Az L ∞ Banach-tér

L^p_K(N,P(N),#),k·k_p

Banach-teret, ahol#a számlálómérték.

`<sup>p</sup><sub>K</sub>elemei éppen aK-értékűp-adikusan felösszegezhető sorozatok, továbbá a = (an)<sup>+∞</sup><sub>n=1</sub> ∈ `^p

K esetén kak_p = _+∞

P

k=1

|ak|^{p 1}p

. A p = +∞ esetet (mint a korlátos K-sorozatok (`^∞_K,k·k_∞) Banach-terét) már az előző szakaszban definiáltuk.

Speciálisanp= 2 esetén a fent tárgyalt Hölder-egyenlőtlenség miatt bár-mely a,b∈ `²_K esetén P

akbk abszolút konvergens sor. Jelölje h· | ·i : `²_K×

×`²

K→K,

ha|bi:=

+∞

X

k=1

akbk. Ez nyilván K-skalárszorzat az `²

K vektortéren, s az indukált norma éppen k·k₂, amellyel ellátva`<sup>2</sup><sub>K</sub> a már látottak miatt Banach-tér. Ezért `²_K,h· | ·i Hilbert-térKfölött.

3.5.3. Az L

^∞

Banach-tér

Legyen (T,S, µ) mértéktér. Jelölje tetszőleges f : T → R vagy f : T → C esetén

kfk^(µ)_∞ := inf

sup

E

|f|:E∈ S, µ(T\E) = 0

az f függvény µ-abszolút szuprémuma (ez +∞ is lehet). Azonnal látható, hogy mindig

kfk^(µ)_∞ := min

sup

E

|f|:E∈ S, µ(T\E) = 0

,

hiszen definíció szerint mindenn∈N-re létezikEn ∈ S,hogyµ(T\En) = 0 éssup

E_n

|f|>kfk^(µ)_∞ −_n¹; ekkorE :=

+∞

T

n=1

E_n választással triviálisansup

E

|f|=

=kfk^(µ)_∞ ésµ(T \E) = 0.

AT →KS-mérhető függvények vektorterének vektortérstruktúrája nyil-vánvalóan nem sérül, ha benne aµ-m.m. megegyező függvényeket nem kü-lönböztetjük meg. Ezen a vektortéren azf 7→ kfk^(µ)_∞ hozzárendelés nyilván-valóan nyers norma. Így a 3.5.1. Megjegyzés alapján a fenti konvencióval

L^∞_K (T,S, µ) :=n

f ∈K^T :kfk^(µ)_∞ <+∞o vektortérKfölött, sőt

L^∞

K (T,S, µ),k·k^(µ)_∞

normált térKfölött.

3.5.30. Állítás.

L^∞_K (T,S, µ),k·k^(µ)_∞

teljes, azaz Banach-térKfölött.

Bizonyítás. Legyen(fn)⊆L^∞_K (T,S, µ)Cauchy-sorozat. Ekkor a fentiek alap-ján mindenm, n∈N-re van olyanEm,n∈ S, hogy

sup

Em,n

|fm−fn|=kfm−fnk^(µ)_∞ ésµ(T \Em,n) = 0. JelöljeE:= T

m,n∈N

Em,n. Persze µ(T\E) = 0. Továbbá sup

E

|f_m−f_n| ≤ sup

Em,n

|f_m−f_n|=kf_m−f_nk^(µ)_∞

alapján az fn függvények E-re való leszűkítései Cauchy-sorozatot alkotnak a (L^∞_K (E),k·k_∞) Banach-térben. Így f_n|E

konvergens is e térben, azaz van olyan f ∈ L^∞_K (E), hogy (fn) egyenletesen tart f-hez az E halmazon.

Az egyenletes konvergencia miattf mérhető. Mivel E nullmértékű, ezértf természetes módon tekinthetőL^∞_K (T,S, µ)egy elemének. Most

kf−fnk^(µ)_∞ ≤sup

E

|f−fn| →0 miattf_n konvergálf-hez az

L^∞

K (T,S, µ),k·k^(µ)_∞

térben.

3.5.31. Megjegyzés. A mértékelméletből tanultak miatt minden korlátos mérhető függvény egyenletesen közelíthető mérhető lépcsős függvényekkel.

Innen triviálisan adódik, hogy az S-mérhető K-értékű lépcsős függvények sűrű alterét alkotják az

L^∞_K (T,S, µ),k·k^(µ)_∞

Banach-térnek.

A továbbiakban – hacsak nem okoz félreértést –k·k^µ_∞ helyett rendszerint csakk·k_∞-t írunk.

3.5.4. A Meyer-tétel és a Dynkin-tétel. Sűrűség L

^p

-ben

3.5.32. Feladat. Mutassuk meg, hogy tetszőleges α > 0 esetén a [−α, α]

intervallumon értelmezett függvényekből álló, f0(t) : =α,

f_n+1(t) : = 1

2α· f_n²(t) +α²−t² rekurzióval értelmezett függvénysorozatra

1. mindenn-refnpolinom ésfn≥0 [−α, α]-n(a definícióból közvetlenül); 2. mindent∈[−α, α]-ra(f_n(t))monoton fogyó sorozat(teljes indukcióval f_n+1(t)−f_n+2(t) = _2α¹ ·(f_n(t) +f_n+1(t))·(f_n(t)−f_n+1(t)) ≥ 0 alapján);

3. minden t ∈ [−α, α]-ra (fn(t)) monoton fogyólag tart α− |t|-hez (az f limeszfüggvény triviálisan kielégíti az f(t) = _2α¹ · f²(t) +α²−t² egyenlőséget, amelyből kihozható f(t) =α− |t|).

3.5.33. Következmény. Tetszőleges α >0 esetén létezik olyan valós poli-nomokból álló sorozat, amely a [−α, α] intervallumon pontonként monoton növőleg tart|·|-hez.

LegyenT egy halmaz. JelöljeL^∞(T) a T-n értelmezett korlátos függvé-nyek vektorterét. Egy H ⊆ L^∞(T) halmazt szorzatzártnak mondunk, ha f, g∈H eseténf·g∈H. Jelölje 11∈L^∞(T)az azonosan 1függvényt.

3.5.34. Definíció. EgyM ≤L^∞(T)alterettérnek (vagy Dynkin-altérnek) nevezünk, ha11∈M, továbbá

f ∈L^∞(T),(f_n)⊆M, f_n≥0 (∀n∈N), f_n(t)%f(t) (∀t∈T) =⇒ f ∈M.

A Dynkin-tereketλ-rendszereknek is szokás nevezni.

NyilvánL^∞(T)maga Dynkin-altér, továbbá akárhány Dynkin-altér met-szete is Dynkin-altér. Így bármely H ⊆L^∞(T)halmazra a H-t tartalmazó Dynkin-alterek metszete a legszűkebb H-t tartalmazó Dynkin-altér. Ezt a Dynkin-alteret aH függvényhalmaz generálta Dynkin-altérnek nevezzük és D(H)-val jelöljük.

3.5.35. Definíció. EgyM ≤L^∞(T)alteret Stone-hálónak nevezünk, ha mindenf ∈M esetén

|f| ∈M és 11∧f ∈M.

3.5.36. Megjegyzés. HaM ≤L^∞(T)Stone-háló, akkor mindenf, g∈M eseténf∨g ésf∧g∈M. (f∨g= ¹₂(f+g+|f−g|),stb.)

3.5.37. Tétel. Ha H⊆L^∞(T)szorzatzárt, akkor D(H)is az.

Bizonyítás. Jelöljef ∈ D(H)esetén

Df :={g∈ D(H) :f·g∈ D(H)}.

f ≥0esetén triviálisan leellenőrizve adódik, hogyD_f Dynkin-altér. Ha most f ∈ D(H) tetszőleges előjelű, akkor a korlátosság miatt van olyan t ∈ R, hogyf+t·11≥0.D(H)altér volta miatt triviálisan

D_f+t·11=Df, hiszen

(f+t·11)·g=f·g+t·g és f ·g= (f+t·11)·g−t·g.

Innen persze adódik, hogyD_f ilyenkor is Dynkin-altér. Most haf ∈H,akkor mindeng∈H-ra f·g∈H ⊆ D(H)miattg∈ Df, azaz

H ⊆ Df,

ahonnan Df Dynkin-altér volta miatt D(H) ⊆ Df. Eszerint f ∈ H, g ∈

∈ D(H)esetén f ·g ∈ D(H). Ezt újra átfogalmazva : tetszőleges rögzített g∈ D(H)-ra minden f ∈H eseténf ∈ Dg,azaz

H ⊆ D_g,

ahonnan mostDg Dynkin-altér volta miatt D(H)⊆ Dg. Eszerint tehát tet-szőlegesg, f ∈ D(H)eseténf·g∈ D(H), azazD(H)szorzatzárt.

3.5.38. Tétel. Ha H⊆L^∞(T)szorzatzárt, akkor D(H)Stone-háló.

3.5.39. Definíció. H ⊆L^∞(T)esetén jelölje σ_H:=σ



 [

f∈H

σ_f



,

ez nyilván a legszűkebbT-beliσ-algebra, amelyre nézve mindenf ∈H függ-vény mérhető. AσH σ-algebrát aH függvényhalmaz generáltaσ-algebrának nevezzük.

3.5.40. Tétel. HaM ≤L^∞(T) olyan Dynkin-altér, amely egyúttal Stone-háló is, akkor M tartalmaz minden σ_M-mérhető korlátos valós függvényt.

(Mivel M triviálisan ilyen függvényekből áll, ezért úgy is fogalmazhatunk, hogyM megegyezik aσ_M-mérhető korlátos valós függvények összeségével.)

Bizonyítás. Jelölje

A:={A⊆T :χA∈M}.

11 ∈ M miatt persze T ∈ A. Mivel két függvény alsó ill. felső burkolójára nézveM zárt, ezért Ametszet- és uniózárt. A

χ_A\B=χ_A−χ_A∩B

egyenlőség és a metszetzártság miattAkülönbségzárt is. A χ n

S

k=1

A_k%χ+∞

S

k=1

A_k

határátmenet és M Dynkin-altér volta miatt A σ-uniózárt is. Ugyanakkor 11∈M miattT ∈ A. EzértA egyT alaphalmazú σ-algebra. Megmutatjuk, hogyσ_M ⊆ A. Legyenf ∈M rögzített. Ekkor mindenα∈Rmellett a

11∧[n·(f−α11 +|f −α11|)]%χ_{(f >α)}

határátmenet alapjánχ_{(f >α)}∈M,hiszenM Dynkin-altér és a szóban forgó függvénysorozat elemei nemnegatívak. Így (f > α) ∈ A, s mivel ez minden α-re igaz, ezért f A-mérhető. Tehát M-nek minden eleme A-mérhető, így σ_M ⊆ A.

Ez viszont éppen azt jelenti, hogy minden σ_M-mérhető karakterisztikus függvényM-ben van. MivelM altér, ezért mindenσM-mérhető lépcsős függ-vény isM-ben van. Mivel tetszőleges nemnegatívσM-mérhető függvény előáll nemnegatívσM-mérhető lépcsős függvények pontonként monoton növő lime-szeként, ezértM Dynkin-tulajdonsága implikálja, hogy tetszőleges korlátos nemnegatív σM-mérhető függvény M-hez tartozik. Innen az f = f+ −f₋ egyenlőség és M vektortér volta miatt nyerjük, hogy minden σM-mérhető korlátos valós függvény elemeM-nek.

A legutóbbi három tételből triviálisan következik az ún. Meyer-tétel : 3.5.41. Tétel (Meyer). Ha L ≤ L^∞(T) Dynkin-altér és H ⊆ L szorzat-zárt függvényhalmaz, akkor L tartalmaz minden σ_H-mérhető korlátos valós függvényt.

Az alábbi tétel alapvetően fontos :

3.5.42. Tétel. Legyen(T,S, µ)mértéktér,1≤p <+∞ésH ≤L^p

R(T,S, µ) olyan korlátos függvényekből álló szorzatzárt altér, amelyre11∈ Hésσ_H =S. EkkorHsűrű altere L^p

R(T,S, µ)-nek.

Bizonyítás. 11∈ Hmiattµvéges. JelöljeMaHtérk·k_p-lezárásánakL^∞ (K)-val (K)-való metszetét. A kis Lebesgue-tétel miatt triviálisanM Dynkin-tér. Eb-benHszorzatzárt részhalmaz. Így a Meyer-tétel miattM mindenσ_H-mérhető

(=S-mérhető) korlátos valós függvényt tartalmaz. Mivel a Htér L^p-beli le-zárása tartalmazzaM-et, ezért tartalmaz minden K-n értelmezett korlátos S-mérhető függvényt. Az11∈ Hfeltételből azonnal adódik, hogy a Lebesgue-tétel miatt ugyanakkor ezek a függvények maguk is sűrűekL^p

R(T,S, µ)-ben, ezért aHtér L^p-beli lezárása maga azL^p_R(T,S, µ)tér.

3.5.43. Következmény. Legyen K ⊆ Rⁿ kompakt halmaz az n-dimenziós Lebesgue-mértékkel ellátva. Legyen1 ≤ p <+∞. Ekkor C_R(K) sűrű altere L^p

R(K)-nak.

Bizonyítás. C_R(K)szorzatzárt és 11∈C_R(K). Továbbá K-nak minden zárt C részhalmazára d(·, C) folytonos függvény, ahonnan C ∈ σ_C

R(K). Innen triviálisanB(K) =σ_C

R(K),ahonnan a fenti tétel miattC_R(K)sűrűL^p

R (K)-ban.

3.5.44. Következmény. 1 ≤p < +∞ esetén C_C(K) sűrű altere L^p

C (K)-nak.

Az előbbi tételnek még néhány fontos következményét fogalmazzuk meg.

3.5.45. Következmény. HaI korlátos intervallum ésµ:B(I)→R+ véges Borel-mérték, akkor minden 1≤p <+∞ esetén a polinomok P altere sűrű L^p

R(I,B(I), µ)-ben.

Bizonyítás. Persze 11 ∈ P szorzatzárt altere L^p

R(I,B(I), µ)-nek. Az I-beli kompakt intervallumok már másodfokú polinomok nívóhalmazaként is előáll-nak. Ezek viszont generálják azI-beli Borel-halmazokat. Tehát σ_P =B(I).

A tétel alkalmazása innen már triviális.

Egy R → R függvényt trigonometrikus polinomnak mondunk, ha előáll (t7→coskt), illetve(t7→sinkt)alakú (knemnegatív egész) függvények (vé-ges) lineáris kombinációjaként.

3.5.46. Következmény. Haµ:B((0,2π))→R+ véges Borel-mérték, akkor 1≤p <+∞esetén a trigonometrikus polinomok T tere sűrű altere

L^p

R((0,2π),B((0,2π)), µ)-nek.

Bizonyítás. Minden 0 ≤ α ≤ 2π esetén a cos x−^α₂

> cos^α₂ nívóhal-maz éppen a(0, α)intervallum. Ezek viszont generálják a(0,2π)-beli Borel-halmazokat. TehátσT =B((0,2π)). A tétel alkalmazása innen triviális.

3.5.47. Következmény. Legyenek (T,S, µ) és (X,A, ν) véges mértékterek és1≤p <+∞. Ekkor a mérhető téglákból elkészített lépcsős függvények sűrű alterét alkotjákL^p_R(T×X,S ⊗ A, µ⊗ν)-nek.

Bizonyítás. A szóban forgó altér szorzatzárt, tartalmazza 11-et, továbbá az altér indukáltaσ-algebra triviálisan tartalmazza a mérhető téglákat. Ez utób-biak generáltaσ-algebra viszont definíció szerintS ⊗ A.

3.5.48. Feladat. Mutassuk meg, hogy1≤p <+∞eseténC_K(Rⁿ)∩L^p_K(Rⁿ) sűrű altereL^p

K(Rⁿ)-nek.

3.5.49. Megjegyzés. C_K(K) nem sűrű L^∞

K K,B(K), λ⁽ⁿ⁾

-ban, az nyil-vánvaló.

3.5.5. Szeparabilitás

3.5.50. Definíció. Legyen X topologikus tér. Egy M ⊆ X halmazt sű-rűnek mondunk, ha az M lezárás maga az X alaphalmaz. Egy (x_k) ⊆ X sorozatotsűrűnek mondunk, ha {xn:n∈N} sűrű halmaz. Az X topologi-kus teretszeparábilisnak mondjuk, ha van benne sűrű sorozat (azaz van sűrű megszámlálható részhalmaz).

3.5.51. Megjegyzés. HaX valós normált tér és S ⊆X, akkor lin_Q(S) =

=lin_R(S)(hiszen tetszőlegesS-ből vett véges lineáris kombináció együtthatói közelíthetők racionális sorozattal). Következésképp haSlegfeljebb megszám-lálható, akkor lin_R(S) szeparábilis normált tér (hiszen maga lin_Q(S) meg-számlálható).

3.5.52. Következmény. Minden véges dimenziós valós normált tér szepa-rábilis.

3.5.53. Állítás. Egy végtelen dimenziós valósX normált tér pontosan akkor szeparábilis, ha van benne olyan(fn)⊆X lineárisan független sorozat, hogy

X=lin({fn:n∈N}).

Bizonyítás. Először tegyük föl, hogy X szeparábilis. Ekkor van benne egy (x_k)sűrű sorozat. Definiáljuk rekurzióval a(k_j)indexsorozatot a következő-képpen : legyenk₁:= 1,és ha márk₁, k₂, . . . , k_j definiáltak, akkor legyen

kj+1:= min

n∈N:xn ∈/ lin xk₁, xk₂, . . . , xk_j .

(MivelXnem véges dimenziós, ezért ez a rekurzió jóldefiniált.) Az így kapott (kj)sorozatra természetszerűleg igaz, hogy xk_j

lineárisan független sorozat.

Továbbá minden n-re vagy x_n ∈ lin x_k1, x_k2, . . . , x_kn−1

, vagy x_n = x_kn. Eszerint

{x_n:n∈N} ⊆lin

x_kj :j ∈N , ahonnanX ={x_n:n∈N} ⊆lin

x_kj :j∈N ⊆X.

Az állítás fordított iránya a legutóbbi megjegyzésből következik.

Mindezek valós normált terek helyett komplex normált terekre is triviáli-san végigvihetők, csakQhelyett a{a+i·b:a, b∈Q}megszámlálható testet kell venni.

3.5.54. Állítás. HaI korlátos intervallum és µ: B(I)→R+ véges Borel-mérték, akkor minden1≤p <+∞ eseténL^p

R(I,B(I), µ) szeparábilis.

Bizonyítás. Láttuk, hogy P sűrű altér L^p

R(I)-ben. A P alteret viszont az (idⁿ)sorozat generálja. EzértL^p

R(I)szeparábilis.

3.5.55. Feladat. Gondoljuk meg, hogy1≤p <+∞esetén nem korlátosI intervallumra is szeparábilisL^p_R(I,B(I), λ)!

3.5.56. Feladat. Gondoljuk meg, hogy1≤p <+∞esetén a`^p

Rsorozattér szeparábilis !

3.5.57. Feladat(*). LegyenK⊆Rⁿkompakt halmaz. Mutassuk meg, hogy 1≤p <+∞esetén L^p_R K,B(K), λ⁽ⁿ⁾

szeparábilis ! (Ötlet : gondoljunk az n-változós polinomokra !)

3.5.58. Feladat. Igazoljuk, hogy `<sup>∞</sup> nem szeparábilis ! (Ötlet : `^∞-nek van kontinuum sok, páronként egymástól egységnyi távolságra eső eleme.) 3.5.59. Definíció. Legyen(T,S, µ)mértéktér.Egy pozitívµ-mértékűA∈ S halmaztµ-atomnak nevezünk, haAbármely mérhető részének mértéke vagy µ(A), vagy nulla.

3.5.60. Feladat. Igazoljuk, hogy bármely (T,S, µ)mértéktérre (L^∞(T,S, µ),k·k_∞)

vagy nemszeparábilis, vagy véges dimenziós ! (Ötlet : Ha végtelen sok atom vanS-ben, akkor a nemszeparabilitás a `<sup>∞</sup>-hez hasonlóan látható. Ha csak véges sok atom van, akkor két eset lehetséges : 1. az atomok komplementuma nullmértékű, ekkor a tér triviálisan véges dimenziós. 2. az atomok komple-mentuma pozitív mértékű, ekkor e halmaz triviálisan felbontható végtelen sok pozitív mértékű halmaz diszjunkt uniójára. Ezen halmazokkal operálva a nemszeparabilitás megint csak a`^∞-hez hasonlóan végezhető.)

3.5.61. Megjegyzés. Weierstraß első sűrűségi tétele (lásd a Függelék meg-felelő fejezetét) miatt aK-polinomok – mint[a, b]-n értelmezett függvények – vektortere sűrű altereC_K[a, b]-nak. Könnyű látni, hogy ebben a polinomtér-ben viszont aK-racionális együtthatós polinomok vannak sűrűen, ez utóbbiak viszont megszámlálható sokan vannak.

3.5.62. Következmény. (C_K[a, b],k·k_C)szeparábilis Banach-tér.

3.5.63. Feladat(*). LegyenKkompakt metrikus tér. Mutassuk meg, hogy (C_K(K),k·k_C)szeparábilis Banach-tér !

4. fejezet

In document Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban (Pldal 134-143)