3. Poliéderes kombinatorika 117
3.6. Páros gráfok és lineáris programozás
Q−1 minden nem nulla eleme ±1/K alakú. (3.7) Legyenq∗1 a Q−1 első oszlopa, és jelöljeR azon j indexek halmazát, me-lyekreq∗1(j)6= 0.Jelöljeiqa Qmátrixi-edik sorát ése1= (1,0, . . . ,0)az első egységvektort. Mivel minden i≥ 2 indexre iqq1∗ = 0, ezért (3.7) miatt a iq sornak páros sok olyanqij nem nulla eleme van, amelyrej∈R.
A feltevés szerint a Q mátrix R-hez tartozó oszlopai egyenletesen 2-szí-nezhetők, vagyis létezik egy olyanz {0,±1}-es vektor, amelyreQz {0,±1}
értékű, ész(j)pontosan akkor nem nulla, haj ∈R. Az előbbi paritási meg-figyelés miatt minden i ≥ 2-re iqz = 0. De ekkor 1qz 6= 0, mert különben Qz= 0volna, ellentmondásban|detQ| ≥2-vel.zesetleges negálásával felte-hetjük, hogy1qz = 1, vagyis Qz=e1, és emiattz =q1∗, ellentmondásban a (3.7) tulajdonsággal.
3.6. Páros gráfok és lineáris programozás
Mi állhat annak hátterében, hogy páros gráfok párosításaival, irányított grá-fokban pedig utakkal, folyamokkal, áramokkal kapcsolatban megannyi szép tételt lehet megfogalmazni és igazolni ? Miként lehet ilyen tételeket megsejte-ni ? Ebben és a következő részben megmutatjuk, hogy a szóbanforgó hálózati optimalizálási feladatok egy olyan lineáris programként írhatók fel, amelyben a feltételi mátrix teljesen unimoduláris. Kiderül, hogy a tételek mindegyike úgy tekinthető, mint egy lineáris programozási tétel (Farkas-lemma, korlátos-sági tétel, optimalitási feltétel, dualitástétel) TU-mátrixokra felírt alakjának speciális esete. Ennek a felismerésnek nem csak az a haszna, hogy már igazolt tételekre újabb bizonyítást nyerünk, hanem olyan hatékony eszköz birtokába jutunk általa, amely általánosabb ilyen irányú tételek megsejtésére és bizo-nyítására is alkalmas.
A csupa egyesből állójdimenziós vektortej jelöli, illetve használni fogjuk azcés1 jelöléseket is az azonosancés az azonosan1 vektorokra. Aj×j-es identitás mátrix jeleIj.
3.6.1. Páros gráfok : optimális részgráfok
Optimális párosítások
Először levezetjük Kőnig már megismert tételét :
3.6.1. Tétel(Kőnig). AG= (S, T;E) páros gráfban a független élek maxi-málisν száma egyenlő az éleket lefogó pontok minimálisτ számával.
Bizonyítás. A gráf pontjainak számát jelölje p, az élek számát q. A páros gráf incidencia-mátrixát jelölje A, amelyben a soroknak a gráf pontjai, az
oszlopoknak a gráf élei felelnek meg. Ekkor tehátA egyp×qméretű (0,1)-mátrix. Tekintsük a következő primál-duál lineáris program párt :
max{eqx:Ax≤ep, x≥0}, (3.8) min{epy:yA≥eq, y≥0}. (3.9) A 3.3.4 tétel szerint mindkét programnak az optimuma egész vektoron felvétetik. Jelöljük ezeket rendre x0-lal és y0-lal. (3.8) minden egészértékű megoldása(0,1)értékű, és rögtön látszik, hogy (3.9) minden optimális egész-értékű megoldása is(0,1)értékű. LegyenM azon élek halmaza, melyekenx0
az 1 értéket veszi fel, és legyenLazon pontok halmaza, amelyeken y0 egyet vesz fel. AzAx≤ep feltétel azt jelenti, hogyM párosítás a gráfban, míg az yA≥eq feltétel azt jelenti, hogy L az éleket lefogó pontrendszer. A primál és duál optimumértékek egyenlősége pedig azt jelenti, hogy|M|=|L|, ami a célunk volt.
E bizonyítás kapcsán azt mondhatjuk, hogy a Kőnig-tétel nem más, mint a dualitástétel TU-mátrixokra vonatkozó egészértékű alakja abban a speciá-lis esetben, amikor a feltételi mátrix a páros gráf incidencia-mátrixa, míg a korlátozó vektor és a célfüggvény a (megfelelő dimenziós) azonosan 1 vektor.
Természetesen a primál programban az azonosan 1 célfüggvény helyett vá-laszthatunk tetszőlegesc célfüggvényt. Ekkor a fenti megközelítés Egerváry tételének következő változatát adja.
3.6.2. Tétel. Páros gráfban egy párosítás maximális súlya egy c súlyfügg-vényre nézve egyenlő min{P
v∈V π(v) :π≥0, π(u) +π(v)≥ c(uv) minden uvélre}. Hac egészértékű, az optimálisπ is választható egészértékűnek.
Melléktermékként kapjuk :
3.6.3. Tétel. AGpáros gráf Aincidencia-mátrixával felírt
{x:Ax≤ep, x≥0} (3.10)
poliéder egész, amelynek csúcsai pontosan a gráf párosításainak incidencia-vektorai.
Egy gráf párosításpolitópja a párosítások incidencia-vektorainak kon-vex burka. A lineáris programozásban tanultak szerint tetszőleges politóp (korlátos) poliéder, azaz felírható egy lineáris egyenlőtlenség-rendszer megol-dáshalmazaként. A 3.6.3 tétel a (3.10) rendszerrel tehát konkrétan megadja a párosításpolitóp poliéderként történő előállítását. (Ezek miatt nem okozhat félreértést, hogy a párosításpolitópot gyakran párosításpoliédernek hívják.)
3.6. Páros gráfok és lineáris programozás 137 Megjegyzendő, hogy a párosításpolitóp tetszőleges gráfra is mindig része a (3.10) poliédernek, de ilyenkor lehet valódi része.
Nevezzünk egy mátrixot bisztochasztikusnak, ha négyzetes, nemnega-tív és minden sorösszege, valamint minden oszlopösszege egy. Legegyszerűbb bisztochasztikus mátrixok a permutációmátrixok, melyeknek minden eleme0 vagy1, és minden oszlopában és minden sorában pontosan egy darab egyes van. Permutációmátrixok konvex kombinációja is bisztochasztikus. A követ-kező tétel fő mondanivalója az, hogy valójában minden bisztochasztikus mát-rix előáll ilyen alakban.
3.6.4. Tétel (Birkhoff és Neumann). Egy mátrix akkor és csak akkor bisz-tochasztikus, ha permutációmátrixok konvex kombinációja.
Bizonyítás. EgyB n×n-es mátrix megfelel egyG n×n-es teljes páros gráf élhalmazán értelmezett xB vektornak. Figyeljük meg, hogy a permutáció-mátrixok éppen a teljes párosításoknak felelnek meg. HaB bisztochasztikus, akkor AxB = en2, xB ≥ 0, azaz xB benne van a G párosításpoliéderében, vagyis előáll párosítások (incidencia-vektorainak) konvex kombinációjaként.
TehátB előáll permutáció márixok konvex kombinációjaként.
Természetesen megkaphatjuk Egerváry tételét, sőt most már belefoglaljuk azt az esetet is, amikor a súlyfüggvény nem egész.
3.6.5. Tétel(Egerváry). AG= (S, T;E)teljes párosítással rendelkező páros gráfban ac≥0 súlyfüggvényre vonatkozó maximális súlyú teljes párosításνc súlya egyenlő a súlyozott lefogások minimálisτc összértékével. AmennyibenG teljes páros gráf, úgy az optimális súlyozott lefogás választható nemnegatívnak is. Amennyiben c egészértékű, az optimális súlyozott lefogás is választható annak.
Bizonyítás. A fenti megközelítéshez képest csak annyit kell változtatni, hogy azAx≤epegyenlőtlenség-rendszer helyett azAx=epegyenletrendszert kell vennünk. Ekkor persze a duálisban a változókra nincs nemnegativitás előírva.
A teljes páros gráf esetén azért igaz mégis, hogy az optimális duális megoldás választható nemnegatívnak, mert ilyenkor az {maxcx : Ax ≤ ep, x ≥ 0}
lineáris program optimális megoldása c nemnegativitása, valamint a páros gráf teljessége miatt mindig felvétetik teljes párosításon is, márpedig ezen lineáris program duálisában a változók nemnegatívak.
Mi történik, ha adottk-ra a pontosankélű párosítások maximális súlyára szeretnénk tételt kapni ? Miután egy páros gráf incidencia-mátrixát egy csupa egyes sorral kiegészítve továbbra is TU-mátrixot kapunk (figyelem : csupa egyes oszloppal való kiegészítéssel nem), így a következő primál-duál lineáris program pár megadja a választ :max{cx :Ax≤ep, eqx=k} ésmin{πep+ +kα : πA+αeq ≥ c, π ≥0}. A primál optimum tehát egészértékű, és így
szükségképpen egykelemű párosítás incidencia-vektora. A duál optimum is egészértékű, feltéve, hogyc az.
Páros gráf fokszámkorlátozott részgráfjai : a szállítási probléma További általánosításokat kaphatunk, ha a primál feladatban a jobb oldalt valamilyen (nemnegatív)bvektornak választjuk. Ennek az a kombinatorikus jelentése, hogy a páros gráfban maximális súlyú fokszámkorlátozott részgráfot keresünk. Természetesen alsó korlátokat is kitűzhetünk a fokszámokra, mint ahogy korlátozhatjuk alulról és felülről azt is, hogy egy élt hány példányban vehetünk be a keresett részgráfba (megint csak amiatt, hogy az incidencia-mátrixot egy csupa egyes sorral kiegészítva TU-incidencia-mátrixot kapunk). Valójában nem is érdemes explicit megfogalmazni a különböző lehetőségekre vonatkozó minimax tételeket, mert a dualitástétel és a páros gráf incidencia-mátrixának teljes unimodularitása már magában hordozza a szükséges információt.
96. Feladat. Mikor létezik egy páros gráfnak egy N és egy K részgráfja úgy, hogy minden csúcsban azN fokszáma pontosan eggyel nagyobb, mintK fokszáma ?
3.6.2. Páros gráfok : élszínezések
Közismert Kőnig élszínezési tétele, amely szerint minden ∆-reguláris páros gráf élhalmaza felbomlik∆ élidegen teljes párosításra. (Ez közvetlenül leve-zethető indukcióval, vagy esetleg a Hall-tételre támaszkodva). Ugyanakkor a TU-mátrixokra vonatkozó 3.4.5 egyenletes színezési tételből sokkal általá-nosabb eredmény nyerhető. Az élszínezési tételt néha kicsit általááltalá-nosabban fogalmazzák meg : Ha egy páros gráfban a maximális fokszám ∆, akkor az éleket meg lehet∆színnel színezni úgy, hogy minden csúcsba különböző színű élek futnak.
3.6.6. Tétel. Egy G = (S, T;E) páros gráf éleit meg lehet k színnel úgy színezni, hogy minden v csúcsra és mindegyik j színre(j = 1, . . . , k) av-be menőd(v)darab él közülbd(v)/kcvagydd(v)/kedarab színej. Ráadásul még azt is megkövetelhetjük, hogy minden színosztály mérete közel ugyanakkora legyen, vagyisb|E|/kcvagyd|E|/ke.
Ha k-t a maximális ∆ fokszámnak választjuk, akkor megkapjuk Kőnig élszínezési tételét, amely szerint páros gráf kromatikus indexe (élszínezési száma) a maximális fokszámmal egyenlő. Hak-t a minimális δ fokszámnak választjuk, akkor Gupta egy tételét kapjuk, amely szerintGpáros gráf élhal-maza felbonthatóδrészre úgy, hogy mindegyik rész fedi az összes pontot.
A lineáris programozási megközelítés eredményességét egy kevésbé közis-mert tételen is bemutatjuk.
3.6. Páros gráfok és lineáris programozás 139 3.6.7. Tétel(Folkman és Fulkerson). EgyG= (S, T;E)páros gráfban akkor és csak akkor létezik`darab élidegen kélű párosítás, ha
i(Z)≥`(k+|Z| − |U|) (3.11) fennáll azU :=S∪T minden Z részhalmazára.
Bizonyítás. Mivel egyM párosítás legfeljebb |U| − |Z| olyan élt tartalmaz, amelynek legalább egyik végpontja nincsZ-ben, így legalább|M|−(|U|−|Z|) darab|Z|által feszített élt tartalmaz. Így ha létezik`darab kélű párosítás, akkorZ legalább`(k+|Z| − |U|)élt feszít, vagyis (3.11) szükséges.
Az elegendőséghez jelölje A a páros gráf pont-él incidencia márixát, p a csúcsok számát,q az élek számát. Azxeq ésyeq skalárszorzatot szemlélete-sebbenex(E)-vel, illetveey(E)-vel jelöljük, míg aπep-t eπ(U)-val. Tekintsük a max{ex(E) : x≥0, Ax≤`, Iqx≤1} (3.12) primál és a
min{`eπ(U) +y(E) : (π, y)e ≥0, πA+y≥1} (3.13) duális lineáris programot, ahol π: U →R+ az A sorainak megfelelő duális változók vektora, mígy:E→R+ azImsorainak megfelelőké. AzA mátrix TU-sága miatt mind a primál, mind a duál optimum egész vektoron felvétetik, sőt(0,1)vektoron is, hiszen a primál feltételek között explicit szerepel a0≤
≤ x ≤ 1 kikötés, míg a duálisban a jobb oldalon azonosan 1 áll, így egy optimális(π, y)vektor minden komponense legfeljebb1.
Amennyiben a (dualitástétel miatt létező) közös optimumérték legalább k`, úgy a(0,1)értékű optimális primál vektor1értékű komponensei egy olyan legalább k` élű G0 = (U, E0)részgráfot határoznak meg, amelyben minden pont foka legfeljebb`. Élek esetleges törlésével elérhetjük, hogyG0 pontosan k` darab élből álljon. A 3.6.6 tétel miatt E0 felbomlik ` darab párosításra, amelyben mindegyik párosítás közel egyforma méretű, és így szükségképpen pontosankelemű.
Tételezzük most fel, hogy a közös optimum értéke kisebb, mintk`. Ekkor létezik egy (0,1) értékű (π, y) duális optimális megoldás, amelyre `eπ(U) + +ey(E)< k`. JelöljeZ a gráf azonv pontjainak halmazát, melyekreπ(v) =
= 0. A duális feltételek miatt mindenZáltal feszítetteélrey(e) = 1, és ezért i(Z)≤ ey(E). Miután eπ(U) = |U| − |Z|, így `(|U| − |Z|) +i(Z) ≤`eπ(U) + +ey(E)< k`, ellentmondásban a (3.11) feltétellel.
Megjegyzés Szub-, illetve szupermoduláris függvények gyakran szere-pelnek különféle szükséges és elegendő feltételekben (például Hall tételében az X halmaz szomszédainak elemszámát jelölő |Γ(X)| függvény szubmodu-láris, és erről követeljük meg, hogy legalább |X| legyen). Általában a szub-moduláris függvények felső korlátként szerepelnek, míg a szuperszub-moduláris
függvények alsóként. (Például gráfelméletben bizonyított eredmény, hogyegy 2-élösszefüggő gráfnak akkor és csak akkor van olyan erősen összefüggő irá-nyítása, amelyben minden v csúcs befoka legfeljebb egy előre megadott g(v) érték, ha g(X)≥i(X) +c(X)a csúcsok minden nemüres X részhalmazára, aholc(X)azX elhagyásával keletkező komponensek száma.Itt azi(X)+c(X) függvény szupermoduláris.)
Ennek tükrében furcsa, hogy a szupermodulárisiG függvény a (3.11) fel-tételben felső korlátként szerepel. Valójában a szokásos∩és∪műveletek he-lyett bevezethetünk a páros gráf részhalmazain egy másik hálót a következő műveletekkel : legyenX∧Y := (X∩Y∩S)∪((X∪Y)∩T)ésX∨Y := ((X∪
∪Y)∩S)∪(X∩Y∩T). Kimutatható, hogy ezekre nézve aziGfüggvény már szubmoduláris.