Az L p Lebesgue-terek

5.1.1. állítás (Jensen-egyenlőtlenség). Legyen (Ω,P, µ) egy valószínűségi mértéktér, azaz µ(Ω) = 1. Ha f ∈ L₁(Ω,P, µ), és ϕ : R → R, konvex függvény, akkor

ϕ Z

Ω

f dµ

≤ Z

Ω

ϕ◦f dµ.

Bizonyítás. Mivel egy valós konvex függvény az értelmezési tartományának minden belső pontjában folytonos, ezértϕ folytonos függvény. Világos, lásd 3.2.6., hogy egy folytonos függvénynek egy Lebesgue-mérhető függvénnyel való kompozíciója is Lebesgue-mérhető, ezért a ϕ◦f kompozíció függvény Lebesgue-mérhető.

Ismert az is, hogy a ϕ konvexitása szerint tetszőleges ponthoz tartozó különbségi hányados függvény monoton nő. Ebből következik, hogy minden rögzítettt∈R-re a

β = inf

ϕ(s)−ϕ(t)

s−t :t < s∈R

jelölés mellett

ϕ(s)≥ϕ(t) +β(s−t)

fennáll mindens∈Resetén. Alkalmazva ezts=f(x)ést=R

Ωf dµmellett, azt kapjuk, hogyϕ(f(x))≥ϕ(t) +β(f(x)−t)amelynek integrálásával :

Z

Ω

ϕ◦f dµ≥ϕ(t) +β(t−t) =ϕ Z

Ω

f dµ

. Ezt kellett belátni.

149

5.1.2. állítás (Hölder-egyenlőtlenség). Legyen 1 < p, q < +∞, melyre

5.1.3. állítás(Minkowski-egyenlőtlenség). Legyen1≤p <∞valamintf, g: :X →R+ nem negatív mérhető függvények. Ekkor

Bizonyítás. A p= 1 esetben az állítás nyilvánvaló, egyébként legyen q >1, amelyre ¹_p+¹_q = 1.Tekintsük az (f+g)^p =f(f +g)^p−1+g(f+g)^p−1 fel-írást. Alkalmazva f(f+g)^p−1 szorzatra a Hölder-egyenlőtlenséget azt kap-juk, hogy

Hasonlóan azf helyettg-t ésg helyettf-et gondolva azt kapjuk, hogy : Z Amennyiben 0 < R

X(f+g)^p dµ < +∞, úgy R

X(f+g)^pdµ¹_q

számmal osztva készen is vagyunk. AmennyibenR

X(f+g)^p dµ= 0,akkorf =g= 0 µ-m.m, tehát nincs mit bizonyítanunk. Amennyiben pedigR

X(f+g)^p dµ= az egyik+∞értékű. Ezt kellett belátni.

5.1.4. definíció (p-edik hatványon integrálható függvények : L_p). Legyen p > 1 rögzített valós szám, és (X,M, µ) mértéktér. Tekintsük a következő vektorteret

Világos, hogy R

X|f|^pdµ = 0 pontosan akkor, ha f(x) = 0 µ .m.m. x ∈

∈ X esetén. Ha L⁰ jelöli azon mérhető függvényeket amelyek a konstans 0 függvénytől csak egy a µ-re nézve null-mértékű halmazban különböznek, akkor világos, hogyL⁰ a fentiL^p térnek altere. JelöljeLpaz Lp térnek ezen L⁰ altere szerinti faktorterét, azaz

Lp(X,M, µ) =Lp(X,M, µ)/L⁰(X,M, µ).

Ez azt jelenti, hogy Lp elemei olyan ekvivalenciaosztályok, hogy az egyes ekvivalenciaosztályok olyan mérhető függvényekből állnak, melyek egymástól csak null-mértékű halmazban különböznek. Továbbra isf-fel jelölve azt az ekvivalenciaosztályt, amely azf függvényt tartalmazza

kfk_L

p= Z

X

|f|^p dµ _p¹

.

5.1.5. állítás (majdnem mindenütt korlátos függvények : L∞). Jelölje L∞(X,M, µ) azon f mérhető függvények halmazát, amelyekhez létezik A mérhető, null-mértékű halmaz, hogy sup_XrA|f| < +∞. Világos, hogy L∞(X,M, µ)is vektortér, amelynekL⁰ egy altere. AzL∞(X,M, µ)-nek az L⁰ szerinti faktorterét nevezzük L_∞(X,M, µ)térnek. Mindenf ∈L_∞ ekvi-valenciaosztály esetén

inf

µ(A)=0

sup

XrA

|f|= inf{K≥0 :µ({x∈X:|f(x)|> K}) = 0}. A fenti egyenlőségben mindkét oldalon az infimum helyett minimum is írható és ezt a számot nevezzük az f „függvény” L_∞ normájának. Ez azt jelenti, hogy létezik olyanA mérhető,µ(A) = 0halmaz, amelyre

kfkL_∞ = sup

XrA

|f|= min{K≥0 :µ({x∈X :|f(x)|> K}) = 0}. Bizonyítás. Jelölje κ = inf

sup_XrA|f|:A∈ M, µ(A) = 0 , és legyen K egy szám a jobb oldali halmazból. Megmutatjuk, hogyκ≤K. Jelölje ugyan-is A = X(|f|> K). Ekkor K választása szerint µ(A) = 0, ezért valóban κ≤ sup_XrA|f| ≤ K. Most azt mutatjuk meg, hogy κ eleme is a jobb ol-dali halmaznak. Válasszunk ehhez megszámlálhatóan sokA_n∈ M halmazt, amelyekreµ(A_n) = 0 mindenn∈Nmellett és

infn

sup

XrAn

|f|

=κ.

LegyenA=∪nA_n. Világos, hogy µ(A) = 0, és tetszőleges x∈ A^c =∩nA^c_n esetén|f(x)| ≤sup_Ac

n|f|teljesül mindenn∈N-re, ezért|f(x)| ≤κ. Ez azt jelenti, hogy

X(|f|> κ)⊆A,

amiből perszeµ(X(|f|> κ)) = 0, tehátκeleme a tételben kiemelt jobb oldali halmaznak is. Ebből már látszik, hogy a jobb oldali halmaz minimuma éppen κ, sőt a fent konstruáltA halmazrasup_Ac|f|=κ. Ezt kellett belátni.

5.1.6. állítás. Legyen tetszőleges 1 ≤ p, q ≤ +∞, 1/p+ 1/q = 1 mellett f ∈Lp(X,M, µ), ésg∈Lq(X,M, µ). Ekkorf g∈L1, és

kf gk_L

1 ≤ kfk_L

p· kgk_L

q. Haf, q∈Lp(X,M, µ), akkor

kf +gk_L

p≤ kfk_L

p+kgk_L

p.

Bizonyítás. Ha 1 < p < ∞, akkor az első egyenlőtlenség éppen a Hölder-egyenlőtlenség. Ha p = 1, akkor q = ∞, tehát K = kgk_∞ jelöléssel |g| ≤

≤K majdnem mindenütt teljesül. Ekkor perszeR

X|f g|dµ≤R

X|f|K dµ =

=KR

X|f|dµ=kfkpkgk_∞.

Teljesen hasonlóan, ha 1 < p < ∞, akkor a második egyenlőtlenség a Minkowski-egyenlőtlenség. Viszontp=∞esetbenf ésgmajdnem mindenütt korlátosak. Látható, hogyK=kfk_∞+kgk_∞egy olyan szám, amelyre

X(|f +g|> K)⊆X(|f|>kfk∞)∪X(|g|>kgk∞),

ezértµ(X(|f +g|> K)) = 0, amiből már következik is, hogykf +gk∞ ≤

≤K=kfk∞+kgk∞.

5.1.7. következmény. Az

Lp(X,M, µ),k·k_L

p

normált tér, tetszőleges 1≤p <+∞mellett.

5.1.8.

A fent bevezetettL_∞(X,M, µ)vektorteret ellátva az kfkL∞ = min

sup

XrA

|f|:A∈ M, µ(A) = 0

=

= min{K≥0 :µ({x∈X :|f(x)|> K}) = 0}

normával egy normált teret kapunk. Ebben a normált térben kfkL_∞ = 0, pontosan akkor, haf majdnem mindenütt zérus, tehát haf azL_∞tér null-elemét mint ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Látható, hogy ebben a nor-mált térbenfn →f, azazkfn−fk_∞→0, azt jelenti, hogy van olyanA∈ M null-mértékű halmaz, hogyfn→f azXrAhalmazon egyenletesen.

Most a Lebesgue-tétel sorozatokra és sorokra vonatkozó alakját általáno-sítjuk.

5.1.9. tétel (Lebesgue). Legyen p ∈ R, p ≥1 rögzített. Legyen (fn)_n∈

N ∈

∈ Lp(X,M, µ) olyan függvények sorozata, amely pontonként konvergál egy f függvényhez. Tegyük fel, hogy létezik h ∈ Lp(X,M, µ) függvény, melyre

|fn| ≤hminden n∈Nesetén.

Ekkorf∈Lp, továbbáfn→f azLptér topológiájában, azazkf−fnk_p→0.

Bizonyítás. Az|fn| ≤hmajoráns tulajdonság szerint Z Ekkor(f−f_n)^psorozat azL₁térben konvergál zérushoz, ami éppen ugyanaz, mint az(f−f_n)sorozatL_p-beni zéruskonvergenciája, hiszen

kf−f_nk^p_p= Z

X

|f −f_n|^pdµ=k(f−f_n)^pk₁. Ezt kellett belátni.

5.1.10. tétel (Riesz–Fischer-tétel). Legyen p∈R, p≥1 rögzített. Tekintsük azf_n∈L_p(X,M, µ)függvényeket. Ha

n=1fnfüggvénysorµ-majdnem mindenütt pontonként abszolút kon-vergens. Ha f jelöli a pontonkénti összegfüggvényt, akkor f ∈ Lp és a sor L_p-ben is konvergálf-hez, azaz

No de a Minkowski-egyenlőtlenség szerintkϕnkp≤M mindenn∈Nmellett, így

Z

X

ϕ^pdµ≤M^p.

Ez egyrészt azt jelenti, hogy ϕ ∈ L_p; másrészt, hogy ϕ majdnem minden pontban véges értékű, ergo aP∞

n=1f_n(x) függvénysorozat majdnem minde-nütt abszolút konvergens. A valós egyenes teljessége szerint egy abszolút kon-vergens sor konkon-vergens is, ezért majdnem mindenx∈Xmellett aP∞

n=1f_n(x) sor konvergens. Jelöljef az összegfüggvényt. Hasn a P

kfk sorn-edik rész-letösszege, akkorsn →f majdnem mindenütt pontonként, és|sn| ≤ϕ∈Lp. Alkalmazhatjuk tehát azLp-beni majoráns konvergenciatételt, így

f ∈Lp, és kf−snkp→0.

Ezt kellett belátni.

5.1.11.

Gondoljuk pontosan végig, hogy haf_n ∈L_∞ függvények, amelyekre

∞

X

n=1

kfnk∞<∞, akkor aP∞

n=1fn függvénysorozat majdnem mindenütt pontonként konver-gens, mi több a részletösszegek sorozata majdnem mindenütt egyenletesen is konvergál az összegfüggvényhez.

5.1.12. állítás(Riesz–Fischer). Az

Lp(X,M, µ),k·k_L

p

normált tér, tet-szőleges1≤p≤+∞mellett teljes, azaz Banach-tér.

Bizonyítás. Éppen azt gondoltuk meg az előzőekben, hogy azLp-térbeli ab-szolút konvergens sorok a normált tér topológiájában is konvergálnak. Tudjuk – lásd a 7. oldalon lévő 0.1.7. tételt –, hogy ez a tulajdonság ekvivalens a tér teljességével.

Konstruálhatunk a [0,1] intervallumon értelmezett nem negatív f_n függ-vénysorozatot, amelyreR

fndµ→0, defn(x)→0egyetlenx∈[0,1]mellett sem áll fenn. Ez azt jelenti, hogy az L1-beli konvergenciából a pontonkén-ti konvergencia nem következhet. Ennél kicsit kevesebb viszont igaz. Ha az fn → f az Lp tér metrikája szerint, akkor az fn függvénysorozatnak van olyanfn_krészsorozata, amelyrefn_k→f majdnem mindenütt pontonként. A Riesz-Fischer-tétel e következményét, szokás Riesz-lemmának nevezni.

5.1.13. lemma(Riesz). Legyenf ∈L_p(X,M, µ)egy azL_p térben Cauchy-sorozat. Ekkor létezik f ∈ L_p függvény, és létezik f_nk részsorozat, amelyre kf_n−fk_p→0 és f_nk(x)→f(x)majdnem minden x∈X-re pontonként.

Bizonyítás. AzLpteljessége szerint már igazoltuk, hogy létezikf ∈Lp függ-vény, amelyrefn→f azLpnormában. MivelfnegyLp-beli Cauchy-sorozat, ezért választhatunkfn_k részsorozatát, amelyre a

∞

X

k=1

f_nk+1−f_nk

függvénysor azLp normával abszolút konvergens. A Riesz-Fischer-tétel sze-rint e sorLp-ben és majdnem mindenütt pontonként is tart ugyanazonLp-beli függvényhez. Ez annyit tesz, hogy a részletösszegek sK sorozatára a kon-vergencia mind az Lp tér metrikája értelmében, mind a majdnem minde-nütt pontonkénti értelemben is fennáll. No de sK =fn_K+1 −fn₁, tehát az (fn_k)_k∈

Nrészsorozat is egyazonLp-beli függvényhez tartLp-ben és majdnem mindenütt pontonként. Figyelembe véve, hogy azLp metrikus téren a soro-zat határértéke egyértelműen meghatározott, ez a határfüggvény csakf ∈Lp

lehetséges.

5.1.14. definíció. Tetszőleges1≤p <+∞mellett jelölje l_p=

L_p(X,M, µ),k·k_L

p

. Világos, hogylp elemei azon(an)_n∈

N sorozatok, melyekre P∞

n=1|an|^p<∞, és egy ilyena= (an)_n∈

Nsorozat normája : kak_l

p=

∞

X

n=1

|an|^p

!¹_p .

Ap= +∞esetbenl∞elemei azon(an)_n∈Nsorozatok, melyekresup_n∈N|an|<

<∞. Egy ilyena= (a_n)_n∈

Nsorozat normája : kak_l

∞ = sup

n∈N

|an|.

Gondoljuk meg, hogy a fejezet elején konvex függvényekre bizonyított Jen-sen-egyenlőtlenség, valóban az elemi analízisből jól ismert diszkrét Jensen-egyenlőtlenség általánosítása !

In document Mértékelmélet és dinamikus programozás (Pldal 159-165)