Fedés körökkel

Közismert Camion azon tétele, amely szerint minden legalább2 pontú erő-sen összefüggő turnamentnek van Hamilton-köre, vagy másként fogalmazva, ha egy erősen összefüggő digráf (irányítatlan értelemben vett) stabilitási szá-ma (azaz független ponthalszá-mazainak szá-maximális mérete) 1, akkor a pontok lefedhetők egyetlen egyirányú körrel, röviden dikörrel.

EgyD = (V, A) erősen összefüggő digráfra jelölje γ(D) a digráf pontjait fedő dikörök minimális számát, míg α(D) az irányítatlan alapgráf stabili-tási számát. A következő eredményt Gallai sejtette 1963-ban, majd Bessy és Thomassé igazolta 2007-ben. Az alábbiakban bemutatandó bizonyítás két korábban meglévő tételén alapul.

3.9.1. Tétel. EgyD= (V, A) erősen összefüggő digráfra γ(D)≤α(D),

más szóvalD pontjai mindig lefedhetőkα(D)dikörrel.

Mielőtt rátérnénk a bizonyításra, felidézzük az ígért két korábbi tételt. A digráf egyirányú köreinek egyF⊆Alefogásalapos, ha minden él benne van pontosan egyszer lefogott dikörben.

3.9.2. Tétel(Knuth-lemma, 1974). Erősen összefüggőD= (V, A)digráfban létezik a diköröknek lapos lefogása.

Bizonyítás. HaDegyetlen pontból áll, akkor a tétel semmitmondó. Az erősen összefüggő digráfokra vonatkozó fülfelbontási tétel alapjánDmegkapható egy erősen összefüggőD⁰ = (V⁰, A⁰)digráfból egyP fül hozzáadásával. Indukció alapján aD⁰ diköreinek van egy B⁰ lapos lefogása. AmennyibenP egy kör, úgyP egy tetszőleges élét B⁰-höz véve a D egy lapos lefogását kapjuk. Így feltehetjük, hogyP egys-bőlt-be menő egyirányú út.

3.9.1. Állítás. A D⁰ diköreinek van olyan B^∗ lapos lefogása, amelyre s el-érhetőt-ből aD⁰−B^∗ digráfban.

Bizonyítás. Ha s benne van a t-ből D⁰ −B⁰-ben elérhető pontok Z ⊆ V⁰ halmazában, akkor B^∗ = B⁰ jó lesz. Ha s nincs Z-ben, akkor D⁰ minden Z-ből kilépő éleB⁰-ben van. AB⁰ laposságából következik, hogyD⁰semelyik Z-be belépő éle sincs B⁰-ben, hiszen bármely Z-be belépő él is benne van egyszer fedett dikörben, márpedig egy ilyen dikör kilép Z-ből és a kilépő élekről már tudjuk, hogyB⁰-ben vannak.

Módosítsuk most B⁰-t olyképpen, hogy a Z-ből kilépő éleket kivesszük belőle, míg a Z-be belépőket bevesszük. A kapott B⁰⁰ halmaz olyan, hogy

|B⁰⁰∩K| = |B⁰ ∩K| minden K dikörre, és ezért B⁰⁰ is a D⁰ diköreinek

3.9. Fedés körökkel 153 egy lapos lefogása. Miután D⁰−B⁰⁰-ben a t-ből elérhető pontok halmaza szigorúan bővebb, mintZ, legfeljebb n ilyen csere után egy olyanB^∗ lapos lefogást kapunk, amelyresis elérhetőt-ből aD⁰−B^∗ digráfban.

Legyenb a P fül egy tetszőleges éle. Ekkor B := B^∗+b nyilván fediD minden dikörét, és azt állítjuk, hogy B lapos. Valóban, tekintsünk a D⁰ −

−B^∗-ban egyt-bőls-be menő P⁰ egyirányú utat, aminek a létezését a fenti állítás biztosítja. EkkorK:=P⁰∪P egy olyan dikör, amelynekbaz egyetlen B-hez tartozó eleme. Ezért D minden éle hozzátartozik egy egyszer fedett dikörhöz.

A másik segédeszköz Gallai egy 1958-as tétele. Legyenc:A→Z₊ a D=

= (V, A) erősen összefüggő digráf élhalmazán egy nemnegatív, egészértékű függvény. (Az alkalmazáshoz valójában csak a c :=χ

F speciális esetre lesz szükségünk, aholF aD diköreinek egy lapos lefogása.) EgyKkörc-értéke az éleic-értékeinek összege, vagyisec(K). Csúcsoknak egy multihalmazát (ahol tehát egy csúcs több példányban is szerepelhet)c-függetlennek mondunk, ha minden dikörből legfeljebb annyi elemet tartalmaz, mint a dikörc-értéke.

Egy multihalmaz egyx:V →Z+egész vektorral azonosítható, és ekkorx c-függetlensége azt jelenti, hogyex(V(K))≤ec(K)mindenKkörre, aholV(K) a kör ponthalmaza.

Legyen w : V → Z+ egy súlyfüggvény. A dikörök halmazán értelmezett y ≥0 függvényről azt mondjuk, hogy fediw-t, ha P

[y(K) : v ∈ V(K), K dikör] ≥ w(v) minden v ∈ V-re fennáll. Egy z ≥ 0 áramról azt mondjuk, hogy fedi aw-t, ha %z(v)≥w(z)minden z∈V csúcsra fennáll. Aw-t fedő körök ésw-t fedő áramok közötti kapcsolatot adja meg a következő egyszerű megfigyelés.

3.9.3. Lemma. Hay ≥0a dikörök halmazán értelmezett,w-t fedő függvény, akkor a z(e) := P

[y(K) : K dikör és e ∈ K] egy w-t fedő nemnegatív z áramot definiál, melyre cz = P[y(K)ec(K) : K dikör]. Ha y egészértékű, akkorzis az. Megfordítva, egyw-t fedőz≥0áram előáll dikörök nemnegatív kombinációjaként, és bármelyz=Py(Z)χ(Z)előállításra az y egyw-t fedő függvény, melyre cz=P[y(K)ec(K) :K dikör]. Haz egészértékű, akkor y is választható annak.

3.9.4. Tétel(Gallai, 1958). Legyenw:V →Z₊egy súlyfüggvény aDerősen összefüggő digráf ponthalmazán. A w-t fedő dikörök c-értékeinek minimális összege egyenlő a nem-feltétlenül különbözőc-független csúcsok maximális w-súlyával.

Felhasználva a teljesen duális egészértékű rendszerekre vonatkozó 3.1.5 té-telt (miszerint egy TDI rendszerrel megadott poliéder egész, ha a feltételi

mátrix és a korlátozó vektor egész) Gallai tétele következik az alábbi ered-ményből (és valójában ekvivalens vele).

3.9.5. Tétel. Jelölje Q a D = (V, A) erősen összefüggő digráf dikör-csúcs incidencia-mátrixát. Jelöljeec azt a vektort, melynek komponensei aQ sorai-nak (azazD diköreinek) felelnek meg, és aK dikörnek megfelelő komponens értékeec(K). Ekkor a

{Qx≤ec, x≥0} (3.34)

rendszer teljesen duálisan egészértékű.

Bizonyítás. Legyenw egy egészértékű súlyfüggvényV-n, és tekintsük a kö-vetkező duális lineáris programot.

min{P[y(K)ec(K) :K dikör] :yQ≥w, y≥0}. (3.35) Az kell kimutatnunk, hogy ennek létezik olyany optimuma, amely egész-értékű. A lemma alapján elegendő azt igazolni, hogy amin{cz:z≥0 áram, amely fediw-t}rendszernek van egészértékű optimuma. Ez viszont a szokásos pontduplázási technikával rögtön következik a megengedett áramok poliéde-rének egészértékűségéből. Valóban, mindenv pontot helyettesítsünk av⁰ és v⁰⁰ pontokkal, az uv ∈ A éleket helyettesítsük az u⁰v⁰⁰ éllel (melynek alsó kapacitása 0 és költsége c(uv)), végül minden v pontra vegyük be a v⁰⁰v⁰ éltw(v)alsó kapacitással és0 költséggel. Ekkor a keletkező D⁰-gráfban egy megengedettz⁰ áram az eredetiD-ben egy olyanz áramot definiál, amelyre

%z(v)≥w(v)mindenv∈V-re, továbbác⁰z⁰=cz.

Legyen F egy adott lapos lefogás, és alkalmazzuk Gallai 3.9.4 tételét a w ≡1 ésc := χ

F speciális esetben. Figyeljük meg, hogy ilyenkor egy S c-független ponthalmaz automatikusan különböző pontokból áll, hiszen minden pont benne van egyszer fedett dikörben, továbbáS stabil, hiszen minden él benne van egyszer fedett dikörben. Ekkor tehát a 3.9.4 tétel a következőt adja.

3.9.6. Tétel(Bessy és Thomassé). LegyenF ⊆AegyD(V, A)erősen össze-függő digráf diköreinek egy lapos lefogása. Ekkor a maximális F-független stabil halmaz elemszáma egyenlő a pontokat fedő dikörökF-értékeinek mini-mális összegével(ahol az F-függetlenség aχ

F-függetlenséget rövidíti, vagyis az S halmaz F-független, ha minden K dikör legfeljebb |F ∩K| pontban metszi).

Bizonyítás. (3.9.1 tételé) Mivel egy dikör értéke legalább 1, Bessy és Thomassé tételéből rögtön következik, hogy a maximális stabil halmaz elem-száma legalább akkora, mint a pontokat fedő dikörök minimális elem-száma.

3.10. Gyökeresenk-élösszefüggő digráfok 155