A funkcionálanalízis elemei
3.1. Normált terek, Banach-terek
3.1.1. Definíció. HaX egyKfölötti vektortér (Kmindig vagyRvagyC), akkor egy k·k : X → R+ függvényt (K fölötti) normának mondunk, ha mindenx, y∈X ésα∈Kesetén
99
1. kxk= 0 =⇒x=0X; 2. kα·xk=|α| · kxk;
3. kx+yk ≤ kxk+kyk.
Ekkor azt is mondjuk, hogy(X,k·k)normált tér Kfölött.
3.1.2. Megjegyzés. A fenti definíció 1. pontjában azkxk = 0⇔ x=0X ekvivalenciát is írhattuk volna, hiszen a másik irány a 2. pontból következik.
3.1.3. Megjegyzés. Ha (X,k·k) normált tér C fölött, akkor természetes módon valós normált tér is (tehát minden komplex norma egyúttal valós norma is), hiszenR⊆C.
Ha(X,k·k) normált tér K fölött, akkor a d(x, y) := kx−yk egyenlőség triviálisan metrikát definiál azX halmazon. Tehát minden normált tér egyút-tal metrikus tér is, így normált térben is természetesnek veendők a metrikus térbeli alapfogalmak (gömb, nyílt, zárt, kompakt halmazok, interior, lezárás, halmaztól vett távolság stb.). Persze a „d-nyílt”, „d-kompakt” stb. terminusok helyett nyugodtan haszálhatjuk – ha egyáltalán akarjuk – a nyílt”, „k·k-kompakt” stb. kifejezéseket. A továbbiakban tetszőleges K fölötti (X,k·k) normált térben jelölje
BX :={x∈X :kxk ≤1}=B(0X,1).
ABXhalmazt az(X,k·k)normált tér zártegységgömbjének mondjuk. Azon-nal látható, hogy bármelyx∈X ésr >0esetén az x-től legfeljebb r távol-ságra levő vektorok halmaza
B(x, r) =x+r· BX,
amelyet azxközepűrsugarúk·k-gömbnek is nevezünk. EgyM ⊆X halmaz belsejét intM,lezárását pedigM jelöli.
A továbbiakban legyenek(X,k·k)és(Y,k·k∗)normált terekKfölött.
3.1.4. Definíció. Egy f : X →Y függvény folytonos egy x∈X pontban, ha∀ε > 0 számhoz ∃δ >0 szám, hogy bármelyy ∈ X,ky−xk ≤ δ esetén kf(y)−f(x)k∗ ≤ε. Másképpen fogalmazva :f folytonosx-ben, ha ∀ε > 0 számhoz∃δ >0szám, hogy bármelyy∈x+δ·BXeseténf(y)∈f(x)+ε·BY. Haf mindenx∈X pontban folytonos, akkorfolytonos függvény.
Hasonlóan : egyX-beli (xk) sorozatkonvergál egy x ∈ X vektorhoz, ha
k→+∞lim kxk−xk = 0. (Jelölésben : xk
−→k·k x vagy egyszerűen csak xk → x, illetve lim
k→+∞xk = x.) Egy (xk) ⊆ X sorozat korlátos, ha a (kxkk) valós
sorozat korlátos. Egy (xk) ⊆ X sorozat pedig Cauchy-sorozat, ha ∀ε > 0 számhoz∃N ∈Nküszöbindex, hogy bármelyk, `≥N indexekrekxk−x`k ≤
≤ε.
3.1.5. Állítás. LegyenekK, M ⊆X. HaKkompakt ésM zárt, akkorK+M is zárt.
Bizonyítás. Legyenx∈K+M. Ekkor létezik(xn)⊆K+M, hogyxn→x.
Persze mindenn-rexn=un+vn, aholun∈K ésvn∈M.K kompaktsága miatt létezik(unk)részsorozat és u∈K,hogy unk →u. Ezértvnk =xnk−
−unk →x−u. Innen M zártsága miatt x−u∈ M. Innen pedigx=u+ + (x−u)∈K+M. TehátK+M ⊆K+M.
Egy normált térben általában nem esnek egybe a Cauchy-sorozatok és a konvergens sorozatok.(R,|·|)-ben például tudjuk, hogy igen. Amely normált térben ez az egybeesés fennáll, azt Banach-térnek szokás nevezni. Viszont bármely normált térben minden Cauchy-sorozat korlátos.
3.1.6. Példa. Nem minden normált tér lesz Banach-tér. A CR[0,1] valós vektortéren (lásd később) azkfk:=
1
R
0
|f|egyenlőség triviálisan normát defi-niál, ezzel a normával viszontCR[0,1]nem teljes. Először ellenőrizzük le, hogy f, g∈CR[0,1]eseténkg·fk ≤max
[0,1] g·kfk. Mostfn:=n· id−12
·χ[12,12+n1) + +χ[12+n1,1]triviálisank·k-Cauchy-sorozatot definiál (azfn−fmfüggvény2-vel korlátozott, ugyanakkor egy
1n−m1
hosszú szakaszon kívül azonosan nulla, ígykfn−fmk ≤ 2
1n−m1
). Indirekt tegyük föl, hogy az (fn)sorozat k·k-ban tart egyf ∈CR[0,1]függvényhez. Ekkor az előbbi egyenlőtlenség alapján mindeng ∈ CR[0,1]mellett g·fn
−→k·k g·f. Válasszuk meg tetszőleges 0 <
< ε < 12 esetén a gε∈CR[0,1]függvényt úgy, hogy 12−ε-tól balra azonosan 1 legyen, 12-től jobbra viszont azonosan 0. Ezzel gε·fn azonosan0 sorozat, ezértgε·f is az azonosan0függvény. Ezértf értékei 12−ε-tól balra azonosan nullák. Mivel ez minden pozitív εmellett áll, ezért
0,12
-en f azonosan 0.
Hasonlóan adódik, hogy 12,1
-enf azonosan1. Ez viszont ellentmondásban állf folytonosságával.
3.1.7. Megjegyzés. A definícióból és a háromszög-egyenlőtlenségből azon-nal adódik, hogy az X normált térben x = lim
k→+∞xk ésy = lim
k→+∞yk ese-tén lim
k→+∞(xk+yk) = lim
k→+∞xk+ lim
k→+∞yk, továbbá mindenα∈Kszámra
k→+∞lim (α·xk) =α· lim
k→+∞xk. Sőtkxk= lim
k→+∞kxkk.
3.1.8. Következmény. Legyen M ⊆X. Ha M konvex, akkorM is konvex.
HaM altér, akkorM is altér.
Bizonyítás. xpontosan akkor elemeM-nak, ha közelíthetőM-beli sorozattal.
3.1.9. Állítás. HaM ≤X zárt altér, akkor minden v∈X eseténK·v+M is zárt altér.
Bizonyítás. Hav ∈M,akkor készen vagyunk. Ellenkező esetbend(v, M)>
>0. Legyen(xk)⊆K·v+M ésx∈X, amelyekrexk
−→k·k x. Persze ekkor (xk)korlátos is. Megmutatjuk, hogyx∈K·v+M. Nyilván minden k-raxk előállxk =uk+tk·valakban, aholuk ∈M éstk ∈K; ezzel mindentk 6= 0-ra
kxkk=ktk·v+ukk=|tk| ·
v+ 1 tk
uk
≥ |tk| ·d(v, M),
ahonnan az (xk) sorozat korlátosságából a (tk) ⊆ K sorozat korlátossága azonnal adódik. A Bolzano–Weierstraß-tétel miatt ekkor van olyan(tk`) rész-sorozat, amely konvergál egyt∈Kszámhoz. Ezzel azonnal
uk` =xk` −tk` ·v−→x−t·v,
így M zárt volta miatt x−t·v ∈ M. Ezért persze x ∈ K·v+M. Ezzel megmutattuk, hogyK·v+M zárt.
3.1.10. Következmény. Ha M ≤X zárt altér és N ≤X véges dimenziós altér, akkorM+N is zárt altér.
3.1.11. Következmény. HaM ≤X véges dimenziós altér, akkor zárt is.
3.1.12. Megjegyzés. Általában egy normált térben két zárt altér összege már nem feltétlenül zárt, mint az alábbi példa is mutatja.
3.1.13. Példa. Tetszőlegesa: Z→R, a= (αk)+∞k=−∞ „Z-sorozatra” jelölje kak:=
s +∞
P
k=−∞
|αk|2. Legyen
`2(Z) :=
a∈RZ:kak<+∞ .
Persze – a szokásos sorozatműveletekkel –`2(Z)valós vektortér és aza7→ kak függvény norma ezen a vektortéren. Jelölje
M :=n
(αk)+∞k=−∞∈`2(Z) :∀k≥0-raα−k = 0o és
N :=n
(αk)+∞k=−∞∈`2(Z) :∀k >0-raαk=k·α−ko .
Gondoljuk meg, hogyM és N zárt alterei az `2(Z),k·k
normált térnek.
Másrészt tetszőlegesc= (γk)+∞k=−∞∈M+N vektorM-beli(αk)+∞k=−∞ kom-ponensére és N-beli (βk)+∞k=−∞ komponensére szükségszerűen fennáll, hogy a k ≤ 0 indexekre βk = γk és αk = 0, míg k > 0 esetén βk = k·γ−k és αk =γk−k·γ−k. Ezért nyilván az
1
|k|+1
+∞
k=−∞ ∈`2(Z)sorozat nem eleme M+N-nek, tehátM+N 6=`2(Z).
Ugyanakkor tetszőleges olyan(γk)+∞k=−∞ valós sorozat,amelynek elemei véges sok indextől eltekintve nullák, a fenti módon triviálisan előáll egy M-beli és egyN-beli vektor összegeként. Mivel`2(Z)tetszőleges eleme nor-mában közelíthető ilyen tulajdonságú (γk)+∞k=−∞ vektorokkal, ezért M +N az egész `2(Z)tér. Így M +N 6=M+N , tehát M +N nem zárt, jóllehet mindM,mindN zárt altér.
3.1.14. Feladat. Adjunk példát normált térben zárt kúpra és egydimenziós altérre, amelyek összege nem zárt ! (Ötlet : Vegyünk a háromdimenziós térben egy origó csúcsú hegyesszögű forgástölcsért, illetve ennek egyik alkotójára illeszkedő egyenest.)