Mérhető függvények

Látni fogjuk, hogy annál hatékonyabban tudunk bánni egyσ-algebrával minél több – lehetőség szerint minél szűkebb – generátor rendszerét tudjuk megadni.

Mivel egyσ-algebra elemeit mérhető halmazoknak tituláljuk, így a mérhe-tőség alábbi definíciója egyszerűen úgy fogalmazható, hogy minden mérhető halmaz ősképének is mérhetőnek kell maradnia.

1.3.1. definíció(mérhető függvény). Legyen(X,M)és(Y,N)mérhető tér, valamintf :X →Y függvény. Azt mondjuk, hogyf egymérhetőfüggvény e két mérhető tér közt, ha mindenE∈ N eseténf⁻¹(E)∈ M.

LegyenA∈ Megy mérhető részhalmaz. Azt mondjuk, hogy azf :X →Y mérhető azAhalmazon, haf⁻¹(E)∩A∈ Mteljesül mindenE∈ N halmaz esetén.

Legyen mostf :X0→Y függvény értelmezve azX0∈ Mhalmazon. Azt mondjuk, hogyf mérhető, haf mérhető azX0értelmezési tartománya felett.

AzX₀∩f⁻¹(E) =f⁻¹(Y)∩f⁻¹(E) =f⁻¹(Y ∩E) =f⁻¹(E)azonosság azt mutatja, hogy fenti definíció harmadik esetében is elég arra emlékeznünk, hogyY-beli mérhető halmaz ősképének isX-ben mérhetőnek kell lennie.

1.3.2.

Látható, hogy ha A∪B = X, A, B ∈ M mérhető halmazok, akkor egy f :X →Y függvény mérhetősége ekvivalens azzal, hogyf mérhető azA és aB halmazok felett. Ha tehát mondjuk,g₁:A→Y ésg₂:A^c→Y mérhető függvények, akkor az ezekből összerakott

g(x) =

(g1(x), hax∈A, g₂(x), hax /∈A

függvény is mérhető. Ez utóbbira úgy hivatkozunk, hogy ha egy mérhető függ-vényt az értelmezési tartománya egy mérhető halmazán egy másik mérhető függvénnyel cserélünk ki, akkor a kapott függvény is mérhető marad.

Az első valódi észrevételünk az, hogy a mérhetőség definícióját elegendő az értékeket tartalmazó halmazσ-algebrájának egy generátorára ellenőrizni.

1.3.3. állítás. Legyen f : X → Y függvény az (X,M) és (Y,N) mérhető terek közt. Tegyük fel, hogyH ⊆ P(Y)olyan halmazrendszer, amely generálja N-et, azaz σ(H) =N. Az f függvény pontosan akkor mérhető, ha minden E∈ Hgenerátorhalmaz eseténf⁻¹(E)∈ M.

Bizonyítás. Definiáljuk azY tér alábbi halmazrendszerét : F=

E⊆Y :f⁻¹(E)∈ M . (1.6)

Látható, hogyF egyσ-algebra, hiszen –∅∈ F, hiszenf⁻¹(∅) =∅∈ M.

– HaE∈ F, akkorf⁻¹(E^c) = f⁻¹(E)^c

∈ M, ígyE^c∈ F.

– HaEn ∈ F, akkorf⁻¹(∪^∞_n=1En) =∪^∞_n=1f⁻¹(En)∈ M,azaz∪^∞_n=1En ∈ F.

Ha tehát a generátorrendszer mindenH ∈ Heleméref⁻¹(H)∈ Mteljesül, az azt jelenti, hogyH ⊆ F, amiből

N =σ(H)⊆σ(F) =F.

következik. No de azN ⊆ F tartalmazás éppen a mérhetőséget jelenti.

A mérhetőség ekvivalens azN ⊆ F tartalmazással. Ezért azonnal látszik, hogy azY halmaz felett a legbővebb olyanN σ-algebra, amelyre nézve azf függvényM,N mérhető, éppenN =F, aholF az (1.6) szerint értelmezett.

1.3.4. (Borel-mérhető függvény)

Speciálisan, ha az (Y, τ) egy topologikus tér, és B = σ(τ) az Y Borel-halmazai, akkor egy f : X → Y függvény Borel-mérhetőségén az (X,M) és(Y,B)mérhető terek közti mérhetőséget értjük. Így haH ⊆ Bakármelyik generátora a Borel-halmazoknak, akkorf Borel-mérhetősége

f⁻¹(H)∈ M,∀H ∈ H feltétel teljesülését jelenti.

1.3.5.

Az egyik legfontosabb Borel-mérhető függvényosztály a folytonos függvények összessége. Ehhez fel kell tennünk, hogy azX téren és az Y téren is adott egy-egyτXésτY topológia, és legyen azX-en aσ-algebra azX-beli topológia által generált Borel-halmazok halmaza BX = σ(τ_X), hasonlóan az Y-on is az ottani nyílt halmazok generálta legszűkebbσ-algebra, tehátBY =σ(τ_Y).

Ilyen módon tekintsünk a mérhető terek köztif : (X,BX)→ (Y,BY) függ-vényt. E függvény pontosan akkorfolytonos, ha mindenV ∈τ_Y nyílt halmaz f⁻¹(V) ∈ τ_X, azaz minden nyílt halmaz ősképe is nyílt. Ekkor persze az

is igaz, hogy minden nyílt halmaz ősképe is Borel halmaz, hiszen a Borel-halmazok éppen a nyílt Borel-halmazok generáltaσ-algebra. Meggondoltuk tehát, hogy mindenfolytonos függvényBorel-mérhető.

Két nevezetes generátora a Borel-halmazoknak mindenképpen van : A nyílt halmazok halmaza, és a zárt halmazok halmaza. Látjuk tehát, hogy mind a minden nyílt halmaz ősképe mérhetőfeltétel, mind aminden zárt halmaz ős-képe mérhető feltétel ugyanazt jelenti, amitBorel-mérhetőségnek neveztünk.

Ha speciális topologikus tereket nézünk, akkor a Borel-halmazoknak szűkebb és szűkebb generátorait érdemes keresnünk, hogy a Borel-mérhetőségre is egyszerűbben és egyszerűbben ellenőrizhető feltételeket kapjunk.

1.3.6.

Lássuk el az Rszámegyenes pontjait a szokásos euklideszi topológiával. Ha (a, b)⊆Regy nyílt intervallum, akkor válasszunka_n ∈Qracionális számokat, melyekrea_n ∈(a, b)ésa_n→a. Így

(a, b) =∪^∞_n=1(an, b).

Hasonló konstrukcióval látható, hogy minden nyílt intervallum előáll mint megszámlálhatóan sok, de racionális végpontú nyílt intervallum egyesítése.

Mivel minden nyílt halmaz is előáll mint megszámlálhatóan sok nyílt inter-vallum uniója, ezért mondhatjuk, hogy minden nyílt halmaz tekinthető mint legfeljebb megszámlálhatóan sok racionális végpontú nyílt intervallum egye-sítése. Ha tehát

H1={(a, b) :a, b∈Q, a < b},

jelöli a racionális végpontú korlátos nyílt intervallumok halmazát, akkor min-den nyílt halmaz eleme minmin-den olyanσ-algebrának, amelyH₁-t tartalmazza, speciálisan

τ⊆σ(H1). (1.7)

Jelölje most

H2={[a, b) :a < b, a, b∈Q}. Látható, hogy

(a, b) =∪^∞_n=1[an, b)

fennáll tetszőlegesen választott olyana_n∈(a, b)∩Qsorozatra, melyrea_n→a.

Ebből azonnal következik, hogy

H1⊆σ(H2) (1.8)

Most definiálja

H3={(−∞, a) :a∈Q}. Persze minden[a, b)∈ H2 esetén

[a, b) = (−∞, b)∩[a,∞) = (−∞, b)∩(−∞, a)^c,

ígyH2részhalmaza minden H3-at tartalmazó gyűrűnek, pláne

H2⊆σ(H3). (1.9)

Így a fenti kiemelt (1.7), (1.8), (1.9) tartalmazásokra alkalmazva aσ-operátort azt kapjuk, hogy

B=σ(τ)⊆σ(σ(H1)) =σ(H1)⊆

⊆σ(σ(H2)) =σ(H2)⊆σ(σ(H3)) =σ(H3)⊆ B.

Azt gondoltuk meg tehát, hogy H₁,H₂,H₃ külön-külön generátorai az R kiterjesztett számegyenes Borel-halmazai alkottaσ-algebrának.

Az eddigihez hasonló okoskodással látható, az alábbi halmazrendszerek is külön-külön generátor rendszerei a számegyenes Borel-halmazainak :

{(a, b] :a, b∈Q, a < b},{(−∞, a] :a∈Q}, {[a,+∞) :a∈Q},{(a,+∞) :a∈Q}.

A Borel-halmazok fent megadott generátorrendszerei segítségével fogal-mazzunk meg ekvivalens feltételeket egy valós függvény Borel-mérhetőségére ! Pl.H2halmazrendszert tekintve generátornak : egyf :X →Rfüggvény pon-tosan akkor Borel mérető, ha mindena, b∈Q, a < bmellettX(a≤f < b) =

=f⁻¹([a, b))halmaz mérhető. Az alábbi feltétel ezek közül olyan fontos és olyan sokszor használatos, hogy külön is kiemeljük :

1.3.7. állítás. Legyen(X,M)egy mérhető tér,f :X→Regy függvény. Az f pontosan akkor mérhető, ha minden α∈Q esetén az X(f > α) nívóhal-mazok mérhetők.

Bizonyítás. Láttuk, hogy az{(−∞, α) :α∈R} halmazrendszer a számegye-nes Borel-halmazainak generátora. Mivel a mérhetőséget elegendő a generátor-rendszer halmazaira ellenőrizni (1.3.3), ezért f mérhetősége ekvivalens az X(f > α) =f⁻¹((α,∞])∈ M,∀α∈Rfeltétellel.

1.3.8.

Ha tekintünk egyf :X →Rmérhető függvényt, akkor X(f =∞) =∩^∞_n=1X(f > n)

előállítás szerintX(f =∞)∈ M. Hasonlóan látszik, hogy az X(f =−∞) halmaz is mérhető. AzX értelmezési tartomány tehát három diszjunkt mér-hető halmaz egyesítése :X =X(−∞< f <+∞)∪X(f = +∞)∪X(f =−∞).

Most meggondoljuk, hogy mérhető függvények kompozíciója is mérhető marad.

1.3.9. állítás. Tegyük fel, hogy adott három mérhető tér, (X,M), (Y,N), (Z,O). Legyenf1:X→Y mérhető ésf2:Y →Z mérhető függvény. Ekkor ezekf2◦f1 kompozíciója is mérhető.

Bizonyítás. Világos, hogy mindenH∈ O mérhető halmazra (f2◦f1)⁻¹(H) =f₁⁻¹ f₂⁻¹(H)

∈ M,

hiszenf₂⁻¹(H)∈ N azf₂ mérhetősége szerint ésf₁⁻¹(G)∈ Mazf₁ mérhe-tősége szerint aG=f₂⁻¹(H)halmazra alkalmazva.

Láttuk korábban, hogy minden folytonos függvény Borel-mérhető. A most bevezetendő függvényosztály még ennél is fontosabb. Látni fogjuk, hogy a karakterisztikus függvényekből mint építőkockákból végül minden mérhető függvény előállítható.

1.3.10. definíció (karakterisztikus függvény). Az E ⊆X halmaz mellett, legyenχ_E:X →R

χ_E(x) =

1,hax∈E;

0,hax /∈E

azE halmaz karakterisztikus függvénye. Szokás a karakterisztikus függvényt – főleg valószínűség-számításban –indikátor függvénynek is nevezni.

1.3.11.

Nézzük megχ_E nívóhalmazait. Azαértékétől függően

X(χ_E> α) =







X, haα <0, E, ha0≤α <1,

∅, ha1≤α.

Mivel∅, X∈ Mmindenσ-algebra esetén, ezértχ_Ekarakterisztikus függvény mérhetősége egybeesik azE halmaz mérhetőségével.

Nézzük, hogyan hatnak a függvények mérhetőségére az algebrai operációk.

1.3.12. állítás(mérhető függvények összege mérhető). Legyeneku, v:X → RBorel-mérhető függvények az(X,M)mérhető téren úgy, hogy u+v értel-mes. Ekkoru+v is Borel-mérhető.

Bizonyítás. Először is jegyezzük meg, hogy minden V ⊆ R² nyílt halmaz előáll mint megszámlálhatóan sokI×J alakú nyílt halmaz egyesítése, aholI ésJ nyílt,R-beli intervallumok. LegyenXu =X(−∞< u <+∞)ésXv =

=X(−∞< v <+∞). Tudjuk, hogyXu, Xv ∈ M. Legyenf :Xu∩Xv →R² függvényre f(x) = (u(x), v(x)). Tehát ha I×J egy fenti típusú halmaz, akkor

f⁻¹(I×J) ={x∈X :u(x)∈I ésv(x)∈J}=u⁻¹(I)∩v⁻¹(J).

Azués av függvények Borel-mérhetősége miattf⁻¹(I×J)∈ M. Ha aV nyílt halmazV=∪^∞_n=1(In×Jn)alakú, akkorf⁻¹(V) =∪^∞_n=1f⁻¹(In×Jn)∈ M, hiszenMzárt a megszámlálható egyesítésre, tehát f mérhető.

Definiáljuk azu+v:X →Rösszeg függvényt :

(u+v) (x) =







(+◦f) (x), hax∈X_u∩X_v,

+∞, hau(x) = +∞vagyv(x) = +∞,

−∞, hau(x) =−∞vagyv(x) =−∞.

Mivelu+vértelmesX-en, a fenti három ág közül pontosan az egyik teljesül mindenx∈X-re. Az + :R² →Rfüggvény folytonos, ezért mérhető. Az f mérhetőségét az imént láttuk, így a fenti függvény egy mérhető részhalmazon értelmezett mérhető függvény, és annak komplementere egyik mérhető részén konstans+∞, másik mérhető részén konstans−∞. Ígyu+vis mérhető.

A fenti bizonyítás előnye, hogy könnyedén átvihető szorzatra és hányadosra is. Nézzünk egy másik bizonyítást is.

Bizonyítás. Hauegy mérhető függvény, akkor mindenα∈Rmellettu+αis mérhető, hiszen egyR-beli nyílt halmaz eltoltja is nyílt, és(u+α)⁻¹(V) =

=u⁻¹(V −α). Hasonlóan, mivel egy valós nyílt halmaz−1-szerese is nyílt, ezért −u is mérhető az (−u)⁻¹(V) = u⁻¹(−V) azonosság szerint. Most vegyük észre, hogy az u, v mérhető függvényekre az archimédeszi axióma szerint

X(u > v) =∪_α∈Q(X(v < α)∩X(α < u)).

Előállítottuk tehát azX(u > v)halmazt mérhető halmazok megszámlálható metszetével és egyesítésével, ezértX(u > v)∈ M. Alkalmazzuk eztvhelyett azα−vmérhető függvényre. Azt kapjuk tehát, hogy

X(u > α−v) =X(u+v > α)∈ M.

fennáll mindenα∈Rmellett. Ezt kellett belátni.

Ha ebből a bizonyításból indulunk ki,f gmérhetőségéhez előszörf² mérhe-tőségét kell meggondolnunk az X f²< r

=X(f ∈(−√ r,√

r))azonosság segítségével, majd az f g = ¹₄ (f+g)²−(f −g)²

azonossággal jutunk f g mérhetőségéhez.

1.3.13.

Az összeadás mérhetőségére vonatkozó állításban feltételként szerepelt, hogy u(x) +v(x) értelmes minden x∈ X mellett. Erre csak azért volt szükség, hogy a fenti bizonyítások utolsó kiemelt képlete helyes legyen. E feltétel nélkül is igaz az állítás abban az értelemben, hogy u+v értelmezési tartománya nem a teljes X halmaz. Ilyenkor azt lehet mondani, hogy u+v függvényt

értelmezzük azon a mérhető halmazon ahol az összeg értelmes, e mérhető halmaz komplementerén pedig tetszőleges konstanst beállítva a kiterjesztett összeg mérhető függvény marad.

Most azt nézzük meg, hogy a mérhetőség hogyan öröklődik nem algebrai hanem analízisbeli operációk hatására.

1.3.14. állítás(mérhető függvények szuprémuma, határértéke mérhető). Te-gyük fel, hogy egy mérhető téren adva van megszámlálhatóan sok valós érté-kű mérhető függvény. Ezek pontonkénti szuprémuma, infimuma, limsup-ja, liminf-je és esetleges határértéke is mérhető függvény.

Bizonyítás. Legyen(X,M)a mérhető tér ésf_n:X→Rmérhető függvények.

Nézzük először a szuprémumra vonatkozó állítást. Legyen minden x ∈ X mellettf(x) = sup_n∈Nfn(x)a pontonkénti szuprémum. Vegyük észre, hogy a szuprémum definíciója szerint mindenα∈Rvalós szám mellett

X(f > α) =∪^∞_n=1X(fn> α).

Na mostf_n mérhetősége szerint mindenn∈NmellettX(f_n> α)∈ M, így a σ-algebra megszámlálható egyesítésre való zártsága miatt ezen halmazok egyesítése is mérhető.

Az infumum-ra vonatkozó állítás ennek és a −1 szeres mérhetőségének közvetlen folyománya, hiszen

inf

n∈Nf_n =−sup

n∈N

(−fn).

Ennek megfelelően a limsup és liminf függvények mérhetősége a definícióból lim sup

n∈N

f_n = inf

n∈N

sup

k≥n

f_k

, lim inf

n∈N f_n= sup

n∈N

inf

k≥nf_k

következik. Ha a függvénysorozat pontonként konvergens, akkor a határérték megegyezik például a limsup-pal. Ezt kellett belátni.

A fenti állításban fontos, hogy csak megszámlálhatóan sok függvényről van szó. Az állítás megszámlálhatónál nagyobb számosságú függvényosztály esetén csak nagyon speciális σ-algebra mellett maradhat igaz. Például, ha minden egyelemű halmaz mérhető, és van E /∈ M nem mérhető halmaz, akkor a

χE= sup

χ_{x}:x∈E

egyenlőség szerint, χ_E nem mérhető függvény, ámbár mérhető függvények szuprémuma.

1.3.15. (mérhető függvény pozitív és negatív része is mérhető)

Emlékezzünk arra, hogya ∈ Rvalós szám esetén a⁺ = max{a,0} ésa⁻ =

= max{−a,0}. Világos, hogy a⁺, a⁻ ≥0, a = a⁺−a⁻ és |a| = a⁺+a⁻. Aza⁺ ésa⁻ azavalós számpozitív része, illetvenegatív része. Ezzel analóg módon egyf :X →Rfüggvény pozitív és negatív részef⁺ = max{f,0} és f⁻= max{−f,0}módon definiált. Az előző állítás egyszerű következménye, hogy haf mérhető függvény valamelyMσ-algebrára nézve, akkorf⁺ésf⁻ nem negatív függvények isM-mérhetők.

1.3.16. definíció (lépcsős vagy egyszerű függvény). Legyen (X,M) egy mérhető tér. Lépcsős függvénynek, vagy egyszerű függvénynek nevezünk egy s:X →R+ mérhető, véges értékkészletű, nem negatív függvényt.

Legyen az s egyszerű függvény értékkészlete R(f) = {α1, . . . , αn}. Ha bevezetjük mindenαi ∈ R(f)mellett azEi =X(f =αi)jelölést, akkor az egyszerű függvény

s=

n

X

i=1

αiχE_i

alakban áll elő, ahol azE₁, . . . , E_n egymástól páronként diszjunkt, mérhető halmazok. Ezt az alakot nevezzük az egyszerű függvénykanonikus alakjának.

Fontos látni, hogy ugyanez az egyszerű függvény még nagyon sokfélekép-pen állítható elő a fentiPm

i=1βiχF_i alakban, ha nem kötjük meg azt, hogy a βi nem negatív valós számok egymástól különbözzenek, vagy nem követeljük meg, hogy aβiszámokat az értékkészletből válasszuk, vagy ha nem írjuk elő azFi halmazok diszjunktságát !

Például a(0,1) felett1 másutt zérus egyszerű függvény kanonikus alakja 0χ_(0,1)^c+ 1χ_(0,1).Ugyanez a függvény még előáll például ¹₂χ_(0,1)+¹₂χ_[1/2,1)+ + ¹₄χ_(0,1/2) + ¹₄χ_(0,1/2) alakban is. Nagyon fontos tény, hogy az egyszerű függvény kanonikus alakjában való előállítása definíció szerint egyértelmű ! Ilyenkor azEi=X(fi=αi)halmazok az X alaphalmaz egy véges mérhető partícióját adják.

1.3.17. tétel(mérhető függvények alaptétele). Legyenf :X →R+ egy nem negatív valós értékű mérhető függvény az(X,M)mérhető téren. Ekkor létezik sn egyszerű függvények sorozata, melyre 0 ≤s1 ≤s2 ≤. . . sn ≤. . . ≤f és sn→f pontonként. Haf korlátos, akkor még az is igaz, hogysn egyenletesen tartf-hez.

A bizonyítás konstrukciójának egy szemléltetését látjuk az 1.1. ábrán.

Bizonyítás. Definiáljuk tetszőlegesn∈Nési= 0,1,2, . . . , n2ⁿ−1 mellett az alábbi halmazokat :

E⁽ⁿ⁾_i =f⁻¹ i

2ⁿ,i+ 1 2ⁿ

, továbbáF⁽ⁿ⁾=X(f ≥n).

i/2ⁿ (i+ 1)/2ⁿ (2i+ 1)/2ⁿ⁺¹

1.1. ábra. Mérhető függvények alaptétele : Azs_n éss_n+1 függvény azE_i⁽ⁿ⁾ halmaz felett

Az f mérhetősége miatt E_i⁽ⁿ⁾ ∈ M és F⁽ⁿ⁾ ∈ M minden n ∈ N és i =

= 0,1,2, . . . , n2ⁿ−1esetén. Nyilvánvaló, hogyX =∪ⁿ²_i=0ⁿ⁻¹E_i⁽ⁿ⁾∪F⁽ⁿ⁾ disz-junkt egyesítés fennáll minden n ∈ N mellett. Definiálja rögzített n ∈ N mellett

sn=

n2ⁿ−1

X

i=0

i 2ⁿχ_E(n)

i

+nχ_F(n).

Világos, hogysn egyszerű függvény, hiszen véges az értékkészlete és mérhető függvények összegeként maga is mérhető. Tetszőlegesx∈X mellett, hax∈

∈E_i⁽ⁿ⁾,akkorsn(x) = ₂ⁱn ≤f(x),és hax∈F⁽ⁿ⁾, akkorsn(x) =n≤f(x). Az is világos, hogy amennyibenf(x)véges, úgy olyann-hez amelyref(x)<

< nléteziki,hogyx∈E_i⁽ⁿ⁾,ezértf(x)−sn(x)< ₂¹_n.Haf(x) = +∞,akkor viszontx∈F⁽ⁿ⁾ mindenn ∈Nmellett, így s_n(x)→f(x)∀x∈X mellett pontonként. Ebből már látszik, hogy amennyibenf korlátos, úgy tetszőleges

a korlátnál nagyobb n index mellett f −sn < ₂¹n az egész X-en, tehát sn

valóban egyenletesen konvergálf-hez.

Már csak azt kell megmutatnunk, hogy a fenti módon definiált (sn)_n∈

függvénysorozat pontonként monoton növő. Legyen tehát x ∈ X rögzítve.N

Világos, hogy

E_i⁽ⁿ⁾=E_2i⁽ⁿ⁺¹⁾∪E_2i+1⁽ⁿ⁺¹⁾,

hiszen ₂ⁱn = ₂n+1²ⁱ és ⁱ⁺¹₂n = ₂²ⁱ⁺²n+1. Ez azt jelenti, hogy amennyibenx∈E_i⁽ⁿ⁾, úgys_n(x) = ₂ⁱ_n, de s_n+1(x) = _2n+1²ⁱ vagys_n+1(x) = ²ⁱ⁺¹_2n+1. Az első esetben sn(x) =sn+1(x)míg a második esetbensn(x)< sn+1(x).Hax∈F⁽ⁿ⁾,de f(x)< n+1,akkorsn(x) =néssn+1(x) =₂n+1ⁱ olyani-re melyre₂n+1ⁱ ≥n.

Hax∈F⁽ⁿ⁾,ésf(x)≥n+ 1is fennáll, akkorsn(x) =néssn+1(x) =n+ 1.

Azt láttuk tehát, hogy tetszőlegesx∈X mellett sn(x)≤sn+1(x)valóban fennáll. Ezt kellett belátni.

A mérhető alaptételt persze sorokra is megfogalmazhatjuk.

1.3.18. következmény. Adott egy(X,M)mérhető tér, és egyf :X→R+

nem negatív mérhető függvény. Ekkor léteznek αn ∈ R+ nem negatív valós számok és léteznekE_n∈ M mérhető halmazok, amelyekkel az

f =

∞

X

n=1

αnχEn

pontonkénti sorösszeg-előállítás fennáll.

Bizonyítás. A mérhető függvények 1.3.17. alaptételét alkalmazzuk. Léteznek teháts_n≤s_n+1 egyszerű függvények, melyekres_n→f az X halmazon pon-tonként. Az indexek esetleges elcsúsztatása után feltehetjük, hogys₁= 0. Je-lölje

qn=sn+1−sn.

Azs_n függvénysorozat monoton növekedése szerint q_n ≥0, így q_n egyszerű függvények különbségeként maga is egyszerű függvény mindenn∈N-re. Az is látható, hogy a teleszkopikus összeget számolva

n

X

k=1

q_k =s_n+1−s₁=s_n+1→f, han→ ∞, azazP∞

k=1q_k =f.No de minden egyes kmellettq_k is egyszerű függvény. Felírva a kanonikus alakját

qk=

rk

X

j=1

α^(k)_j χ_E(k) j

,

ahol rk ∈ N, α^(k)_j ∈ R+ és E_j^(k) ∈ M mérhető halmazok. Ebből azonnal következik, hogyf a pontonkénti konvergencia értelmében

f =

∞

X

k=1

qk =

∞

X

k=1 r_k

X

j=1

α^(k)_j χ_E(k) j

alakú. Tudjuk, hogy nem negatív tagú sor konvergenciáját nem befolyásolja a tagok egy permutációja, így a fenti sort tetszőlegesen átindexelve kapjuk az

f =

∞

X

n=1

αnχE_n

előállítást. Ezt kellett belátni.

Láttuk tehát, hogy a legegyszerűbb mérhető függvény egy mérhető hal-maz karakterisztikus függvénye. Az ilyenek nem negatív együtthatókkal vett lineáris kombinációját neveztük egyszerű vagy lépcsős függvénynek. Világos, hogy mérhető függvények határértéke is mérhető, emiatt a

∞

X

n=1

α_nχ_En

sor nem negatív αn együtthatókkal és mérhető En ∈ M halmazokkal min-denképpen egy nem negatív mérhető függvényt ad. A fenti eredményünk azt jelenti, hogy ezzel az eljárással már minden nem negatív mérhető függvényt elő is állíthatunk.

Integrál és

konvergenciatételek

Az absztrakt integrált először egyszerű függvényekre definiáljuk. A mérhető függvények alaptétele szerint minden nem negatív mérhető függvény alulról közelíthető egyszerű függvénnyel. Ez lehetőséget ad arra, hogy a nem negatív mérhető függvény integrálját mint a nála nem nagyobb egyszerű függvények integráljának szuprémumát definiáljuk. Általánosabban, egy mérhető függ-vény integrálját úgy kapjuk, hogy a függfügg-vényt előállítjuk mint két nem nega-tív mérhető függvény különbsége, majd az integrál ezen függvények integráljai különbségeként adódik.

Az integrál bevezetése mellett a legfontosabb gondolat a konvergenciaté-telekbe van csomagolva. A kérdés az, hogy ha egy függvényt közelítünk egy függvénysorozattal, akkor a függvénysorozat elemeinek integrálja közelíti-e a függvény integrálját. Hasonlóan egy függvénysor összegfüggvényének in-tegrálja előáll-e mint az integrálok sor-összege. Formálisan nézve, ez a limes-integrál jel cserélhetőségét és a szumma-limes-integrál cserélhetőségét jelenti. Az itt definiált integrálfogalom legfőbb erénye, hogy általánossága mellett könnyen megjegyezhető, jól használható konvergenciatételeket kapunk, mind a limes-integrál, mind a szumma-integrál felcserélhetőségre vonatkozóan.

Legyen a fejezetben végig az(X,M, µ)mértéktér rögzítve.

In document Mértékelmélet és dinamikus programozás (Pldal 51-63)