Hilbert-terekről
4.4. Gyenge konvergencia Hilbert-terekben
Az alábbiakban legyenH Hilbert-térKfölött.
4.4.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy egy (xn) ⊆H sorozatgyengén kon-vergál az x ∈ H vektorhoz (jelben : xn
→w x), ha minden y ∈ H esetén hxn|yi → hx|yi (n→+∞). Az(xn) sorozatgyengén konvergens, ha van ahova gyengén konvergáljon.
4.4.2. Megjegyzés. A „gyenge limesz” egyértelmű, azaz haxn
→w xésxn
→w
z, akkor a K-beli limesz egyértelműsége miatt minden y ∈ H-ra hx|yi =
=hz|yi, ahonnan triviálisanx=z.
4.4.3. Megjegyzés. Nyilván xn →w x eseténkxnk · kxk ≥ hxn |xi → kxk2 miatt triviálisan
lim infkxnk ≥ kxk.
4.4.4. Állítás. Legyen(xn)⊆H ésx∈H. Ekkor az alábbiak ekvivalensek : 1. xn→w xéslim supkxnk ≤ kxk;
2. xn→w xéslimkxnk=kxk; 3. xn
k·k→x.
Bizonyítás. 1⇒2 : A fenti megjegyzésből nyilvánvaló.
2⇒3 : A feltétel alapján
kxn−xk2=kxnk2−2Rehxn |xi+kxk2→ kxk2−2Rehx|xi+kxk2= 0.
3⇒1 : Tegyük föl, hogyxnk·k→x. Innen xn →w xa Cauchy–Schwarz-egyen-lőtlenség alapján következik. Az állítás másik fele az|kxnk − kxk| ≤ kxn−xk egyenlőtlenségből következik triviálisan.
4.4.5. Példa. Tetszőleges (un) ⊆ H ortonormált sorozat az erős Bessel-egyenlőtlenség alapján gyengén tart 0H-hoz, ugyanakkor kunk = 1 9 0 =
=k0Hk.
Ortogonálissorokra viszont már elég „éles” fegyver a gyenge konvergencia : 4.4.6. Tétel. EgyH-beliP
xk ortogonális sorra az alábbiak ekvivalensek : 1. Pkxkk2<+∞;
2. Pxk normában konvergens ; 3. Pxk gyengén konvergens.
Bizonyítás. 1. és 2. ekvivalenciája az előző szakaszban szerepelt. A fenti ál-lítás értelmében így elegendő megmutatnunk, hogy ha
n
Tetszőlegesn≥mtermészetes számokra az ortogonalitás miatt azonnal n
így a gyenge határátmenet miatt
. Innen a Cauchy–
Schwarz-egyenlőtlenség és egy triviális egyszerűsítés után valóban kxk ≥ Hilbert-térben egy konvex zárt halmaz ún.gyengén is zárt.)
Bizonyítás. Indirekt tegyük föl, hogy x /∈ M. Ekkor a szigorú szeparációs tétel miatt van olyany∈H vektor, melyre
α:= sup
u∈M
hu|yi<hx|yi.
Ekkor perszeα≥ hxn|yi → hx|yi> α,ami ellentmondás.
Szakaszunk fő állítása előtt néhány további konzekvenciára lesz szüksé-günk.
4.4.8. Tétel (Riesz). Minden ϕ∈H∗ funkcionálhoz létezik egy és csak egy olyany∈H vektor, amelyre
ϕ=h· |yi. Sőt ekkorkyk=kϕk.
Bizonyítás. Először igazoljuk az egyértelműséget. Hay1, y2∈H olyan vekto-rok, hogy mindϕ=h· |y1i, mindϕ=h· |y2ifennáll, akkor perszeh· |y1−y2i azonosan nulla, így speciálisanhy1−y2|y1−y2i= 0,ahonnany1=y2.
Most lássuk az egzisztenciát. Hakerϕ=H,az állításy=0H-val triviális.
Tegyük föl, hogy létezikz∈H\kerϕ. Mivelkerϕzárt altér, ezért a korábbi
Riesz-tétel miatt létezikPkerϕz,és perszeu:=z−Pkerϕz∈(kerϕ)⊥nemnulla vektor, amiért isu /∈kerϕ. Másrészt mindenx∈H-ra természetszerűleg
(ϕx)·u−(ϕu)·x∈kerϕ, innenu⊥kerϕmiatt
0 =h(ϕx)·u−(ϕu)·x|ui=hu|ui ·ϕx−(ϕu)· hx|ui, innen pedig
ϕx= ϕu
hu|ui· hx|ui=
* x| ϕu
kuk2 ·u +
, teháty:= ϕu
kuk2·uválasztássalh· |yi=ϕ. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség alapján ugyanakkor triviálisankh· |yik=kyk,tehátkϕk=kyk.
TetszőlegesA∈ P(N)végtelen halmazon értelmezett függvényt kvázisoro-zatnak nevezünk. Ha például(xn)tetszőleges sorozat ésA∈ P(N)végtelen halmaz, akkor(xn)|A kvázisorozat. A kvázisorozatok konvergenciáját termé-szetes módon értelmezzük.
4.4.9. Megjegyzés. A valós, illetve síkbeli Bolzano–Weierstraß-tételnek nyil-ván ekvivalens alakja a következő : Haf :A→Kkorlátos kvázisorozat (ahol A∈ P(N)végtelen halmaz), akkor van olyanB ⊆A végtelen halmaz, hogy f|B konvergens kvázisorozat.
4.4.10. Lemma(Cantor-féle átlós elv). Legyen minden n∈Nmellett adott egyfn:N→Kkorlátos sorozat. Ekkor van olyanA∈ P(N)végtelen halmaz, hogy mindenn∈Nmellett az (fn)|A kvázisorozat konvergens.
Bizonyítás. Rekurzióval definiáljunk egy végtelen halmazokból álló monoton szűkülő(An)⊆ P(N) sorozatot, a rekurzió minden lépésében a fenti meg-jegyzést használjuk. AzA1 halmazt válasszuk úgy, hogy(f1)|A
1 konvergens legyen. Ha márAn definiált, akkor a fenti megjegyzést alkalmazzuk a korlá-tos(fn+1)|A
nkvázisorozatra : eszerint van olyanAn+1⊆Anvégtelen halmaz, hogy(fn+1)|A
n+1 konvergens kvázisorozat.
Ezzel definiáltuk az (An)⊆ P(N)sorozatot ; egyidejűleg minden n∈N -re az (fn)|A
n kvázisorozat konvergens. Most az αn := min (An\ {1, . . . , n}) monoton növő sorozat triviálisan+∞-be tart, ígyA:={αn :n∈N} ∈ P(N) olyan végtelen halmaz, amelyiknek tetszőlegesAn-ből csupán véges sok eleme lóg ki. Eszerint tetszőlegesn∈Nmellett igaz, hogy az(fn)|Akvázisorozat az (fn)|A∩A
nkvázisorozattól csak véges sok pontban különbözik, tehát ugyanoda konvergál, mint(fn)|A∩A
n, ami persze viszont ugyanoda tart, mint(fn)|A
n. Azaz mindenn∈Nmellett az(fn)|A kvázisorozat konvergens.
4.4.11. Következmény (Átfogalmazás). Legyen minden n ∈ N mellett adott egy
α(n)k
korlátosK-beli sorozat. Ekkor van olyan (végtelen)(k`)⊆N szigorúan növő indexsorozat, hogy az
α(n)k
`
sorozatok mindegyike konver-gens.
4.4.12. Tétel. Minden (xk)⊆H korlátos sorozatnak van gyengén konver-gens részsorozata.
Bizonyítás. Legyen(xk)⊆H korlátos sorozat. Legyen e sorozat egy korlátja L >0. Jelölje mindenn, k∈Neseténα(n)k :=hxk|xni. Ezzel mindenn∈N -re definiáltunk egy
α(n)k
korlátosK-beli sorozatot. A fenti következmény miatt van olyan (végtelen) (k`) ⊆ N szigorúan növő indexsorozat, hogy az
α(n)k
`
sorozatok mindegyike konvergens, azaz mindenn-re(`7→ hxk` |xni) konvergens. Rögzítsük e(k`)indexsorozatot. Meg fogjuk mutatni, hogy min-deny∈H mellett(`7→ hxk` |yi)konvergensK-beli sorozat. Jelölje
M :={y∈H: (`7→ hxk` |yi) konvergensK-beli sorozat}.
Persze(xn)⊆M. A konvergens sorozatok összegére és számszorosára vonat-kozó tétel alapján M triviálisan altere H-nak. Megmutatjuk, hogy M zárt is. Legyenu∈H és(un)⊆M, un →u. Legyenε >0. Ekkor létezik olyan amivel igazoltuk, hogy(`7→ hxk` |yi)K-beli Cauchy-sorozat. Ez persze kon-vergens is. Ezzel u ∈ M, amivel megmutattuk, hogy M zárt altér. Emiatt lin({xn:n∈N})⊆M. Most legyeny ∈H tetszőleges. Az egyik Riesz-tétel miatt léteziky1∈lin({xn:n∈N}), hogyy−y1⊥lin({xn:n∈N}). Persze y1∈M. Ugyanakkory−y1⊥lin({xn:n∈N})miatt az(`7→ hxk` |y−y1i) sorozat azonosan nulla, amiért is természetszerűlegy−y1∈M. Mivel pedig M altér, ezért y ∈M. Ezzel igazoltuk, hogy M =H, tehát minden y ∈ H
A konvergens sorozatok összegére és számszorosára vonatkozó tétel alapján Φtriviálisan lineáris funkcionál. Ugyanakkor mindeny∈H-ra
|Φ (y)|= lim
`→+∞|hy|xk`i| ≤lim sup
`→+∞
kyk · kxk`k ≤L· kyk,
tehátΦfolytonos is. Ezért a legutóbbi Riesz-tétel alapján létezik egy és csak egy olyanx∈H vektor, amelyreΦ =h· |xi. Ezzel mindeny∈H-ra
hxk` |yi →Φ (y) =hy|xi=hx|yi (`→+∞). Azazxk`
→w x.
4.4.13. Állítás. LegyenM ⊆H nemüres korlátos zárt konvex halmaz ésf : :M →Rfolytonos (elég : alulról félig folytonos) és konvex (elég : kvázikonvex) függvény. Ekkorf azM halmazon fölveszi a minimumát.
Bizonyítás. Legyen α := inf
M f. Legyen (βn) ⊆ R olyan sorozat, amely szi-gorúan fogyólag tartα-hoz.f (kvázi)konvexitása és (alulról félig) folytonos volta miatt mindenn-reβn> αalapján
Mn :={x∈M :f(x)≤βn}
nemüres korlátos zárt konvex halmaz. Vegyünk egy olyan (xn) sorozatot, amelyre mindenn∈Neseténxn∈Mn. MivelM korlátos, ezért e sorozatból kiválaszthatunk egy valamelyxvektorhoz gyengén konvergáló(xnk) részso-rozatot. Az (Mn) sorozat monoton szűkülő ; ezért tetszőleges j-re az (xnk) sorozat egy indextől kezdveMj-be esik. Mivel pedigMjkonvex és zárt, ezért x∈Mj,azazf(x)≤βj. Mivel ez tetszőlegesj-re igaz, ezértf(x)≤α,tehát x-benf fölveszi a minimumát.
4.4.14. Következmény. Tetszőleges M ⊆H nemüres korlátos zárt konvex halmaz és y ∈ H esetén h· |yi fölveszi M-en mind a minimumát, mind a maximumát.
Bizonyítás. Mindh· |yi,mind− h· |yikonvex és folytonos függvény.
4.4.15. Megjegyzés. A fenti következmény az egyik Riesz-tétel alapján azt jelenti, hogy egy Hilbert-téren értelmezett folytonos lineáris funkcionál tetszőleges nemüres korlátos zárt konvex halmazon fölveszi a maximumát és a minimumát.
4.4.16. Feladat. Adjunk példát arra, hogy egy Hilbert-téren értelmezett folytonos lineáris A transzformációra k·k ◦A az egységgömbön nem fel-tétlenül veszi föl a maximumát. (Ez egyúttal példa folytonos konvex függ-vényre, amely egy nemüres korlátos zárt konvex halmazon nem veszi föl a
maximumát.) Jelesül mutassuk meg, hogy az A : L2[0,1] → L2[0,1], f 7→
id[0,1]·f folytonos lineáris transzformációraA BL2[0,1]
-nek nincs az origótól legtávolabbi eleme ! (kAk= 1)
4.4.17. Feladat. Mutassuk meg, hogy általában egyBanach-tér esetén már az is előfordulhat, hogy egy a téren értelmezett folytonos lineárisfunkcionál nem veszi föl a tér egységgömbjén a maximumát ! Nevezetesen gondoljuk meg, hogy a(CR[0,1],k·kC)Banach-téren aϕf :=
1
R
0
f−f(0)egyenlőséggel definiált folytonos lineáris funkcionálrakϕk= 2,de mindenf ∈ BC[0,1]esetén
|ϕf|<2!(Ötlet : a−1≤f ≤1, ϕf ≥2feltételegyüttes triviális kalkulációval vezet ellentmondásra. Ugyanakkorϕ 2√n
· −1
→2.)
4.4.18. Feladat. Mutassuk meg, hogy végtelen dimenziósH esetén tetsző-legesx∈ BH vektorhoz van olyan csupa egységvektorból állóH-beli sorozat, amely gyengén konvergálx-hez ! (Ötlet : legyen(un)⊆x⊥ ortonormált soro-zat ésxn:=x+
q
1− kxk2·un.)
4.4.19. Feladat (Banach–Saks-tétel). Mutassuk meg, hogy egy xn
→w x tulajdonságú (xn)⊆H (korlátos) sorozatnak van olyan(xnk) részsorozata, amelyre
yk:= xn1+xn2+· · ·+xnk
k
k·k→x.
(Ötlet : Feltehető, hogy x = 0H. A gyenge konvergencia miatt választható olyan(xnk)részsorozat, hogy mindenk és1≤j ≤nk esetén
xj |xnk+1
<
<k+11 . Ennek átlagsorozata közvetlenül becsülhető.)
4.4.20. Feladat. Legyen (un) ⊆ H ortonormált sorozat. Mutassuk meg, hogy xn := n1
xk normában nem konvergens ! (Ötlet :Azuk vektorok véges lineáris kombinációival való skalár-szorzás az(xn)sorozat mentén triviálisan0-hoz tart. Innenkxnk= 1alapján egyszerű becsléssel azuk vektorok zárt lineáris burkának elemeivel való ska-lárszorzás is0-hoz tart az(xn)sorozat mentén. Ezen altér ortokomplemen-tumán a tartás triviális, ezzel xn
→w 0H. Most a Parseval-formula alapján kynk2= n12
,ahonnan például triviális becslésselky3nk2 ≥
≥9n12
4.4.21. Feladat. Mutassuk meg, hogy Hilbert-térben egy konvex zárt és egy konvex zárt korlátos halmaz összege is zárt ! (Ötlet : használjuk a zárt
halmazok sorozatokkali jellemzését, a gyengén konvergens részsorozat kivá-lasztására konatkozó tételt, valamint a konvex zárt halmazok gyenge limeszre való zártságát.)
4.4.22. Következmény(szigorú szeparáció II.). LegyenH valós Hilbert-tér és K, M ⊆ H diszjunkt nemüres konvex zárt halmazok, továbbá K korlátos is. Ekkor van olyany∈H vektor, melyre
sup
u∈M
hu|yi<min
v∈Khv|yi.
Bizonyítás. Alkalmazzuk a szigorú szeparációs tételt0H-ra és a konvex zárt K−M halmazra.
4.4.23. Megjegyzés. A fenti következmény mintha elsőre azt sugallná, hogy nem is a kompaktság, hanem közvetlenül a korlátos zártság az oka a szigorú szeparációnak. Ám ne feledjük, hogy a Hilbert-terek nagyon is speciális hely-zetet foglalnak el a Banach-terek között, s általánosabb keretek között bizony már a korlátos zártsággal nem sokra megyünk. Egyébként nagyon is kompakt-sági gondolaton keresztül sikerült e szeparációig jutnunk. Banach-terekben ez az állítás ebben a megfogalmazásban már nem igaz, lásd az alábbi példát.
4.4.24. Példa. Tekintsük a 4.4.17. és 4.1.2. Feladatokban szereplő ϕ ∈
∈(CR[0,1])∗funkcionált. A 4.1.2. Feladatból azonnal következik, hogyCR [0,1]-ben aK := id[0,1]+14BCR[0,1] ésM := 2BCR[0,1]∩kerϕkorlátos zárt konvex halmazoknak bármilyen pozitívε-nál vannak egymáshoz közelebbi elemeik.
Ez triviálisan kizárja a szigorú szeparációt aK ésM halmazok között. (Erős szeparáció ugyanakkor van, mégpedig éppen aϕfunkcionállal.)