Rn →R,
függvény folytonosan deriválható, sőt azxváltozó vonatkozásában szerint két-szer folytonosan deriválható, és a jobb nyílt féltérben kielégíti a
∂0u−∆u= 0
n-dimenziós diffúziós egyenletet, továbbá mindenx∈Rn mellett lim
(t,y)→(0,x)
t>0
u(t,y) =g(x). Másképpen fogalmazva : azu:R+×Rn →R,
u(t,x) :=
R
Rn g(r)
(√4πt)n ·e−kr−xk
2
4t drha t >0, g(x), ha t= 0
= 1
√πn Z
Rn
g x+ 2√
t·p
·e−kpk2dp
függvény folytonos, továbbá kielégíti a
∂0u(t,x)−∆u(t,x) = 0 (t >0, x∈Rn), u(0,x) =g(x) (x∈Rn)
n-dimenziós diffúziós Cauchy-feladatot. AzufüggvényRo+×Rn-en vett összes elsőrendű, valamintxszerinti összes másodrendű parciális deriváltja a(z első) definiáló integrálba való bederiválással számolható.
Bizonyítás. A legutóbbi állítás biztosítja, hogyukielégíti a kívánt egyenletet.
Hátravan még a határátmenet igazolása. Mivel az u(t,x)-et definiáló két integrál (t >0 mellett) azonos, továbbá a második integrált = 0esetén is értelmes, sőt éppeng(x)értéket vesz föl, ezért elegendő igazolni, hogy a
(t,x)7→ 1
√πn Z
Rn
g x+ 2√
t·p
·e−kpk2dp
hozzárendelésR+×Rn-en folytonos. Valóban, a (t,x,p)7→ 1
√πng x+ 2√
t·p
·e−kpk2dp hozzárendelések folytonosak, ugyanakkor az
Z
Rn
eK·kpk−kpk2dp
alakú integrálok végesek, ezért ha(t,x) tetszőleges korlátos részhalmazt fut be, akkorg normális növekedése miatt ap7→g x+ 2√
t·p
·e−kpk2 függvé-nyeknek létezik közös
p7→C·eK·kpk−kpk2
alakú L1(Rn)-beli majoránsuk. Így a jegyzet legelső állítása értelmében a (t,x)7→√1πn
R
Rn
g x+ 2√ t·p
·e−kpk2dphozzárendelés tényleg folytonos az R+×Rn halmazon.
2.2.69. Megjegyzés. C, K > 0 esetén a fenti 2.2.63. Megjegyzés alapján triviálisan
Z
Rn
CeKkrk·e−kr−xk
2
√ 4t
4πtn dr≤CeKkxk· Z
Rn
eKkr−xk−kr−xk
2
√ 4t
4πtn dr≤2nCenK2·t·eKkxk, ígyg normális növekedése miatt a fenti tételben szereplőufüggvény is nor-mális növekedésű. Hag korlátos, akkoruis korlátos, mégpedig
Z
Rn
√ 1
4πtn ·e−kr−xk
2
4t dr= 1
alapján triviálisankgk∞-val korlátozott.
2.2.70. Állítás. A
∂0u(t,x)−∆u(t,x) = 0 (t >0, x∈Rn), u(0,x) = 0 (x∈Rn)
n-dimenziós diffúziós Cauchy-feladat megoldása a jobb zárt féltérben folyto-nos, a nyílt féltérben folytonosan deriválható, az x változó vonatkozásában kétszer folytonosan deriválható normális növekedésű függvények köré-benegyedül az azonosan nulla függvény.
Bizonyítás. Indirekt tegyük föl, hogy van olyan|u(t,x)| ≤C(t)·eKkxk tulaj-donságúumegoldás (Cszigorúan növő folytonosan deriválható,lim
+∞C= +∞
ésK≥1), amely valamely(t0,x0)pontban nem tűnik el, mondjuk pozitív.
Ekkor a
D(t) :=e4nK2·(t+C(t)+1)
függvény is szigorúan növő folytonosan deriválható ésD0(t)≥4nK2·D(t), valamint (ex> xmiatt)D(t)> C(t). Ezzel a
w(t,x) :=D(t)·
n
Y
k=1
e2Kxk+e−2Kxk
>0
függvényre∂0w−∆w≥0 az egész jobb féltérben. Mostu(t0,x0)>0miatt alkalmasan kicsi pozitívαmellett a
vα(t,x) :=u(t,x)−α·[t+w(t,x)]
függvényre szintén vα(t0,x0) > 0. Ugyanakkor vα a {0} ×Rn hipersíkon negatív, továbbá
vα(t,x)≤u(t,x)−α·w(t,x)≤C(t)·eKkxk−α·D(t)·
n
Y
k=1
e2Kxk+e−2Kxk
≤
≤C(t)·eKkxk−α·D(t)·e2Kkxk≤D(t)·eKkxk−α·D(t)·e2Kkxk=
=D(t)·eKkxk·
1−α·eKkxk ,
innen azonnal adódik, hogyvα egy alkalmas R+× B(0, R)alakú halmazon kívül is negatív. Sőt hasonlóan
vα(t,x)≤C(t)·eKkxk−α·D(t)·e2Kkxk≤
≤C(t)·e2Kkxk−α·D(t)·e2Kkxk=
=e2Kkxk·(C(t)−α·D(t)) =
=e2Kkxk·
C(t)−α·e4nK2·(t+C(t)+1)
≤
≤e2Kkxk·
eC(t)−α·e4C(t)
=e2Kkxk·eC(t)·
1−α·e3C(t) , innen pedig lim
+∞C = +∞ miatt az adódik, hogy vα egy alkalmas [0, T]×
×Rn alakú halmazon kívül is negatív. Ezért vα az Ro+×Rn egy alkalmas korlátos részén kívül negatív. Viszont vα(t0,x0) > 0, így vα a nyílt Ro+ ×
×Rhalmazon fölveszi a maximumát egy(t1,x1)pontban. Az (egyváltozós) elsőrendű feltétel szerint ekkor∂0vα(t1,x1) = 0, a másodrendű feltétel szerint viszont minden 1≤k ≤nmellett∂k2vα(t1,x1)≤0, ezért ∆vα(t1,x1)≤0, tehát
0≤∂0vα(t1,x1)−∆vα(t1,x1) =−α·(1 +∂0w(t1,x1)−∆w(t1,x1))≤ −α, (hiszen∂0u−∂12u= 0és∂0w−∂12w≥0). Ez pedig ellentmondás.
2.2.71. Következmény. A fenti homogén diffúziós formula (2.2.68. Állítás) a
∂0u(t,x)−∆u(t,x) = 0 (t >0, x∈Rn), u(0,x) =g(x) (x∈Rn)
n-dimenziós diffúziós Cauchy-feladatnak egyértelmű megoldását szolgáltatja a jobb zárt féltérben folytonos, a nyílt féltérben folytonosan deriválható, továb-bá az x változó vonatkozásában kétszer folytonosan deriválható és normális növekedésű függvények körében.
Bizonyítás. Alkalmazzuk a fenti állítást két tetszőleges normális növekedésű megoldás különbségére.
Inhomogén diffúziós formulaRn-ben
2.2.72. Állítás. Legyen f ∈C(R+×Rn) olyan normális növekedésű függ-vény, amelynek azxváltozóra vonatkozó mindegyik első- és másodrendű par-ciális deriváltja létezik és folytonos R+×Rn-en, továbbá ezek is normális növekedésűek. Ekkor mindenτ ≥0 mellett vτ :Ro+×Rn→R,
vτ(t,x) :=
Z
Rn
f(τ,r)
√
4πtn ·e−kr−xk
2
4t dr=
= 1
√πn Z
Rn
f
τ,x+ 2√ t·p
·e−kpk2dp
definícióval a(τ, t,x)7→vτ(t,x),∂0vτ(t,x),∂kvτ(t,x)és ∂k∂jvτ(t,x) hoz-zárendelések (1≤k, j≤n) folytonosan terjednek ki az R+×R+×Rn hal-mazra.
Bizonyítás. A (τ, t,x,p) 7→ √1πnf τ,x+ 2√ t·p
·e−kpk2 hozzárendelések folytonosak, ugyanakkor az
Z
Rn
eK·kpk−kpk2dp
alakú integrálok végesek, ezért ha (τ, t,x) tetszőleges korlátos részhalmazt fut be, akkorf normális növekedése miatt a p7→f τ,x+ 2√
t·p
·e−kpk2 függvényeknek létezik közös
p7→C∗·eK·kpk−kpk2
alakú L1(Rn)-beli majoránsuk. Így a jegyzet legelső állítása értelmében a (τ, t,x)7→vτ(t,x)hozzárendelés folytonos azR+×R+×Rn halmazon. Most mindezt f helyett ∂kf-re elmondva (1≤k≤n) azt kapjuk, hogy ha (τ, t,x) tetszőleges korlátos részhalmazt fut be, akkor ap7→∂kf(τ,x+ 2√
t·p)·e−kpk2 függvényeknek létezik közösL1(Rn)-beli majoránsuk, továbbá a
(τ, t,x)7→ 1
√πn Z
Rn
∂kf
τ,x+ 2√ t·p
·e−kpk2dp
hozzárendelés folytonosR+×R+×Rn-en. AzL1-majoráltság miatt viszont az
·e−kpk2dpintegrálba xk szerint be lehet deriválni, ami éppen azt jelenti, hogyR+×R+×Rn-en -en.Ugyanakkorvτkielégíti a diffúziós egyenletet, azaz a nyílt féltérben∂0vτ =
= ∆vτ, így a (τ, t,x)7→∂0vτ(t,x)hozzárendelésnek a(τ, t,x)7→∆vτ(t,x) hozzárendelés éppen folytonos kiterjesztéseR+×R+×Rn-re.
2.2.73. Tétel. Legyen f ∈ C(R+×Rn) olyan normális növekedésű függ-vény, amelynek azxváltozóra vonatkozó mindegyik első- és másodrendű par-ciális deriváltja létezik és folytonos R+×Rn-en, továbbá ezek is normális növekedésűek. Ekkor azu:R+×Rn→R,
függvény folytonos, továbbá Ro+ ×Rn-en folytonosan deriválható, sőt x vo-natkozásában kétszer folytonosan deriválható is, valamint u a jobb féltérben kielégíti a
∂0u(t,x)−∆u(t,x) =f(t,x) (t >0, x∈Rn), u(0,x) = 0 (x∈Rn) inhomogén jobb oldalú diffúziós kezdetiérték-feladatot.
Bizonyítás. A homogén diffúziós formula alapján minden τ ≥ 0 mellett a zárt féltéren folytonosvτ :R+×Rn→R,
= 1
√πn Z
Rn
f
τ,x+ 2√ t·p
·e−kpk2dp
függvény kielégíti a
∂0vτ(t,x)−∆vτ(t,x) = 0 (t >0, x∈Rn), vτ(0,x) =f(τ,x) (x∈Rn)
homogén Cauchy-feladatot. Mivel azf(τ,·)függvények első- és másodrendű parciális deriváltjai is normális növekedésűek, ezért az előző állítás miatt a (τ, t,x) 7→ vτ(t,x), ∂0vτ(t,x), ∂kvτ(t,x) és ∂k∂jvτ(t,x) hozzárendelések (1≤k, j≤n) folytonosan terjednek ki R+×R+×Rn-re. Így a Duhamel-elvből azonnal adódik az állítás.
2.2.74. Megjegyzés. A fenti tétel úgy is fogalmazható, hogy az E : R×
×Rn →R,
E(t,x) :=
( 1
(√4πt)n·e−kxk
2
4t ,hat >0, 0, hat≤0 függvénnyel
u(t,x) :=
Z
R+×Rn
E(t−τ,x−r)·f(τ,r)d(τ,r)
megoldása a ∂0u−∆u = f, u(0,x) = 0 feladatnak minden olyan f ∈
∈ C(R+×Rn) normális növekedésű függvényre, amelynek az x változóra vonatkozó mindegyik első- és másodrendű parciális deriváltja létezik és foly-tonosR+×Rn-en, valamint ezek is normális növekedésűek. (Ealapmegoldás.) A fenti tétel eredménye triviálisan egybekapcsolható a homogén formulá-éval :
2.2.75. Tétel (standard diffúziós formula). Legyen f ∈C(R+×Rn)olyan normális növekedésű függvény, amelynek azxváltozóra vonatkozó mindegyik első- és másodrendű parciális deriváltja létezik és folytonos R+×Rn-en, va-lamint ezek is normális növekedésűek, továbbág ∈C(Rn)is normális növe-kedésű. Ekkor azu:R+×Rn →R,
u(t,x) :=
=
R
Rn g(r)
(√4πt)n·e−kr−xk
2
4t dr+
t
R
0
R
Rn
f(τ,r) √
4π(t−τ)n·e−kr−xk
2
4(t−τ) drdτ,ha t >0
g(x), ha t= 0
=
= 1
√πn Z
Rn
g x+ 2√
t·p
·e−kpk2dp+
+ 1
√πn
t
Z
0
Z
Rn
f τ,x+ 2√
t−τ·p
·e−kpk2dpdτ
függvény folytonos, továbbáRo+×Rn-en folytonosan deriválható, sőtxszerint kétszer folytonosan deriválható is, valamint a normális növekedésű függvények körében egyértelmű megoldása a
∂0u(t,x)−∆u(t,x) =f(t,x) (t >0, x∈Rn), u(0,x) =g(x) (x∈Rn) inhomogén jobb oldalú diffúziós kezdetiérték-feladatnak.
Bizonyítás. Azufüggvény a fenti tételben és a homogén elemi diffúziós for-mulában definiált függvények összege, amely nyilvánvalóan kielégíti a kívánt feladatot. A normális növekedésű függvények körében való egyértelműség a legutóbbi következményből (2.2.71. Következmény) nyilvánvaló.