A Riesz-tétel. Szeparációk

Az alábbiakban legyen(H,h· | ·i)Hilbert-térKfölött. Emlékeztető : hax∈H és∅ 6=M ⊆H,akkor azxpont és az M halmaz távolsága

d(x, M) := inf{kx−yk:y∈M}.

4.1.1. Tétel (Riesz). Tetszőleges ∅ 6= M ⊆ H konvex zárt halmazra és x∈H pontra egyértelműen létezik az M halmazban x-hez legközelebb fekvő pont, azaz∃!x_∗∈M, melyre

kx−x_∗k=d(x, M).

Bizonyítás. d(x, M) definíciója alapján létezik olyan (xn) ⊆ M sorozat, melyre

kx−xnk →d(x, M) (n→+∞).

Tetszőlegesm, n∈Nesetén azx−xn ésx−xm vektorokra alkalmazzuk a Neumann-szabályt (paralelogramma-szabály) :

kx−xn+x−xmk²+k(x−xn)−(x−xm)k²= 2kx−xnk²+ 2kx−xmk², azaz

4

x−xn+xm

2

2

+kxm−xnk²= 2kx−xnk²+ 2kx−xmk². MinthogyM konvexitása miatt ^xn+x₂ ^m ∈ M, így a bal oldal első tagja leg-alább 4d²(x, M). Megmutatjuk, hogy (xn) Cauchy-sorozat. Legyen ε > 0.

Ekkor létezik N ∈ N, hogy minden n ≥ N esetén kx−xnk² < d²(x, M) + +^ε₄². Így mindenn, m≥N esetén a legutóbbi egyenlőség jobb oldala kisebb, mint4d²(x, M) +ε²,a bal oldal első tagja viszont legalább4d²(x, M). Innen kx_m−x_nk²≤ε²,azazkx_m−x_nk ≤ε. Tehát(x_n)Cauchy-sorozat. Mivel H teljes, ezért(x_n)konvergál egyx_∗∈H vektorhoz. Mivel pedigM zárt, ezért x_∗∈M. Továbbá nyilván

kx−x_∗k= limkx−xnk=d(x, M).

Hátravan még az egyértelműség igazolása. Tegyük föl, hogyx∗ésx^∗egyaránt olyan M-beli pontok, melyeknek x-től vett távolsága minimális. Tekintsük azon (xn) ⊆ M sorozatot, amelynek páratlan indexű elemei x∗-gal, páros indexű elemei pedigx∗-gal egyeznek meg. Ez a sorozat eleget tesz a bizonyítás elején vett sorozatra kirótt kívánalmaknak. Tehát mindaz is igaz rá, amit arra a sorozatra beláttunk ; nevezetesen hogy konvergens. Ez viszont csak úgy lehet, hax^∗=x_∗.

4.1.2. Feladat. Adjunk példát Banach-térben vektorra és zárt altérre, ame-lyek távolsága nem vétetik föl ! Jelesül mutassuk meg, hogy a(C_R[0,1],k·k_C) Banach-téren a ϕf :=

1

R

0

f −f(0) egyenlőséggel definiált folytonos lineá-ris funkcionálkerϕmagterének nincsid_[0,1]-hez legközelebbi pontja ! (Ötlet : gondoljuk meg, hogy minden f ∈ kerϕ-re

id_[0,1]−f

_C > ¹₄, ugyanakkor minden0< δ <1 esetén van olyanf ∈kerϕ,amelyre[δ,1]-enf(t) =t−¹₄, és[0, δ]-n is lineáris f. Leellenőrizhető, hogy ekkor

id_[0,1]−f

_C =f(0) =

=_8−4δ^δ+2,ami tetszőlegesen közel kerülhet ¹₄-hez.)

A továbbiakban e szakaszban legyenH valós Hilbert-tér.

4.1.3. Tétel(szigorú szeparáció). LegyenM ⊆H nemüres konvex zárt hal-maz ésx∈H\M. Ekkor van olyany∈H vektor, amelyre

sup

u∈M

hu|yi<hx|yi. Sőt feltehető, hogykyk= 1.

Bizonyítás. Riesz tétele szerint létezik M-ben x-hez legközelebb fekvő x_∗ pont. Persze x 6= x∗. Legyen u ∈ M tetszőleges. Ekkor minden t ∈ [0,1]

eseténM konvexitásából

t·u+ (1−t)·x_∗∈M, ahonnanx_∗ választása miatt

kx−(t·u+ (1−t)·x_∗)k²≥ kx−x_∗k². Ezek szerint azf :R→R,

f(t) :=kx−(t·u+ (1−t)·x_∗)k²=kx−x_∗+t·(x_∗−u)k²=

=kx−x_∗k²+ 2t· hx_∗−u|x−x_∗i+t²· kx_∗−uk²

nemnegatív értékű másodfokú (vagy konstans) polinomra minden t ∈ [0,1]

eseténf(t)≥f(0). Emiatt az elsőfokú tag együtthatója szükségképpen nem-negatív, azaz

hx_∗−u|x−x_∗i ≥0.

Inneny:=x−x_∗ választással mindenu∈M-re

hx∗|yi − hu|yi=hx∗−u|yi=hx∗−u|x−x∗i ≥0, azazhx∗|yi ≥ hu|yi, ahonnan

hx_∗ |yi ≥ sup

u∈M

hu|yi.

Másrészt

hx|yi − hx_∗|yi=hx−x_∗|yi=kx−x_∗k²>0, ezért

hx|yi>hx∗|yi ≥ sup

u∈M

hu|yi. A tétel legutolsó állításay6=0_H miatt magától értetődő.

4.1.4. Következmény. LegyenekK, M ⊆H diszjunkt nemüres konvex hal-mazok, továbbáK kompakt ésM zárt. Ekkor van olyany∈H vektor, melyre

sup

u∈M

hu|yi< inf

v∈Khv|yi.

Bizonyítás. Mivel M zárt és −K kompakt, ezért M −K is zárt ; továbbá M ∩K = ∅ miatt 0_H ∈/ M −K. A fenti tétel szerint ekkor létezik olyan y∈H vektor, amelyre

sup

u∈M−K

hu|yi<h0H |yi= 0, azaz

0> sup

v∈M,w∈K

hv−w|yi= sup

v∈M,w∈K

(hv|yi − hw|yi) =

= sup

v∈M

hv|yi − inf

w∈Khw|yi, ami bizonyítja állításunkat.

4.1.5. Következmény. EgyM ⊆H halmaz pontosan akkor konvex zárt, ha előáll zárt félterek (azaz{x∈H:hx|yi ≤α}alakú halmazok) metszeteként.

Bizonyítás. Az egyik irány triviális. A másik úgy adódik, hogy a szigorú szeparációt alkalmazzukx-re ésM-re minden egyesx∈H\M mellett.

A következő szeparációs elv az ún. „erős” (de a szigorúnál „gyengébb”) szeparáció. Ehhez néhány megelőző észrevételre lesz szükségünk.

4.1.6. Megjegyzés. Ha M ⊆ H konvex halmaz, akkor M is triviálisan konvex (gondoljunk a lezárás sorozatokkali jellemzésére).

4.1.7. Lemma. LegyenM ⊆H konvex halmaz, x∈intM ésy∈M. Ekkor minden0< t <1 esetén

t·x+ (1−t)·y∈intM.

Bizonyítás. A feltétel szerint van olyanr >0, hogyx+r· B_H^o ⊆M. Ekkor M konvex volta miatt triviálisan

M ⊇t·(x+r· B_H^o) + (1−t)·y=t·x+ (1−t)·y+t·r· B^o_H, amiért ist·x+ (1−t)·y∈intM.

4.1.8. Következmény. HaM ⊆H konvex, akkorintM is konvex.

4.1.9. Lemma. LegyenM ⊆H konvex halmaz, x∈intM ésy∈M. Ekkor minden0< t <1 esetén

t·x+ (1−t)·y∈intM.

Bizonyítás. A feltétel szerint van olyanr >0, hogyx+r· B_H^o ⊆M. Persze ekkor x+r· B_H^o ⊆ intM is fennáll. Továbbá létezik olyan z ∈ M vektor, hogyky−zk< _1−t^t ·r. Mostt·x+ (1−t)·yelőállt·u+ (1−t)·zalakban, mégpedig nyilván

u:=x+1−t

t ·(y−z)

választással. Innenku−xk ≤ ^1−t_t · ky−zk< ^1−t_t ·_1−t^t ·r=rmiattu∈x+ +r· B_H^o ⊆intM. Az előző lemma miatt így

t·x+ (1−t)·y=t·u+ (1−t)·z∈intM.

4.1.10. Tétel (erős szeparáció). Legyen M ⊆ H olyan konvex halmaz, amelyre intM 6= ∅. Ekkor minden x ∈ H \intM vektorhoz létezik olyan y∈H vektor, amelyre

hu|yi<hx|yi (∀u∈intM), hu|yi ≤ hx|yi (∀u∈M).

Bizonyítás. Feltehető, hogyx=0H. Legyenx0∈intM. Indirekt tegyük föl, hogy −x0 ∈ R^o+·intM. Mivel x₀ eleme a konvex nyílt M_∗ := R^o+·intM halmaznak, így a legutóbbi lemma miatt

0H= 1

2·x0+1

2 ·(−x0)∈intM∗=R^o+·intM,

ahonnan persze0H ∈intM, ami ellentmondás. Ezért −x0 ∈/ R^o+·intM. A szigorú szeparációs tétel miatt ekkor van olyan egységnormájúy∈H vektor, amelyre

sup

u∈R^o+·intM

hu|yi<h−x0|yi,

ahonnan mindent >0-ra sup

u∈intM

hu|yi<D

−x0

t |yE , innen pedig t → +∞ határátmenettel sup

u∈intM

hu|yi ≤ 0. Legyen most u∈

∈ intM tetszőleges. Ekkor van olyanδ > 0 szám, hogy u+δ·y ∈ intM, innen

hu|yi<hu|yi+δ· kyk²=hu+δ·y|yi ≤0 =h0H|yi,

ami bizonyítja is az állításunk első felét. Legyen most u ∈ M tetszőleges.

Ekkor az egyik fenti lemma szerint minden0< t <1esetént·x0+(1−t)·u∈

∈intM, így a már látottak miatt

ht·x₀+ (1−t)·u|yi<h0H |yi,

ahonnant→0+határátmenettelhu|yi ≤ h0_H|yi,ami bizonyítja az állítás második felét.

4.1.11. Következmény. Legyenek K, M ⊆ H diszjunkt nemüres konvex halmazok, és tegyük föl, hogy intM 6= ∅. Ekkor van olyan y ∈ H vektor, amelyre

hu|yi<hv|yi (∀u∈K, v∈intM), hu|yi ≤ hx|yi (∀u∈K, v∈M).

Bizonyítás. Ha x ∈ K, akkor x−intM egy olyan nemüres nyílt halmaz, amely K−M-ben fekszik, tehát int (K−M) 6= ∅. Így alkalmazhatjuk a fenti tételt a konvex K−M halmazra és a rajta kívül fekvő 0_H vektorra, ebből éppen egy kívánt tulajdonságú szeparációt nyerünk.

Véges dimenzióban a szeparációs elv tovább vihető. Ehhez egy (szemlélete-sen nyilvánvaló, de annál inkább fontos) technikai lemmára lesz szükségünk.

4.1.12. Lemma. Legyen H véges dimenziós valós euklideszi tér ésM ⊆H olyan konvex halmaz, amelyre 0_H ∈/ M. Ekkor van olyan (x_k) ⊆ H \M sorozat, amely normában tart0_H-hoz.

Bizonyítás. Ha0H ∈/ M ,akkor konstans sorozattal készen vagyunk. Tegyük hát föl, hogy 0H ∈ M \M. Most linM-nek vegyünk föl egy M-ből vett (u1, u2, . . . , um) bázisát. Indirekt tegyük föl, hogy van olyan α > 0 szám, hogy

v:=−α·(u₁+u₂+· · ·+u_m)∈M .

Ekkor van olyan(yn)⊆M sorozat, amely tartv-hez. Legyen(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm) az(u1, u2, . . . , um)bázis duális bázisa. Persze mindenx∈linM-re

x=

m

X

j=1

ϕj(x)·uj.

Továbbá linM véges dimenziós volta miatt a ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕ_m funkcionálok folytonosak, így mindenj = 1, . . . , m-re ϕ_j(y_n)→ ϕ_j(v) =−α. Ezért van olyann∈Nindex, hogy mindegyikj-re ϕ_j(y_n)<0. Ekkor

1 1−

m

P

j=1

ϕj(yn)

·y_n+

m

X

k=1

−ϕ_k(y_n) 1−

m

P

j=1

ϕj(yn)

·u_k =

= 1

1−

m

P

j=1

ϕ_j(y_n)

· yn−

m

X

k=1

ϕk(yn)·uk

!

=0H

bal oldala tényleg igazi konvex kombináció, ígyy_n, u₁, u₂, . . . , u_m∈M miatt eleme isM-nek, a jobb oldal pedig0H, tehát0H ∈M. Ez ellentmondás. Így mindenα >0 mellett−α·(u1+u2+· · ·+um)∈/M, tehát az

xn:=−1

n·(u1+u2+· · ·+um) választással nyert(x_n)meg is felel a lemma állításának.

4.1.13. Tétel(végesrangú szeparáció). LegyenH véges dimenziós valós euk-lideszi tér ésM ⊆Holyan konvex halmaz, amelyre0H ∈/ M. Ekkor van olyan y∈H nemnulla vektor, amelyre

sup

u∈M

hu|yi ≤0.

Bizonyítás. A fenti lemma szerint van olyan(xn)⊆H\Msorozat, amely nor-mában tart0H-hoz. A szigorú szeparációs tétel miatt mindenn-re van olyan egységnormájú yn ∈ H vektor, hogy sup

u∈M

hu|yni < hxn|yni. A Bolzano–

Weierstraß-tétel miatt(yn)-nek van olyan (yn_k)részsorozata, amely normá-ban tart egy y ∈ H vektorhoz. Persze így kyk = 1. Továbbá k → +∞

határátmenettel mindenu∈M-re hu|yi= lim

k→+∞hu|y_nki ≤ lim

k→+∞hx_nk|y_nki ≤ lim

k→+∞kx_nk · ky_nk= 0, ami igazolja a bizonyítandó állítást.

4.1.14. Következmény. LegyenH véges dimenziós valós euklideszi tér. Ek-kor tetszőleges K, M ⊆H diszjunkt nemüres konvex halmazokra van olyan y∈H nemnulla vektor, hogy

sup

u∈M

hu|yi ≤ inf

v∈Khv|yi.

Bizonyítás. Alkalmazzuk a tételt a konvexM −K halmazra.

4.1.15. Példa. A síkbeliM := ((−∞,1)×(0,+∞))∪1

0 konvex halmaz diszjunkt az origótól, és a fenti tételben szereplő módon szeparálható is tőle (pl. a−pr₂lineáris funkcionállal), de szigorúan nem szeparálható, sőt abban az értelemben erősen sem, hogy nincs olyany∈R²nemnulla vektor, amelyre mindenu∈M eseténhu|yi<0állna fönn.

4.1.16. Példa. HaH véges dimenziós euklideszi tér ésf : [a, b]→H folyto-nos,(a, b)-n deriválható függvény, amelyref(a) =f(b) =0H,akkor könnye-dén adódik, hogy

0_H∈conv({f⁰(t) :a < t < b}).

(Legyenn:= dimlin(Rf). Persze föltehető, hogyn≥1. Indirekt tegyük föl, hogy mégis0H ∈/ conv({f⁰(t) :a < t < b}). Ekkor alkalmazhatjuk a véges-rangú szeparációt, amelyből egy olyan nemnullay∈lin(Rf)vektort nyerünk, hogyh· |yi ◦f deriváltja nempozitív, teháth· |yi ◦f monoton fogyó ; no de a végpontokban nulla, így végül ish· |yi ◦f azonosan nulla. EmiattRf ⊆y^⊥, ami (n−1)-dimenziós, s ez ellentmondás.) Innen tetszőleges f : [a, b] → H folytonos,(a, b)-n deriválható függvényre triviálisan

f(b)−f(a)

b−a ∈conv({f⁰(t) :a < t < b}).

(Mint az közismert, a Lagrange-féle középértéktétel klasszikus alakjában már R²-be képező függvényre sem igaz, lásd pl.f : [0,2π]→R², t7→cost

sint

.) 4.1.17. Feladat. Igazoljuk a következőt :haX valós vektortér, A⊆X kon-vex halmaz,f1, f2, . . . , fn :A→Rpedig olyan konvex függvények, amelyek felső burkolója nemnegatív,akkorazf1, f2, . . . , fn függvényeknek van olyan konvex kombinációja is, amely nemnegatív. (Ötlet : alkalmazzuk Rⁿ-ben a végesrangú szeparációs tételt az origóra és a

C:={a∈Rⁿ:∃x∈A,hogy∀j-reaj> fj(x)}

konvex halmazra, majd lássuk be a kapott vektor nemnegativitását.) 4.1.18. Feladat(gyenge^∗-szeparáció). LegyenXvalós normált tér,∅ 6=K⊆

⊆X^∗ konvex halmaz,ϕ∈X^∗, ε >0ésx1, x2, . . . , xn∈X olyanok, hogy

n

\

j=1

{ψ∈X^∗:ψ(xj)∈[ϕ(xj)−ε, ϕ(xj) +ε]} ∩K=∅.

Mutassuk meg, hogy ekkor van olyana∈X vektor, hogy sup

ψ∈K

ψ(a) +ε≤ϕ(a).

(Ötlet : Alkalmas eltolással elérhető, hogy 0X^∗ ∈ K. A vektorok alkalmas átelőjelezésével és ε csökkentésével az is elérhető, hogy mindegyik ϕ(xj)−

−ε pozitív legyen. A feltétel, K konvex volta és 0X^∗ ∈ K alapján ekkor mindenψ∈K-ra van olyanj,hogyψ(xj)≤ϕ(xj)−ε. Alkalmazzuk az előző feladatot aψ7→ϕ(xj)−ε−ψ(xj)konvex függvényekre aK halmazon.)

Véges dimenziós terekben a normák ekvivalenciája miatt már az eddigiek alapján is triviális, hogy a fenti típusú szeparációk tetszőleges norma mellett is igazak.

4.1.19. Tétel (Goldstine). Legyen X valós Banach-tér,Φ∈X^∗∗, kΦk ≤1 és H ⊆X^∗ véges halmaz. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén van olyan x∈X, kxk ≤1 vektor, hogy mindenϕ∈H mellett|Φϕ−ϕx| ≤ε.

Bizonyítás. Jelöljex∈X vektorraxb∈X^∗∗, bxϕ:=ϕx. Indirekt tegyük föl, hogy aΦ_|H ∈R^H vektor nincs benne a véges dimenziós R^H,k·k_∞

normált térben vett

K:=

xb_|H :x∈ BX

konvex kompakt halmazban. Ekkor a szigorú szeparációs tétel miatt van olyan α∈R^H vektor, amelyre

X

ϕ∈H

α(ϕ)·Φϕ >max

a∈K

X

ϕ∈H

α(ϕ)·a(ϕ) = sup

x∈BX

X

ϕ∈H

α(ϕ)·ϕx, innenϕ_∗:= P

ϕ∈H

α(ϕ)·ϕválasztással persze Φϕ_∗> sup

x∈B_X

ϕ_∗x=kϕ_∗k, amikΦk ≤1 miatt ellentmondás.

TehátΦ_|H ∈K,ígyεsugarú környezete tartalmaz egyxb_|H, x∈ BX alakú vektort. Ez azxéppen megfelel a tétel kívánalmainak.

In document Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban (Pldal 147-154)