differenciálegyenletek kanonikus alakra hozása
2.3.5. Állandó együtthatós másodrendű egyenletek alap- alap-megoldásaalap-megoldása
Heurisztika :Közönséges differenciálegyenletek elméletéből ismertek az u00+a·u0+b·u= 0
egyenletek megoldásai. Jelöljevaz egyenlet azon megoldását, amelyrev(0) =
= 0ésv0(0) = 1. Ennek segítségével tetszőlegesf ∈C(R)esetén elő tudjuk állítani az
u00+a·u0+b·u=f
egyenlet egy megoldását (jelesül azu(0) = u0(0) = 0 feltételű megoldást), mégpedig az
u(x) =
x
Z
0
v(x−y)·f(y)dy
formulával (az egyenlet kielégítése a Leibniz-formulával ellenőrizhető). Haf egy küszöbtől balra azonosan0, akkor az
u(x) =
x
Z
−∞
v(x−y)·f(y)dy
formula is megoldást ad meg, nevezetesen azon megoldást, amelyik szin-tén egy küszöbtől balra nulla. Ez utóbbit egy kicsit másképpen fogalmazva : E:R→R,
E(x) :=
v(x),hax≥0, 0, hax <0
függvénnyel bármely – egy küszöbtől balra eltűnő – f-re a fenti inhomogén egyenlet megoldása
u(x) = Z
R
E(x−y)·f(y)dy
(ezt úgy is hívják, hogy azE ésf konvolúciója).
2.3.24. Definíció. LegyenΩ⊆Rn nyílt összefüggő halmaz és minden1 ≤
≤k, j ≤n eseténak,j, bk, c∈R, amelyekreaj,k =ak,j mindenk, j mellett ; továbbáL:C2(Ω)→C(Ω),
Lu:=
n
X
k=1 n
X
j=1
ak,j·∂k∂ju+
n
X
k=1
bk·∂ku+c·u
állandó együtthatós másodrendű lineáris parciális differenciáloperátor. Egy E:Rn→RLebesgue-mérhető, lokálisan integrálható függvényt azL operá-toralapmegoldásának mondunk, ha minden kompakt tartójúf ∈C2(Rn) függvényre az
u(x) :=
Z
Rn
E(x−y)·f(y)dy
függvény kielégíti azLu=f egyenletet.
Hullámegyenletek alapmegoldása
1. A legegyszerűbb hullámegyenletek c. szakaszban a D’Alembert-formula utáni következményben szerepelt, hogyE:R2→R,
E(x, y) :=
1
2 hax≥ |y|
0hax <|y|
definícióval tetszőlegesf ∈C1(R+×R)esetén az u(x, y) =
Z
R+×R
E(x−t, y−r)·f(t, r)d(t, r)
függvény kielégíti a ∂12u−∂22u = f hullámegyenletet. Ha most f ∈
∈C1 R2
kompakt tartójú függvény, akkor alkalmas függetlenváltozó-transzformációval tartója R+ ×R-be kerül, másrészt u-ra ugyanez a transzformáció nem sérti az egyenlet kielégítését. Tehát a fentiu tet-szőleges kompakt tartójúf ∈C1 R2
mellett is kielégíti az egyenletet.
Ezért E alapmegoldása az egydimenziós ∂12u−∂22u=f hullámegyen-letnek (∂12u−∂22uhullámoperátornak).
2. Bizonyítás nélkül közöljük, hogy a kétdimenziós
∂02u(t, x, y)− ∂12u(t, x, y) +∂22u(t, x, y)
=f(t, x, y) hullámegyenlet alapmegoldásaE:R3→R,
E(t, x, y) :=
( 1
2π
√
t2−x2−y2,hat >p
x2+y2, 0, hat≤p
x2+y2 függvény.
A diffúziós egyenlet alapmegoldása
A standard diffúziós formula (Standard diffúziós Cauchy-feladat megoldása n dimenzióban c. szakaszban) utáni megjegyzés alapján azn-dimenziós
∂0u(t,x)−∆u(t,x) =f(t,x) diffúziós egyenlet alapmegoldása azE:R×Rn →R,
E(t,x) :=
( 1
(√4πt)n·e−kxk
2
4t ,hat >0, 0, hat≤0 függvény.
A síkbeli Poisson-egyenlet alapmegoldása Ez az előzőkhöz képest több munkát igényel.
Integrálás a körvonalon. Formulák Tekintsük (a, b) ∈ R2 és r > 0 esetén
S((a, b), r) :=n
(x, y)∈R2: (x−a)2+ (y−b)2=ro , B((a, b), r) :=n
(x, y)∈R2: (x−a)2+ (y−b)2≤ro
(a, b) közepű, r sugarú körvonalat, illetve zárt körlapot. Speciálisan S :=
=S((0,0),1) ésB :=B((0,0),1), innenS((0,0), r) =r·S ésB((0,0), r) =
=r·B.
AzS((a, b), r)körvonalon értelmezettf :R2Rfolytonos függvénynek aS((a, b), r)körvonalon vettvonalintegrálja
Z
S((a,b),r)
f dν:=
2π
Z
0
f(a+rcost, b+rsint)·r dt.
2.3.25. Állítás(peremformula). Minden f ∈C1(B((a, b), r))esetén Z
B((a,b),r)
∂1f = Z
S((a,b),r)
x
r ·f(x, y)dν(x, y), Z
B((a,b),r)
∂2f = Z
S((a,b),r)
y
r·f(x, y)dν(x, y).
Bizonyítás. Feltehető, hogy(a, b) = (0,0). A Newton–Leibniz-formulát alkal-mazva mindeny∈[−r, r]mellett
√
ahonnan a síkbeli Lebesgue-mérték definíciója és a Fubini-tétel alapján, majd helyettesítéssel a másik integrál hasonlóan adódik.
2.3.26. Állítás(komplementer peremformula). Mindenf∈C1 R2\{(a, b)}
kompakt tartójú függvényre
Bizonyítás. Legyen h ∈ C1(R) olyan (egyváltozós) függvény, amely −r22,r22
-n kívül azonosan1, viszont0 egy környezetében azonosan0 (egy-szerű konstrukció). Triviális, hogy az
f0(x, y) :=h
(x−a)2+ (y−b)2
·f(x, y)
függvény folytonosan deriválható az egész síkon. LegyenR >0 olyan, hogy B((a, b), R) határán és azon kívülf már azonosan 0. Írjuk föl a peremfor-mulákatf0-ra aB((a, b), R)és aB((a, b), r)körön ; majd a megfelelő egyen-lőségeket vonjuk ki egymásból. MivelS((a, b), R)-enf0 azonosan 0, ezért a peremformula miatt R A másik egyenlőség ugyanígy adódik.
2.3.27. Állítás(Green-formula). Legyeneku, v ∈C2 R2\ {(a, b)}
, továbbá v kompakt tartójú. Ekkor mindenr >0 esetén
Z
Bizonyítás. A komplementer peremformulát alkalmazva Z
=−
ahonnan kivonással, egyszerűsítéssel és összevonással Z
2.3.28. Állítás. Tetszőleges u∈C(r·B)függvényre Z
2.3.29. Következmény. Tetszőlegesr0>0 ésu∈C(r0·B)esetén
Így minden0< r≤δszámra triviális meggondolással u(0,0)−ε≤ 1
ezzel éppen a kívánt limeszrelációt mutattuk meg.
2.3.30. Állítás. Tetszőleges r0>0 ésu∈C1(r0·B)esetén
AzE függvény alapmegoldás volta
2.3.31. Megjegyzés. Tetszőleges kompakt tartójúf ∈C R2
Bizonyítás. Feltehető, hogy(x0, y0) = (0,0).f kompakt tartójú volta miatt elegendő egy korlátos tartományra szorítkozni. Az integrandus az origótól eltekintve folytonos, így tetszőleges origó közepű körlap komplementumán (a szóban forgó tartományon belül) korlátos. Elegendő hát megmutatnunk, hogy ln x2+y2
az origó egy környezetében abszolút integrálható. Lássuk :
1
kompakt tartójú függvény. Jelölje u:R2→R,
Bizonyítás. (x, y)7→(x0−x, y0−y)helyettesítéssel triviálisan környezetében, majd ugyanezf helyettf parciális deriváltjaira is igaz. Ezért az integráljel mögéx0 ésy0 szerint is be lehet deriválni, mégpedig kétszer is, vegyesen is. Az így kapott függvények persze folytonosak(x0, y0)-ban. Emiatt egyrészt valóbanu∈C2 R2 (egy fentebbi következmény és állítás alapján)
=g(0,0)−0 =g(0,0) =f(x0, y0).
2.3.33. Következmény. AzE:R2\ {0} →R, E(x, y) := 1
4πln x2+y2
függvény alapmegoldása a kétdimenziós∆u=f Poisson-egyenletnek.
2.3.34. Megjegyzés. A fenti alapmegoldásból (az előző tételben) származ-tatottumegoldás a∆u=f Poisson-egyenletnek az egész síkon sosem lehet egyértelmű megoldása. Ugyanis tetszőlegesα∈Rmellettv(x, y) :=u(x, y)+
+α· x2−y2
is nyilvánvalóan megoldás.
Azn-dimenziós Poisson-egyenlet alapmegoldása (n≥3) Bizonyítás nélkül közöljük, hogy azRn-en értelmezett(n≥3)
∆u=f
Poisson-egyenlet alapmegoldása azE:Rn\ {0} →R, E(x) :=− 1
(n−2)ωn
· 1
kxkn−2 függvény, aholωn azRn-beli egységgömb felületének felszíne :
ω2n= 2 πn
(n−1)! ω2n+1= 2n+1πn (2n−1)!!.
Poisson-egyenletre vonatkozó Dirichlet-feladat a körön A síkbeli Poisson-egyenlet fentebb levezetett alapmegoldása és a Néhány nagyon ele-mi Laplace-, ill. Poisson-egyenlet c. szakaszban szerepeltek alapján a kö-rön értelmezett Poisson-egyenletre vonatkozó Dirichlet-feladatra is tudunk egzisztencia- (és persze unicitás-) tételt bizonyítani.
2.3.35. Tétel. Legyen f egy a B zárt körlapot tartalmazó nyílt halmazon értelmezett kétszer folytonosan deriválható függvény, továbbáϕ∈C(S). Ek-kor létezik egy és csak egy, a kör belsejében kétszer folytonosan deriválható u∈C(B)megoldása a
(∆u(x, y) =f(x, y) x2+y2<1 , u(x, y) =ϕ(x, y) x2+y2= 1 Dirichlet-feladatnak, nevezetesenx2+y2= 1esetén
u(x, y) =ϕ(x, y),
x2+y2<1esetén pedig
Bizonyítás. f kétszer folytonosan deriválható egy origó közepű α >1 suga-rú körön. Legyen h ∈ C2(R) olyan (egyváltozós) függvény, amely [0,1]-en azonosan1, azh
1+α 2
2
,+∞
-en viszont azonosan0. Ekkor az f0(x, y) :=
h x2+y2
·f(x, y),ha (x, y)∈α·B, 0, ha (x, y)∈/ α·B
függvény kompakt tartójú és kétszer folytonosan deriválható az egész síkon.
Így az alapmegoldás segítségével előállíthatjuk a síkon a∆u= f0 egyenlet u0∈C2 R2
Speciálisan ez a kör peremén is igaz. Ekkor a körvonalon ϕ1(x, y) :=ϕ(x, y)−u0(x, y)
definícióval ϕ1 ∈ C(S), így a korábban tárgyalt Poisson-formula alapján a kör belsejében folytonos a zárt egységgkörön, ezértu:=u0+u1is, továbbá a kör belsejében
∆u(x, y) =f0(x, y) + 0 =f0(x, y) =f(x, y),
és u a peremre folytonosan terjed ki, mégpedig u0 +ϕ1 = ϕ-ként. Ezzel az egzisztenciát igazoltuk is. Ha most u mellett v is kielégíti a mondott
peremérték-feladatot, akkor ∆ (v−u) = 0 ésv−ua kör peremén eltűnik, így a Poisson-formula egyértelműsége miattv−u= 0, azazv=u. Ezzel az egyértelműséget is beláttuk.
Hátravan még az állításban szereplő formula igazolása. A definíció alapján minden(x, y)∈Bo-re ennek a legutolsó tagja részletesen
− 1
A már meggondolt egyértelműség miattuaBpontjaiban nem függ ah konk-rét megválasztásától, így más és máshmellett (amelyek persze eleget tesznek ah-ra fentebb rótt kitételeknek) is ugyanazt azu(x, y)értéket kapjuk. Legyen mostαn&1sorozat és mindenn-rehn ∈C2(R)olyan függvény, amely
-en viszont azonosan 0. Feltehető, hogy a (hn)függvénysorozat pontonként monoton fogyó, persze[0,1]-en azonosan1, az1-től jobbra viszont0-hoz tart. Legyen minden n-re fn azf0-nak megfe-lelő függvényhhelyetthn-nel. Persze ígyB pontjaibanfn megegyezik f-fel, a korön kívül pedig fn monoton fogyólag 0-hoz tart. A látottak miatt Bo pontjaiban mindenn-re is
u(x, y) =
− 1 2π
2π
Z
0
(1−x2−y2)· 4π1 R
R2
ln (cost−ξ)2+(sint−τ)2
·fn(ξ, τ)d(ξ, τ) (x−cost)2+ (y−sint)2 dt.
Alkalmazzuk a Lebesgue-féle majorált konvergenciatételt ezekre a tagokra n →+∞ határátmenettel. Az integrandus B komplementumán elenyészik, ígyBo pontjaiban
u(x, y) =
= 1 4π
Z
B
ln
(x−ξ)2+ (y−τ)2
f(ξ, τ)d(ξ, τ) +
+ 1 2π
2π
Z
0
1−x2−y2
ϕ(cost,sint) (x−cost)2+ (y−sint)2 dt−
− 1 2π
2π
Z
0
(1−x2−y2)·4π1 R
B
ln (cost−ξ)2+(sint−τ)2
·f(ξ, τ)d(ξ, τ) (x−cost)2+ (y−sint)2 dt.