2.3. Körök és felbonthatóság
2.3.2. Felbonthatóság
A gráf körének fogalmát sikerrel vittük át matroidokra. Mi a helyzet a gráfok összefüggőségével ? Ennek értelmes kiterjesztésére nincs remény, mert bár-melykélű erdőnek, összefüggő vagy sem, ugyanaz a körmatroidja. Másszóval, a gráfhoz rendelt körmatroid nem érzékeli a gráf összefüggőségét.
2.3. Körök és felbonthatóság 77 Ugyanakkor természetesen kínálkozik a következő definíció. Egy M =
= (S,I) matroidot akkor nevezünk felbonthatónak, ha S-nek létezik egy valódi, nemüresZ⊂S részhalmaza úgy, hogyM független halmazai ponto-san azok a halmazok, amelyek egy Z-be eső és egy S−Z-be eső független halmaz uniójaként állnak elő. E tulajdonság nyilván azzal ekvivalens, hogy M minden köre vagy Z-ben van, vagy S−Z-ben. Ilyenkor azt is mond-juk, hogyM felbontható Z (vagyS−Z) mentén. Könnyen ellenőrizhetően a Z menti felbonthatóság azzal ekvivalens, hogy minden X ⊆ S halmazra r(X) =r(X∩Z) +r(X−Z). Értelemszerűen a nem felbontható matroidokat felbonthatatlannak (vagy néha az angolban használt „connected” nyomán összefüggőnek) hívjuk. Az egyelemű matroid definíció szerint felbonthatat-lan. (Kis zavart okozhat, hogy a magyarban nincs igazán külön szó a depen-dentés aconnectedangol kifejezésekre. Mi a dependent-re a függő szót, míg a connected-re az összefüggő szót fogjuk használni.) Amint kimutatható, egy gráf körmatroidja pontosan akkor felbonthatatlan (=összefüggő), ha a gráf 2-összefüggő.
A további elemzés előtt emlékeztetünk rá, hogy az S alaphalmazon egy H = (S,T) hipergráfot akkor neveznek összefüggőnek, ha az alaphalmaz bármelyik két nemüres részre történő felbontásánál létezik olyan hiperél, amely mindkét részt metszi. Jelölje G = (S, T;E) a hipergráfhoz tartozó páros gráfot, amelybenT elemei a hiperéleknek felelnek meg, és az s∈S és t∈T pontok akkor vannak éllel összekötve, hasbenne van at-nek megfelelő hiperélben. Könnyen látszik, hogy ∅ 6∈ T esetén H és G egyszerre össze-függő. Ebből adódik, hogy egy S-en összefüggő hipergráf mindig tartalmaz legfeljebb |S| −1 hiperélt, melyek összefüggő hipergráfot alkotnak az S-en.
Valóban, könnyen látható, hogy aGegy feszítő fájából kihagyva aT-ben első fokú pontokat egyS-et fedő fát kapunk, amelynek legfeljebb |S| −1 pontja vanT-ben. Hasonlóképp,H összefüggősége azzal ekvivalens, hogy az alaphal-maz bármelyuésv eleméhez létezik hiperélek egyC1, . . . , C` sorozata úgy, hogyu∈C1, v∈C` és1≤i < `-re Ci∩Ci+16=∅.
A definícióból rögtön látszik, hogyM pontosan akkor összefüggő, ha körei-nek(S,C)hipergráfja összefüggő. AmennyibenCnem összefüggő, ésS1, . . . , Sk
(k ≥ 2) jelöli az összefüggő komponenseinek alaphalmazait (ahol tehát {S1, . . . , Sk} az S alaphalmaz partíciója), úgy azM az Si halmazokra vett Mi részmatroidjai mind felbonthatatlanok. Ezen Mi matroidokat nevezzük azM blokkjainak.
Fontos kérdés annak eldöntése, hogy egy matroid felbonthatatlan-e vagy sem. Ez több kérdést is takar : milyen tanúsítványt tudunk elképzelni a fel-bonthatóságra, milyet a felbonthatatlanságra, és algoritmikusan hogyan lehet megtalálni ezen tanúkat. A következő tétel a felbonthatóságra szolgáltat egy-szerű tanúsítványt.
2.3.6. Tétel. Egy M matroid akkor és csak akkor felbontható, ha létezik S-nek olyan{S1, S2} partíciója nemüres halmazokra, amelyre
r(S1) +r(S2) =r(S). (2.3) Bizonyítás. A definícióból rögtön adódik, hogy ha M felbontható {S1, S2} mentén, akkorr(S1) +r(S2) =r(S).
A megfordításhoz|S|szerinti indukciót használunk. Mivel az állítás|S| ≤
≤2 esetén semmitmondó, feltesszük, hogy |S| ≥3. Tegyük fel tehát, hogy valamely ∅ ⊂ S1 ⊂ S részhalmazra (2.3) fennáll és legyen S2 = S −S1. Azt fogjuk igazolni, hogy ekkor minden U ⊂ S halmazra r(U1) +r(U2) =
=r(U), ahol U1 :=U ∩S1 ésU2 :=U ∩S2. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyenU egy maximális halmaz, amelyrer(U1) +r(U2)> r(U). A feltevés szerintU 6=S, és legyen mondjukS26⊆U. AzU maximalitása miattr(U1) + +r(S2) =r(U1∪S2). A 2.2.2 lemmátT :=U1-re,X :=U2-re ésY :=S2-re alkalmazva kapjuk, hogyr(U)−r(U2) =r(U1∪U2)−r(U2)≥r(U1∪S2)−
−r(S2) =r(U1), ellentmondás.
Vizsgáljuk most meg, hogy egy matroidra miként lehet a felbonthatat-lanságát rábizonyítani. Amint már említettük, M akkor és csak akkor fel-bonthatatlan, ha köreinekChipergráfja összefüggő. E tulajdonságnak kétféle élesítését is megadjuk.
2.3.7. Tétel. Egy M = (S,F) matroid akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha bármely két eleme egy körön van.
Bizonyítás. Az állítás triviális, ha|S|= 1, ezért feltesszük, hogy|S|>1. Ha bármely két elem egy körön van, akkor a körök hipergráfja összefüggő, azaz M felbonthatatlan. Megfordítva, tegyük fel, hogy a matroid felbonthatatlan.
Ekkor minden e ∈ S benne van körben, különben M felbontható lenne e mentén. Az is következik, hogy köreinek hipergráfja összefüggőS-en. Lássuk be, hogy bármely két elem egy körön van.
2.3.8. Lemma. Ha az x, y elemekhez létezik olyan x-et tartalmazó C1 kör és y-t tartalmazó C2 kör, melyek metszik egymást, akkor létezik olyan kör, amely tartalmazzax-et ésy-t.
Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy a tétel nem igaz és válasszunk olyan ellenpéldát, hogy K = C1 ∪C2 minimális. Legyen c ∈ C1∩C2. Az erős körtulajdonság szerint létezik egyC10 ⊂Kkör, amelyrec6∈C10, x∈C10. Most C10 ∪C2 = K, mert ha C10 ∪C2 ⊂ K volna, akkor K minimalitása miatt, C10, C2 már nem ellenpélda, tehát volnax-et ésy-t tartalmazó kör.
Hasonló megfontolással adódik, hogy létezik olyan C20 kör, amelyre c 6∈ C20, y ∈ C20 és C1∪C20 = K. De most C10 és C20 szükségképpen met-szi egymást, az uniójuk valódi része K-nak (merthogy c nincs az unióban).
2.3. Körök és felbonthatóság 79 Ezért C10, C20 már nem ellenpélda, és így mégiscsak létezik egy x-et és y-t tartalmazó kör, ellentmondás.
A fenti lemma alapján azegy körön levésekvivalencia-reláció, azaz létezik S-nek egy egyértelmű partíciójaS1, . . . , St részekre úgy, hogy M mindegyik köre része valamelyikSi-nek, és mindegyikSi rész olyan, hogy bármely két eleme rajta van egy körön. Miután a körök hipergráfja összefüggő,t szükség-képpen 1, és ígyS bármely két eleme rajta van egy körön.
13. Gyakorlat. Mutassuk meg, hogy az erős körtulajdonság és a2.3.8lemma alábbi közös általánosítása nem igaz, nem mindig érvényes :haC1, C2körök, f ∈C1∩C2, e1 ∈C1−C2, e2 ∈C2−C1, akkor van olyanC⊆C1∪C2−f kör, amelyree1, e2∈C.
Miután a matroid felbonthatatlansága a körök hipergráfjának összefüg-gőségével ekvivalens, a felbonthatatlanságra létezik legfeljebb|S| −1 körből álló tanúsítvány. Ráadásul a 2.3.7 tétel szerint ez egyszerű alakban is meg-adható : válasszunk ki egy tetszőlegess elemet, és mindenx∈S−s elemre vegyünk egys-et ésx-et tartalmazó kört. A most következő tétel szerint már egy legfeljebb|S| −r(S)darab körből álló tanúsítvány is létezik.
2.3.9. Tétel. Egy M = (S,F) matroid akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha|S|= 1, vagy ha valamelyBbázisához tartozó alapkörök(S,CB)hipergráfja összefüggő.
Bizonyítás. Természetesen haCBösszefüggő, akkorCis az, és ezért a matroid felbonthatatlan. Fordítva, tegyük fel, hogy létezik S-nek olyan két S1, S2
nemüres részekre történő felbontása, hogy mindenB-hez tartozó alapkör vagy teljesen az egyik részben van, vagy teljesen a másikban. Ez azt jelenti, hogy Si-benSi∩B maximális független, tehátr(Si) = |B∩Si|(i = 1,2), és így r(S1) +r(S2) =|B∩S1|+|B∩S2|=|B|=r(S). A 2.3.6 tétel alapján tehát ilyenkorM nem összefüggő.
TetszőlegesBbázisra ésx∈S−B elemreB+xtartalmaz egy egyértelmű C=C(B, x)kört, amely azxelemB bázishoz tartozó alapköre. Rögtön adódik, hogy az alapkör pontosan azokból az elemekből áll, amelyeketB+ x-ből kihagyva ismét bázist kapunk. AdottB bázishoz elkészíthetjük a hozzá tartozóGB= (B, S−B;EB)bázisgráfot. Ez egy páros gráf, amelybenx∈
∈B, y∈ S−B elemekre xy pontosan akkor él, hax∈C(B, y), azaz, ha x benne van azyalapkörében. Világos, hogyCBakkor és csak akkor összefüggő hipergráf, haGB összefüggő gráf.
Összefoglalva megállapítható, hogy a matroid alaphalmaza egyértelműen felbomlik a matroid blokkjaira (azaz a hidakra és a körök hipergráfjának kom-ponenseire). Az egyes blokkok azon ekvivalencia-reláció osztályai, amelyben
kéte, f elem akkor ekvivalens, hae=f vagy ha van olyan kör, amely mind-kettőt tartalmazza. A nem egyelemű osztályok megegyeznek egy bázishoz tar-tozó alapkörök hipergráfjának komponenseivel. A komponensek ugyanazok, mint aCB hipergráf, illetve aGB páros gráf komponensei.