3. Poliéderes kombinatorika 117
3.10. Gyökeresen k-élösszefüggő digráfok
bizonyításá-ban használt megfontolást aw≡1helyett aw:=χ
U függvényre alkalmazva rögtön kapjuk az alábbi kiterjesztést.
3.9.7. Tétel. Legyen U a D = (V, A) erősen összefüggő digráf csúcsainak egy részhalmaza. EkkorU lefedhetőα(D|U)dikörrel, aholα(D|U)jelöli azU által feszített digráf stabilitás számát.
101. Feladat. Adjunk direkt bizonyítást a 3.9.7 tétel azon speciális esetére, amikorU klikket feszít.
Megjegyzés Felvetődik a kérdés, hogy ha a bizonyítás két fő összetevője már legkésőbb 1974-ben ismert volt, akkor miért csak 2007-ben jelent meg az első bizonyítás. Egyrészt Bessy és Thomassé nem ismerte ezen korábbi ered-ményeket, ők egy más megközelítést alkalmaztak. De ha még valaki ismerte volna is (mint ahogy az egyik segédtétel magától Gallaitól való, és biztos-ra vehető, hogy Gallai ismerte Knuth lemmáját), a bizonyítást Bessynek és Thomassénak az az alapvető észrevétele tette lehetővé, hogy valójában nem közvetlenül a Gallai-sejtést kell igazolni, hanem a fentebb már megfogalma-zott, sokkal élesebb minimax tételt :a maximális F-független stabil halmaz elemszáma egyenlő a pontokat fedő dikörökF-értékeinek minimális összegé-vel.
3.10. Gyökeresen k-élösszefüggő digráfok
Legyen D = (V, A) gyökeresen k-élösszefüggő digráf. Célunk egy minimax tételt kidolgozni a gyökeresenk-élösszefüggő feszített részgráf minimális költ-ségére. A tétel bizonyításához hasznos lesz az alábbi egyszerű megfigyelés.
3.10.1. Lemma. Legyenr1, . . . , rnnemnegatív racionális számoknak egy so-rozata. Ameddig csak lehet, válasszunk ki négy különböző tagot úgy, hogy a két középső pozitív. Csökkentsük a két középsőt a kisebbikük α értékével és növeljük a két kiválasztott szélsőtα-val. Ekkor az eljárás véges sok lépés után véget ér.
Bizonyítás. Feltehető, hogy a sorozat egész számokból áll. Mivel az első tag sosem csökken, és a teljes összeg konstans, véges sok lépés után az első tag rögzül. Töröljük el az első tagot, és indukcióval a lemma következik.
LegyenD= (V, A)digráf, amelybenskijelölt gyökérpont.
3.10.2. Tétel. HaD gyökeresenk-élösszefüggő, úgyDgyökeresen k-élössze-függő feszített részgráfjainak poliédere{x:%x(Z)≥kminden∅ ⊂Z⊆V −s halmazra és0≤x(e)≤1 mindeneélre}. A leírásban szereplő rendszer TDI.
Bizonyítás. Legyen c : A → Z egészértékű. Jelölje Q azt a(0,1)-mátrixot, amelyben a sorokV−snemüres részhalmazainak felelnek meg, míg az oszlo-pok aDéleinek. AzX⊆V−shalmaznak és azeélnek megfelelő mátrixelem pontosan akkor 1, haebelép X-be. Az alábbiakban jelöljek azt a vektort, amelynek minden komponensek, és a komponensek aV−srészhalmazainak felelnek meg.
Ekkor a primál problémamin{cx: 0≤x≤1, Qx≥k}, míg a duális : max{ X
X⊆V−s
y(X)k−z1 :yQ−z≤c, y≥0, z≥0}, (3.36) ahol azx(e)≤1 egyenlőtlenségnek megfelelő duális változótz(e)jelöli.
Adott y egyértelműen meghatározza a z optimális választását : z(e) =
= (yqe−c(e))+, aholqeaQ e-nek megfelelő oszlopa. Így beszélhetünk arról, hogy egyy a (3.36) optimális megoldása.
Azt kell igazolnunk, hogy (3.36) optimuma egész vektoron is felvétetik. Le-gyeny0egy optimális (racionális) megoldás. Ameddig csak létezik két metsző halmaz,X ésY, melyek y0-értéke pozitív, módosítsuk y0-t a következőkép-pen. Azα:= min{y0(X), y0(Y)}értékkel csökkentsüky0(X)-et ésy0(Y)-t, és egyúttal növeljükα-val mindX∩Y, mindX∪Y y0-értékét. Könnyű ellenőriz-ni, hogy (a%befok függvény szubmodularitása miatt) ismét duális megoldást kapunk, amely optimális. A duális optimum ezen megváltoztatását nevezzük egy kikeresztezési lépésnek.
AV −srészhalmazainak tekintsük egy olyan sorrendjét, amelyet úgy ka-punk, hogy egymás után választunk a még nem választott részhalmazok közül egy minimálisat. Ekkor tetszőlegesX, Y ⊆V −seseténX∩Y megelőziX-t ésY-t, mígX∪Y követi őket. Ebből, és a 3.10.1 lemmából következik, hogy a fenti kikeresztezési lépésből csak véges sok lehet.
Feltehetjük tehát, hogy azonV−s-beli részhalmazokP0 rendszere, melye-ken azy0értéke pozitív, lamináris. EkkorP0az ismert módon egyF fenyővel és egy ϕ : V → V(F) leképezéssel reprezentálható. Könnyen ellenőrizhető, hogy (*)Dmindeneélére a P0 azon tagjainak megfelelő fenyőbeli élek, me-lyekbe azebelép, azF egy irányított részútját alkotják.
Legyen aHhipergráf alaphalmazaP0, élei pedig a következő módon defini-áltak.Dmindeneélére legyenHeazonP0-beli halmazok rendszere, melyekbe ebelép,H élei pedig feleljenek meg a He rendszereknek, az összes D-belie élre. (Tehát|E(H)|=|A|.) Ekkor (*) és a 3.2.2 következmény miattH telje-sen unimoduláris. Másrészt aHincidencia-mátrixa éppen a Q mátrix azon Q0 részmátrixa, melynek sorai aP0 elemeinek felelnek meg. Emiatt Q0 egy TU-mátrix, és így a 3.3.7 lemmából a tétel következik.
A dualitástételből és a 3.10.2 tételből kiolvasható az alábbi minimax té-tel, amely a legolcsóbb fenyőkre vonatkozó Fulkerson-tétel általánosításának tekinthető.
3.10. Gyökeresenk-élösszefüggő digráfok 157 3.10.3. Tétel. LegyenD= (V, A)gyökeresenk-élösszefüggő digráf azs gyö-kérpontra nézve ésc:A→R+ egy nemnegatív költségfüggvény. A legolcsóbb gyökeresen k-élösszefüggő feszített részgráf költsége egyenlő a következő kife-jezéssel :
max{kP
X⊆V−sy(X)−P
e∈A(P
[y(Z) :Z-be belép e]−c(e))+: y≥0}.
(3.37) Azon halmazok rendszere, melyen y pozitív, választható laminárisnak.
Amennyibenc egészértékű, az optimálisy is választható egészértékűnek.
A k= 1 esetben a fenti tétel egyszerűsödik, mert a primál problémában nem kell explicit kikötni azx≤1feltételt, hiszen ilyenkor acnemnegativitása miatt a%x(X)≥1 (X ⊆V −s) feltételt teljesítőxegész vektorok automa-tikusan(0,1)értékűek. De ekkor az ezen feltételeknek megfeleltetettzduális változó sem szerepel, és ezért a minimax tétel a következőképp egyszerűsödik.
3.10.4. Tétel(Fulkerson). Nemnegatív, egészértékű csúlyfüggvény esetén a minimális súlyúsgyökerű feszítő fenyő súlya egyenlő ac-független,s-et nem tartalmazó halmazok maximális számával. Az optimális c-független halmaz-rendszer választható laminárisnak.
4. fejezet
Merev gráfok és szerkezetek
4.1. Merev és infinitezimálisan merev szerkeze-tek
Ebben a fejezetben szerkezetek (avagy geometriai gráfok) merevségével kap-csolatos kérdéseket vizsgálunk, ezek közt is elsősorban olyanokat, amelyek megoldásához az előző fejezetekben megismert gráf- és matroidelméleti mód-szerek vezetnek el.
A diszkrét geometriának ezt a területét Maxwell vizsgálta először az 1860-as években, de Euler és Cauchy néhány korábbi eredménye is ide sorolható.
Merevségi eredmények a kézenfekvő statikai alkalmazásokon kívül számos más területen is felhasználhatók, például geometriai pakolási problémákban, szenzorhálózatok lokalizációs problémáiban, robotok mozgásának koordiná-lásához, CAD feladatoknál, vagy molekulák strukturális vizsgálataiban. A bevezető részben először kétféle merevségi tulajdonságot definiálunk (merev-ség és infinitezimális merev(merev-ség). Látni fogjuk, hogy kellően általános helyzetű szerkezetek esetén ezek a tulajdonságok egybeesnek és csak a szerkezet gráf-jától függnek.
Legyen G = (V, E) egyszerű irányítatlan gráf és legyen p : V → Rd a gráf pontjaihoz addimenziós euklideszi tér pontjait rendelő függvény. Ekkor a (G, p) párt szerkezetnek nevezzük. (A szerkezet (framework) elnevezés a statikai alkalmazásoknak köszönhető : a gráf egy realizációjára olyan rúd-csukló szerkezetként is tekinthetünk, melyben a pontok rúd-csuklóknak felelnek meg, az élek pedig merev, azaz rögzített hosszúságú rudaknak.) A(G, p) szer-kezetet aGgráf egy (ddimenziós)realizációjának is hívjuk, melyben egy v ∈V pont képe a p(v)pont, egy uv ∈E él pedig a p(u)p(v)egyenes sza-kasznak felel meg. Azuvélhosszatehát a ||p(u)−p(v)||távolság, melyet a realizáció egyértelműen meghatároz. A gráf(G, p)és(G, q)realizációi
ekvi-159
valensek, ha minden uv∈E élre ||p(u)−p(v)||=||q(u)−q(v)||. Ha ez az egyenlőség mindenu, v∈V pontpárra fennáll, akkor a két realizácó kongru-ens. A(G, p)merev, ha ez a tulajdonság csak lokálisan teljesül, azaz létezik olyan >0, melyre ha(G, q)ekvivalens(G, p)-vel és||p(v)−q(v)||< minden v∈V-re, akkor(G, q)kongruens(G, p)-vel.
A(G, p)egymozgása(G, q)-ba egy olyanP : [0,1]×V →Rd függvény, amelyre
(M1)P(0, v) =p(v)ésP(1, v) =q(v)mindenv-re,
(M2)||P(t, u)−P(t, v)||=||p(u)−p(v)||mindent∈[0,1]-re és mindenuv élre,
(M3)P(t, v)folytonost-ben mindenv-re.
Megmutatható, hogy ha van mozgás(G, q)-ba, akkor differenciálható mozgás is van, azaz olyan, amelybenP(t, v)differenciálhatót-ben mindenv-re. Az is igazolható, hogy(G, p)pontosan akkor merev, ha minden mozgása egy vele kongruens szerkezethez vezet.
Adott szerkezet merevségének eldöntésed≥2 esetén NP-teljes. A követ-kező – mint látni fogjuk, erősebb – tulajdonság azonban kezelhető.
A(G, p)szerkezetinfinitezimális mozgása egy olyanu:V →Rd hoz-zárendelés, amelyre teljesül, hogy mindenvivj élre
(u(vi)−u(vj))(p(vi)−p(vj)) = 0.
Infinitezimális mozgást ad például minden differenciálható mozgás t = 0 pontban vett deriváltja, azaz a pontok „kezdősebessége”.
Ezeknek az élekre vonatkozó egyenlőségeknek az együtthatóit egy mátrix-ba foglalhatjuk : a ddimenziós (G, p)szerkezet R(G, p)merevségi mátri-xábana gráf mindenvivj éléhez tartozzon egy sor, és minden vi ponthozd oszlop. Ha vivj él, akkor a neki megfelelő sorban a vi oszlopaiban álljanak a p(vi)−p(vj) vektor koordinátái, a vj oszlopaiban pedig a p(vj)−p(vi) koordinátái. A sorban mindenhol máshol legyenek nullák. Így a (G, p) infi-nitezimális mozgásai pontosan azok ad|V| dimenziós u vektorok, melyekre R(G, p)u= 0.
Példa.AK4teljes gráf egyR2-beli realizációja eseténR(K4, p)egy hatszor nyolcas mátrix, melyben av1v2élnek megfelelő sor
(x1−x2, y1−y2, x2−x1, y2−y1, 0, 0, 0, 0),
ahol p(vi) = (xi, yi), és azi-edik oszloppár tartozikvi-hez, minden 1 ≤i ≤
≤4-re.
102. Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi vektorok (melyek az x, illetve az y tengely menti eltolásnak, valamint egy forgatásnak felelnek meg) egy R2 -beli szerkezet R(G, p) merevségi mátrixának minden sorára merőlegesek és
4.1. Merev és infinitezimálisan merev szerkezetek 161 háromdimenziós alteret feszítenek (feltéve, hogy p(vi) nem minden pontra ugyanaz) :
(1,0,1,0, ...,1,0), (0,1,0,1, ...,0,1), (−y1, x1,−y2, x2, ...,−y|V|, x|V|).
Azn≥2 ésd≥1egészekre legyen S(n, d) =
nd− d+12
han≥d+ 2
n 2
han≤d+ 1.
(Figyeljük meg, hogyn=désn=d+ 1esetén a kétféle érték megegyezik.) 4.1.1. Tétel. Legyen (G, p) egy d dimenziós szerkezet. Ekkor az R(G, p) merevségi mátrix rangja legfeljebb S(|V|, d). Ha egyenlőség áll, akkor (G, p) merev.
Ez motiválja a következő definíciót. A G = (V, E) gráfhoz tartozó d-dimenziós(G, p)szerkezetinfinitezimálisan merev, ha
r(R(G, p)) =S(|V|, d).
Egy-, két- és háromdimenziós szerkezetek esetén tehát az infinitezimális me-revséghez szükséges rang|V| −1,2|V| −3, illetve3|V| −6(az utolsó eset alól kivétel, ha |V| = 2, amikor a rang feltétel 1). Egy szerkezet infinitezimális merevsége egy egyszerű rangszámítással – Gauss-eliminációval – tesztelhető.
Az 4.1.1 Tétel alapján minden infinitezimálisan merev szerkezet merev.
Fordítva azonban ez nem mindig érvényes.
Nevezzünk ap:V →Rd leképezést (vagy másképpen Rd|V|egy pontját) generikusnak, ha azR(K|V|, p)merevségi mátrix minden olyan részdeter-minánsa, amely - a benne szereplő koordinátákat változóknak tekintve - nem azonosan nulla polinom, az apkoordinátáit behelyettesítve sem nulla. Majd-nem minden p generikus, hiszen Rd|V| pontjaiból véges sok nem azonosan nulla polinom gyökhelyeit kivéve minden pont generikus. Egy(G, p) szerke-zetre akkor mondjuk, hogy generikus, hapgenerikus. Amennyiben apáltal meghatározott d|V| koordináta algebrailag független számhalmazt alkot a racionális számtest felett, akkor biztosan generikus. (Néha ez utóbbi módon definiálják egy ponthalmaz, illetve egy szerkezet generikusságát.)
4.1.2. Tétel. Legyen(G, p)egyddimenziós generikus szerkezet. Ekkor(G, p) pontosan akkor merev, ha infinitezimálisan merev.
Generikus esetben tehát a merevség ekvivalens az infinitezimális merev-séggel, amelyről világos, hogy generikus esetben csak a G gráftól függ. A G = (V, E) gráfra azt mondjuk, hogy generikusan merev, vagy röviden merev Rd-ben, ha létezik olyan p: V → Rd hozzárendelés, melyre (G, p)
infinitezimálisan merev. Így az is igaz, hogy ha G merev, akkor majdnem minden (avagy minden generikus)(G, p)realizációja merev. AGgráf merev-ségét tehát azR(G, p)változós mátrix ún. generikus rangja határozza meg.
Megjegyezzük, hogy általában nem ismert polinom idejű determinisztikus al-goritmus egy mátrix generikus rangjának kiszámolására.
A gráf élein definiált, a megfelelőR(G, p)-beli sorok lineáris függetlensége által meghatározott matroidok izomorfak minden generikus realizációra. Az így kapott matroid aG d-dimenziósmerevségi matroidja, melyetRd(G) =
= (E, rd) jelöl, ahol rd a rangfüggvény. Rd(G) rangját jelölje rd(G). Igy a G gráf pontosan akkor merev Rd-ben, ha rd(G) = S(|V|, d). Gfüggetlen (illetvemerevségi kör), ha az élhalmaza független (ill. egy kör)Rd(G)-ben.
A merevségi mátrix rangjára a 4.1.1 tételben adott felső korlátot egy X ponthalmaz által feszített részgráfra, illetve a megfelelő részmátrixra alkal-mazva könnyen adódik a függetlenség alábbi szükséges feltétele.
4.1.3. Lemma. Ha G = (V, E) független Rd-ben, akkor i(X)≤ S(|X|, d) mindenX ⊆V,|X| ≥2 ponthalmazra.
Ebből a következő felső korlátot kapjuk a gráf rangjára. Egy, aG = (V, E) gráf ponthalmazának (legalább kétpontú) részhalmazaiból álló X = {X1, X2, ..., Xt} halmazrendszert aGfedéséneknevezzük, haE=∪t1E(G[Xi]).
4.1.4. Lemma. AG= (V, E)rangjára érvényes az rd(G)≤min
X
X
X∈X
S(|X|, d)
egyenlőtlenség, ahol a minimumot aGösszesX fedésére vesszük.
A d= 1,2 esetben a 4.1.3 lemma megfordítása is igaz. A d = 1 esetben ez abból következik, hogy a gráf egydimenziós merevségi matroidja izomorf a körmatroidjával. A d = 2 esetben ez Laman tétele, melyet a következő fejezetben igazolunk. Hasonlóan, a 4.1.4 lemmában egyenlőség érvényes a d= 1,2esetekben. A d= 2esetben erre is látunk majd bizonyítást.
A d ≥ 3 esetekben azonban az előbbi megfordítások egyike sem igaz. A klasszikus háromdimenziós példa erre az a gráf, amelyet kétK5teljes gráfból kapunk úgy, hogy egy-egy kijelölt pontpárjukat azonosítjuk, majd az ezen pontok között menő éleket töröljük (ezt2-összeg műveletnek nevezik). A ka-pott gráf az ún. dupla banán gráf. A terület talán legfontosabb és legnehezebb nyitott kérdése éppen az, hogy van-e a függetlenségre jó karakterizáció, illet-ve általánosabban, kiszámolható-e polinomidőben egy gráf rangja a három-(vagy több-) dimenziós merevségi matroidban.
Megjegyezzük, hogy a függetlenség (és így a merevség) NP-ben van minden d-re. Nem nehéz igazolni (lásd a 106. feladatot), hogy mindig létezik olyan (G, p) realizáció, melyre Rd(G, p) rangja éppenrd(G), és amelynek minden
4.2. Merev gráfok a síkban 163 eleme egy1és|V|közti egész szám. Hasonló megfigyelésen múlik az is, hogy a merevség tesztelésére van hatékony randomizált algoritmus.
4.2. Merev gráfok a síkban
A továbbiakban csak ad= 2esettel foglalkozunk. Jellemezni fogjuk a merev gráfokat és megmutatjuk, hogy a merevség polinom időben eldönthető. Eh-hez az alábbi megfogalmazás lesz hasznos a számunkra : egyG= (V, E)gráf pontosan akkor merev, ha van olyan realizációja, melynek merevségi mátri-xában van2|V|−3lineárisan független sor. Ha a(G, p)merevségi mátrixának sorai lineárisan függetlenek, akkor(G, p)-t függetlennek mondjuk. A gráf egy F ⊆ E élhalmazát akkor nevezzük függetlennek, ha a H = (V, F) részgráfnak valamely (H, p) szerkezete független. A gráf független, ha az élhalmaza független. Így független minden olyan gráf is, melynek élhalmaza üres. A merevség eldöntéséhez tehát azt kell meghatározzuk, tartalmaz-e a gráf2|V| −3 méretű független élhalmazt. A 4.1.3 lemma ad= 2 esetben a következőt adja.
4.2.1. Lemma. Legyen a(G, p)szerkezet (illetve aGgráf ) független. Ekkor i(X)≤2|X| −3 mindenX ⊆V,|X| ≥2ponthalmazra. (4.1) A megfordítás igazolásához először definiáljunk két műveletet, melyek se-gítségével egy adott szerkezetet egy újabb ponttal egészíthetünk ki. A(G, p) másodfokú kiterjesztése(a vi, vj pontokon az újv0 ponttal) az a(G0, p0) szerkezet, melyre aG0 gráf aG-ből egy új v0 pont és a v0vi, v0vj élek hoz-závételével áll elő, ap0 pedig aphozzárendelést terjeszti ki egyp0(v0)∈R2 ponttal (a többi pontrap0(v) =p(v).) A(G, p)harmadfokú kiterjesztése (avivjélen és avkponton az újv0ponttal) az a(G0, p0)szerkezet, melyre aG0 gráf aG-ből avivj él törlésével, valamint egy újv0pont és av0vi, v0vj, v0vk élek hozzávételével áll elő. Mint a másik műveletnél, p0 itt is ap hozzáren-delést terjeszti ki egy p0(v0) ∈ R2 ponttal (a többi pontra p0(v) = p(v).) Ezek a műveletek egy gráfon is hasonlóan értelmezhetők a p-re vonatkozó rész figyelmen kívül hagyásával.
4.2.2. Lemma. Tegyük fel, hogy(G, p)független. Legyen(G0, p0)a(G, p)egy olyan másodfokú kiterjesztése a vi, vj pontokon a v0 ponttal, melyre p0(v0), p0(vi), p0(vj)nem kollineáris. Ekkor (G0, p0)is független.
Bizonyítás. Tekintsük azR(G0, p0)merevségi mátrixot, melyben a sorokat és oszlopokat úgy rendeztük, hogy az utolsó két sor a v0vi ésv0vj élekhez, az első két oszlop a v0 ponthoz tartozzon. Tegyük fel, hogy a sorok valamely lineáris kombinációja a λe1, λe2, ..., λv0vi, λv0vj együtthatókkal az azonosan
nulla vektort adja. Ekkor az első két oszlopot tekintve azt kapjuk, hogy λv0vi(p0(v0)−p0(vi)) +λv0vj(p0(v0)−p0(vj)) = 0.
Mivel p0(v0), p0(vi), p0(vj) nem kollineáris, ez csak λv0vi =λv0vj = 0 esetén lehet. Emiatt a lineáris kombináció a többi sorra megszorítvaR(G, p)sorainak adja egy olyan lineáris kombinációját, amely a nullvektort adja. Mivel(G, p) független, ígyλe= 0kell álljon a többi élre is. Tehát(G0, p0)is független.
4.2.3. Lemma. Tegyük fel, hogy (G, p) független és p(vi), p(vj), p(vk) nem kollineáris. Legyen(G0, p0)a(G, p)egy olyan harmadfokú kiterjesztése avivj
élen és avk ponton a v0 ponttal, melyrep0(v0)ap(vi)ésp(vj)pontokon át-menő egyenesen levő (ap(vi),p(vj)pontoktól különböző) pont. Ekkor(G0, p0) is független.
Bizonyítás. Tekintsük azR(G0, p0)merevségi mátrixot, melyben a sorokat és oszlopokat úgy rendeztük, hogy az utolsó három sor av0vi, v0vj, v0vkélekhez, az első hat oszlop av0, vi, vj pontokhoz tartozzon. Tegyük fel, hogy a sorok valamely lineáris kombinációja aλe1, λe2, ..., λv0vi, λv0vj, λv0vk együtthatók-kal az azonosan nulla vektort adja. Ekkor az első két oszlopot tekintve azt kapjuk, hogy
λv0vi(p0(v0)−p0(vi)) +λv0vj(p0(v0)−p0(vj)) +λv0vk(p0(v0)−p0(vk)) = 0.
Ap0(v0)választása és ap0(vi), p0(vj), p0(vk)pontok általános helyzete miatt így
λv0vk = 0, valamint
λv0vi(p0(v0)−p0(vi)) =−λv0vj(p0(v0)−p0(vj)) =λvivj(p0(vi)−p0(vj)) valamely λvivj számra. Figyeljük meg, hogy a lineáris kombinációt a többi sorra megszorítva, majd a ((G, p) mátrixához tartozó) vivj élnek megfelelő sort aλvivj együttható ellentettjével hozzáadva szintén a nullvektort kapjuk.
Mivel (G, p)független, így itt minden együttható nulla kell legyen. Emiatt a (G0, p0) soraira vonatkozó együtthatók is azonosan nullák, azaz(G0, p0) is független.
103. Feladat. Mutassunk mindenn≥1-renpontú merev gráfokat ! AG= (V, E)gráfot nevezzükritka gráfnak, ha (4.1) teljesül, azaz min-denX⊆V,|X| ≥2ponthalmazrai(X)≤2|X| −3. A fenti lineáris algebrai meggondolások mellett szükségünk van a ritka gráfok kombinatorikus tulaj-donságaira vonatkozó megfigyelésekre. Egy v harmadfokú pont leemelése (azu, w pontokra) az a művelet, mely törli a v pontot és a gráfhoz ad egy
4.2. Merev gráfok a síkban 165 olyan új élt, melyvvalamely két, eddig még nem szomszédosu, wszomszédja között vezet. Egy harmadfokú pontot tehát legfeljebb háromféleképp emelhe-tünk le. Figyeljük meg, hogy a leemelés éppen a (szerkezet gráfján tekintett) harmadfokú kiterjesztés művelet inverze.
4.2.4. Lemma. LegyenG= (V, E)egy ritka gráf, melyre|V| ≥3, valamint legyenv∈V. Ekkor
(i) had(v) = 2, akkor G−v is ritka,
(ii) ha d(v) = 3, akkor van olyan leemelés a v pontnál, melyre a leemeléssel kapott gráf is ritka.
Bizonyítás. Az állítás (i) része a ritka gráfok definíciójából rögtön következik.
A (ii) rész igazolásához a kritikus halmazok tulajdonságait fogjuk használni : az X ⊆V halmaz kritikus, ha i(X) = 2|X| −3. Jelöljük a v szomszédait u, w, z-vel és figyeljük meg, hogy a v leemelése az u, w pontokra pontosan akkor nem ad ritka gráfot, ha van olyan X ⊆V −v kritikus halmaz, amely tartalmazza azu, wpontokat. A következő egyenlőség a halmazok által feszí-tett élek leszámlálásával egyszerűen ellenőrizhető.
4.2.5. Lemma. Legyenek a Ggráfban X, Y ⊆V(G)tetszőleges ponthalma-zok. Ekkor
i(X) +i(Y) +d(X, Y) =i(X∪Y) +i(X∩Y). (4.2) 4.2.6. Lemma. Legyen aH = (V, F)gráf ritka, és legyenekX, Y ⊆V olyan kritikus halmazok H-ban, melyekre |X∩Y| ≥2. Ekkor X ∩Y és X ∪Y is kritikusak, ésd(X, Y) = 0.
Bizonyítás. Mivel H ritka, a (4.2) egyenlőséget felhasználva kapjuk, hogy 2|X| −3 + 2|Y| −3 =i(X) +i(Y) =i(X∩Y) +i(X∪Y)−d(X, Y)≤ 2|X ∩Y| −3 + 2|X ∪Y| −3−d(X, Y) = 2|X| −3 + 2|Y| −3−d(X, Y).
Azazd(X, Y) = 0, és mindenhol egyenlőség áll. Emiatt X∩Y ésX ∪Y is kritikusak.
4.2.7. Lemma. Legyenek X, Y, Z kritikus halmazok a G ritka gráfban. Ha
|X∩Y| = |X ∩Z| = |Y ∩Z| = 1 és X∩Y ∩Z = ∅ akkor X ∪Y ∪Z is kritikus.
Tegyük fel, hogy egyik leemelés sem ad ritka gráfotv-nél. Ekkor léteznek olyan X, Y, Z ⊆V −v kritikus halmazok, melyekre u, w ∈ X, u, z ∈ Y és w, z∈Z. (Egy él végpontjai kritikus halmazt alkotnak, így ezek a halmazok abban az esetben is léteznek, ha néhány leemelés a szomszédok közt vezető él miatt nem lenne elvégezhető.)
Ha két ilyen halmazra pl.|X∩Y| ≥2 teljesül, akkor a 4.2.6 lemma miatt X∪Y is kritikus. Mivelu, w, z∈X∪Y, ezértv-ből három él vezet X∪Y -ba. Így azX∪Y ∪v halmaz megsértené a ritkasági feltételtG-ben. Emiatt
feltehetjük, hogy|X∩Y| = |X ∩Z| = |Y ∩Z| = 1 és X∩Y ∩Z =∅. A 4.2.7 lemma miattX∪Y ∪Z is kritikus. Így azX∪Y ∪Z∪v halmaz lenne túl sűrűG-ben. Ez az ellentmondás mutatja, hogy legalább az egyik leemelés ritka gráfot ad.
4.2.8. Tétel. (Laman) AG= (V, E)gráf pontosan akkor függetlenR2-ben, ha ritka.
Bizonyítás. Az 4.2.1 lemma alapján már tudjuk, hogy minden független gráf ritka. Annak igazolását, hogy mindenGritka gráfhoz van olyan(G, p) szer-kezet, melynek merevségi mátrixában a sorok lineárisan függetlenek, a gráf pontszámára vonatkozó indukcióval igazoljuk. Azt a valamivel erősebb állí-tást fogjuk megmutatni, hogy a(G, p)általános helyzetűnek is választható.
Feltehetjük, hogyG-ben van él. AmennyibenGkétpontú, a ritkasági felté-tel miatt egyetlen éle van. Ekkor minden olyan(G, p)szerkezetre, amelyben a Gpontjaitpa sík különböző pontjaihoz rendeli, a merevségi mátrix sora nem lesz azonosan nulla, így a kapott szerkezet független (és általános helyzetű) lesz. Tekintsük most az általános esetet, amelyben tehát|V| ≥3. Feltehető, hogy minden pont foka legalább kettő, hiszen ellenkező esetben újabb élek hozzávételével – a ritkasági feltétel megsértése nélkül – az ennél kisebb fokú pontok fokszáma megnövelhető.
Ugyanakkor mivel G ritka, |E| ≤ 2|V| −3, ezért van a gráfban olyan v pont, melyred(v)≤3. Had(v) = 2, akkorG−vis ritka a 4.2.4 lemma miatt.
Az indukciós feltevés szerint így van olyan (G−v, p) szerkezet, melyben p általános helyzetű, és amely merevségi mátrixának sorai függetlenek. Ebből alkalmasan választott másodfokú kiterjesztéssel kaphatunk egy független és általános helyzetű(G, p0)szerkezetet a 4.2.2 lemma alapján.
Tekintsük most a fennmaradó d(v) = 3 esetet. Legyenek v szomszédai u, w, z. A 4.2.4 lemma miatt van olyan leemelés v-nél (tegyük fel, hogy pl. az u, w pontokon), melyre a kapott G0 gráf ritka. Indukció miatt léte-zik egy (G0, p) független és általános helyzetű szerkezet a G0 gráfon. Mi-velp(u), p(w), p(z)nem kollineáris, a 4.2.3 lemma alkalmazható : alkalmasan választott harmadfokú kiterjesztéssel kaphatunk egy olyan független(G, p0) szerkezetet, melyben az egyetlen kollineáris ponthármas ap0(u), p0(v), p0(w).
Szimmetria miatt feltehetjük, hogy ezen három pont közös egyenese nem víz-szintes.
Az általános helyzet biztosítására ezután ap0(w)pontot vízszintes irány-ban eltoljuk, megőrizve a függetlenséget. Tekintsük az R(G, p0) egy olyan
|E| × |E|méretűM négyzetes részmátrixát, melynek determinánsa nem nul-la. Ha szerepelM-benp0(w)xkoordinátája, akkorM determinánsában ezt a koordinátát változónak tekintve egy (legfeljebbn−1fokú) olyan polinomot kapunk, mely nem azonosan nulla. Így végtelen sok olyan értékadás létezik,
4.2. Merev gráfok a síkban 167 melyre a determináns nem tűnik el. Ezekből egy alkalmasat választva egy független és általános helyzetű(G, p00)szerkezetet kaphatunk.
Ha nem szerepelM-ben ap0(w)pontxkoordinátája, akkor a helyzet még egyszerűbb :p0(w)xkoordinátájának bármely módosítása eseténM determi-nánsa nem nulla, a szerkezet pedig független marad.
4.2.1. Következmény. A G= (V, E) gráf pontosan akkor merev, ha van 2|V| −3 élű ritka részgráfja.
Egy pontosan 2|V| −3 élű ritka gráfot ezek után jogosan nevezhetünk minimálisan merevgráfnak.
104. Feladat. Mutassuk meg, hogy egy minimálisan merev gráf élhalmaza kifeszíti az összes pontját, sőt, 2-összefüggő, és minden nemtriviális elvágó élhalmaza legalább három elemű.
105. Feladat. Mutassuk meg, hogy ritka gráf másod- vagy harmadfokú ki-terjesztésével ritka gráfot kapunk.
A 105. feladat és a 4.2.4 lemma együtt a minimálisan merev gráfokra ad előállítási tételt.
4.2.9. Tétel. A G gráf pontosan akkor minimálisan merev, ha előáll a K2
egyélű gráfból másod- és harmadfokú kiterjesztésekkel.
A 4.2.9 tétel mutatja, hogy a merevség NP-ben van : egy minimálisan me-rev részgráf és annak előállításaK2-ből igazolja, hogy a gráf merev. A követ-kező feladatban megmutatjuk, hogy a definícióból közvetlenül is kimutathat-juk az NP-beliséget.
106. Feladat. A G merevségére megfelelő bizonyíték egy olyan (G, p)
106. Feladat. A G merevségére megfelelő bizonyíték egy olyan (G, p)