3. Poliéderes kombinatorika 117
3.3. Farkas-lemma, dualitás, optimalitási feltételek TU-mátrixokra 128
Az erős bázismegoldás fogalma már eddig is hasznos volt (mert csak véges sok volt belőlük, és mert minden, a poliéderen felülről korlátoscxcélfüggvény eseténmaxcxerős bázismegoldáson felvétetett.) E fogalom most újabb fontos szerephez jut.
3.3.1. Lemma. TetszőlegesM TU-mátrixszal megadott egyenlőtlenség-rend-szer esetén, ha ab jobb oldali korlátozó vektor egész, akkor minden erős bá-zismegoldás egész.
Bizonyítás. LegyenM = P
Q
, és tekintsük a
P x=b0, Qx≤b1 (3.3)
rendszert. Korábban megfigyeltük, hogy minden erős bázismegoldás előáll valamelyM0x0 =b0egyenletrendszer egyértelmű megoldásának nulla kompo-nensekkel való kiegészítéseként, aholM0azM egy(r(M)×(r(M)-es nemszin-guláris részmátrixa, és b0 jelöli a b azon részét, amely az M0 sorainak felel meg. HaM TU-mátrix, akkor a nemszinguláris M0 determinánsa +1 vagy
−1. A Cramer-szabály szerint, miutánb0 egész, az egyértelműx0 megoldás is az.
3.3. Farkas-lemma, dualitás, optimalitási feltételek TU-mátrixokra129 3.3.2. Lemma. Legyen c tetszőleges (nem feltétlenül egészértékű) vektor.
BármelyM TU-mátrixszal megadott K metszetkúpra igaz, hogy ha van K-nak olyan x0 eleme, amelyre cx0 >0, akkor van ilyen (0,±1) értékű eleme is.
≤0 rendszer megoldáshalmaza. Mivel x0 pozitív számszorosa isK-ban van, feltehető, hogy x0 maga olyan, hogy minden komponense a [−1,+1] zárt intervallumba esik. Vagyis a
(−1, . . . ,−1)≤x≤(1, . . . ,1), P x= 0, Qx≤0 (3.4) rendszer által meghatározott korlátos poliédernek x0 olyan eleme, amelyre cx0 > 0. Ekkor az operációkutatásban tanultak szerint van olyan x∗ erős bázismegoldása a (3.4) rendszernek, amelyrecx∗≥cx0. A 3.3.1 lemma miatt x∗ egészértékű, azaz minden komponense0,1, vagy−1.
A Farkas-lemma szerint a (3.3) és az alábbi (3.5) rendszerek közül pon-tosan az egyik oldható meg. Az alábbi tétel a Farkas-lemma TU-mátrixokra vonatkozó élesítését szolgáltatja.
Ha a (3.3) primál probléma oldható meg, és a korlátozób vektor egész, akkor (3.3)-nak van egész megoldása is. Ha az
y1≥0, yM = 0, yb <0 (3.5) duális probléma oldható meg, ahol y = (y0, y1), akkor van (0,±1) értékű y megoldás is(függetlenülb egészértékűségétől).
Bizonyítás. A tétel első fele következik a 3.3.1 lemmából, és abból a korábbi eredményből, hogy ha létezik megoldás, akkor létezik erős bázismegoldás is.
A tétel második fele pedig a 3.3.2 lemma közvetlen folyománya.
Egy poliédert akkor nevezünk egésznek, ha minden oldala tartalmaz egész pontot. Ez nyilván azzal ekvivalens, hogy minden (tartalmazásra nézve) mi-nimális oldal tartalmaz egész pontot, továbbá azzal (az oldal definíciója foly-tán), hogy minden lineáris célfüggvény optimuma egész vektoron is felvétetik.
Csúcsos poliéder esetén a poliéder akkor egész, ha minden csúcsa egész. Az alábbi tételek mindegyikében azM =
P Q
mátrix teljesen unimoduláris, és begész vektor.
3.3.4. Tétel. Ha a max{cx : P x = b0, Qx ≤ b1} lineáris programozási problémának létezik megoldása, akkor az optimum egész vektoron is felvétetik (függetlenül attól, hogyc egészértékű vagy sem).Ekvivalens alakban :minden TU-mátrix és egész korlátozó vektor által megadott poliéder egész.
Bizonyítás. Miután az optimum erős bázismegoldáson is felvétetik, a 3.3.1 lemmából a tétel következik.
Az alábbi tételek ugyanígy következnek a megfelelő lineáris programozási tételekből a 3.3.1 és 3.3.2 lemmák segítségével.
3.3.5. Tétel. Tegyük fel, hogy R = {x : P x =b0, Qx ≤b1} nemüres. A következők ekvivalensek.
(1){cx:x∈R} felülről korlátos.
(2)Nem létezik olyan(0,±1)értékű x0 vektor, amelyreP x0= 0, Qx0≤0, és cx0>0.
(3) Létezik olyan y = (y0, y1) vektor, amelyre y1 ≥0 és yM =c, és amely egész, amennyibenc egész.
3.3.6. Tétel. Legyenx∗ azR:={x:P x=b0, Qx≤b1}poliéder egy eleme.
JelöljeQ=x∗ aQ aktív részmátrixát. A következők ekvivalensek.
(1)x∗ maximalizálja cx-etR fölött.
(2)Nem létezik olyan (0,±1) értékűx0 vektor, amelyreP x0= 0,Q=x∗x0≤0, éscx0>0.
(3)Létezik olyany= (y0, y1)vektor, amelyrey1≥0,yM=c, y(b−M x∗) = 0, ésy egész, amennyibenc egész.
Gyakran (bár nem mindig) a teljesen duális egészértékűség az alábbi tu-lajdonságon múlik.
3.3.7. Lemma. Tegyük fel, hogy a{P x=b0, Qx≤b1} rendszer olyan, hogy minden egészc-re, amelyremaxcxlétezik, a
min{b0y0+b1y1:y1≥0, y0P+y1Q=c} (3.6) duális lineáris programnak van olyany∗ optimuma, amelyre a P és Qazon soraiból állóM0=
P0 Q0
részmátrix, melyek azy∗nem nulla komponenseinek felelnek meg, teljesen unimoduláris. Ekkor a {P x = b0, Qx ≤ b} rendszer TDI.
Bizonyítás. Az M0 teljes unimodularitása miatt a min{b00y00+b01y10 : y10 ≥
≥0, y00P0+y01Q0 =c} lineáris programnak van egész optimuma, amit nulla komponensekkel kiegészítve (3.6) egy egész optimumát kapjuk.
3.4. Kerekítés és egyenletes színezés 131
3.4. Kerekítés és egyenletes színezés
3.4.1. Kerekítés
Akkor mondjuk, hogy egy z egész szám az x szám kerekítése, ha |x−
−z| < 1. (Tehát az 1,01-nak az 1 és a 2 is kerekítése.) Ez speciálisan azt jelenti, hogy haxegész, akkorx=z. Azvektor azxvektor kerekítése, ha minden komponense kerekítés. Egyxnem egész szám bxc alsó egész részén a legnagyobb x-nél kisebb egész számot értjük, míg dxe felső egész részen a legkisebbx-nél nagyob számot. Egészx-re bxc:= dxe:=x. Amennyiben x egy vektort jelöl, úgy bxc azt a vektort jelöli, amelyet x-ből nyerünk a komponenseinek alsó egész részét véve. Az x vektor dxe felső egész részét analóg módon definiáljuk.
3.4.1. Lemma. Legyen A teljesen unimoduláris mátrix és x0 egy vektor.
Ekkor létezik egy olyan q egészértékű vektor, amelyre bx0c ≤ q ≤ dx0e és bAx0c ≤Aq≤ dAx0e. Más szóval az x0-nak van olyan qkerekítése, hogy az Aminden asoráraaq kerekítése ax0-nak.
Bizonyítás. A feltevés szerint azbx0c ≤z ≤ dx0e ésbAx0c ≤ Az ≤ dAx0e rendszernek van megoldása, így a 3.3.3 tétel szerint van egész megoldása is.
Érdemes megfogalmazni az alábbi következményt :Ha(S,F)teljesen uni-moduláris hipergráf, úgy bármely x0 : S → R függvénynek létezik olyan q kerekítése, hogy mindenA∈ F hiperélre aP
[q(v) :v ∈A] szám kerekítése P[x0(v) :v∈A]-nak.
3.4.2. Tétel. Tetszőlegesm×n-esB mátrixnak van olyan kerekítése, hogy a következő mennyiségek mind egynél kevesebbel változnak : minden sorösszeg, minden oszlopösszeg, az elsőj sor elemeinek összege(j= 1,2, . . . , m), az első ioszlop elemeinek összege(i= 1,2, . . . , n).
Bizonyítás. LegyenS a B mátrix mezőinek (elemeinek) halmaza.B minden sorához legyen a sorban lévő mezők halmaza tagjaF1-nek, valamint minden i-re(2≤i≤m)az első isor mezőinek halmaza legyen tagjaF1-nek (össze-sen tehát 2m−1 tag van F1-ben). F2-t hasonlóan definiáljuk az oszlopok segítségével. EkkorFi lamináris, így a 3.2.6 tétel és a 3.4.1 lemma alapján készen vagyunk.
3.4.3. Tétel. Egy x1, . . . xn sorozat elemeinek létezik olyanz1, . . . , zn kere-kítése, hogy minden1≤i≤j≤nindexre azi+· · ·+zj összeg kerekítése az xi+· · ·+xj összegnek.
Bizonyítás. A{v1, . . . , vn} alaphalmazon tekintsük azt a hipergráfot, mely-nek élei a {vi, . . . , vj} típusú halmazok minden 1 ≤i ≤j ≤ n indexpárra.
Amint már láttuk (lásd 3.2.2), ez a hipergráf teljesen unimoduláris, így a 3.4.1 lemma alkalmazható.
3.4.2. Egyenletes színezések
A teljesen unimoduláris mátrixok egy másik érdekes alkalmazása hipergráfok egyenletes színezésével foglalkozik.
3.4.4. Tétel. LegyenA TU-mátrix,begész vektor, kpozitív egész. Legyen z olyan egész vektor, amelyreAz≤kb. Ekkor zelőáll olyan z1, z2, . . . , zk egész vektorok összegeként, melyekreAzi≤b.
Bizonyítás. kszerinti indukció alapján elég egy olyan egészz1 egész vektort találni, amelyre Az1 ≤b és A(z−z1) ≤(k−1)b. Ugyanis ilyen z1 létezése esetén z0 := z−z1 olyan, amelyre Az0 ≤(k−1)b, és az indukciós feltevés alkalmazható(k−1)-re.
A fentiz1 létezéséhez csak azt kell látni, hogy azAz−(k−1)b≤Ax≤b poliédernek van egész pontja. A poliéder mindenesetre nemüres, hiszenz/k benne van. Továbbá a feltételek egy TU-mátrixszal adhatók meg, így létezik a kívánt egész pont is.
A fenti tétel kiterjeszthető arra az esetre, amikor z nemnegativitását is megköveteljük, és azAx-re nemcsak felső korlát van, hanem alsó is. Valóban, haATU-mátrix, akkor az(A,−A, I)mátrix is teljesen unimoduláris. Kapjuk a következőt.
3.4.1. Következmény. Ha z≥0 olyan egész vektor, amelyrekb1 ≤Az ≤
≤kb2, akkorzfelbomlik olyanz1, z2, . . . , zk egész vektorok összegére, melyekre zi≥0,és b1≤Azi≤b2.
Ezt felhasználhatjuk TU-mátrixok oszlopainak egyenletes k-színezésére.
Az A oszlopainak egy partícióját („színezését”) A1, A2, . . . , Ak részre akkor nevezzükegyenletesnek, haA mindenasorára érvényes, hogy a sornak az egyes Ai részekbe eső elemeinek összege mindenAi-re lényegében ugyanaz, tehátbsum(a)/kcvagydsum(a)/ke, aholsum(a)azasor elemeinek összege.
3.4.5. Tétel. AzA TU-mátrix oszlopainak létezik egyenletes k-színezése.
Bizonyítás. Legyen d az A oszlopainak az összege. Legyen b1 := bd/kc, b2 := dd/ke. Ekkor a z :≡ 1 benne van a {kb1 ≤ Ax ≤ kb2, x ≥ 0} poli-éderben. Az előbbi következmény szerintzfelbomlikz1, z2, . . . , zk egész vek-torok összegére, melyekre zi ≥ 0, és b1 ≤ Azi ≤ b2. Világos, hogy a zi-k (0,1)vektorok. LegyenAiaz oszlopoknak azon halmaza, melyeknek megfele-lő komponensezi-nek 1. Ezek éppen a kívánt egyenletes színezést adják.
3.5. TU-mátrixok jellemzése 133