Hilbert-terekről
4.8. Kompakt normális operátorok spektrálfel- spektrálfel-bontásaspektrálfel-bontása
A továbbiakban legyen(H,h· | ·i)Hilbert-térKfölött.
4.8.1. Állítás. HaA∈L(H)normális,v∈H és α∈K, akkor Av=α·v ⇐⇒ A∗v=α·v.
Bizonyítás. Összeszorzással azonnal ellenőrizhető, hogyAnormális volta alap-ján mind az (A−αI)∗·(A−αI) operátor, mind az (A−αI)·(A−αI)∗ operátor megegyezik az
A∗A−αA−αA∗+|α|2I
operátorral. Tehát A−αI normális. Így egy korábbi következmény miatt ker (A−αI) = ker (A∗−αI),tehát
(A−αI)v=0H ⇐⇒ (A∗−αI)v=0H, ami éppen a kívánt ekvivalenciát jelenti.
4.8.2. Következmény. Ha v ∈ H sajátvektora az A ∈ L(H) normális operátornakα∈Ksajátértékkel, akkorv sajátvektora A∗-nak is, mégpedig α sajátértékkel.
4.8.3. Következmény. HaA∈L(H)normális operátor ésα∈K, akkor Sα(A) =Sα(A∗)
(aholSα(A) := ker (A−αI)azA α-sajátaltere).
4.8.4. Következmény. Egy A∈L(H) önadjungált operátor minden saját-értéke valós. Egy U ∈ L(H) unitér operátor minden sajátértéke egységnyi abszolút értékű szám.
Bizonyítás. Haα∈KsajátértékeA-nak egyv6=0H sajátvektorral, akkor a fenti állítás miatt
α·v=Av=A∗v=α·v, ahonnanα=α,tehátα∈R.
Ha most β ∈ K sajátértéke U-nak egy w 6= 0H sajátvektorral, akkor U unitér volta alapján
|β| · kwk=kβ·wk=kU wk=kwk, ahonnan|β|= 1.
4.8.5. Állítás. Legyen A ∈ L(H) normális operátor és α, β ∈ K, α 6=β. Ekkor
Sα(A)⊥Sβ(A).
Bizonyítás. Legyenx∈Sα(A)ésy∈Sβ(A). EkkorAx=α·xésAy=β·y, ígyA∗y=β·y. Innen
α· hx|yi=hα·x|yi=hAx|yi=hx|A∗yi=
x|β·y
=β· hx|yi, amiα6=β miatt csak úgy lehet, hahx|yi= 0,azazx⊥y. Tehát
Sα(A)⊥Sβ(A).
4.8.6. Következmény. Ha λ1, λ2, . . . ∈ K az A ∈ L(H) normális operá-tor csupa különböző sajátértékei és u1, u2, . . . ∈ H rendre hozzájuk tartozó sajátvektorok, akkoru1, u2, . . .páronként ortogonális vektorok (tehát pl. meg-számlálható sajátérték esetén ortogonális sorozat).
EgyA∈L(H)önadjungált operátort pozitív szemidefinitnek hívunk, ha mindenx∈H-ra
hAx|xi ≥0.
4.8.7. Lemma. Legyen A∈L(H)pozitív szemidefinit önadjungált operátor ésx∈H olyan vektor, amelyrehAx|xi= 0. EkkorAx=0H.
Bizonyítás. Tetszőlegesu∈H ést >0esetén 0≤ hA(x+t·u)|x+t·ui=
=hAx|xi+t·(hAx|ui+hAu|xi) +t2· hAu|ui=
=t·(hAx|ui+hAu|xi) +t2· hAu|ui, ahonnant-vel való osztással
0≤ hAx|ui+hAu|xi+t· hAu|ui, innen pedigt→0+határátmenettel
0≤ hAx|ui+hAu|xi=hAx|ui+hu|Axi.
Ebbőlu:=−Axválasztással azonnal adódik, hogy2kAxk2= 0, azazAx=
=0H.
Mostantól tegyük föl, hogyH6={0H}.
4.8.8. Lemma. LegyenA∈L(H)nemnulla kompakt operátor.
Ekkorker
A∗A− kAk2·I
véges, de nem nulladimenziós altér.
Bizonyítás. Az előző szakasz utolsó tétele miattk·k ◦A azSH egységszférán fölveszi a maximumát, mondjuk egyvhelyen. Így tetszőlegesx∈H vektorra triviálisan
hA∗Ax|xi ≤ kA∗Ak · kxk2=kAk2· kxk2=D
kAk2·x|xE , ahonnan
DkAk2·I−A∗A x|xE
≥0.
MivelkAk2·I−A∗Atriviálisan önadjungált , ezért a legutóbbi egyenlőtlenség azt jelenti, hogykAk2·I−A∗A pozitív szemidefinit. Másrésztv választása miatt
DkAk2·I−A∗A v|vE
=kAk2· kvk2− hA∗Av|vi=kAk2− kAvk2= 0, így az előző lemma alapján
kAk2·I−A∗A
v =0H. Mivelkvk 6= 0, ezért v ∈ ker
A∗A− kAk2·I
nemnulla altér, másrészt A∗A kompaktsága és kAk26= 0miatt véges dimenziós.
4.8.9. Állítás. Legyen H véges dimenziós és A∈L(H)önadjungált operá-tor. EkkorA-nak létezikλ∈Rsajátértéke.
Bizonyítás. Az SH kompakt egységszférán a QA : H → R, x 7→ hAx|xi folytonos kvadratikus alak fölveszi a maximumát. Ennek értéke legyenλ,és w∈ SH olyan vektor, ahol ezt az értéket QAfölveszi, azaz amelyre
hAw|wi=λ.
Ugyanakkor tetszőlegesx∈H vektorra triviálisan hAx|xi ≤λ· kxk2=hλ·x|xi, ahonnan
h(λ·I−A)x|xi ≥0.
Mivel pedigλ·I−Ais triviálisan önadjungált , ezért a legutóbbi egyenlőt-lenség azt jelenti, hogyλ·I−Apozitív szemidefinit. Másrészt wválasztása miatt
h(λ·I−A)w|wi=λ· kwk2− hAw|wi=λ− hAw|wi= 0, így az eggyel korábbi lemma alapján (λ·I−A)w = 0H. Mivel kwk 6= 0, ezértwsajátvektoraA-nak aλsajátértékkel.
4.8.10. Állítás. LegyenH véges dimenziós és legyenek A, B∈L(H) felcse-rélhető önadjungált operátorok, azaz amelyekre AB =BA. Ekkor A-nak és B-nek van közös v sajátvektora.
Bizonyítás. Az előző tétel szerintA-nak létezikα∈Rsajátértéke. Ekkor a Sα(A) :={x∈H :Ax=α·x}= ker (A−α·I)
sajátaltér nem nulladimenziós. Továbbá minden x ∈ Sα(A)-ra AB = BA alapján
A(Bx) =B(Ax) =B(α·x) =α·Bx,
azaz Bx∈ Sα(A). Ez éppen azt jelenti, hogySα(A) egyB-invariáns altér, tehát B-nek az Sα(A)-ra való megszorítása éppen a véges (de nem nulla-) dimenziós Sα(A) skalárszorzatos tér egy önadjungált transzformációja. Így ismét az előző tétel miatt B-nek vanSα(A)-ban egy v sajátvektora. Mivel v∈Sα(A)ésv6=0H,ezértv A-nak is sajátvektora.
4.8.11. Következmény. Legyen K=C, H véges dimenziós és A ∈L(H) normális operátor. EkkorA-nak létezikλ∈C sajátértéke.
Bizonyítás. A korábbiak szerint vannak olyan B, C ∈ L(H) felcserélhető önadjungált operátorok, hogyA =B+i·C. Hav ∈ H közös sajátvektora B-nek ésC-nek, akkor persze sajátvektoraA-nak is.
4.8.12. Tétel. Legyen A∈L(H)kompakt normális operátor, továbbá vagy A önadjungált, vagy K =C. Ekkor A-nak létezik olyan λ ∈ K sajátértéke, amelyre|λ|=kAk.
Bizonyítás. Feltehető, hogy A nemnulla. Az egyik fenti lemma szerint ek-korker
A∗A− kAk2·I
véges, de nem nulldimenziós altér. Ez az altér per-szeA normális volta miattA-invariáns is, sőt a normálisságot karakterizáló kA∗xk =kAxk egyenlőség alapjánA|ker(A∗A−kAk2·I) normális transzformá-ció. Ha netánK=R,akkor önadjungált is. A legutóbbi két állítás és követ-kezmény alapján ekkor létezikw∈ker
A∗A− kAk2·I
sajátvektoraA-nak egyλ∈Ksajátértékkel. A normalitás miatt persze ekkorA∗w=λ·w.
Innen pedigw∈ker
A∗A− kAk2·I
alapján
kAk2·w=A∗Aw=A∗(λw) =λ·A∗w=|λ|2w, ahonnan|λ|=kAk.
4.8.13. Következmény. Legyen A∈L(H) kompakt normális operátor, to-vábbá vagy Aönadjungált, vagy K=C. Ekkor az A operátor K-beli sajátér-tékei abszolútértékének van maximuma, továbbá
kAk= max{|λ|:λ∈KsajátértékeA-nak}= max
kxk≤1|hAx|xi|, sőt|hAx|xi| ezen maximumát fölveszi a maximális abszolút értékű sajátér-tékekhez tartokó egységnyi sajátvektorokon.
Bizonyítás. Az első egyenlőség a fenti tételből triviális. Ha mostλ∈KazA transzformáció maximális abszolút értékű sajátértéke (tehát|λ|=kAk) egy hozzátartozó egységnyiusajátvektorral, akkor
kAk=|λ|=|λ· hu|ui|=|hλ·u|ui|=|hAu|ui| ≤
≤ sup
kxk≤1
|hAx|xi| ≤ sup
kxk≤1
kAxk · kxk ≤ sup
kxk≤1
kAxk=kAk, következésképp a fentiekben mindenütt egyenlőségnek kell állnia (s emiatt a szuprémumok is valójában maximumok, s legalábbis mindazokon a helyeken föl is vétetnek, ahol|λ| fölveszi azkAk értéket). Így persze
kAk= max
kxk≤1|hAx|xi|.
4.8.14. Következmény. Legyen A ∈ L(H) tetszőleges kompakt operátor.
Ekkor
kAk=p
max{λ∈R:λsajátértékeA∗A-nak}.
Bizonyítás. A∗Aönadjungált (sőt pozitív szemidefinit, tehát az összes saját-értéke nemnegatív), így a fenti követkemény és a C∗-feltétel miatt
max{λ:λ∈RsajátértékeA∗A-nak}=kA∗Ak=kAk2.
4.8.15. Lemma. Legyen A ∈L(H) kompakt normális operátor, (λk)⊆ K pedig azAsajátértékeiből álló injektív sorozat. Ekkor(λk)tart0-hoz. (Tehát azAsajátértékeinek a nullán kívül nincs torlódási pontja.)
Bizonyítás. Legyen minden k ∈ N-re uk ∈ H a λk-hoz tartozó egységnyi hosszú sajátvektor.Anormalitása és aλkszámok páronkénti különböző volta miatt(uk)ortonormált sorozat. Indirekt tegyük föl, hogyλk nem tart0-hoz.
Ekkor a (λk) sorozat korlátossága és A kompakt volta miatt van olyanλk`
és(Auk`) részsorozat, hogy λk` tart egy nemnulla λ∈ K számhoz, (Auk`) pedig normában egyy ∈H vektorhoz. Ekkor perszeAuk` =λk`·uk` miatt λk`·uk` →y. Továbbá
y λ−uk`
= 1
|λ|· ky−λuk`k ≤ 1
|λ|·(ky−λk`uk`k+|λk`−λ|)
alapjánuk` k·k→ yλ,persze ekkoruk` →w yλ és1 =kuk`k → yλ
. Ezért egyrészt
yλ
= 1. No de az ortonormáltság miatt uk` →w 0H, innen pedig a gyenge limesz egyértelműsége miatt yλ = 0H, ami ellentmondás. Tehát (λk) tart 0-hoz.
4.8.16. Definíció. Tetszőlegesx, y∈H esetén legyenx⊗y:H→H, (x⊗y) (z) :=hz|yi ·x.
Perszex⊗y∈L(H),sőtx⊗xönadjungált. Ha(u1, u2, . . . , un) ortonor-mált rendszerH-ban, akkor triviálisan
n
P
k=1
uk⊗uk=Plin(u1,u2,...,un). 4.8.17. Lemma (Hilbert–Schmidt). Legyen A ∈ L(H) kompakt normális operátor, továbbá vagy A önadjungált, vagy K=C. Ekkor A-nak van olyan λsajátértéke egy hozzátartozó egységnyiusajátvektorral, hogy
1. A−λ·u⊗ukompakt normális ill.K=Resetén önadjungált ; 2. |λ|=kAk;
3. im(A−λ·u⊗u)⊆imAésim(A−λ·u⊗u)⊥u.
Bizonyítás. Egy korábbi tétel miatt A-nak van olyan λ sajátértéke, hogy
|λ|=kAk. Ezzel 2. teljesül is. Legyenua λsajátértékhez tartozó egységnyi sajátvektor. Ekkor mindenx∈H-ra
(A−λ·u⊗u)x=Ax−λ·(u⊗u)x=
=Ax−λ· hx|ui ·u=Ax−
x|λ·u
·u=
=Ax− hx|A∗ui ·u=Ax− hAx|ui ·u=Pu⊥(Ax), ahonnanA−λ·u⊗u=Pu⊥·A. Ugyanígy
(A−λ·u⊗u)∗x=A∗x−λ·(u⊗u)x=
=A∗x−λ· hx|ui ·u=A∗x− hx|λ·ui ·u=
=A∗x− hx|Aui ·u=A∗x− hA∗x|ui ·u=Pu⊥(A∗x), ahonnan(A−λ·u⊗u)∗=Pu⊥·A∗. Innen adjungálással
A·Pu⊥=A−λ·u⊗u=Pu⊥·A.
Ebből 3. mindkét állítása következik, valamintA−λ·u⊗ukompaktsága is.
Sőt mivelPu⊥·A·Pu⊥ =Pu⊥·Pu⊥·A=Pu⊥·A,azaz A−λ·u⊗u=Pu⊥·A·Pu⊥
is fennáll, ígyAnormális volta miatt
(A−λ·u⊗u)∗(A−λ·u⊗u) =Pu⊥A∗APu⊥ =Pu⊥AA∗Pu⊥ =
= (A−λ·u⊗u) (A−λ·u⊗u)∗, tehátA−λ·u⊗unormális.K=Resetén pedigAésu⊗uönadjungált volta miatt önadjungált is.
4.8.18. Tétel(Hilbert–Schmidt). LegyenA∈L(H)nemnulla kompakt nor-mális operátor, továbbá vagyAönadjungált, vagy K=C. Ekkor
• vagy van azAsajátvektoraiból álló olyan(u1, u2, . . . , un)véges ortonor-mált rendszer a megfelelő nemnullaλ1, λ2, . . . , λn sajátértékekkel, hogy
A=
n
X
k=1
λk·uk⊗uk;
• vagy van azAsajátvektorainak olyan(uk)⊆H ortonormált sorozata a megfelelő nemnulla sajátértékek(λk)⊆Ksorozatával, hogy
n→+∞lim
A−
n
X
k=1
λk·uk⊗uk
= 0.
Bizonyítás. Rekurzióval definiáljuk az(An)⊆L(H)kompakt normális (K=
=Resetén önadjungált) operátorsorozatot az (un) ⊆H és(λn)⊆K soro-zatokkal együtt. A fenti lemma miatt A-nak van olyan λ1 sajátértéke egy hozzátartozó egységnyiu1 sajátvektorral, hogy
1. A1:=A−λ1·u1⊗u1 kompakt normális ill.K=Resetén önadjungált ; 2. |λ1|=kAk;
3. imA1⊆imAés imA1⊥u1.
Most tegyük föl, hogyAn, un ésλn már definiáltak. Ekkor ismét a fenti lemma miattAn-nek van olyanλn+1 sajátértéke egy hozzátartozó egységnyi un+1sajátvektorral, hogy
1. An+1:=An−λn+1·un+1⊗un+1 kompakt normális ill.K=Resetén önadjungált ;
2. |λn+1|=kAnk;
3. imAn+1⊆imAn és imAn+1⊥un+1.
Mindezzel definiáltuk az(An),(un)és(λn)sorozatokat. Teljes indukcióval azonnal adódik, hogy mindenn-re
1. An =A− két eset lehetséges :
I. létezik legkisebb n, hogy λn+1 = 0. Ekkor azonnal A =
II. mindenn-reλn6= 0. Ekkor a fenti megállapítás miatt(un)ortonormált sorozat. Innen persze mindenn-re
n dimenziós és(un)független, ezért a (λn) sorozat minden értékét véges sok-szor veszi csak föl. UgyanakkorkAk-val korlátozott is, de semmilyen injektív részsorozata nem tarthat 0-tól különböző számhoz. Ebből már következik, hogyλn →0. Így aztán a kapottakból
4.8.19. Definíció. A Hilbert–Schmidt-tételben szereplőA=
n
= 0formulát az A operátor spektrálfel-bontásának nevezzük. Az utóbbi formula a sorösszeg definíciója alapján úgy is írható, hogy
A fenti két formulát egyesíthetjük a hanyagabbA= P
k≥1
λk·uk⊗uk for-mulával, ami egyaránt jelölhet véges összeget és sorösszeget.
4.8.20. Megjegyzés. Legyen A ∈ L(H) kompakt normális operátor, to-vábbá vagy A önadjungált, vagyK =C. LegyenA spektrálfelbontása A =
= P
k≥1
λk·uk⊗uk(tehát azuk vektorok azAegymásra páronként ortogonális egységhosszú sajátvektorai, aλk∈Kszámok pedig a rendre hozzájuk tartozó sajátértékek). Ekkor mindenx∈H vektorra
1.
Ax=X
k≥1
λk· hx|uki ·uk; 2.
hAx|xi=X
k≥1
λk· |hx|uki|2; 3.
kAxk2=X
k≥1
|λk|2· |hx|uki|2.
Bizonyítás. A legelső formula csupánxbehelyettesítése a spektrálfelbontás-ba. A következő ebből triviális behelyettesítéssel adódik. A harmadik képlet is az elsőből következik az ortogonális sorok összegének (illetve a véges orto-gonális összegek) normanégyzetére vonatkozó képlet alapján.
4.8.21. Megjegyzés. A Hilbert–Schmidt-tételben szereplő, nemnulla saját-értékekhez tartozóu1, u2, . . .sajátvektorok teljes ortonormált sorozatot (ill.
rendszert) alkotnak imA-ban.
Bizonyítás. A megfelelő sajátértékek nemnulla volta miatt e vektorok im A-beliek. Az
M :={u1, u2, . . .}⊥∩imA
altér minden elemét A a fenti megjegyzés miatt nullába viszi, tehát M ⊆
⊆kerA⊥imA,ahonnan M ={0H}. Ez éppen az (u1, u2, . . .)ortonormált sorozat (ill. rendszer) imA-beli teljességét jelenti.
4.8.22. Megjegyzés. HaAkompakt önadjungált operátor, akkor az egyik fenti megjegyzésben szereplő hAx|xi = P
k≥1
λk · |hx|uki|2 egyenlőség és a Parseval-formula alapján triviálisan
m· kxk2≤ hAx|xi ≤M· kxk2,
ahol m az A sajátértékeinek alsó, M pedig a felső határa (amelyikük 0-tól különbözik, az maga is biztosan sajátérték).
4.8.23. Megjegyzés. Tekintsük a Hilbert–Schmidt-tételben szereplőA ope-rátor nemnulla sajátértékeihez tartozó u1, u2, . . . ortonormált sajátvektoro-kat. Legyenf ∈H. Vizsgáljuk meg az
Au=f
egyenletet. A megoldhatóság szükséges és elegendő felétételef ∈imA,s ezt a továbbiakban tegyük is föl. Keressük meg az egyenlet egy (partikuláris) megoldását.(kerA)⊥=imAalapján az egyenletnek nyilván egy és csak egy u∈imA megoldása létezik. Ezt a megoldást fogjuk az alábbiakban előállí-tani (s ez lényegében egy numerikus eljárást biztosít számunkra a megoldás meghatározására).
Induljunk ki abból, hogy tudjuk : ez az u ∈ imA vektor létezik. Ekkor minden azAspektrálfelbontásában szereplőkindexre
hf |uki=hAu|uki=hu|A∗uki=
u|λkuk
=λk· hu|uki ésλk 6= 0alapjánhu|uki= hf|uλki
k , így P
k≥1 hf|uki
λk ·uk normában konvergens H-beli sor (ha ugyan eleve nem véges összeg), továbbáu∈imAmiatt
u=X
k≥1
hu|uki ·uk =X
k≥1
hf |uki λk
·uk.
Tehát a keresett megoldást azAnemnulla sajátértékeinek és sajátvektorainak ismeretében az
u=X
k≥1
hf |uki λk
·uk
összeg adja meg.
4.9. Egy alkalmazás : Hilbert–Schmidt-operátorok
4.9.1. Megjegyzés. Közismert, hogy haf : [a, b]→R+ Borel-mérhető és
b
Z
a
f(t)dt <+∞, akkorf λ-m.m. véges.
4.9.2. Megjegyzés. A fenti megjegyzés és a Fubini-tétel alapján triviálisan tetszőleges f ∈ L2
K [a, b]×[c, d],B([a, b]×[c, d]), λ(2)
függvényre λ-m.m.
s∈[c, d]eseténf(·, s)∈L2
K[a, b].
4.9.3. Megjegyzés. A legutóbbi megjegyzés alapján tetszőleges
4.9.4. Megjegyzés. A Fubini-tétel alapján triviálisan tetszőleges f ∈L2K
[a, b]×[c, d],B([a, b]×[c, d]), λ(2) függvényre azs7→
b ésu∈L2K[a, b]függvényekre a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség és a legutóbbi megjegyzés alapjánλ-m.m.s∈[c, d]mellett
továbbá az(t, s)7→f(t, s)·u(t)függvény Borel-mérhető, tehát a Fubini-tétel miatt azs7→
b
R
a
f(t, s)·u(t)dtfüggvény is mérhető, így a fenti egyenlőtlenség miatt elemeL2K[c, d]-nek.
Ezt aKf leképezést az f magfüggvényű Hilbert–Schmidt-féle integráloperá-tornak nevezzük.
A továbbiakban legyenf ∈L2K [a, b]×[a, b],B([a, b]×[a, b]), λ(2) rögzí-tett.
A Kf operátor nyilván lineáris. A legutóbbi megjegyzés alapján minden u∈L2K[a, b]függvényre emiattKf folytonos is, sőt
kKfk ≤ kfkL2.
4.9.8. Megjegyzés. A Fubini-tételből triviálisan adódik, hogy Kf∗ =Kg, aholλ-m.m.t, s∈[a, b]eseténg(t, s) =f(s, t).
4.9.9. Megjegyzés. Haλ-m.m. t, s ∈[a, b] esetén f(s, t) = f(t, s), akkor az előző megjegyzés értelmébenKf önadjungált.
4.9.10. Feladat(*). Legyenekf, g∈L2
Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy tetszőlegesL2K[a, b]-beli korlátos sorozatKf -képének van konvergens részsorozata. Legyen(un)⊆L2K[a, b]korlátos soro-zat. A korábban már látottak miatt (un)-nek létezik olyan (unk) részsoro-zata, amely gyengén konvergál egyu∈L2K[a, b]függvényhez. Mivel λ-m.m.
s∈[a, b]-re f(·, s)∈L2K[a, b],ezért a gyenge tartás miatt u-hoz. Ugyanakkor az egyik fenti megjegyzés alapjánλ-m.m.s-re
|[Kf(unk)] (s)| ≤
ahol α az (un) sorozat egy korlátja. Eszerint a (Kf(unk)) sorozatnak van L2-beli majoránsa, így a Lebesgue-tétel miatt Kf(unk) L2-normában tart Kf(u)-hoz.
4.9.12. Következmény. Ha Haλ-m.m.t, s∈[a, b]eseténf(s, t) =f(t, s), akkorKf kompakt önadjungált transzformációja azL2
K[a, b]Hilbert-térnek.
4.9.13. Feladat. Írjuk föl aK:L2
R[0,1]→L2
R[0,1], (Ku) (t) :=
1
Z
0
(t∧s)·u(s)ds
kompakt önadjungált operátor spektrálfelbontását (itt t∧s := min{t, s}).
Állítsuk elő az ebben szereplő sajátfüggvények L2
R[0,1]-beli sorösszegeként, majd polinomiális kifejezésként is a
Ku= 1
6id3[0,1]−1 2id[0,1]
egyenlet megoldását ! Igazoljuk, hogyL2R[0,1]-ben(uk)teljes ortonormált so-rozatot alkot, ahol mindenk∈N-re
uk(t) =√ 2 sin
k·π−π 2
t.
Mennyi aKoperátor normája ? (Ötlet : (Ku) (t) =
t
R
0
s·u(s)ds+t·
1
R
t
u(s)ds alapján mutassuk meg, hogy (Ku) (t) =
t
R
0 1
R
s
u(r)dr ds, innen minden foly-tonosu-ra aKu=f feltétel ekvivalens azzal, hogyf kétszer folytonosan de-riválható, továbbáf00=−uésf(0) = 0 =f0(1). Mutassuk meg ebből, hogy csak pozitív sajátérték létezik ; továbbá λ pontosan akkor sajátérték egy u sajátfüggvénnyel, ha azunemnulla függvény kétszer deriválható,λu00+u= 0 ésu(0) = 0 =u0(1). Innen a sajátértékek és az ortonormált sajátvektorok : mindenk∈Nesetén
λk= 1
k·π−π22 és uk(t) =√ 2 sin
k·π−π 2
t.
Azuk függvények teljes ortonormált sorozatot alkotnak imK=L2
R[0,1]-ben, és perszekKk= π42.)
4.9.14. Feladat. Tetszőleges f ∈ L2K [a, b]×[a, b],B([a, b]×[a, b]), λ(2) függvényre jelölje
Vf :L2K[a, b]→L2K[a, b],
[Vf(u)] (s) : =
s
Z
a
f(t, s)·u(t)dt.
(AVf operátort Volterra-féle integráloperátornak mondjuk.) Igazoljuk, hogy Vf kompakt ! (Ötlet : Gondoljuk meg, hogy Vf igazából Hilbert–Schmidt-típusú.)