AG= (V, E)irányítatlan gráfban a következő jelöléseket használjuk.
χ(G)kromatikus szám : a legkisebb szám, ahány stabil részhalmazra a csú-csokat fel lehet bontani,
ω(G): a maximális klikk elemszáma,
χ(G)klikkfedési szám : a komplementer gráf kromatikus száma, α(G): a maximális stabil halmaz elemszáma (=ω(G)).
Nyilván χ ≥ ω ésχ ≥ α. Egy G = (V, E) gráfot akkor nevezünk per-fektnek, ha minden feszítettG0 részgráfjában χ(G0) =ω(G0), vagyis a kro-matikus szám egyenlő a maximális klikk méretével. Egy páros gráf nyilván perfekt, és a komplementere is az (a Kőnig-tétel fedési alakja miatt).H pá-ros gráf élgráfja is perfekt hiszen az élgráf kromatikus száma éppen aH gráf χ0(H)élszínezési száma, míg a klikkszáma a H maximális ∆(H)fokszáma, márpedig Kőnig élszínezési tétele szerintχ0(H) = ∆(H). A H páros gráf él-gráfjának komplementere is perfekt, mert egyrészt ennek egy stabil halmaza a H egy csúcsában végződő élei halmazának felel meg, vagyis a kromati-kus száma éppH lefogó pontjainak minimális τ(H)száma, másrészt pedig egy klikkje a H egy párosításának felel meg, márpedig Kőnig tétele szerint τ(H) = ν(H). Részbenrendezett halmaz gráfja (comparability gráf) is per-fekt a Mirsky-tétel miatt, és a komplementer gráfja is perper-fekt a Dilworth-tétel miatt.
1.11.1. Tétel(Lovász 1. perfekt gráf tétele). Egy perfekt gráf komplementere perfekt.
1.11. Perfekt gráfok 61 A tétel rögvest adódik az alábbi erősebb változatból.
1.11.2. Tétel(Lovász 2. perfekt gráf tétele). Egy G= (V, E)gráf akkor és csak akkor perfekt, ha mindenG0 = (V0, E0)feszített részgráfjára
|V0| ≤α(G0)ω(G0) (1.38) Bizonyítás. (Gasparian) HaGperfekt, akkorV felbonthatóω(G)darab sta-bil halmazra. Ezek mindegyike legfeljebbα(G)elemű, ezért|V| ≤α(G)ω(G), és ugyanez érvényes a G minden G0 feszített részgráfjára is. Tehát (1.38) szükséges.
A fordított irányhoz azt kell igazolnunk, hogy haGimperfekt (azaz nem perfekt), akkor létezik (1.38)-at sértőG0feszített részgráfja. Ez avval ekviva-lens, hogy ha G(tartalmazásra nézve) minimális imperfekt, akkor n > αω, ahol n = |V|, α = α(G), ω = ω(G). Ezért a tétel következik az alábbi lemmából.
1.11.3. Lemma. HaG= (V, E)minimális imperfekt gráf, akkorn=αω+1.
Bizonyítás. Jelöljük azαω+1értéketn∗-gal. Mivel egyspontra aG0 =G−s gráf perfekt, így n−1 ≤α(G0)ω(G0) ≤αω, vagyisn ≤n∗. Célunk tehát a fordítottn∗≤nirány igazolása.
1. Állítás MindenS 6=∅ stabil halmazraχ(G−S) =ω(G−S) =ω(G).
Bizonyítás. χ(G−S) =ω(G−S) következik abból, hogyG−S perfekt. A G−Segy színezéséhez azShalmazt hozzávéve aGszínezését kapjuk, amiből χ(G)≤χ(G−S) + 1 adódik. Ha most indirektω(G−S) + 1≤ω(G)volna, akkor χ(G) ≤ χ(G−S) + 1 = ω(G−S) + 1 ≤ω(G), ellentmondásbanG minimális imperfektségével.
2. Állítás Tetszőleges s csúcsraG−s felbontható S1, . . . , Sω stabil halma-zokra. G-nek bármely K ω elemű klikkje vagy (2A) nem tartalmazzas-et, és mindegyikSi-t pontosan egy elemben metszi vagypedig (2B) tartalmazza s-et, és ekkor egyetlen Si-től diszjunkt, a többit pedig pontosan egy elemben metszi.
Legyen S0 egy α elemszámú stabil halmaz. A 2. állítás folytán minden s∈S0elemreG−sfelbonthatóωdarab stabil halmazra. Így azS0-lal együtt nyerjük azS={S0, S1, . . . , Sαω}összesenn∗=αω+ 1stabil halmazból álló rendszert.
3. Állítás BármelyK ω elemű klikk pontosan egySi-től diszjunkt.
Bizonyítás. HaK azS0-tól diszjunkt, akkor azS0 bármelys elemére alkal-mazhatjuk a (2A) tulajdonságot. Ha viszontKmetsziS0-t, akkor egyetlens elemben metszi, és ezens-re alkalmazhatjuk a (2B) tulajdonságot.
Az 1. állítás folytán mindegyikSi-hez van egy tőle diszjunkt Ki ω elemű klikk. A 3. állítás miatt Ki metszi az összesSi-től különböző tagjátS-nek, éspedig mindegyiket egy pontban. JelöljeKaz így nyertn∗darabω-klikkből álló halmazrendszert.
JelöljeAazt azn∗×n-es(0,1)-es mátrixot, amelyneki-edik sora azSi ka-rakterisztikus vektora. JelöljeB azt azn×n∗-os(0,1)-es mátrixot, amelynek i-dik oszlopa aKi karakterisztikus vektora.
Ekkor a C =AB mátrix n∗×n∗ méretű, melynekcij eleme az Si∩Kj
elemszáma, vagyisCegy olyan mátrix, amelynek főátlójában minden elem 0, a többi elem pedig mind 1. ACmátrix nemszinguláris, ugyanis hazegy olyan vektor, amelyreCz= 0, akkoricz= 0alapján1z=icz+z(i) =z(i)minden i-re, vagyisz(i)konstans és így 0. (ItticaCmátrixi-edik sorát jelöli.) Ezek szerintAB rangjan∗, de ekkor az A rangja is legalább n∗, vagyis azA n∗ darab sora lineárisan független, és emiattn∗≤n, amire szükségünk volt.
Mivel α(G0) = ω(G0) és ω(G0) = α(G0), (1.38) pontosan akkor áll fenn G0-re, amikor aG0 komplementerre, így a 2. perfekt gráf tétel implikálja az elsőt. További előnyként megmutatjuk, hogy a perfektség co-NP-ben van, ami azt jelenti, hogy létezik egy polinom időben ellenőrizhető bizonyíték egy gráf imperfektségére. Nevezzünk egyGgráfotszépen partícionálhatónak, ha léteznek α≥ 2 és ω ≥2 egészek úgy, hogy G minden s csúcsára G−s felbonthatóαdarabωelemű klikkre és felbonthatóωdarabαelemű stabilra.
1.11.4. Lemma. Szépen partícionálható gráf imperfekt.
Bizonyítás. A feltevés szerint G-nek n = αω+ 1 csúcsa van. G-ben nem létezhetα+ 1eleműS stabil, mert akkor egys /∈V −S elemre G−s nem volna α darab klikkre partícionálható. Emiatt α(G) = α, és hasonlóképp adódik, hogyω(G) =ω. Ekkor viszontGmegsérti az (1.38) egyenlőtlenséget, és ígyGnem perfekt.
1.11.5. Tétel. Egy G gráf akkor és csak akkor imperfekt, ha van szépen partícionálható feszített részgráfja.
Bizonyítás. Az 1.11.4 lemma szerint, ha G-nek van szépen partícionálható feszített részgráfja, akkor Gnem perfekt. Megfordítva, legyen Gimperfekt.
Feltehetjük, hogyGminimális imperfekt. Ekkor (1.38) teljesül minden valódi
1.11. Perfekt gráfok 63 feszített részgráfra, deG-re magára nem. Következik, hogy|V|=α(G)ω(G)+
+ 1, továbbá mindens ∈ V csúcsra a G0 =G−s gráfraα(G0) = α(G) és ω(G0) = ω(G). Mivel G0 perfekt, felbontható ω := ω(G0) darab stabilra és ezen stabil halmazok szükségképpen mind α eleműek. Hasonlóképp, G0 felbonthatóα:=α(G0)darab klikkre, és ezen klikkek mindωeleműek. Vagyis Gvalóban szépen partícionálható.
Bizonyítás nélkül említjük a következő nagyon nehéz eredményt.
1.11.6. Tétel(Erős perfekt gráf tétel). Egy gráf akkor és csak akkor perfekt, ha sem ő, sem a komplementere nem tartalmaz feszített, átlómentes páratlan kört.
Lovász tétele alapján ez azzal ekvivalens, hogy minden szépen partícionál-ható gráf tartalmaz feszített, átlómentes páratlan kört vagy ennek komple-menterét.
Seymour és társai azt is bebizonyították, hogy a perfektség NP-ben van azáltal, hogy leírtak egy konstrukciót perfekt gráfok készítésére, és megmu-tatták, hogy minden perfekt gráf előáll a megadott konstrukció segítségével.
2. fejezet
Optimalizálás matroidokon
2.1. Bevezetés
A matroid egy (S,F) párral megadható absztrakt struktúra, ahol S véges halmaz, F pedig az S részhalmazainak bizonyos axiómákat kielégítő rend-szere. A fogalmat Hassler Whitney vezette be 1933-ban azzal a céllal, hogy a „függetlenséget”, különösképpen pedig a lineáris függetlenséget általános absztrakt keretbe helyezze.
Egy másik lehetséges megközelítés a matroidokat olyan rendszerekként ve-zeti be, melyekre a mohó algoritmus minden költségfüggvény esetén helyes eredményt ad. Ismert, hogy egy élsúlyozott, összefüggő, irányítatlan gráf ma-ximális súlyú feszítő fájának meghatározása a mohó algoritmussal történ-het : egymás után választunk éleket, mindig a legnagyobb súlyút, csak arra ügyelve, hogy a kiválasztott élek erdőt alkossanak. Bebizonyítható, hogy így maximális súlyú feszítő fát kapunk. Ugyanakkor, ha például élsúlyozott pá-ros gráfban akarnánk maximális súlyú pápá-rosítást keresni, akkor nem okoz nehézséget olyan példát találni, ahol a mohó algoritmus nem ad optimális párosítást. Ennek kapcsán felvetődik a kérdés, hogy melyek azok a lénye-gi vonások, amelyek a mohó algoritmus helyes működését lehetővé teszik. A válaszhoz mindenekelőtt definiálni kell, hogy pontosan mit is értünk mohó al-goritmuson. Egy lehetséges definíció a következő : azSalaphalmaz egy leszálló F részhalmazrendszerére és egy S-en értelmezett tetszőleges súlyfüggvényre egymás után válasszunk kiS-ből elemeket, mindig a lehetséges legnagyobb súlyút, csak arra ügyelve, hogy a kiválasztott elemek egyF-beli részhalmazt alkossanak. Mármost a matroidok éppen az olyan leszálló halmazrendsze-rek, melyekre ez a mohó algoritmus tetszőleges súlyfüggvényre megadja az optimumot. (Leszálló azt jelenti, hogyY ⊂X ∈ F eseténY ∈ F.)
65
Jelen felépítésünkben azonban a matroidok bevezetésére nem ezt az utat követjük, hanem a Whitney által eredetileg javasoltat, amely a lineáris lenséget absztrahálja. A módszer a szokásos : kiválasztjuk a lineáris függet-lenség néhány alapvető tulajdonságát (amelyek tehát a lináris algebrában bizonyított állítások) és ezeket tesszük meg axiómáknak. A matroidok fogal-mának bevezetése több, egymással ekvivalens axiómarendszerrel is történhet.
Ezeket azért érdemes tárgyalni, mert különféle alkalmazásokban más-más axi-ómarendszerrel könnyebb dolgozni.
A matroidok hasznossága két tényből fakad (mint ahogy bármely egyéb jól sikerült struktúráé is). Egyrészt kellően általánosak ahhoz, hogy számos helyen alkalmazhatóak legyenek, ugyanakkor elég speciálisak is, hogy mélyen-fekvő, értékes eredményeket nyerjünk róluk.
Néhány probléma
Kedvcsinálónak álljon itt néhány érdekes kombinatorikus optimalizálási fel-adat, melyek megoldása matroidok nélkül nem lehetséges, de legalábbis igen kényelmetlen.
1. Gráfban keressünkkélidegen feszítő fát. Élsúlyozott gráfban keressünk olyan minimális súlyú részgráfot, amely tartalmazkélidegen feszítő fát. Ál-talánosabban : a gráf élhalmazán adottk súlyfüggvény, keressünkk élidegen feszítő fát úgy, hogy a fák súlyösszege minimális legyen, ahol az i-edik fa súlyát azi-edik súlyfüggvény definiálja.
2. Irányított gráfban keressünk olyan minimális súlyú részgráfot, amelyben egy gyökérpontból a digráf minden más pontjába vezet (a) k élidegen út, (b) kpontidegen út.
3. Gráfban keressünk olyan minimális költségű feszítő fát, melynek egy adott pontban a fokszáma előírt korlátok közé esik. Általánosabban : egy sta-bil halmaz minden pontjában a fa fokszáma megadott korlátok közé essék.
(Ha minden pontra előírhatnánk korlátot, akkor a feladat speciális esetként már magában foglalná a Hamilton-út keresésének NP-teljes feladatát.)
4. Pontsúlyozott digráfban keressünk csúcsoknak egy olyan minimális sú-lyú részhalmazát, amelyből minden csúcsba vezetkdiszjunkt út.
5. A síkban véges sok pont közül válasszunk ki maximálisan sok diszjunkt ponthármast, melyek mindegyike valódi háromszöget feszít.
6. Egy irányítatlan gráfon Kötő és Vágó felváltva választanak még nem tekintett éleket. Kötő megerősítheti az élt, Vágó eltörölheti. Kötő célja, hogy megerősített élekből utat hozzon létre két előre adott pont között. Vágó célja egy olyan vágást eltörölni, amely elválasztja a két megadott pontot. Kinek, mikor van nyerő stratégiája ?