1.2. Algoritmikus bizonyítások I : a mohó megközelítés
1.2.3. Irányítások
A G= (V, E)irányítatlan gráf éleinek (vagy röviden G-nek) egy irányítá-sánegy olyan irányított gráfot értünk, amelyG-ből keletkezik azáltal, hogy Gmindenuvélét helyettesítjük azu-bólv-be és av-bőlu-ba vezető irányított
élek egyikével. Kicsit általánosabban beszélhetünk egy vegyes gráf irányítá-sáról, amikor is a vegyes gráf irányított éleit változatlanul hagyjuk, míg az irányítatlan éleket helyettesítjük egy-egy irányítottal.
2. Gyakorlat. Egy irányítatlan gráfnak akkor és csak akkor van olyan irá-nyítása, amelyben minden pont elérhető egy megadotts gyökérpontból, haG összefüggő.
1.2.9. Tétel (Robbins). Egy G irányítatlan gráfnak akkor és csak akkor létezik erősen összefüggő irányítása, haG2-élösszefüggő.
Bizonyítás. A szükségesség nyilvánvaló. Az elegendőséghez tetszőleges sor-rendben tekintjük a gráf éleit, és egyenként megirányítjuk őket, csak arra ügyelve, hogy ne keletkezzék egyirányú vágás. Azt kell igazolnunk, hogy az eljárás mindig befejezhető. Ennek érdekében tekintsünk egy közbenső állapo-tot, amikor éleknek egyF ⊂E részhalmazát már megirányítottuk, és jelölje F~ a megirányítottF-t. Legyene=uv∈E−F a soron következő irányítatlan él. Amennyiben azu-bólv felé történő irányítás egy egyirányú vágást hozna létre, úgy létezne egy olyanX v¯u-halmaz, amelyre aze-től eltekintve azX és V −X közötti valamennyi él irányított (elemeF~-nek) éspedigV −X-től X felé. Hasonlóképp, amennyibene-nek a v-bőlufelé történő irányítása hozna létre egyirányú vágást, akkor létezne egy olyan Y u¯v-halmaz, amelyre e-től eltekintve azY ésV −Y közötti valamennyi él irányítottV −Y-tól Y felé.
Ekkor viszont azX∩Y halmazból nem lép ki sem irányított, sem irányítat-lan él, és ugyanez áll az X∪Y halmazra is. Mivel a feltevés szerint eddig még nem hoztunk létre egyirányú vágást, így szükségképpenX ∩Y =∅ és X∪Y =V, azazY =V−X. ÍgyX ésV−X között egyedül azeél vezethet, ellentétben a feltevéssel, hogyG2-élösszefüggő.
Figyeljük meg, hogy a bizonyítás az alábbi általánosabb eredményt is ki-adja :
1.2.10. Tétel. Egy vegyes gráf akkor és csak akkor irányítható erősen össze-függővé, ha nincs benne tisztán egyirányú vágás, és irányítatlan értelemben 2-élösszefüggő.
Az 1.2.9 tétel úgy is megfogalmazható, hogy egy irányított gráf bizonyos éleit át lehet fordítani úgy, hogy erősen összefüggő digráfot kapjunk, felté-ve persze, hogy az irányítatlan alapgráf 2-élösszefüggő. Kínálkozik a kérdés, mennyi az átfordítandó élek minimális száma. Meglepő módon a válasz sokkal mélyebb eszközöket igényel, mint a Robbins tétel, de legalább létezik. Lucc-hesi és Younger tétele szerint a keresett minimum éppen a páronként élidegen egyirányú vágások maximális számával egyenlő.
Természetesen vetődik fel a Robbins-tétel egy másik irányú általánosítá-sának kérdése is : mikor lehet egy gráfotk-élösszefüggővé irányítani ? Ehhez
1.2. Algoritmikus bizonyítások I : a mohó megközelítés 9 nyilván szükséges, hogy a gráf2k-élösszefüggő legyen. Nash–Williams bebizo-nyította, hogy ez a feltétel elegendő is. A bizonyítás a fentinél jóval ravaszabb eszközöket igényel. A nehézséget jelzi, hogy márk = 2-re sem igaz az, ami k = 1-re, amint azt fentebb láttuk, még érvényes volt ; nevezetesen, hogy az éleket mohó módon egymás után, tetszőleges sorrendben irányíthattuk, csupán arra ügyelve, hogy ne hozzunk létre hibás (azaz a k = 1 esetben egyirányú) vágást. Tekintsük például azt a G = (V, E) gráfot, ahol V =
={v1, v2, v3, v4}ésG-nek a következő 11 éle van :v1v2, v3v4, 3-3 párhuzamos élv1ésv4között,v1ésv3között, valamintv2ésv3között. Ennek a gráfnak az olvasó könnyen találhat 2-élösszefüggő irányítását. Ugyanakkor ha két párhu-zamosv1v4 éltv4 felé irányítunk, a harmadikatv1 felé ; két párhuzamosv1v3 éltv3felé irányítunk, a harmadikatv1felé ; végül két párhuzamosv2v3éltv3 felé irányítunk, a harmadikatv2 felé, akkor egyrészt, amint azt szimpla eset-szétválasztás mutatja, az irányítatlanul maradtv1v2, v3v4 éleknek már nem tudunk úgy irányítást adni, hogy 2-élösszefüggő digráfot kapjunk, másrészt ennek a ténynek nincs egyszerűen megfogalmazható általános oka.
Az így kapott vegyes gráf tehát azt is mutatja, hogy a Nash–Williams-féle irányítási tétel és az 1.2.10 tétel természetesen kínálkozó közös általánosítása k≥2-re nem érvényes : egyD= (V, A)irányított ésG= (V, E)irányítatlan gráfból álló vegyes gráfban azEelemei akkor sem feltétlenül irányíthatók úgy, hogyk-élösszefüggő digráfot kapjunk, ha mindenX ⊂V halmazradG(X)≥
≥(k−%D(X))++ (k−δD(X))+teljesül. Nyitva marad tehát a kérdés, hogy mikor létezik egy vegyes gráfnakk-élösszefüggő irányítása, és az előbbi négy-pontú példa jelzi, hogy a válasz nem ígérkezik egyszerűnek. A szubmoduláris áramok elmélete segítségével azonban az irányíthatóság feltétele megadható.
8. Feladat. Igazoljuk Robbins tételét egy mélységi fa segítségével.
9. Feladat. LegyenD olyan digráf, amely irányítatlan értelemben 2-élössze-függő. LegyenF egy tartalmazásra nézve minimális részhalmaza az éleknek, amelynek elemeit összehúzva erősen összefüggő digráfot kapunk(azazF mini-mális olyan, hogy minden egyirányú vágást lefog). Igazoljuk, hogy ha össze-húzás helyett F minden elemének megfordítjuk az irányítását, már akkor is erősen összefüggő digráfot kapunk.
10. Feladat. Igazoljuk, hogy egy elvágó élt nem tartalmazó digráf élei két színnel színezhetők úgy, hogy minden egyirányú vágás mindkét színből tartal-mazzon élt.
11. Feladat. Egy irányítatlanGgráfnak adva van két erősen összefüggő irá-nyítása. Igazoljuk, hogy az egyikből el lehet jutni a másikba egyirányú utak, illetve egyirányú körök egymás utáni megfordításával úgy, hogy minden köz-benső irányítás erősen összefüggő !
12. Feladat. Egy G= (V, E)összefüggő gráfnak akkor és csak akkor létezik olyan irányítása, amely egy megadott T ⊆V halmaz pontjaiban páratlan, a többi ponton pedig páros, ha|E|és |T|ugyanolyan paritású.